Ito ay isang parisukat, at ito ay binubuo ng tatlong termino (). Kaya lumalabas - isang parisukat na trinomial.
Mga halimbawa Hindi square trinomals:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - kubiko quadrinomial
\(2x+1\) - linear binomial
Square root ng trinomial:
Halimbawa:
Ang trinomial na \(x^2-2x+1\) ay may ugat na \(1\), dahil \(1^2-2 1+1=0\)
Ang trinomial na \(x^2+2x-3\) ay may mga ugat na \(1\) at \(-3\), dahil \(1^2+2-3=0\) at \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)
Halimbawa: kung kailangan mong maghanap ng mga ugat para sa quadratic trinomial\(x^2-2x+1\), i-equate ito sa zero at lutasin ang equation \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
handa na. Ang ugat ay \(1\).
Decomposition ng isang quadratic trinomial sa:
Ang square trinomial \(ax^2+bx+c\) ay maaaring palawakin bilang \(a(x-x_1)(x-x_2)\) kung ang mga equation na \(ax^2+bx+c=0\) ay mas malaki sa zero \ (x_1\) at \(x_2\) ay mga ugat ng parehong equation).
Halimbawa, isaalang-alang ang trinomial \(3x^2+13x-10\).
Ang quadratic equation \(3x^2+13x-10=0\) ay may discriminant na katumbas ng 289 (higit sa zero) at mga ugat na katumbas ng \(-5\) at \(\frac(2)(3)\) . Samakatuwid \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Madaling i-verify ang kawastuhan ng pahayag na ito - kung tayo , pagkatapos ay makukuha natin ang orihinal na trinomial.
Ang square trinomial \(ax^2+bx+c\) ay maaaring katawanin bilang \(a(x-x_1)^2\) kung ang discriminant ng equation \(ax^2+bx+c=0\) ay sero.
Halimbawa, isaalang-alang ang trinomial \(x^2+6x+9\).Ang quadratic equation \(x^2+6x+9=0\) ay may discriminant na katumbas ng \(0\) at isang natatanging ugat na katumbas ng \(-3\). Nangangahulugan ito na \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (dito ang coefficient ay \(a=1\), kaya hindi ito nakasulat bago ang bracket - hindi na kailangan). Pakitandaan na ang parehong conversion ay maaaring gawin ng .
Ang square trinomial \(ax^2+bx+c\) ay hindi naka-factor kung ang discriminant ng equation \(ax^2+bx+c=0\) ay mas mababa sa zero.
Halimbawa, ang mga trinomyal na \(x^2+x+4\) at \(-5x^2+2x-1\) ay may discriminant na mas mababa sa zero. Samakatuwid, imposibleng i-factor ang mga ito.
Halimbawa
. Factor \(2x^2-11x+12\).
Solusyon
:
Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Kaya, \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
Sagot
: \(2(x-1.5)(x-4)\)
Ang resultang sagot ay maaaring isulat sa ibang paraan: \((2x-3)(x-4)\).
Halimbawa
. (Assignment mula sa OGE) Ang square trinomial ay naka-factor \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Hanapin ang \(a\).
Solusyon:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1.6)\)
Sagot
: \(-1,6\)
Kinakailangang i-factor ang mga polynomial kapag pinasimple ang mga expression (upang maisagawa ang pagbabawas), kapag nilulutas ang mga equation, o kapag nabubulok ang isang fractionally rational function sa mga simpleng fraction.
Makatuwirang pag-usapan ang tungkol sa pag-factor ng polynomial kung ang antas nito ay hindi mas mababa sa dalawa.
Ang isang polynomial ng unang antas ay tinatawag linear.
Isaalang-alang muna natin ang mga teoretikal na pundasyon, pagkatapos ay direktang lumipat sa mga pamamaraan ng pag-factor ng isang polynomial.
Pag-navigate sa pahina.
Kinakailangang teorya.
Teorama.
