Bahay
Ang mga sistema ng mga equation ay malawakang ginagamit sa sektor ng ekonomiya para sa pagmomodelo ng matematika ng iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.
Ang mga sistema ng mga equation ay ginagamit hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon. Sistema mga linear na equation
pangalanan ang dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunud-sunod ay hindi umiiral.
Linear equation
Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam na ang halaga ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng isang equation sa pamamagitan ng paglalagay nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay mga solusyon sa polynomial.
Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation
Ang pinakasimpleng mga halimbawa ay itinuturing na mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.
F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable. - Lutasin ang sistema ng mga equation nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay o pagtatatag nito angkop na mga halaga
x at y ay wala.
Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng isang punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.
Ang mga homogenous na sistema ng linear equation ay mga sistema na ang kanang bahagi ay katumbas ng zero. Kung ang kanang bahagi pagkatapos ng pantay na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay heterogenous.
Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlo o higit pang mga variable.
Kapag nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ang kaso. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakadepende sa mga variable;
Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation
Walang pangkaraniwan pamamaraang analitikal mga solusyon ng mga katulad na sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong matematika sa paaralan ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang mga graphical at matrix na pamamaraan, solusyon sa pamamagitan ng Gaussian method.
Ang pangunahing gawain kapag nagtuturo ng mga pamamaraan ng solusyon ay ang magturo kung paano tama na pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paggamit ng isang partikular na pamamaraan.
Ang paglutas ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa kurikulum ng pangkalahatang edukasyon ng ika-7 baitang ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang paglutas ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss at Cramer na pamamaraan ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang taon ng mas mataas na edukasyon.
Paglutas ng mga sistema gamit ang paraan ng pagpapalit
Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable sa mga tuntunin ng pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ay binabawasan ito sa isang form na may isang variable. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system
Magbigay tayo ng solusyon sa isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng klase 7 gamit ang paraan ng pagpapalit:
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system bilang kapalit ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation . Ang paglutas ng halimbawang ito ay madali at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Huling hakbang Ito ay isang tseke ng mga natanggap na halaga.
Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring maging kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging masyadong mahirap para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, hindi angkop din ang paglutas sa pamamagitan ng pagpapalit.
Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:
Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan
Kapag naghahanap ng mga solusyon sa mga system gamit ang paraan ng pagdaragdag, nagsasagawa sila ng termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng magkaibang numero. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation sa isang variable.
Para sa mga Aplikasyon ang pamamaraang ito kailangan ang pagsasanay at pagmamasid. Ang paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagdaragdag kapag mayroong 3 o higit pang mga variable ay hindi madali. Maginhawang gamitin ang pagdaragdag ng algebraic kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal.
Algorithm ng solusyon:
- I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa isang tiyak na numero. Bilang resulta ng operasyon ng aritmetika, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
- Idagdag ang nagresultang termino ng expression ayon sa termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
- I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.
Paraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable
Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay nangangailangan ng paghahanap ng isang solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.
Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas para sa ipinakilalang hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.
Ipinapakita ng halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posibleng bawasan ang 1st equation ng system sa standard one. quadratic trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.
Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang gustong discriminant, b, a, c ang mga salik ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, samakatuwid D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, may dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon: x = -b / 2*a.
Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.
Visual na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema
Angkop para sa 3 equation system. Ang pamamaraan ay binubuo sa pagbuo ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga intersection point ng mga curve ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.
Ang graphical na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa isang visual na paraan.
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, para sa bawat linya dalawang puntos ang itinayo, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.
Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.
Ang sumusunod na halimbawa ay nangangailangan ng paghahanap graphic na solusyon sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.
Ang mga sistema mula sa mga halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo ito ay nagiging halata na ang kanilang mga solusyon ay iba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang isang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.
Ang matrix at ang mga varieties nito
Ginagamit ang mga matrice upang maigsi na magsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang talahanayan espesyal na uri puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.
Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang matrix ng isang column na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga kasama sa isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.
Ang isang inverse matrix ay isang matrix kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang unit matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.
Mga panuntunan para sa pag-convert ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix
Kaugnay ng mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng termino ng mga equation ay isinulat bilang mga numero ng matrix;
Ang isang matrix row ay sinasabing nonzero kung ang kahit isang elemento ng row ay hindi zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ay kinakailangan na magpasok ng zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.
Ang mga matrix column ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaaring isulat lamang sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.
Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.
Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix
Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix, at |K| ay ang determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.
Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix kailangan mo lamang na i-multiply ang mga elemento ng dayagonal sa bawat isa. Para sa opsyong "tatlo sa tatlo", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column upang ang mga bilang ng mga column at row ng mga elemento ay hindi na maulit sa trabaho.
