Sa pinakadulo simula ng artikulong ito, sinuri namin ang konsepto ng trigonometriko function. Ang kanilang pangunahing layunin ay pag-aralan ang mga pangunahing kaalaman ng trigonometrya at pag-aralan ang mga pana-panahong proseso. At hindi walang kabuluhan na iginuhit namin ang trigonometriko na bilog, dahil sa karamihan ng mga kaso ang mga function ng trigonometriko ay tinukoy bilang ratio ng mga gilid ng isang tatsulok o ang ilang mga segment nito sa isang bilog na yunit. Binanggit ko rin ang hindi maikakailang napakalaking kahalagahan ng trigonometrya modernong buhay. Ngunit ang agham ay hindi tumitigil, bilang isang resulta maaari naming makabuluhang palawakin ang saklaw ng trigonometrya at ilipat ang mga probisyon nito sa tunay at kung minsan ay kumplikadong mga numero.
Mga formula ng trigonometrya Mayroong ilang mga uri. Tingnan natin ang mga ito sa pagkakasunud-sunod.
Mga ratio ng trigonometric function ng parehong anggulo
Pagpapahayag ng mga function ng trigonometriko sa bawat isa
(Ang pagpili ng tanda sa harap ng ugat ay tinutukoy ng alin sa mga quarter ng bilog na kinaroroonan ng sulok?)
Ang mga sumusunod ay ang mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga anggulo:
Mga formula para sa doble, triple at kalahating anggulo.
Pansinin ko na lahat sila ay nagmula sa mga nakaraang formula.
Mga formula para sa pag-convert ng mga trigonometrikong expression:
Dito natin isasaalang-alang ang gayong konsepto bilang basic trigonometriko pagkakakilanlan .
Ang pagkakakilanlan ng trigonometric ay isang pagkakapantay-pantay na binubuo ng mga ugnayang trigonometriko at na nagtataglay para sa lahat ng mga halaga ng mga anggulo na kasama dito.
Tingnan natin ang pinakamahalagang trigonometric na pagkakakilanlan at ang kanilang mga patunay:
Ang unang pagkakakilanlan ay sumusunod mula sa mismong kahulugan ng tangent.
Kumuha ng tamang tatsulok na may matinding anggulo x sa vertex A.
Upang patunayan ang mga pagkakakilanlan, kailangan mong gamitin ang Pythagorean theorem:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Ngayon hinati natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (AB) 2 at pag-alala sa mga kahulugan ng kasalanan at cos anggulo, nakuha natin ang pangalawang pagkakakilanlan:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sin x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
kasalanan 2 x + cos 2 x = 1
Upang patunayan ang ikatlo at ikaapat na pagkakakilanlan, gagamitin natin ang naunang patunay.
Upang gawin ito, hatiin ang magkabilang panig ng pangalawang pagkakakilanlan sa pamamagitan ng cos 2 x:
sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Batay sa unang pagkakakilanlan tg x = sin x /cos x nakukuha natin ang pangatlo:
1 + tan 2 x = 1/cos 2 x
Ngayon, hatiin natin ang pangalawang pagkakakilanlan sa kasalanan 2 x:
sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x ay hindi hihigit sa 1/tg 2 x, kaya nakuha natin ang ikaapat na pagkakakilanlan:
1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x
Oras na para alalahanin ang sum theorem mga panloob na sulok tatsulok, na nagsasaad na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok = 180 0. Lumalabas na sa vertex B ng tatsulok ay mayroong isang anggulo na ang halaga ay 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.
Ating alalahanin muli ang mga kahulugan para sa kasalanan at cos at makuha ang ikalima at ikaanim na pagkakakilanlan:
sin x = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = sin x
Ngayon gawin natin ang sumusunod:
cos x = (AC)/(AB)
kasalanan(90 0 – x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 – x) = cos x
As you can see, elementary lahat dito.
Mayroong iba pang mga pagkakakilanlan na ginagamit sa paglutas ng mga mathematical na pagkakakilanlan, bibigyan ko sila ng simple sa anyo impormasyon sa sanggunian, dahil lahat sila ay nagmula sa itaas.
kasalanan 2x =2sin x*cos x
cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1
tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x =3sin x - 4sin 3 x
cos3х =4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)
Ang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometric function - sine, cosine, tangent at cotangent - ay tinukoy mga formula ng trigonometriko. At dahil napakaraming koneksyon sa pagitan ng mga function ng trigonometriko, ipinapaliwanag nito ang kasaganaan ng mga formula ng trigonometriko. Ang ilang mga formula ay kumonekta sa mga function ng trigonometriko ng parehong anggulo, ang iba - mga function ng isang maramihang anggulo, ang iba pa - nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang antas, ika-apat - ipahayag ang lahat ng mga function sa pamamagitan ng tangent ng kalahating anggulo, atbp.