Anumang polynomial ng degree n uri ay kinakatawan ng produkto ng isang pare-parehong kadahilanan sa pinakamataas na kapangyarihan at n linear multiplier, i=1, 2, …, n, iyon ay, at, i=1, 2, …, n ay ang mga ugat ng polynomial.
Ang teorama na ito ay binuo para sa mga kumplikadong ugat, i=1, 2, …, n at mga kumplikadong coefficient, k=0, 1, 2, …, n. Ito ang batayan para sa pagsasaliksik ng anumang polynomial.
Kung ang mga coefficients k=0, 1, 2, …, n ay tunay na mga numero, kung gayon ang mga kumplikadong ugat ng polynomial ay DAPAT mangyari sa mga kumplikadong pares ng conjugate.
Halimbawa, kung ang mga ugat ng polynomial ay kumplikadong conjugate, at ang natitirang mga ugat ay totoo, kung gayon ang polynomial ay kakatawanin sa anyo , kung saan
Magkomento.
Kabilang sa mga ugat ng isang polynomial ay maaaring may mga umuulit.
Ang patunay ng theorem ay isinasagawa gamit ang pangunahing teorama ng algebra At corollaries ng Bezout's theorem.
Pangunahing teorama ng algebra.
Anumang polynomial ng degree n ay may hindi bababa sa isang ugat (kumplikado o tunay).
Ang teorama ni Bezout.
Kapag hinahati ang isang polynomial sa (x-s) ang natitira ay nakuha katumbas ng halaga polynomial sa isang punto s, iyon ay, kung saan mayroong polynomial ng degree n-1.
Corollary sa teorama ni Bezout.
Kung s ay ang ugat ng polynomial, kung gayon .
Gagamitin namin ang corollary na ito nang madalas kapag naglalarawan ng mga solusyon sa mga halimbawa.
Pag-factor ng isang quadratic trinomial.
Ang square trinomial ay nabubulok sa dalawang linear na salik: , kung saan at mga ugat (kumplikado o tunay).
Kaya, ang factoring ng isang quadratic trinomial ay binabawasan sa paglutas ng isang quadratic equation.
Halimbawa.
I-factor ang isang quadratic trinomial.
Solusyon.
Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation 
.
Ang discriminant ng equation ay pantay, samakatuwid, 
kaya, 
.
Upang suriin, maaari mong palawakin ang mga bracket: . Nang suriin, dumating kami sa orihinal na trinomial, kaya tama ang pagkabulok.
Halimbawa.
Solusyon.
Kaugnay quadratic equation parang 
.
Hanapin natin ang mga ugat nito. 
kaya lang, 
.
Halimbawa.
I-factor ang polynomial.
Solusyon.
Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation. 
Nakuha namin ang isang pares ng kumplikadong conjugate roots.
Ang pagpapalawak ng polynomial ay magkakaroon ng anyo 
.
Halimbawa.
I-factor ang quadratic trinomial.
Solusyon.
Lutasin natin ang isang quadratic equation 
.
kaya lang, 
Komento:
Sa mga sumusunod, na may negatibong diskriminasyon, iiwan namin ang mga pangalawang-order na polynomial sa kanilang orihinal na anyo, iyon ay, hindi namin ibubulok ang mga ito sa mga linear na kadahilanan na may mga kumplikadong libreng termino.
Mga pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial ng degree na mas mataas sa dalawa.
Sa pangkalahatan, kasama sa gawaing ito pagkamalikhain, dahil walang unibersal na pamamaraan para sa paglutas nito. Ngunit subukan nating magbigay ng ilang mga tip.
Sa napakaraming kaso, ang factorization ng isang polynomial ay batay sa isang corollary ng Bezout's theorem, iyon ay, ang ugat ay matatagpuan o napili at ang antas ng polynomial ay nababawasan ng isa sa pamamagitan ng paghahati ng . Ang ugat ng nagresultang polynomial ay hinahanap at ang proseso ay paulit-ulit hanggang sa kumpletong pagpapalawak.