Paglutas ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation gamit ang matrix method
Ang paraan ng matrix ng paghahanap ng solusyon ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabawasan ang masalimuot na mga entry kapag nilulutas ang mga system na may malaking bilang ng mga variable at equation.
Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ay mga variable, at ang b n ay mga libreng termino.
Paglutas ng mga sistema gamit ang Gaussian method
SA mas mataas na matematika Ang Gaussian method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer solution method. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap variable na sistema na may malaking bilang ng mga linear equation.
Ang pamamaraan ni Gauss ay halos kapareho sa mga solusyon gamit ang mga pamalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyon sa pamamaraang Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang bawasan ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, habang ang 3 at 4 ay, ayon sa pagkakabanggit, na may 3 at 4 na variable.
Pagkatapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.
Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyon sa pamamaraang Gauss ay inilarawan bilang mga sumusunod:
Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha: 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang paglutas ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.
Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasaad na kung ang isa sa mga equation ng sistema ay papalitan ng isang katumbas, kung gayon ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.
Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral mataas na paaralan, ngunit isa sa pinaka mga kawili-wiling paraan upang paunlarin ang katalinuhan ng mga batang nakatala sa mga advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.
Para sa kadalian ng pag-record, ang mga kalkulasyon ay karaniwang ginagawa tulad ng sumusunod:
Ang mga coefficient ng mga equation at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanan. Ang mga numerong Romano ay nagpapahiwatig ng mga bilang ng mga equation sa system.
Una, isulat ang matrix na gagamitin, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at ang mga kinakailangang algebraic na operasyon ay ipagpapatuloy hanggang sa makamit ang resulta.
Ang resulta ay dapat na isang matrix kung saan ang isa sa mga diagonal ay katumbas ng 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang unit form. Hindi natin dapat kalimutang magsagawa ng mga kalkulasyon na may mga numero sa magkabilang panig ng equation.
Ang paraan ng pag-record na ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na hindi magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.
Ang libreng paggamit ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at ilang karanasan. Hindi lahat ng pamamaraan ay isang inilapat na kalikasan. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa mga layuning pang-edukasyon.
Ang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawa o higit pang mga linear na equation kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga ito. pangkalahatang solusyon. Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Pangkalahatang view isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam ay ipinakita sa figure sa ibaba:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Dito ang x at y ay mga hindi kilalang variable, ang a1,a2,b1,b2,c1,c2 ay ilang tunay na numero. Ang solusyon sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam ay isang pares ng mga numero (x,y) na kung papalitan natin ang mga numerong ito sa mga equation ng system, ang bawat isa sa mga equation ng system ay magiging isang tunay na pagkakapantay-pantay. Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear equation. Isaalang-alang natin ang isa sa mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation, katulad ng paraan ng pagdaragdag.
Algorithm para sa paglutas sa pamamagitan ng paraan ng karagdagan
Isang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation na may dalawang hindi alam gamit ang paraan ng pagdaragdag.
1. Kung kinakailangan, sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabago, i-equalize ang mga coefficient ng isa sa mga hindi kilalang variable sa parehong equation.
2. Sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga resultang equation, kumuha ng linear equation na may isang hindi alam
3. Lutasin ang resultang equation na may isang hindi alam at hanapin ang isa sa mga variable.
4. Palitan ang resultang expression sa alinman sa dalawang equation ng system at lutasin ang equation na ito, kaya makuha ang pangalawang variable.
5. Suriin ang solusyon.
Isang halimbawa ng solusyon gamit ang paraan ng pagdaragdag
Para sa higit na kalinawan, lutasin natin ang sumusunod na sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang paraan ng pagdaragdag:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Dahil wala sa mga variable ang may magkaparehong coefficients, pinapantay namin ang coefficients ng variable na y. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa tatlo, at ang pangalawang equation sa dalawa.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Nakukuha namin ang sumusunod na sistema ng mga equation:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Ngayon ibawas namin ang una mula sa pangalawang equation. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino at nilulutas ang resultang linear equation.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa unang equation mula sa aming orihinal na sistema at lutasin ang resultang equation.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
Ang resulta ay isang pares ng mga numero x=6 at y=14. Sinusuri namin. Gumawa tayo ng substitution.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Tulad ng nakikita mo, nakakuha kami ng dalawang tamang pagkakapantay-pantay, samakatuwid, natagpuan namin ang tamang solusyon.
Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Gumamit ang tao ng mga equation noong sinaunang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Sa pamamagitan lamang ng paglutas ng mga sistema ng mga equation na may iba't ibang kumplikado sa iyong sarili matututo kang mabilis na matukoy ang mga pamamaraan para sa paglutas ng anumang sistema. Minsan medyo mahirap lutasin ang system quadratic equation.
