Ang problema sa paghahanap ng isang antiderivative function ay hindi palaging may solusyon, habang maaari nating pag-iba-ibahin ang anumang function. Ipinapaliwanag nito ang kakulangan ng isang unibersal na paraan ng pagsasama.

Sa artikulong ito titingnan natin ang mga halimbawa na may mga detalyadong solusyon mga pangunahing pamamaraan para sa paghahanap ng hindi tiyak na integral. Ipapangkat din namin ang mga uri ng integrat function na katangian ng bawat paraan ng integration.

Pag-navigate sa pahina.

Direktang pagsasama.

Walang alinlangan, ang pangunahing paraan ng paghahanap ng isang antiderivative function ay ang direktang pagsasama gamit ang isang talahanayan ng mga antiderivative at ang mga katangian ng hindi tiyak na integral. Ang lahat ng iba pang mga pamamaraan ay ginagamit lamang upang bawasan ang orihinal na integral sa tabular na anyo.

Halimbawa.

Hanapin ang set antiderivative function.

Solusyon.

Isulat natin ang function sa form .

Dahil ang integral ng kabuuan ng mga function katumbas ng kabuuan integral, kung gayon

Ang numerical coefficient ay maaaring alisin sa integral sign:

Ang una sa mga integral ay nabawasan sa tabular form, samakatuwid, mula sa talahanayan ng mga antiderivatives para sa exponential function na mayroon tayo .

Upang mahanap ang pangalawang integral, ginagamit namin ang talahanayan ng mga antiderivative para sa power function at ang tuntunin . Ibig sabihin, .

Kaya naman,

saan

Pagsasama sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang pagpapakilala natin ng bagong variable, pagpapahayag ng integrand sa pamamagitan ng variable na ito, at bilang resulta ay nakarating tayo sa isang tabular (o mas simple) na anyo ng integral.

Kadalasan ang paraan ng pagpapalit ay nakakatulong kapag nagsasama trigonometriko function at gumagana sa mga radical.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral .

Solusyon.

Magpakilala tayo ng bagong variable. Ipahayag natin ang x hanggang z:

Pinapalitan namin ang mga resultang expression sa orihinal na integral:

Mula sa talahanayan ng mga antiderivatives na mayroon kami .

Ito ay nananatiling bumalik sa orihinal na variable x:

Sagot:

Kadalasan ang paraan ng pagpapalit ay ginagamit kapag nagsasama ng mga function ng trigonometriko. Halimbawa, gamit ang isang unibersal trigonometriko pagpapalit nagbibigay-daan sa iyo na baguhin ang integrand sa isang fractionally rational form.

Ang paraan ng pagpapalit ay nagbibigay-daan sa iyo na ipaliwanag ang panuntunan sa pagsasama .

Ipinakilala namin ang isang bagong variable, pagkatapos

Pinapalitan namin ang mga resultang expression sa orihinal na integral:

Kung tatanggapin at babalik tayo sa orihinal na variable na x, makukuha natin

Pagsusumite ng differential sign.

Ang paraan ng pag-subsuming ng differential sign ay batay sa pagbabawas ng integrand sa form . Susunod, ginamit ang paraan ng pagpapalit: isang bagong variable ang ipinakilala at pagkatapos mahanap ang antiderivative para sa bagong variable, bumalik tayo sa orihinal na variable, iyon ay.

Para sa kaginhawahan, ilagay ito sa harap ng iyong mga mata sa anyo ng mga pagkakaiba-iba upang gawing mas madaling i-convert ang integrand, pati na rin ang isang talahanayan ng mga antiderivative upang makita kung saang anyo iko-convert ang integrand.

Halimbawa, hanapin natin ang hanay ng mga antiderivative ng cotangent function.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Solusyon.

Ang integrand ay maaaring mabago gamit ang mga formula ng trigonometrya:

Sa pagtingin sa talahanayan ng mga derivatives, napagpasyahan namin na ang expression sa numerator ay maaaring ipasa sa ilalim ng differential sign , Kaya naman

Iyon ay .

Hayaan mo na . Mula sa talahanayan ng mga antiderivatives makikita natin iyon . Pagbabalik sa orihinal na variable .

Nang walang paliwanag, ang solusyon ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Pagsasama ayon sa mga bahagi.

Ang pagsasama ayon sa mga bahagi ay batay sa pagrepresenta sa integrand bilang isang produkto at pagkatapos ay paglalapat ng formula. Ang pamamaraang ito ay isang napakalakas na tool sa pagsasama. Depende sa integrand, ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi kung minsan ay kailangang ilapat nang maraming beses nang sunud-sunod upang makakuha ng resulta. Halimbawa, hanapin natin ang hanay ng mga antiderivatives ng arctangent function.

Halimbawa.

Kalkulahin ang hindi tiyak na integral.

Solusyon.

Hayaan mo na

Dapat tandaan na kapag hinahanap ang function na v(x) ay huwag magdagdag ng di-makatwirang pare-parehong C.

Ngayon inilalapat namin ang pagsasama sa pamamagitan ng mga bahagi ng formula:

Kinakalkula namin ang huling integral gamit ang paraan ng subsuming ng differential sign.

Simula noon . kaya lang

Kaya naman,

saan .