Kung hindi matagpuan ang ugat, gagamitin ang mga partikular na paraan ng pagpapalawak: mula sa pagpapangkat hanggang sa pagpapakilala ng mga karagdagang terminong magkapareho.
Ang karagdagang pagtatanghal ay batay sa mga kasanayang may integer coefficient.
Bracketing out ang karaniwang kadahilanan.
Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso, kapag ang libreng termino ay katumbas ng zero, iyon ay, ang polynomial ay may anyo .
Malinaw, ang ugat ng naturang polynomial ay , iyon ay, maaari nating katawanin ang polynomial sa anyo .
Ang pamamaraang ito ay walang iba kundi paglalagay ng karaniwang salik sa labas ng mga bracket.
Halimbawa.
I-factor ang isang third degree polynomial.
Solusyon.
Malinaw, kung ano ang ugat ng polynomial, iyon ay X maaaring alisin sa mga bracket:
Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic trinomial 
kaya, 
Pag-factor ng isang polynomial na may makatwirang mga ugat.
Una, isaalang-alang natin ang isang paraan para sa pagpapalawak ng polynomial na may integer coefficients ng form , ang coefficient ng pinakamataas na degree ay katumbas ng isa.
Sa kasong ito, kung ang isang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay mga divisors ng libreng termino.
Halimbawa.
Solusyon.
Suriin natin kung may mga buo na ugat. Upang gawin ito, isulat ang mga divisors ng numero -18
: . Iyon ay, kung ang isang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay kabilang sa mga nakasulat na numero. Suriin natin ang mga numerong ito nang sunud-sunod gamit ang scheme ni Horner. Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay din sa katotohanan na sa huli ay nakukuha natin ang mga expansion coefficient ng polynomial: 
Ibig sabihin, x=2 At x=-3 ay ang mga ugat ng orihinal na polynomial at maaari nating katawanin ito bilang isang produkto:
Ito ay nananatiling palawakin ang quadratic trinomial.
Ang discriminant ng trinomial na ito ay negatibo, kaya wala itong tunay na ugat.
Sagot:
Komento:
sa halip na pamamaraan ni Horner, maaaring gamitin ng isa ang pagpili ng ugat at kasunod na dibisyon ng polynomial sa pamamagitan ng isang polynomial.
Ngayon isaalang-alang ang pagpapalawak ng isang polynomial na may integer coefficients ng form , at ang coefficient ng pinakamataas na degree ay hindi katumbas ng isa.
Sa kasong ito, ang polynomial ay maaaring magkaroon ng fractionally rational na mga ugat.
Halimbawa.
I-factor ang expression.
Solusyon.
Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng variable na pagbabago y=2x, lumipat tayo sa isang polynomial na may coefficient na katumbas ng isa sa pinakamataas na degree. Upang gawin ito, i-multiply muna ang expression sa pamamagitan ng 4
.
Kung ang resultang function ay may mga integer na ugat, kung gayon sila ay kabilang sa mga divisors ng libreng termino. Isulat natin ang mga ito:
Sunud-sunod nating kalkulahin ang mga halaga ng function g(y) sa mga puntong ito hanggang sa maabot ang zero. 
Ibig sabihin, y=-5 ay ang ugat 
, samakatuwid, ay ang ugat ng orihinal na function. Hatiin natin ang polynomial sa pamamagitan ng isang column (sulok) sa isang binomial. 
kaya, 
Hindi ipinapayong ipagpatuloy ang pagsuri sa mga natitirang divisors, dahil mas madaling i-factor ang resultang quadratic trinomial 
Kaya naman, 
Mga artipisyal na pamamaraan para sa pag-factor ng polynomial.
Ang mga polynomial ay hindi palaging may makatwirang ugat. Sa kasong ito, kapag ang factoring, kailangan mong maghanap ng mga espesyal na pamamaraan. Ngunit, gaano man natin gusto, ang ilang polynomial (o sa halip ang karamihan) ay hindi maaaring katawanin bilang isang produkto.