Gayunpaman, ang pinakakaraniwang ginagamit na paraan para sa paglutas ng mga equation na ito ay ang paraan ng pagpapalit/pagdaragdag.
Ipagpalagay na binibigyan tayo ng sumusunod na sistema ng mga equation:
\[\left\(\begin(matrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrix)\right.\]
Idagdag natin ang mga equation ng system:
\[\left\(\begin(matrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrix)\right.\]
Lutasin natin ang resultang sistema:
\[\left\(\begin(matrix) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrix)\right.\]
\[(x - y) = -1 \] o \[(x - y) = 1\] - nakukuha namin mula sa equation 2
I-substitute natin ang 1 o -1 sa 1:
\ o \
Dahil alam na natin ngayon ang halaga ng isang hindi alam, mahahanap natin ang pangalawa:
I-substitute natin ang 1 o -1 sa 1:
\[-3 - y= -1\] o \
Sagot: \[(-3; -2); (3; 4)\]
Kung kailangan mong lutasin ang isang sistema ng 2 degrees at 1 linear, maaari mong ipahayag ang 1 sa mga variable mula sa linear at palitan ang equation na ito sa quadratic one.
Maaari mong lutasin ang sistema ng mga equation online sa aming website https://site. Ang libreng online solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga online na equation ng anumang kumplikado sa loob ng ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.
Algebraic na paraan ng pagdaragdag
Maaari mong lutasin ang isang sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam sa iba't ibang paraan- graphical na paraan o variable na paraan ng pagpapalit.
Sa araling ito ay makikilala natin ang isa pang paraan ng paglutas ng mga sistema na malamang na magugustuhan mo - ito ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic.
Saan nagmula ang ideya ng paglalagay ng isang bagay sa mga system? Kapag nilulutas ang mga sistema pangunahing problema ay ang pagkakaroon ng dalawang variable, dahil hindi natin alam kung paano lutasin ang mga equation na may dalawang variable. Nangangahulugan ito na ang isa sa kanila ay dapat na hindi kasama sa ilang legal na paraan. At ang mga ganitong legal na paraan ay mga tuntunin sa matematika at mga ari-arian.
Ang isa sa mga katangiang ito ay: ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero. Nangangahulugan ito na kung ang isa sa mga variable ay may kabaligtaran na mga coefficient, kung gayon ang kanilang kabuuan ay magiging katumbas ng zero at magagawa nating ibukod ang variable na ito mula sa equation. Malinaw na wala tayong karapatang magdagdag lamang ng mga termino sa variable na kailangan natin. Kailangan mong idagdag ang buong equation, i.e. hiwalay na magdagdag ng mga katulad na termino sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay sa kanan. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng bagong equation na naglalaman lamang ng isang variable. Tingnan natin kung ano ang sinabi na may mga tiyak na halimbawa.
Nakikita natin na sa unang equation ay mayroong variable na y, at sa pangalawa ay mayroong kabaligtaran na numero -y. Nangangahulugan ito na ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng karagdagan.
Ang isa sa mga equation ay naiwan kung ano ito. Kahit sinong pinakagusto mo.
Ngunit ang pangalawang equation ay makukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang equation na ito sa pamamagitan ng termino. Yung. Nagdaragdag kami ng 3x na may 2x, nagdaragdag kami ng y sa -y, nagdaragdag kami ng 8 na may 7.
Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation
Ang pangalawang equation ng sistemang ito ay isang simpleng equation na may isang variable. Mula dito makikita natin ang x = 3. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga sa unang equation, nakita natin ang y = -1.
Sagot: (3; - 1).
Halimbawang disenyo:
Lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang algebraic addition method
Walang mga variable na may kabaligtaran na mga coefficient sa sistemang ito. Ngunit alam natin na ang magkabilang panig ng equation ay maaaring i-multiply sa parehong numero. I-multiply natin ang unang equation ng system sa 2.
Pagkatapos ang unang equation ay kukuha ng form:
Ngayon nakita natin na ang variable na x ay may kabaligtaran na mga coefficient. Nangangahulugan ito na gagawin natin ang katulad ng sa unang halimbawa: iiwan natin ang isa sa mga equation na hindi nagbabago. Halimbawa, 2y + 2x = 10. At nakukuha natin ang pangalawa sa pamamagitan ng pagdaragdag.
Ngayon mayroon kaming isang sistema ng mga equation:
Madali nating mahanap mula sa pangalawang equation na y = 1, at pagkatapos ay mula sa unang equation x = 4.