Sagot:

Ang mga pangunahing kahirapan sa pagsasama ng mga bahagi ay nagmumula sa pagpili: kung aling bahagi ng integrat ang gagawin bilang function na u(x) at kung aling bahagi bilang ang differential d(v(x)). Gayunpaman, mayroong isang bilang ng mga karaniwang rekomendasyon, na inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa pagsasama ng seksyon ayon sa mga bahagi.

Kapag nagsasama mga pagpapahayag ng kapangyarihan, halimbawa o , gumamit ng mga paulit-ulit na formula na nagbibigay-daan sa iyong bawasan ang antas sa bawat hakbang. Ang mga formula na ito ay nakuha sa pamamagitan ng sunud-sunod na paulit-ulit na pagsasama ng mga bahagi. Inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa pagsasama ng seksyon gamit ang mga formula ng pag-ulit.

Sa konklusyon, nais kong ibuod ang lahat ng materyal sa artikulong ito. Ang batayan ng mga batayan ay ang paraan ng direktang pagsasama. Ang mga paraan ng pagpapalit, pagpapalit sa ilalim ng differential sign at ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay ginagawang posible na bawasan ang orihinal na integral sa isang tabular.

Dahil ngayon ay pag-uusapan lamang natin ang tungkol sa hindi tiyak na integral, para sa kapakanan ng kaiklian ay aalisin natin ang terminong "indefinite".

Upang matutunan kung paano kalkulahin ang mga integral (o, gaya ng sinasabi nila, pagsamahin ang mga function), kailangan mo munang matutunan ang talahanayan ng mga integral:

Talahanayan1. Talaan ng mga integral

2. ( ), u>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Bilang karagdagan, kakailanganin mo ang kakayahang kalkulahin ang derivative ng isang naibigay na function, na nangangahulugang kailangan mong tandaan ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya:

Talahanayan 2. Talaan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

6.a .

(kasalanan At) = cos At  At (cos u) = – kasalanan At At

Kailangan din natin ng kakayahang hanapin ang pagkakaiba ng isang function. Alalahanin na ang pagkakaiba ng function
hanapin sa pamamagitan ng formula
, ibig sabihin. ang differential ng isang function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito at ang differential ng argument nito. Kapaki-pakinabang na isaisip ang mga sumusunod na kilalang relasyon:

Talahanayan 3. Talahanayan ng pagkakaiba

1. (b= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Bukod dito, ang mga formula na ito ay maaaring gamitin alinman sa pamamagitan ng pagbabasa ng mga ito mula kaliwa hanggang kanan o mula kanan pakaliwa.

Isaalang-alang natin nang sunud-sunod ang tatlong pangunahing paraan ng pagkalkula ng integral. Ang una sa kanila ay tinatawag sa pamamagitan ng direktang paraan ng pagsasama. Ito ay batay sa paggamit ng mga katangian ng hindi tiyak na integral at may kasamang dalawang pangunahing pamamaraan: pagpapalawak ng isang integral sa isang algebraic sum mas simple at pag-subscribe sa differential sign, at ang mga diskarteng ito ay maaaring gamitin nang nakapag-iisa at sa kumbinasyon.

A) Isaalang-alang natin algebraic sum expansion– Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng magkatulad na pagbabago ng integrand at ang mga linearity na katangian ng hindi tiyak na integral:
At .

Halimbawa 1. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Solusyon.

A)Ibahin natin ang integrand sa pamamagitan ng paghahati ng numerator sa termino ng denominator ayon sa termino:

Ang ari-arian ng mga kapangyarihan ay ginagamit dito:
.

b) Una, binabago natin ang numerator ng fraction, pagkatapos ay hatiin natin ang term ng numerator sa pamamagitan ng termino ng denominator:

Ang ari-arian ng mga degree ay ginagamit din dito:
.

Ang ari-arian na ginamit dito ay:
,
.

.

Ang mga formula 2 at 5 ng Talahanayan 1 ay ginagamit dito.

Halimbawa 2. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Solusyon.

A)Ibahin natin ang integrand gamit ang trigonometric identity:

.

Dito muli nating ginagamit ang term-by-term division ng numerator sa pamamagitan ng denominator at mga formula 8 at 9 ng Talahanayan 1.

b) Nagbabagong-anyo tayo nang katulad, gamit ang pagkakakilanlan
:

.

c) Una, hatiin ang term ng numerator sa pamamagitan ng termino sa pamamagitan ng denominator at alisin ang mga constant mula sa integral sign, pagkatapos ay gamitin ang trigonometric identity
:

d) Ilapat ang pormula para sa pagbabawas ng antas:

,

e) Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, binabago namin ang:

B) Isaalang-alang natin ang pamamaraan ng pagsasama, na tinatawag na n sa pamamagitan ng paglalagay nito sa ilalim ng differential sign. Ang pamamaraan na ito ay batay sa invariance property ng hindi tiyak na integral:

Kung
, pagkatapos ay para sa anumang function na naiba-iba At = At(X) nagaganap:
.

Ang pag-aari na ito ay nagpapahintulot sa amin na makabuluhang palawakin ang talahanayan ng mga simpleng integral, dahil dahil sa pag-aari na ito ang mga formula sa Talahanayan 1 ay wasto hindi lamang para sa malayang variable At, ngunit din sa kaso kung kailan At– isang function na naiba-iba ng ibang variable.

Halimbawa,
, ngunit din
, At
, At
.