Sa artikulong ito ilista namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng pangunahing mga formula ng trigonometriko, na sapat upang malutas ang karamihan ng mga problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng pagsasaulo at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito ayon sa layunin at ilalagay ang mga ito sa mga talahanayan.
Pag-navigate sa pahina.
Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko
Mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko tukuyin ang ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo. Sinusundan nila ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, pati na rin ang konsepto ng unit circle. Pinapayagan ka nitong ipahayag ang isang trigonometric function sa mga tuntunin ng anumang iba pa.
Para sa isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang hinango at mga halimbawa ng aplikasyon, tingnan ang artikulo.
Mga formula ng pagbabawas
Mga formula ng pagbabawas sundin mula sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent, iyon ay, sinasalamin nila ang pag-aari ng periodicity ng mga function ng trigonometriko, ang pag-aari ng simetrya, pati na rin ang pag-aari ng paglilipat ng isang naibigay na anggulo. Binibigyang-daan ka ng mga trigonometrikong formula na ito na lumipat mula sa pagtatrabaho sa mga di-makatwirang anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula sa zero hanggang 90 degrees.
Ang katwiran para sa mga formula na ito, isang mnemonic na panuntunan para sa pagsasaulo ng mga ito at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring pag-aralan sa artikulo.
Mga formula ng karagdagan
Mga formula sa pagdaragdag ng trigonometric ipakita kung paano ipinahahayag ang mga trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng mga anggulong iyon. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para makuha ang mga sumusunod na trigonometric formula.
Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo
Mga formula para sa doble, triple, atbp. anggulo (tinatawag din silang mga formula ng maramihang anggulo) ay nagpapakita kung paano gumagana ang trigonometriko ng doble, triple, atbp. ang mga anggulo () ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometric function ng isang solong anggulo. Ang kanilang derivation ay batay sa mga formula ng karagdagan.
Ang mas detalyadong impormasyon ay kinokolekta sa mga formula ng artikulo para sa doble, triple, atbp. anggulo
Mga formula ng kalahating anggulo
Mga formula ng kalahating anggulo ipakita kung paano ipinahayag ang mga function ng trigonometriko ng kalahating anggulo sa mga tuntunin ng cosine ng isang buong anggulo. Ang mga trigonometrikong formula na ito ay sumusunod mula sa mga formula ng dobleng anggulo.
Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay matatagpuan sa artikulo.
Mga formula ng pagbabawas ng degree
Trigonometric formula para sa pagbabawas ng mga degree ay nilayon upang mapadali ang paglipat mula sa natural na grado trigonometriko function sa mga sine at cosine sa unang antas, ngunit maramihang mga anggulo. Sa madaling salita, pinapayagan ka nitong bawasan ang mga kapangyarihan ng trigonometric function sa una.
Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function
Pangunahing layunin mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng trigonometriko function ay upang pumunta sa produkto ng mga function, na kung saan ay lubhang kapaki-pakinabang kapag pinasimple ang trigonometriko expression. Ang mga formula na ito ay malawak ding ginagamit sa paglutas ng mga trigonometric equation, dahil pinapayagan ka nitong i-factor ang kabuuan at pagkakaiba ng mga sine at cosine.
Mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine
Ang paglipat mula sa produkto ng trigonometriko function sa isang kabuuan o pagkakaiba ay isinasagawa gamit ang mga formula para sa produkto ng mga sine, cosine at sine sa pamamagitan ng cosine.
Copyright ng mga matalinong mag-aaral
Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kasama ang panloob na materyales At panlabas na disenyo, ay hindi maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.
Sa artikulong ito ay titingnan natin ang isang komprehensibong pagtingin. Ang mga pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, at nagpapahintulot sa isa na mahanap ang alinman sa mga trigonometrikong function na ito sa pamamagitan ng isang kilalang iba.
Ilista natin agad ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na ating susuriin sa artikulong ito. Isulat natin ang mga ito sa isang talahanayan, at sa ibaba ay ibibigay natin ang output ng mga formula na ito at ibibigay ang mga kinakailangang paliwanag.
Pag-navigate sa pahina.
Relasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang anggulo
Minsan hindi nila pinag-uusapan ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na nakalista sa talahanayan sa itaas, ngunit tungkol sa isang solong pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan mabait 
. Ang paliwanag para sa katotohanang ito ay medyo simple: ang mga pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan pagkatapos na hatiin ang parehong mga bahagi nito ayon sa at ayon sa pagkakabanggit, at ang mga pagkakapantay-pantay. 
At 
sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pag-uusapan natin ito nang mas detalyado sa mga sumusunod na talata.
Iyon ay, ito ay ang pagkakapantay-pantay na partikular na interes, na binigyan ng pangalan ng pangunahing trigonometric identity.
Bago patunayan ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, ibinibigay namin ang pagbabalangkas nito: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay magkaparehong katumbas ng isa. Ngayon patunayan natin.
Ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan ay madalas na ginagamit kapag pag-convert ng mga trigonometrikong expression. Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo na mapalitan ng isa. Hindi mas madalas, ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan ay ginagamit sa reverse order: ang yunit ay pinalitan ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng anumang anggulo.
Tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine
Mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent na may sine at cosine ng isang anggulo ng view at 
sundin kaagad mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng y, ang cosine ay ang abscissa ng x, ang tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, 
, at ang cotangent ay ang ratio ng abscissa sa ordinate, iyon ay, 
.
Salamat sa gayong kaliwanagan ng mga pagkakakilanlan at Ang tangent at cotangent ay madalas na tinutukoy hindi sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sine at cosine. Kaya ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine sa cosine ng anggulong ito, at ang cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine.
Sa pagtatapos ng puntong ito, dapat tandaan na ang mga pagkakakilanlan at magaganap para sa lahat ng mga anggulo kung saan may katuturan ang mga trigonometrikong function na kasama sa mga ito. Kaya't ang formula ay wasto para sa anumang , maliban sa (kung hindi, ang denominator ay magkakaroon ng zero, at hindi namin tinukoy ang dibisyon sa pamamagitan ng zero), at ang formula - para sa lahat , naiiba mula sa , kung saan ang z ay anuman .
Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent
Ang isang mas malinaw na trigonometric na pagkakakilanlan kaysa sa naunang dalawa ay ang pagkakakilanlan na nagkokonekta sa tangent at cotangent ng isang anggulo ng form . Ito ay malinaw na ito ay humahawak para sa anumang mga anggulo maliban sa , kung hindi man ang tangent o ang cotangent ay hindi tinukoy.
Katibayan ng formula napakasimple. Sa pamamagitan ng kahulugan at mula saan 
. Ang patunay ay maaaring naisagawa nang medyo naiiba. Since , Iyon 
.
Kaya, ang tangent at cotangent ng parehong anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay .
Trigonometric function- Ang kahilingang "kasalanan" ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang mga kahulugan. Ang kahilingang "seg" ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang mga kahulugan. Ang kahilingang "Sine" ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang kahulugan... Wikipedia
Tan
kanin. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
Cosine- Bigas. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
Cotangent- Bigas. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
Secant- Bigas. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay isang uri ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia
Kasaysayan ng trigonometrya- Geodetic measurements (XVII century) ... Wikipedia
Formula para sa tangent ng kalahating anggulo- Sa trigonometrya, ang tan ng kalahating anggulo na formula ay nag-uugnay sa tangent ng kalahating anggulo sa trigonometric function ng isang buong anggulo: Ang mga pagkakaiba-iba ng formula na ito ay ang mga sumusunod... Wikipedia
Trigonometry- (mula sa Griyegong τρίγονο (tatsulok) at ang Griyegong μετρειν (sukat), iyon ay, pagsukat ng mga tatsulok) isang sangay ng matematika kung saan pinag-aaralan ang mga function ng trigonometriko at ang kanilang mga aplikasyon sa geometry. Ang terminong ito ay unang lumitaw noong 1595 bilang... ... Wikipedia
Paglutas ng mga tatsulok- (lat. solutio triangulorum) isang makasaysayang termino na nangangahulugang desisyon ng pangunahing problemang trigonometriko: gamit ang kilalang data tungkol sa tatsulok (mga gilid, anggulo, atbp.), hanapin ang mga natitirang katangian nito. Ang tatsulok ay matatagpuan sa... ... Wikipedia
Mga libro
- Set ng mga mesa. Algebra at ang simula ng pagsusuri. ika-10 baitang. 17 talahanayan + pamamaraan, . Ang mga talahanayan ay naka-print sa makapal na naka-print na karton na may sukat na 680 x 980 mm. Ang kit ay may kasamang brochure na may mga rekomendasyong metodolohikal
- para sa guro. Pang-edukasyon na album ng 17 sheet... Bumili sa halagang 3944 RUR Mga Talahanayan ng Mga Integral at Iba Pang Mga Formula sa Matematika, Dwight G.B.
malaking bilang iba pang mga mathematical formula: mga pagpapalawak ng serye,... Maaari kang mag-order
detalyadong solusyon gawain mo!!! Pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda
trigonometriko function
(`sin x, cos x, tan x` o `ctg x`) ay tinatawag na isang trigonometric equation, at ito ay ang kanilang mga formula na aming isasaalang-alang pa.