Paraan ng pagpapangkat.
Minsan lumalabas na igrupo ang mga tuntunin ng isang polynomial, na nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng isang karaniwang kadahilanan at alisin ito sa mga bracket.
Halimbawa.
Palawakin ang polynomial 
sa pamamagitan ng multipliers.
Solusyon.
Dahil ang mga coefficient ay mga integer, maaaring mayroong mga integer na ugat sa mga divisors ng libreng termino. Suriin natin ang mga halaga 1
, -1
, 2
At -2
, pagkalkula ng halaga ng polynomial sa mga puntong ito. 
Ibig sabihin, walang buong ugat. Maghanap tayo ng ibang paraan ng pagkabulok.
Mag grupo tayo: 
Pagkatapos ng pagpapangkat, ang orihinal na polynomial ay kinakatawan bilang produkto ng dalawang square trinomial. Factor natin sila. 
Upang ma-factorize, kinakailangan na gawing simple ang mga expression. Ito ay kinakailangan upang ito ay higit na mabawasan. Ang pagpapalawak ng isang polynomial ay may katuturan kapag ang antas nito ay hindi mas mababa sa dalawa. Ang polynomial na may unang degree ay tinatawag na linear.
Sasaklawin ng artikulo ang lahat ng mga konsepto ng agnas, mga teoretikal na pundasyon at mga pamamaraan ng pag-factor ng polynomial.
Teorya
Teorama 1Kapag ang anumang polynomial na may degree n, pagkakaroon ng form na P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, ay kinakatawan bilang isang produkto na may pare-parehong salik na may pinakamataas na antas a n at n linear na salik (x - x i), i = 1, 2, ..., n, pagkatapos ay P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kung saan ang x i, i = 1, 2, …, n ay ang mga ugat ng polynomial.
Ang theorem ay inilaan para sa mga ugat ng kumplikadong uri x i, i = 1, 2, …, n at para sa mga kumplikadong coefficient a k, k = 0, 1, 2, …, n. Ito ang batayan ng anumang pagkabulok.
Kapag ang mga koepisyent ng anyong a k, k = 0, 1, 2, …, n ay tunay na mga numero, pagkatapos ay kumplikadong mga ugat na magaganap sa mga pares ng conjugate. Halimbawa, ang mga ugat x 1 at x 2 na nauugnay sa isang polynomial ng anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . Ang + a 1 x + a 0 ay itinuturing na kumplikadong conjugate, kung gayon ang iba pang mga ugat ay totoo, kung saan nakuha natin na ang polynomial ay nasa anyong P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kung saan x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Magkomento
Ang mga ugat ng isang polynomial ay maaaring ulitin. Isaalang-alang natin ang patunay ng algebra theorem, isang kinahinatnan ng Bezout's theorem.
Pangunahing teorama ng algebra
Teorama 2Anumang polynomial na may degree n ay may hindi bababa sa isang ugat.
Ang teorama ni Bezout
Pagkatapos hatiin ang polynomial ng anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s), pagkatapos ay makuha namin ang natitira, na katumbas ng polynomial sa punto s, pagkatapos ay makuha namin
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kung saan ang Q n - 1 (x) ay isang polynomial na may degree n - 1.
Corollary sa teorama ni Bezout
Kapag ang ugat ng polynomial na P n (x) ay itinuturing na s, pagkatapos ay P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Ang kaakibat na ito ay sapat kapag ginamit upang ilarawan ang solusyon.
Pag-factor ng isang quadratic trinomial
Ang isang parisukat na trinomial ng anyong a x 2 + b x + c ay maaaring i-factor sa mga linear na salik. pagkatapos ay makuha natin na a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kung saan ang x 1 at x 2 ay mga ugat (kumplikado o tunay).
Ipinapakita nito na ang pagpapalawak mismo ay bumababa sa paglutas ng quadratic equation pagkatapos.
Halimbawa 1
I-factor ang quadratic trinomial.