O kaya
At
, At
.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang ihiwalay ang pagkakaiba ng isang tiyak na function sa isang naibigay na integrand upang ang nakahiwalay na kaugalian na ito, kasama ang natitirang expression, ay bumubuo ng isang tabular na formula para sa function na ito. Kung kinakailangan, sa panahon ng naturang conversion, ang mga constant ay maaaring idagdag nang naaayon. Halimbawa:

(sa huling halimbawa na nakasulat ln(3 + x 2) sa halip na ln|3 + x 2 | , dahil ang expression ay 3 + x 2 ay palaging positibo).

Halimbawa 3. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
;
;

V)
G)
;
;

d)
;
.

Solusyon.

A) .

e)

at)
;

.

h)

Ang mga formula 2a, 5a at 7a ng Talahanayan 1 ay ginagamit dito, ang huling dalawa ay nakukuha nang tumpak sa pamamagitan ng paglalagay ng differential sign:

.

Isama ang mga function ng view

V)

.

madalas na nangyayari sa loob ng balangkas ng pagkalkula ng mga integral ng mas kumplikadong mga function. Upang hindi maulit ang mga hakbang na inilarawan sa itaas sa bawat oras, inirerekomenda namin na tandaan mo ang mga kaukulang formula na ibinigay sa Talahanayan 1.

Ginagamit dito ang Formula 3 ng Talahanayan 1.

.

c) Katulad nito, isinasaalang-alang na , binabago namin ang:

Ginagamit dito ang Formula 2c sa Talahanayan 1.

.

d); Hanapin ang mga integral:

e)
at);

V)
.

Solusyon.

h)

Halimbawa 4.

A)
:

b)

Dito, kasama ang mga formula 2 at 8 ng Talahanayan 1, ang mga formula ng Talahanayan 3 ay ginagamit din:
,
.

Halimbawa 5. Hanapin ang mga integral:

A)
; b)

V)
;
.

Solusyon.

G)
a) Trabaho
maaaring dagdagan (tingnan ang mga formula 4 at 5 ng Talahanayan 3) sa pagkakaiba ng function , Saan A b At
- anumang mga pare-pareho,
.

. Talaga, kung saan

.

Pagkatapos mayroon kaming:
b) Gamit ang formula 6 ng talahanayan 3, mayroon tayo
, at gayundin
, na nangangahulugang ang presensya sa integrand ng produkto
nangangahulugan ng pahiwatig: sa ilalim ng differential sign kailangan mong ipasok ang expression

. Samakatuwid nakukuha namin
c) Pareho sa punto b), ang produkto
maaaring i-extend sa differential functions

.

. Pagkatapos makuha namin:

d) Una, ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng integral: Hanapin ang mga integral:

A)
; Halimbawa 6.
;

b)
V)
.

Solusyon.

A); G)
Isinasaalang-alang na

(formula 9 ng talahanayan 3), binago namin ang:

b) Gamit ang formula 12 ng talahanayan 3, nakukuha natin

c) Isinasaalang-alang ang formula 11 ng talahanayan 3, binabago namin

.

d) Gamit ang formula 16 ng Talahanayan 3, nakukuha natin ang: Hanapin ang mga integral:

A)
; b)
;

V)
; V)
.

Solusyon.

A)Halimbawa 7. Ang lahat ng mga integral na ipinakita sa halimbawang ito ay may isang karaniwang tampok

.

b)

.

: Ang integrand ay naglalaman ng isang quadratic trinomial. Samakatuwid, ang paraan ng pagkalkula ng mga integral na ito ay ibabatay sa parehong pagbabago - paghiwalayin ang kumpletong parisukat sa quadratic trinomial na ito.

V)

G) At Ang paraan ng pagpapalit ng differential sign ay isang oral na pagpapatupad ng mas pangkalahatang paraan ng pagkalkula ng integral, na tinatawag na substitution method o pagbabago ng variable. Sa katunayan, sa bawat oras, ang pagpili ng angkop na pormula sa Talahanayan 1 para sa nakuha bilang resulta ng pag-subsume ng function differential sign, pinapalitan namin ng isip ang titik.

function na ipinakilala sa ilalim ng differential sign. Samakatuwid, kung ang integration sa pamamagitan ng subsuming ang differential sign ay hindi gumana nang maayos, maaari mong direktang baguhin ang variable. Higit pang mga detalye tungkol dito sa susunod na talata. Ang pamamaraang ito ay bumaba sa pagsasama ng differential equation ng curved axis ng beam (9.1) sa kilalang batas ng pagbabago sa mga bending moments M (X). Ipagpalagay na pare-pareho ang baluktot na tigas ng sinag(EJ z

= const) at sunud-sunod na pagsasama ng equation (9.1), nakuha namin

Sa mga expression (9.5) at sa ibaba, upang gawing simple ang notasyon, ang mga indeks ng mga sandali ng inertia at mga baluktot na sandali ay tinanggal. Nagbibigay-daan sa amin ang mga expression (9.5) na makakuha ng mga analytical na batas para sa mga pagbabago sa mga pagpapalihis at mga anggulo ng pag-ikot sa isang sinag. Kasama sa mga constant ng pagsasama sa (9.5) C 1

Ang mga kundisyon ng kinematic na hangganan ay sumasalamin sa likas na katangian ng pangkabit (suporta) ng beam at itinatakda kaugnay sa mga deflection at mga anggulo ng pag-ikot. Halimbawa, para sa isang simpleng suportadong sinag (Larawan 9.4), ang mga kondisyon ng hangganan ay nagpapakita ng kawalan ng mga pagpapalihis sa mga suporta: x = 0, x = /, v = 0. Para sa isang cantilever beam (Larawan 9.5), ang mga kondisyon ng hangganan ay nagpapakilala sa pagkakapantay-pantay ng pagpapalihis at anggulo ng pag-ikot sa matibay na pagkaka-embed sa zero: x = 0, v= 0; av = 0.