Ang pinakasimpleng equation ay tinatawag na `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kung saan ang `x` ay ang anggulo na makikita, ang `a` ay anumang numero. Isulat natin ang mga root formula para sa bawat isa sa kanila.
1. Equation `sin x=a`.
Para sa `|a|>1` wala itong mga solusyon.
2. Equation `cos x=a`
Para sa `|a|>1` - tulad ng sa kaso ng sine, wala itong mga solusyon sa mga tunay na numero.
Kapag `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Root formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph. 
3. Equation `tg x=a`
Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.
Root formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Equation `ctg x=a`
Mayroon ding walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang mga halaga ng `a`.
Root formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa talahanayan
Para sa sine: 
Para sa cosine: 
Para sa tangent at cotangent: 
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function:
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko
Ang paglutas ng anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:
- sa tulong ng pagbabago nito sa pinakasimpleng;
- lutasin ang pinakasimpleng equation na nakuha gamit ang root formula at mga talahanayan na nakasulat sa itaas.
Tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan ng solusyon gamit ang mga halimbawa.
Algebraic na pamamaraan.
Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng pagpapalit ng isang variable at pagpapalit nito sa isang pagkakapantay-pantay.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
gumawa ng kapalit: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pagkatapos ay `2y^2-3y+1=0`,
nakita namin ang mga ugat: `y_1=1, y_2=1/2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Sagot: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorization.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x+cos x=1`.
Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa: `sin x+cos x-1=0`. Gamit ang , binabago at ginagawa namin ang kaliwang bahagi:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Sagot: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Pagbawas sa isang homogenous na equation
Una, kailangan mong bawasan ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang anyo:
`a sin x+b cos x=0` (homogeneous equation ng unang degree) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).
Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ne 0` - para sa unang kaso, at ng `cos^2 x \ne 0` - para sa pangalawa. Kumuha kami ng mga equation para sa `tg x`: `a tg x+b=0` at `a tg^2 x + b tg x +c =0`, na kailangang lutasin gamit ang mga kilalang pamamaraan.
Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Solusyon. Isulat natin ang kanang bahagi bilang `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, hinahati namin ang kaliwa at kanang gilid nito sa `cos^2 x \ne 0`, nakukuha namin:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Ipakilala natin ang kapalit na `tg x=t`, na nagreresulta sa `t^2 + t - 2=0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1=-2` at `t_2=1`. Pagkatapos:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Sagot. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Pumunta sa kalahating sulok
Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Solusyon. Ilapat natin ang mga formula ng double angle, na nagreresulta sa: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan na inilarawan sa itaas, makuha namin ang:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Panimula ng auxiliary angle
Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x =c`, kung saan ang a,b,c ay coefficients at x ay isang variable, hatiin ang magkabilang panig ng `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, lalo na ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang mga module ay hindi hihigit sa 1. Tukuyin natin ang mga ito bilang mga sumusunod: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, pagkatapos:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:
Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x+4 cos x=2`.
Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa `sqrt (3^2+4^2)`, nakukuha natin:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Tukuyin natin ang `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Dahil ang `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pagkatapos ay kunin namin ang `\varphi=arcsin 4/5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:
`kasalanan (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Sagot. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Fractional rational trigonometriko equation
Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga fraction na ang mga numerator at denominator ay naglalaman ng mga function na trigonometriko.
Halimbawa. Lutasin ang equation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Solusyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa `(1+cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Isinasaalang-alang na ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero, nakukuha natin ang `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
I-equate natin ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pagkatapos ay `sin x=0` o `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Dahil sa `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ang mga solusyon ay `x=2\pi n, n \in Z` at `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Sagot. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometry, at trigonometriko equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, at engineering. Ang pag-aaral ay nagsisimula sa ika-10 na baitang, palaging may mga gawain para sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng trigonometric equation - tiyak na magiging kapaki-pakinabang sila sa iyo!
Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at makuha ito. Hindi ito kasing hirap ng tila. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.
Naglo-load...