Solusyon
Kinakailangang hanapin ang mga ugat ng equation na 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang formula, pagkatapos ay makuha namin ang D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Mula dito mayroon tayo niyan
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Mula dito nakukuha natin na 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Upang maisagawa ang tseke, kailangan mong buksan ang mga panaklong. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pagpapahayag ng form:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Pagkatapos suriin, dumating kami sa orihinal na expression. Iyon ay, maaari nating tapusin na ang agnas ay ginawa nang tama.
Halimbawa 2
I-factor ang quadratic trinomial ng anyong 3 x 2 - 7 x - 11 .
Solusyon
Nalaman namin na kinakailangan upang kalkulahin ang nagresultang quadratic equation ng form na 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Upang mahanap ang mga ugat, kailangan mong matukoy ang halaga ng discriminant. Nakukuha namin iyon
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Mula dito makuha natin na 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Halimbawa 3
I-factor ang polynomial 2 x 2 + 1.
Solusyon
Ngayon kailangan nating lutasin ang quadratic equation 2 x 2 + 1 = 0 at hanapin ang mga ugat nito. Nakukuha namin iyon
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ang mga ugat na ito ay tinatawag na kumplikadong conjugate, na nangangahulugang ang pagpapalawak mismo ay maaaring ilarawan bilang 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Halimbawa 4
I-decompose ang quadratic trinomial x 2 + 1 3 x + 1 .
Solusyon
Una kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation ng form na x 2 + 1 3 x + 1 = 0 at hanapin ang mga ugat nito.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Ang pagkakaroon ng nakuha ang mga ugat, sumulat kami
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Magkomento
Kung negatibo ang discriminant value, mananatiling second-order polynomial ang mga polynomial. Ito ay sumusunod mula dito na hindi namin palawakin ang mga ito sa mga linear na kadahilanan.
Mga pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial ng degree na mas mataas sa dalawa
Kapag nabubulok, ipinapalagay ang isang unibersal na pamamaraan. Karamihan sa lahat ng mga kaso ay batay sa isang corollary ng Bezout's theorem. Upang gawin ito, kailangan mong piliin ang halaga ng root x 1 at bawasan ang antas nito sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa 1 sa pamamagitan ng paghahati ng (x - x 1). Ang resultang polynomial ay kailangang mahanap ang root x 2, at ang proseso ng paghahanap ay cyclical hanggang sa makuha namin ang kumpletong pagpapalawak.
Kung ang ugat ay hindi natagpuan, kung gayon ang iba pang mga paraan ng factorization ay ginagamit: pagpapangkat, karagdagang mga termino. Ang paksang ito ay nagsasangkot ng paglutas ng mga equation na may mas matataas na kapangyarihan at integer coefficient.
Inalis ang karaniwang salik sa mga bracket
Isaalang-alang ang kaso kapag ang libreng termino ay katumbas ng zero, kung gayon ang anyo ng polynomial ay magiging P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + isang 1 x .
Makikita na ang ugat ng naturang polynomial ay magiging katumbas ng x 1 = 0, kung gayon ang polynomial ay maaaring katawanin bilang expression P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ang pamamaraang ito ay itinuturing na inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.
Halimbawa 5
I-factor ang third degree polynomial 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Solusyon
Nakita natin na ang x 1 = 0 ay ang ugat ng binigay na polynomial, pagkatapos ay maaari nating alisin ang x mula sa mga bracket ng buong expression. Nakukuha namin:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga ugat ng square trinomial 4 x 2 + 8 x - 1. Hanapin natin ang discriminant at ugat:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Pagkatapos ay sinundan iyon
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Upang magsimula, isaalang-alang natin ang isang paraan ng agnas na naglalaman ng mga coefficient ng integer ng form na P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kung saan ang coefficient ng pinakamataas na degree ay 1.
Kapag ang isang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon ang mga ito ay itinuturing na mga divisors ng libreng termino.