Ang mga kondisyon ng pagtutugma ay itinakda sa mga hangganan ng mga seksyon na may iba't ibang mga batas ng pagbabago sa mga baluktot na sandali. Sa kawalan ng mga intermediate na bisagra at tinatawag na parallelogram na mekanismo (mga slider), ang mga kondisyon ng pagsasama ay binubuo sa pagkakapantay-pantay ng mga deflection at mga anggulo ng pag-ikot sa mga seksyon sa kaliwa at kanan ng hangganan ng mga seksyon, iyon ay, nailalarawan nila ang pagpapatuloy. at kinis ng curved axis ng beam. Halimbawa, para sa sinag sa Fig. 9.4 ay maaaring isulat: X = A, at = at

Napapailalim sa availability n mga seksyon na may iba't ibang mga batas ng pagbabago sa mga baluktot na sandali, ang expression para sa pagpapalihis ay maglalaman ng 2 n integration constants. Gamit ang mga kundisyon at kundisyon ng hangganan para sa pagkonekta ng mga seksyon, makukuha natin ang system 2 n linear algebraic equation na may paggalang sa mga constant na ito. Pagkatapos matukoy ang lahat ng integration constants, ang mga batas ng pagbabago u(x) at ср(х) sa loob ng bawat seksyon ng beam ay itatatag. Tingnan natin ang mga halimbawa ng pagtukoy ng mga deflection at mga anggulo ng pag-ikot sa mga beam gamit ang direktang paraan ng pagsasama.

Halimbawa 9.1. Tukuyin natin ang mga analytical na expression para sa u(lc) at cp(x) sa isang cantilever beam na na-load nang pantay. ibinahagi load(Larawan 9.6), at kalkulahin ang mga halaga ng mga dami na ito sa libreng dulo.

Ang baluktot na sandali sa sinag sa buong haba nito ay nag-iiba ayon sa batas ng isang parisukat na parabola:

Ipalit natin ang expression na ito sa solusyon (9.5) at isama ito:

Gamit ang mga kundisyon ng hangganan, tinutukoy namin ang mga constant ng integration:

Isulat natin ang mga huling expression para sa mga deflection at mga anggulo ng pag-ikot sa beam at tukuyin ang mga halaga ng mga dami na ito sa libreng dulo:

Halimbawa 9.2. Para sa isang simpleng suportadong sinag na na-load sa dulo na may puro puwersa (Larawan 9.7), tinutukoy namin ang mga expression para sa y(x) at (p(x) at kinakalkula ang mga halaga ng mga dami na ito sa mga katangiang seksyon.

Diagram Ang pamamaraang ito ay bumaba sa pagsasama ng differential equation ng curved axis ng beam (9.1) sa kilalang batas ng pagbabago sa mga bending moments ipinapakita sa Fig. 9.7. Ang mga bending moment ay may iba't ibang batas ng pagbabago sa una at pangalawang seksyon ng beam. Isinasama namin ang differential equation ng curved axis sa loob ng bawat seksyon.

Unang seksyon (0 2a):

Ikalawang seksyon (2 , Saan

Upang matukoy ang apat na integration constants C, C 2, Dx At D 2 nagtakda kami ng mga kundisyon at kundisyon ng hangganan para sa pagkonekta ng mga seksyon:

Mula sa kundisyon para sa pagsasama-sama ng mga seksyon, nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay ng mga constant ng pagsasama sa una at pangalawang seksyon: C ( = D v C 2 = D T Gamit ang mga kondisyon ng hangganan, nakita namin ang mga halaga ng mga constant:

Isulat natin ang mga huling expression para sa u(x) at cp(x) sa loob ng bawat seksyon:

Sa mga expression na ito, ang isang patayong bar na may numero sa ibaba ay tumutugma sa hangganan ng bawat lugar. Sa loob ng unang seksyon v at ang cp ay tinutukoy ng mga function hanggang sa patayong linya na may numero 1, at sa loob ng pangalawang seksyon - hanggang sa patayong linya na may numero 2, iyon ay, ng lahat ng mga function.

Magkalkula tayo v at (p sa mga katangiang seksyon ng sinag:

Sa loob ng unang seksyon, ang tanda ng anggulo ng pag-ikot ay nagbabago sa kabaligtaran. Itakda natin ang posisyon ng seksyon kung saan nagiging zero ang anggulo ng pag-ikot:

Sa seksyon x =x Q may extremum ang pagpapalihis ng sinag. Kinakalkula namin ang halaga nito:

Para sa paghahambing, tinutukoy namin ang dami ng pagpapalihis ng beam sa gitna ng span:

Mapapansin na ang matinding pagpapalihis ay bahagyang naiiba (sa pamamagitan ng 2.6%) mula sa pagpapalihis sa gitna ng span.