Halimbawang disenyo:
Ibuod natin:
Natutunan namin kung paano lutasin ang mga sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang algebraic addition method. Kaya, alam na natin ngayon ang tatlong pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema: graphical, variable na paraan ng pagpapalit at paraan ng karagdagan. Halos anumang sistema ay maaaring malutas gamit ang mga pamamaraang ito. Sa higit pa mahirap na mga kaso Ang isang kumbinasyon ng mga pamamaraan na ito ay ginagamit.
Listahan ng ginamit na panitikan:
- Mordkovich A.G., Algebra ika-7 baitang sa 2 bahagi, Bahagi 1, Teksbuk para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon / A.G. Mordkovich. – Ika-10 ed., binago – Moscow, “Mnemosyne”, 2007.
- Mordkovich A.G., Algebra ika-7 baitang sa 2 bahagi, Bahagi 2, Aklat ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon / [A.G. Mordkovich at iba pa]; inedit ni A.G. Mordkovich - ika-10 na edisyon, binago - Moscow, "Mnemosyne", 2007.
- SIYA. Tulcinskaya, Algebra ika-7 baitang. Blitz survey: isang manwal para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon, ika-4 na edisyon, binago at pinalawak, Moscow, Mnemosyne, 2008.
- Alexandrova L.A., Algebra ika-7 baitang. Thematic test work in bagong anyo para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011.
- Alexandrova L.A. Algebra ika-7 baitang. Malayang gawain para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich - ika-6 na edisyon, stereotypical, Moscow, "Mnemosyne", 2010.
Suriin natin ang dalawang uri ng mga solusyon sa mga sistema ng mga equation:
1. Paglutas ng sistema gamit ang paraan ng pagpapalit.
2. Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation ng system.
Upang malutas ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit kailangan mong sundin ang isang simpleng algorithm:
1. Ipahayag. Mula sa anumang equation ipinapahayag namin ang isang variable.
2. Kapalit. Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa isa pang equation sa halip na ang ipinahayag na variable.
3. Lutasin ang resultang equation na may isang variable. Nakahanap kami ng solusyon sa system.
Upang magpasya sistema sa pamamagitan ng term-by-term na paraan ng pagdaragdag (pagbabawas). kailangang:
1. Pumili ng variable kung saan gagawa tayo ng magkaparehong coefficient.
2. Nagdaragdag o nagbabawas tayo ng mga equation, na nagreresulta sa isang equation na may isang variable.
3. Lutasin ang resultang linear equation. Nakahanap kami ng solusyon sa system.
Ang solusyon sa system ay ang mga intersection point ng mga function graph.
Isaalang-alang natin nang detalyado ang solusyon ng mga system gamit ang mga halimbawa.
Halimbawa #1:
Lutasin natin sa paraan ng pagpapalit
Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit2x+5y=1 (1 equation)
x-10y=3 (2nd equation)
1. Ipahayag
Makikita na sa pangalawang equation ay mayroong variable x na may coefficient na 1, na nangangahulugang pinakamadaling ipahayag ang variable x mula sa pangalawang equation.
x=3+10y
2.Pagkatapos nating maipahayag ito, pinapalitan natin ang 3+10y sa unang equation sa halip na ang variable na x.
2(3+10y)+5y=1
3. Lutasin ang resultang equation na may isang variable.
2(3+10y)+5y=1 (buksan ang mga bracket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
Ang solusyon sa sistema ng equation ay ang mga intersection point ng mga graph, kaya kailangan nating hanapin ang x at y, dahil ang intersection point ay binubuo ng x at y, sa unang punto kung saan natin ito ipinahayag, pinapalitan natin ang y doon .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
Nakaugalian na isulat ang mga puntos sa unang lugar na isinusulat natin ang variable na x, at sa pangalawang lugar ang variable na y.
Sagot: (1; -0.2)
Halimbawa #2:
Lutasin natin gamit ang term-by-term na paraan ng pagdaragdag (pagbabawas).
Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag3x-2y=1 (1 equation)
2x-3y=-10 (2nd equation)
1. Pumili tayo ng variable, sabihin nating pipiliin natin ang x. Sa unang equation, ang variable x ay may coefficient na 3, sa pangalawa - 2. Kailangan nating gawin ang mga coefficient na pareho, para dito may karapatan tayong i-multiply ang mga equation o hatiin sa anumang numero. I-multiply namin ang unang equation sa pamamagitan ng 2, at ang pangalawa sa pamamagitan ng 3 at makakuha ng kabuuang koepisyent ng 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Ibawas ang pangalawa sa unang equation upang maalis ang variable na x.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Hanapin ang x. Pinapalitan natin ang nahanap na y sa alinman sa mga equation, sabihin natin sa unang equation.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
Ang intersection point ay magiging x=4.6; y=6.4
Sagot: (4.6; 6.4)
Gusto mo bang maghanda para sa mga pagsusulit nang libre? Tutor online nang libre. Walang biro.
Naglo-load...