Halimbawa 6
I-decompose ang expression na f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Solusyon
Isaalang-alang natin kung mayroong kumpletong mga ugat. Kinakailangan na isulat ang mga divisors ng numero - 18. Nakukuha natin iyon ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Ito ay sumusunod na ang polynomial na ito ay may mga integer na ugat. Maaari mong suriin gamit ang pamamaraan ni Horner. Ito ay napaka-maginhawa at nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na makuha ang mga koepisyent ng pagpapalawak ng isang polynomial:
Kasunod nito na ang x = 2 at x = - 3 ay ang mga ugat ng orihinal na polynomial, na maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng anyo:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Nagpapatuloy kami sa pagpapalawak ng isang quadratic trinomial ng form x 2 + 2 x + 3.
Dahil negatibo ang discriminant, nangangahulugan ito na walang tunay na ugat.
Sagot: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Magkomento
Pinapayagan na gumamit ng pagpili ng ugat at paghahati ng isang polynomial sa pamamagitan ng isang polynomial sa halip ng scheme ni Horner. Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa pagpapalawak ng isang polynomial na naglalaman ng integer coefficients ng form na P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , ang pinakamataas nito ay katumbas ng isa.
Ang kasong ito ay nangyayari para sa mga rational fraction.
Halimbawa 7
I-factor ang f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Solusyon
Kinakailangang palitan ang variable na y = 2 x, dapat kang magpatuloy sa isang polynomial na may mga coefficient na katumbas ng 1 sa pinakamataas na antas. Kailangan mong magsimula sa pamamagitan ng pagpaparami ng expression sa 4. Nakukuha namin iyon
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kapag ang resultang function ng form na g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ay may mga integer na ugat, kung gayon ang kanilang lokasyon ay kabilang sa mga divisors ng libreng termino. Magiging ganito ang entry:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng function g (y) sa mga puntong ito upang makakuha ng zero bilang resulta. Nakukuha namin iyon
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Nalaman namin na ang y = - 5 ay ang ugat ng isang equation ng anyong y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, na nangangahulugang x = y 2 = - 5 2 ay ang ugat ng orihinal na function.
Halimbawa 8
Kinakailangang hatiin sa isang hanay na 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sa x + 5 2.
Solusyon
Isulat natin ito at kunin:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Ang pagsuri sa mga divisors ay aabutin ng maraming oras, kaya mas kapaki-pakinabang na i-factor ang resultang quadratic trinomial ng form x 2 + 7 x + 3. Sa pamamagitan ng equating sa zero, makikita natin ang discriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Sinusundan nito iyon
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Mga artipisyal na pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial
Ang mga makatwirang ugat ay hindi likas sa lahat ng polynomial. Upang gawin ito kailangan mong gamitin sa mga espesyal na paraan upang mahanap ang mga kadahilanan. Ngunit hindi lahat ng polynomial ay maaaring palawakin o kinakatawan bilang isang produkto.
Paraan ng pagpapangkat
May mga pagkakataon na maaari mong pangkatin ang mga tuntunin ng isang polynomial upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan at ilagay ito sa mga bracket.
Halimbawa 9
I-factor ang polynomial x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Solusyon
Dahil ang mga coefficient ay mga integer, kung gayon ang mga ugat ay maaari ding maging integer. Upang suriin, kunin ang mga halaga 1, - 1, 2 at - 2 upang makalkula ang halaga ng polynomial sa mga puntong ito. Nakukuha namin iyon
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Ito ay nagpapakita na walang mga ugat na kinakailangan na gumamit ng isa pang paraan ng pagpapalawak at solusyon.
Ito ay kinakailangan upang pangkatin:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Pagkatapos pagpangkatin ang orihinal na polynomial, kailangan mong katawanin ito bilang produkto ng dalawang square trinomial. Para magawa ito, kailangan nating i-factorize. nakukuha natin yan
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Magkomento
Ang pagiging simple ng pagpapangkat ay hindi nangangahulugan na ang pagpili ng mga termino ay sapat na madali. Walang tiyak na paraan ng solusyon, kaya kinakailangan na gumamit ng mga espesyal na theorems at panuntunan.