Magsagawa tayo ng numerical na pagkalkula sa P= 20 kN at , Saan= 1.6 m Piliin natin ang seksyon ng beam sa anyo ng isang pinagsamang bakal na I-beam, na kumukuha ng kadahilanan ng pagiging maaasahan ng pagkarga. y^= 1.2, operating kondisyon koepisyent y c = 1, disenyo paglaban ng materyal R= 210 MPa = = 21 kN/cm 2 at modulus ng elasticity ng bakal E- 2.1 10 4 kN/cm 2 .

Tumatanggap kami ng 120, W z = 184 cm 3, J= 1840 cm 4.

Magkalkula tayo pinakamataas na halaga anggulo ng pag-ikot at pagpapalihis sa sinag. Ayon sa SNiP, nagsasagawa kami ng mga kalkulasyon batay sa epekto ng mga karaniwang pag-load.

Mula sa isinasaalang-alang na halimbawa ay malinaw na kung mayroong ilang mga seksyon sa beam na may iba't ibang mga batas ng pagbabago sa mga baluktot na sandali, ang direktang paraan ng pagsasama ay nagiging mahirap at hindi maginhawa.

Ang isang pangkalahatang-ideya ng mga pamamaraan ng pagkalkula ay ipinakita mga integral na hindi tiyak. Ang mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama ay isinasaalang-alang, na kinabibilangan ng pagsasama ng kabuuan at pagkakaiba, paglalagay ng isang pare-pareho sa labas ng integral sign, pagpapalit ng isang variable, at pagsasama ng mga bahagi. Isinasaalang-alang din mga espesyal na pamamaraan at mga diskarte para sa pagsasama ng mga fraction, ugat, trigonometriko at exponential function.

Nilalaman

Panuntunan para sa pagsasama ng mga kabuuan (mga pagkakaiba)

Ang paglipat ng pare-pareho sa labas ng integral sign

Hayaan ang c ay isang pare-parehong independyente ng x.

Pagkatapos ay maaari itong alisin sa integral sign:

Pagpapalit ng variable
.
Hayaang ang x ay isang function ng variable t, x = φ(t), pagkatapos
.

O vice versa, t = φ(x) ,

Gamit ang isang pagbabago ng variable, hindi mo lamang makalkula ang mga simpleng integral, ngunit gawing simple din ang pagkalkula ng mga mas kumplikado.

Pagsasama ayon sa panuntunan ng mga bahagi

Ipakilala natin ang notasyon. Hayaan ang P k (x), Q m (x), R n (x) na tukuyin ang mga polynomial ng degrees k, m, n, ayon sa pagkakabanggit, na may paggalang sa variable na x.

Isaalang-alang ang isang integral na binubuo ng isang fraction ng polynomials (ang tinatawag na rational function):

Kung k ≥ n, kailangan mo munang piliin ang buong bahagi ng fraction:
.
Ang integral ng polynomial S k-n (x) ay kinakalkula gamit ang talahanayan ng mga integral.

Ang integral ay nananatili:
, kung saan m< n .
Upang kalkulahin ito, ang integrand ay dapat na decomposed sa simpleng fractions.

Upang gawin ito kailangan mong hanapin ang mga ugat ng equation:
Q n (x) = 0 .
Gamit ang nakuha na mga ugat, kailangan mong kumatawan sa denominator bilang isang produkto ng mga kadahilanan:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Narito ang coefficient para sa x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Pagkatapos nito, hatiin ang fraction sa pinakasimpleng anyo nito:

Pagsasama, nakakakuha tayo ng isang expression na binubuo ng mas simpleng mga integral.
Mga integral ng form

ay binabawasan sa tabular substitution t = x - a.

Isaalang-alang ang integral:

Ibahin natin ang numerator:
.
Ang pagpapalit sa integrand, nakakakuha kami ng expression na kinabibilangan ng dalawang integral:
,
.
Ang una, sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x 2 + ex + f, ay binabawasan sa isang tabular.
Pangalawa, ayon sa formula ng pagbabawas:

ay nabawasan sa integral

Bawasan natin ang denominator nito sa kabuuan ng mga parisukat:
.
Pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagpapalit, ang integral

ay naka-tabulate din.

Pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar

Ipakilala natin ang notasyon. Hayaan ang R(u 1, u 2, ..., u n) ay nangangahulugan ng rational function ng mga variable u 1, u 2, ..., u n.
,
Iyon ay

kung saan ang P, Q ay mga polynomial sa mga variable na u 1, u 2, ..., u n.

Fractional linear irrationality
,
Isaalang-alang natin ang mga integral ng form:
kung saan ang mga rational na numero, m 1, n 1, ..., m s, n s ay mga integer. Hayaan n - karaniwang denominador
mga numero r 1, ..., r s.
.

Pagkatapos ang integral ay nabawasan sa integral ng mga rational function sa pamamagitan ng pagpapalit:

Isaalang-alang ang integral:
,
Integrals mula sa differential binomials
kung saan ang m, n, p ay mga rational na numero, a, b ay tunay na mga numero.

Ang ganitong mga integral ay bumababa sa mga integral ng mga rational function sa tatlong kaso.
1) Kung ang p ay isang integer. Pagpapalit x = t N, kung saan ang N ay ang karaniwang denominator ng mga fraction na m at n.
2) Kung - isang integer. Pagpapalit ng a x n + b = t M, kung saan ang M ang denominator ng numerong p.

3) Kung - isang integer. Pagpapalit ng a + b x - n = t M, kung saan ang M ang denominator ng numerong p.

Sa ilang mga kaso, ito ay unang kapaki-pakinabang upang bawasan ang integral sa mas maginhawang mga halaga m at p.
;
.

Magagawa ito gamit ang mga formula ng pagbabawas:

Mga integral na naglalaman ng square root ng square trinomial
,

Dito isinasaalang-alang namin ang mga integral ng form:

Mga pagpapalit ng Euler
Ang ganitong mga integral ay maaaring bawasan sa mga integral ng rational function ng isa sa tatlong Euler substitutions:
, para sa isang > 0;
, para sa c > 0 ;

, kung saan ang x 1 ay ang ugat ng equation na a x 2 + b x + c = 0.

Kung ang equation na ito ay may tunay na mga ugat.

Trigonometric at hyperbolic substitutions

Mga direktang pamamaraan

Sa karamihan ng mga kaso, ang mga pagpapalit ng Euler ay nagreresulta sa mas mahabang kalkulasyon kaysa sa mga direktang pamamaraan. Gamit ang mga direktang pamamaraan, ang integral ay binabawasan sa isa sa mga form na nakalista sa ibaba.
,
Uri I

Integral ng form:

kung saan ang P n (x) ay isang polynomial ng degree n.

Ang ganitong mga integral ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient gamit ang pagkakakilanlan:

Sa karamihan ng mga kaso, ang mga pagpapalit ng Euler ay nagreresulta sa mas mahabang kalkulasyon kaysa sa mga direktang pamamaraan. Gamit ang mga direktang pamamaraan, ang integral ay binabawasan sa isa sa mga form na nakalista sa ibaba.
,
Ang pag-iiba ng equation na ito at pag-equate sa kaliwa at kanang panig, makikita natin ang mga coefficient A i.

Uri II kung saan ang P m (x) ay isang polynomial ng degree m. Pagpapalit t =

(x - α) -1

ang integral na ito ay nabawasan sa naunang uri. Kung m ≥ n, kung gayon ang fraction ay dapat magkaroon ng integer na bahagi.
.

III uri
.
Ang ikatlo at pinaka-kumplikadong uri:
.
Dito kailangan mong gumawa ng pagpapalit:
Pagkatapos nito ang integral ay kukuha ng anyo:
Susunod, ang mga constants α, β ay dapat piliin upang ang mga coefficient para sa t ay magiging zero:
;
,
B = 0, B 1 = 0.
Pagkatapos ang integral ay nabubulok sa kabuuan ng mga integral ng dalawang uri:
na pinagsama, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng mga pamalit:

z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;

y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Pangkalahatang kaso

Pagsasama-sama ng transendental (trigonometric at exponential) function

Tandaan natin nang maaga na ang mga pamamaraan na naaangkop para sa trigonometric function ay naaangkop din para sa hyperbolic function. Para sa kadahilanang ito, hindi namin isasaalang-alang ang pagsasama ng mga hyperbolic function nang hiwalay.
,
Pagsasama-sama ng rational trigonometriko function ng cos x at sin x

Isaalang-alang natin ang mga integral ng trigonometric function ng form:
kung saan ang R ay isang rational function. Maaaring kabilang din dito ang mga tangent at cotangent, na dapat i-convert gamit ang mga sine at cosine. Kapag isinasama ang mga naturang function, kapaki-pakinabang na isaisip ang tatlong panuntunan: 1) kung R( cos x, kasalanan x) pinarami ng -1 mula sa pagbabago ng tanda bago ang isa sa mga dami kasi x o
kasalanan x Kapag isinasama ang mga naturang function, kapaki-pakinabang na isaisip ang tatlong panuntunan:, kung gayon ito ay kapaki-pakinabang na tukuyin ang isa pa sa kanila sa pamamagitan ng t. cos x, kasalanan x) At kasi x 2) kung R( ay hindi nagbabago dahil sa isang sign na pagbabago sa parehong oras bago pinarami ng -1 mula sa pagbabago ng tanda bago ang isa sa mga dami , kung gayon ito ay kapaki-pakinabang na ilagay.
3) ang pagpapalit sa lahat ng kaso ay humahantong sa integral ng isang rational fraction. Sa kasamaang palad, ang pagpapalit na ito ay nagreresulta sa mas mahabang mga kalkulasyon kaysa sa mga nauna, kung naaangkop.

Produkto ng mga function ng kapangyarihan ng cos x at sin x

Fractional linear irrationality

Kung ang m at n ay mga rational na numero, kung gayon ang isa sa mga pamalit na t = kasi x o t = cos x, kasalanan x) ang integral ay binabawasan sa integral ng differential binomial.

Kung ang m at n ay mga integer, kung gayon ang mga integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi. Gumagawa ito ng mga sumusunod na formula ng pagbabawas:

;
;
;
.

Pagsasama ayon sa mga bahagi

Paglalapat ng formula ni Euler

Kung ang integrand ay linear na may paggalang sa isa sa mga function
kasi palakol pinarami ng -1 mula sa pagbabago ng tanda bago ang isa sa mga dami sinax, pagkatapos ay maginhawang ilapat ang formula ni Euler:
e iax = cos ax + isin ax(kung saan ang i 2 = - 1 ),
pinapalitan ang function na ito ng e iax at i-highlight ang tunay (kapag pinapalitan kasi palakol) o haka-haka na bahagi (kapag pinapalitan sinax) mula sa nakuhang resulta.