Halimbawa 10
I-factor ang polynomial x 4 + 3 x 3 - x 2-4 x + 2 .
Solusyon
Ang ibinigay na polynomial ay walang integer na ugat. Ang mga tuntunin ay dapat igrupo. Nakukuha namin iyon
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Pagkatapos ng factorization makuha namin iyon
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Paggamit ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon at binomial ni Newton upang i-factor ang isang polynomial
Ang hitsura ay madalas na hindi palaging ginagawang malinaw kung aling paraan ang dapat gamitin sa panahon ng agnas. Matapos magawa ang mga pagbabagong-anyo, maaari kang bumuo ng isang linya na binubuo ng tatsulok ng Pascal, kung hindi man ay tinatawag silang binomial ng Newton.
Halimbawa 11
I-factor ang polynomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Solusyon
Kinakailangang i-convert ang expression sa form
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Ang pagkakasunod-sunod ng mga coefficient ng kabuuan sa mga panaklong ay ipinahiwatig ng expression na x + 1 4 .
Nangangahulugan ito na mayroon tayong x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Pagkatapos ilapat ang pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Isaalang-alang ang expression na nasa pangalawang bracket. Malinaw na walang mga knight doon, kaya dapat nating ilapat muli ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat. Nakukuha namin ang isang expression ng form
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Halimbawa 12
I-factor ang x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Solusyon
Ibahin natin ang ekspresyon. Nakukuha namin iyon
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Kinakailangang ilapat ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga cube. Nakukuha namin:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Isang paraan para sa pagpapalit ng variable kapag nagfa-factor ng polynomial
Kapag pinapalitan ang isang variable, ang antas ay nababawasan at ang polynomial ay nai-factor.
Halimbawa 13
I-factor ang polynomial ng anyong x 6 + 5 x 3 + 6 .
Solusyon
Ayon sa kondisyon, malinaw na kailangang gawin ang kapalit na y = x 3. Nakukuha namin:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Ang mga ugat ng nagresultang quadratic equation ay y = - 2 at y = - 3, pagkatapos
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Kinakailangang ilapat ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng kabuuan ng mga cube. Nakukuha namin ang mga expression ng form:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Iyon ay, nakuha namin ang nais na agnas.
Ang mga kaso na tinalakay sa itaas ay makakatulong sa pagsasaalang-alang at pag-factor ng polynomial sa iba't ibang paraan.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
8 mga halimbawa ng factoring polynomials ang ibinigay. Kasama sa mga ito ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic at biquadratic na equation, mga halimbawa ng reciprocal polynomial, at mga halimbawa ng paghahanap ng integer roots ng third- at fourth-degree polynomial.
Nilalaman
Tingnan din ang: Mga pamamaraan para sa pag-factor ng polynomial
Mga ugat ng isang quadratic equation
Paglutas ng mga cubic equation
1. Mga halimbawa sa paglutas ng isang quadratic equation
Halimbawa 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Inilabas namin ang x 2
sa labas ng mga bracket:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .
.
Halimbawa 1.2
I-factor ang third degree polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Alisin natin ang x sa mga bracket:
.
Paglutas ng quadratic equation x 2 + 6 x + 9 = 0:
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant ay zero, ang mga ugat ng equation ay multiple: ;
.
Mula dito nakukuha natin ang factorization ng polynomial:
.
Halimbawa 1.3
I-factor ang fifth degree polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Inilabas namin ang x 3
sa labas ng mga bracket:
.
Paglutas ng quadratic equation x 2 - 2 x + 10 = 0.
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero, ang mga ugat ng equation ay kumplikado: ;
, .
Ang factorization ng polynomial ay may anyo:
.
Kung interesado tayo sa factorization na may totoong coefficients, kung gayon:
.
Mga halimbawa ng factoring polynomial gamit ang mga formula
Mga halimbawa na may biquadratic polynomial
Halimbawa 2.1
I-factor ang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.
Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Halimbawa 2.2
I-factor ang polynomial na bumababa sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.
Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Halimbawa 2.3 na may paulit-ulit na polynomial
I-factor ang reciprocal polynomial:
.
Ang isang reciprocal polynomial ay may kakaibang antas. Samakatuwid ito ay may ugat x = - 1
. Hatiin ang polynomial sa x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;
;
.
Bilang resulta, nakukuha namin ang:
Gumawa tayo ng pagpapalit:
Mga halimbawa ng factoring polynomial na may mga integer na ugat
.
Halimbawa 3.1
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
Salik ang polynomial:;
Ipagpalagay natin na ang equation;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Kaya, natagpuan namin ang tatlong ugat:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa ikatlong antas, ito ay hindi hihigit sa tatlong mga ugat. Dahil nakakita kami ng tatlong ugat, simple lang sila. Pagkatapos
.
Halimbawa 3.2
Mga halimbawa ng factoring polynomial na may mga integer na ugat
.
Halimbawa 3.1
ay may kahit isang buong ugat. Pagkatapos ito ay isang divisor ng numero 2
(miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
-2, -1, 1, 2
.
Isa-isa naming pinapalitan ang mga halagang ito:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.
Kaya, nakakita kami ng isang ugat:
x 1 = -1
.
Hatiin ang polynomial sa x - x 1 = x - (-1) = x + 1:
pagkatapos,
.
Ngayon kailangan nating lutasin ang ikatlong antas na equation:
.
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2
(miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2
.
Palitan natin ang x = -1
:
.
Kaya, nakahanap kami ng isa pang ugat x 2
= -1
.
.
Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit ipapangkat namin ang mga termino:
Ang square trinomial ay maaaring i-factor tulad ng sumusunod:
A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)
kung saan ang a ay isang numero, isang coefficient bago ang nangungunang coefficient,
x – variable (i.e. letra),
Ang x 1 at x 2 ay mga numero, mga ugat ng quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, na matatagpuan sa pamamagitan ng discriminant.
Kung ang isang quadratic equation ay may isang ugat lamang, ang pagpapalawak ay ganito ang hitsura:
a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2
- Mga halimbawa ng factoring ng isang quadratic trinomial:
− x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
- − x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)
− x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2
- Kung ang quadratic trinomial ay hindi kumpleto (b = 0 o c = 0), maaari itong mai-factor sa mga sumusunod na paraan:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)
b = 0 ⇒ ilapat ang pinaikling pormula ng pagpaparami para sa pagkakaiba ng mga parisukat.
Mga gawain para sa malayang solusyon
Solusyon:
No. 1. Ang square trinomial ay naka-factor: x 2 + 6 x − 27 = (x + 9) (x − a) . Maghanap ng a.
Una kailangan mong i-equate ang quadratic trinomial sa zero upang mahanap ang x 1 at x 2.
x 2 + 6 x − 27 = 0
a = 1, b = 6, c = − 27
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144
D > 0 ay nangangahulugang magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9
Alam ang mga ugat, isinasali namin ang quadratic trinomial:
x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)
Solusyon:
No. 2. Ang equation x 2 + p x + q = 0 ay may mga ugat − 5; 7. Hanapin q.(kailangan mong malaman kung paano i-factor ang isang quadratic trinomial)
Kung ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng square trinomial a x 2 + b x + c, maaari itong mai-factor gaya ng sumusunod: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .
Dahil sa isang ibinigay na quadratic trinomial ang nangungunang koepisyent (ang salik sa harap ng x 2) ay katumbas ng isa, ang pagpapalawak ay ang mga sumusunod:
x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35
x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35
Paraan 2: (kailangan mong malaman ang teorama ni Vieta)
Ang teorama ni Vieta:
Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic trinomial x 2 + p x + q ay katumbas ng pangalawang coefficient nito na p na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ay ang libreng terminong q.
( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q
q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.
Naglo-load...