Ginamit na panitikan:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Tingnan din ang:

Direktang pagsasama

Ang pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral gamit ang isang talahanayan ng mga integral at ang kanilang mga pangunahing katangian ay tinatawag direktang pagsasama.

Halimbawa 1. Hanapin natin ang integral

.

Ang paglalapat ng ikalawa at ikalimang katangian ng hindi tiyak na integral, nakukuha natin

.(*)

Susunod, gamit ang mga formulaII, Sh,IV, VIIImga talahanayan at ang pangatlong pag-aari ng mga integral, nakita namin ang bawat isa sa mga termino ng mga integral nang hiwalay:

= ,

,

Ipalit natin ang mga resultang ito sa (*) at, na nagsasaad ng kabuuan ng lahat ng mga constant(3 SA 1 +7SA 2 +4SA 3 +2SA 4 +SA 5) sulat SA, nakuha namin sa wakas:

Suriin natin ang resulta sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan. Hanapin natin ang derivative ng resultang expression:

Nakuha namin ang integrand, ito ay nagpapatunay na ang pagsasama ay naisagawa nang tama.

Halimbawa 2 . Hahanapin natin

.

Ang talahanayan ng mga integral ay nagpapakita ng corollaryIIIA mula sa formula III:

Upang magamit ang corollary na ito, nakita namin ang pagkakaiba ng isang function sa exponent:

Upang lumikha ng kaugalian na ito, sapat na upang i-multiply ang denominator ng fraction sa ilalim ng integral sa pamamagitan ng numero 2 (malinaw naman, para hindi magbago ang fraction, kailangan na i-multiply sa 2 at numerator). Matapos ilagay ang pare-parehong kadahilanan sa labas ng integral sign, ito ay magiging handa upang ilapat ang tabular formulaIIIA:

.

Pagsusuri:

samakatuwid, ang pagsasama ay ginawa nang tama.

Halimbawa 3 . Hahanapin natin

Dahil ang kaugalian ng isang quadratic function ay maaaring mabuo mula sa expression sa numerator, ang sumusunod na function ay dapat na makilala sa denominator:

.

Upang lumikha ng pagkakaiba nito sapat na upang i-multiply ang numerator sa 4 (pinararami rin natin ang denominator sa 4 at alisin ang salik na ito ng denominator mula sa integral). Bilang resulta, magagamit natin ang formula ng tabularX:

Pagsusuri:

,

mga. naisagawa nang tama ang pagsasanib.

Halimbawa 4 . Hahanapin natin

Tandaan na ngayon ang quadratic function na ang differential ay maaaring malikha sa numerator, ay isang radikal na pagpapahayag. Samakatuwid, makatwirang isulat ang integrand bilang power function upang magamit ang formulaakomga talahanayan ng mga integral:

Pagsusuri:

Konklusyon: ang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 5. Hahanapin natin

Tandaan natin na ang integrand ay naglalaman ng

function ; at ang pagkakaiba nito. Ngunit ang fraction ay din ang pagkakaiba ng buong radikal na expression (hanggang sa pag-sign):

Samakatuwid, makatwirang katawanin ang fraction sa anyo grado:

Pagkatapos, pagkatapos i-multiply ang numerator at denominator sa (-1) makakakuha tayo ng power integral (tabular formulaako):

Sa pamamagitan ng pag-iiba ng resulta, tinitiyak namin na ang pagsasama ay naisagawa nang tama.

Halimbawa 6. Hahanapin natin

Madaling makita na sa integral na ito mula sa expression ang pagkakaiba ng radical function ay hindi maaaring makuha gamit ang numerical coefficients. talaga,

,

saan k -patuloy. Ngunit, mula sa karanasan halimbawa 3 , posibleng makabuo ng integral na kapareho ng anyo sa formulaXmula sa talahanayan ng mga integral:

Halimbawa 7. Hahanapin natin

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang kaugalian ng isang cubic function ay madaling malikha sa numeratord(x 3 ) = 3 x 2 dx. Pagkatapos nito ay makakakuha tayo ng pagkakataong gamitin ang formula ng tabularVI:

Halimbawa 8. Hahanapin natin

Ito ay kilala na ang derivative ng function arcsin x ay isang fraction

Pagkatapos

.

Ito ay humahantong sa amin sa konklusyon na ang kinakailangang integral ay may anyo ng isang power integral: , kung saanat = arcsin x, ibig sabihin

Halimbawa 9 . Para mahanap

gamitin natin ang parehong mesa pormula ako at ang katotohanan na

Nakukuha namin

Halimbawa 10 . Hahanapin natin

Dahil ang expression ay ang kaugalian ng function, kung gayon, gamit ang formula ako mga talahanayan ng mga integral, nakukuha namin

Halimbawa 11. Upang mahanap ang integral

Gamitin natin ito nang sunud-sunod: trigonometriko formula

,

sa pamamagitan ng katotohanan na

at pormula IImga talahanayan ng mga integral:

Halimbawa 12 . Hahanapin natin

.

Simula nung expression

ay ang pagkakaiba ng function , pagkatapos ay gumagamit ng parehong formulaII, nakukuha namin

Halimbawa 13 . Hanapin natin ang integral

Tandaan na ang antas ng variable sa numerator ay mas mababa ng isa kaysa sa denominator. Ito ay nagpapahintulot sa amin na lumikha ng isang kaugalian sa numeratordenominador. Hahanapin natin

.

Matapos kunin ang pare-parehong kadahilanan mula sa integral sign, pinarami namin ang numerator at denominator ng integrand sa pamamagitan ng (-7), nakukuha namin:

(Ginamit dito ang parehong formulaIImula sa talahanayan ng mga integral).

Halimbawa 14. Hanapin natin ang integral

.

Isipin natin ang numerator sa ibang anyo: 1 + 2 X 2 = (1 + X 2 )+ x 2 at magsagawa ng term-by-term division, pagkatapos nito ay ginagamit namin ang ikalimang katangian ng mga integral at formulaako At VIII mga talahanayan:

Halimbawa 15. Hahanapin natin

Kunin natin ang pare-parehong salik na lampas sa tanda ng integral, ibawas at idagdag ang 5 sa numerator, pagkatapos ay hatiin ang term ng numerator sa pamamagitan ng termino ng denominator at gamitin ang ikalimang katangian ng integral:

Upang kalkulahin ang unang integral, ginagamit namin ang ikatlong pag-aari ng mga integral, at ipinakita ang pangalawang integral sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng formulaIX:

Halimbawa 16. Hahanapin natin

Tandaan na ang exponent ng variable sa numerator ay mas mababa ng isa kaysa sa denominator (na karaniwan para sa isang derivative), na nangangahulugan na ang differential ng denominator ay maaaring mabuo sa numerator. Hanapin natin ang differential ng expression sa denominator:

d(x 2- 5)=(X 2 - 5)" dx = 2 xdx.

Upang makakuha ng pare-parehong factor ng 2 sa numerator ng denominator differential, kailangan nating i-multiply at hatiin ang integrand ng 2 at kunin ang pare-parehong kadahilanan -

para sa integral sign

Nandito na tayo ginamitIIintegral ng talahanayan.

Isaalang-alang natin ang isang katulad na sitwasyon sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 17. Hahanapin natin

.

Kalkulahin natin ang kaugalian ng denominator:

.

Gawin natin ito sa numerator gamit ang ikaapat na katangian ng mga integral:

=

Ang isang mas kumplikadong katulad na sitwasyon ay isasaalang-alang sa halimbawa 19.

Halimbawa 18 Hahanapin natin

.

Pumili tayo ng kumpletong parisukat sa denominator:

Nakukuha namin

.

Matapos ihiwalay ang perpektong parisukat sa denominator, nakakuha kami ng integral na malapit sa anyo sa mga formulaVIII At IXmga talahanayan ng mga integral, ngunit sa denominator ng formulaVIIIang mga tuntunin ng kumpletong mga parisukat ay may parehong mga palatandaan, at sa denominator ng ating integral ang mga palatandaan ng mga termino ay naiiba, bagaman hindi sila tumutugma sa mga palatandaan ng ikasiyam na pormula. Makamit ang kumpletong pagkakatulad ng mga palatandaan ng mga termino sa denominator kasama ang mga palatandaan sa formulaIXay posible sa pamamagitan ng pagdaragdag ng koepisyent (-1) sa integral. Kaya, upang ilapat ang formulaIXmga talahanayan ng integral, isasagawa namin ang mga sumusunod na aktibidad:

1) ilagay ang (-1) sa labas ng mga bracket sa denominator at pagkatapos ay sa labas ng integral;

2) hanapin ang pagkakaiba ng expression

3) lumikha ng natagpuang pagkakaiba sa numerator;

4) isipin ang numero 2 sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng formulaIX mga talahanayan:

Pagkatapos

Gamit IXformula ng talahanayan ng mga integral, nakukuha namin

Halimbawa 19. Hahanapin natin

.

Gamit ang karanasang nakuha sa paghahanap ng mga integral sa nakaraang dalawang halimbawa at ang mga resultang nakuha sa kanila, magkakaroon tayo

.

Ibuod natin ang ilan sa mga karanasang natamo bilang resulta ng solusyon mga halimbawa 17,18,19.

Kaya, kung mayroon tayong integral ng form

(halimbawa 18 ), na, sa pamamagitan ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat sa denominator, maaari kang makarating sa isa sa mga formula sa tabularVIII o IX.

Ang integral ay nasa anyo

(halimbawa 19 ) pagkatapos lumikha ng derivative ng denominator sa numerator, nahahati ito sa dalawang integral: ang una ay nasa anyo

( halimbawa 17 ), kinuha mula sa formulaP, at ang pangalawang uri

(halimbawa 18 ), kinuha mula sa isa sa mga formulaVIII o IX.

Halimbawa 20 . Hahanapin natin

.

Integral ng form

maaaring bawasan sa anyo ng mga tabular na formulaX o XI, na nagha-highlight ng isang kumpletong parisukat sa radikal na expression. SA sa aming kaso

= .

Ang radikal na ekspresyon ay may anyo

Ang parehong ay palaging ginagawa kapag kinakalkula ang mga integral ng form

,

kung ang isa sa mga exponents ay isang positibong kakaibang numero, at ang pangalawa ay isang arbitrary na numero tunay na numero (halimbawa 23 ).

Halimbawa 23 . Hahanapin natin

Gamit ang karanasan ng nakaraang halimbawa at ang pagkakakilanlan

2 sin 2 φ = l - cos 2 φ ,2 cos 2 φ = l + cos 2 φ

Ang pagpapalit ng nagresultang kabuuan sa integral, nakukuha natin