madalas kumuha ng numero e = 2,718281828 . Ang mga logarithms batay sa base na ito ay tinatawag natural. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon na may natural na logarithms, karaniwan na gumana gamit ang sign ln, hindi log; habang ang numero 2,718281828 , pagtukoy sa batayan, ay hindi ipinahiwatig.
Sa madaling salita, ang pagbabalangkas ay magiging ganito: natural na logarithm mga numero X- isa itong exponent kung saan dapat itaas ang isang numero e para makuha x.
Kaya, ln(7,389...)= 2, dahil e 2 =7,389... . Natural logarithm ng numero mismo e= 1 kasi e 1 =e, at ang natural na logarithm ng pagkakaisa ay zero, dahil e 0 = 1.
Ang numero mismo e tumutukoy sa limitasyon ng isang monotone bounded sequence
kalkulado iyon e = 2,7182818284... .
Kadalasan, upang ayusin ang isang numero sa memorya, ang mga digit ng kinakailangang numero ay nauugnay sa ilang natitirang petsa. Bilis ng pagsasaulo ng unang siyam na digit ng isang numero e pagkatapos ng decimal point ay tataas kung mapapansin mo na ang 1828 ay ang taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy!
Ngayon ay may mga kumpletong talahanayan ng natural logarithms.
Iskedyul natural na logarithm (mga function y=ln x) ay bunga ng exponential graph bilang mirror image ng tuwid na linya y = x at may anyo:
Ang natural na logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong tunay na numero a bilang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula sa 1 sa a.
Ang elementarya na katangian ng pagbabalangkas na ito, na naaayon sa maraming iba pang mga pormula kung saan ang natural na logarithm ay kasangkot, ang dahilan ng pagbuo ng pangalang "natural".
Kung susuriin mo natural na logarithm, bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, pagkatapos ay kumikilos ito baligtad na pag-andar sa isang exponential function, na bumababa sa mga pagkakakilanlan:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagpapalit ng multiplikasyon sa karagdagan, paghahati sa pagbabawas:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Ang logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong base na hindi katumbas ng isa, hindi lamang para sa e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm.
Nasuri natural na logarithm graph, nalaman namin na ito ay umiiral para sa mga positibong halaga ng variable x. Ito ay tumataas monotonically sa kanyang domain ng kahulugan.
Sa x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( -∞ ).Sa x → +∞ ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Sa kabuuan x Ang logarithm ay tumataas nang medyo mabagal. Anumang power function xa na may positibong exponent a mas mabilis na tumataas kaysa sa logarithm. Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema.
Paggamit natural logarithms very rational kapag pumasa mas mataas na matematika. Kaya, ang paggamit ng logarithm ay maginhawa para sa paghahanap ng sagot sa mga equation kung saan lumilitaw ang mga hindi alam bilang mga exponent. Ang paggamit ng natural na logarithms sa mga kalkulasyon ay ginagawang posible na lubos na pasimplehin malaking bilang mga pormula sa matematika. Logarithms sa base e ay naroroon sa paglutas ng malaking bilang ng mga pisikal na problema at natural na kasama sa matematikal na paglalarawan ng indibidwal na kemikal, biyolohikal at iba pang mga proseso. Kaya, ang logarithms ay ginagamit upang kalkulahin ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang kalkulahin ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema ng radioactivity. Gumaganap sila ng nangungunang papel sa maraming larangan ng matematika at praktikal na agham, ang mga ito ay ginagamit sa larangan ng pananalapi upang malutas malaking bilang mga gawain, kabilang ang pagkalkula ng tambalang interes.
1.1. Pagtukoy sa exponent para sa isang integer exponent
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N beses
1.2. Zero degree.
Sa pamamagitan ng kahulugan, karaniwang tinatanggap na ang zero power ng anumang numero ay 1:1.3. Negatibong antas.
X -N = 1/X N1.4. Fractional na kapangyarihan, ugat.
X 1/N = N ugat ng X.Halimbawa: X 1/2 = √X.
1.5. Formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan.
X (N+M) = X N *X M1.6.Formula para sa pagbabawas ng mga kapangyarihan.
X (N-M) = X N /X M1.7. Formula para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan.
X N*M = (X N) M1.8. Formula para sa pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan.
(X/Y) N = X N /Y N2. Bilang e.
Ang halaga ng numero e ay katumbas ng sumusunod na limitasyon:E = lim(1+1/N), bilang N → ∞.
Sa katumpakan ng 17 digit, ang numerong e ay 2.71828182845904512.
3. Pagkakapantay-pantay ni Euler.
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nag-uugnay sa limang numero na gumaganap ng isang espesyal na papel sa matematika: 0, 1, e, pi, imaginary unit.E (i*pi) + 1 = 0
4. Exponential function exp(x)
exp(x) = e x5. Derivative ng exponential function
Ang exponential function ay may kapansin-pansing katangian: ang derivative ng function ay katumbas ng exponential function mismo:(exp(x))" = exp(x)
6. Logarithm.
6.1. Kahulugan ng logarithm function
Kung x = b y, ang logarithm ay ang functionY = Log b(x).
Ang logarithm ay nagpapakita kung anong kapangyarihan ang isang numero - ang base ng logarithm (b) - ay dapat na itaas upang makakuha ng isang naibigay na numero (X). Ang logarithm function ay tinukoy para sa X na mas malaki sa zero.
Halimbawa: Log 10 (100) = 2.
6.2. Decimal logarithm
Ito ang logarithm sa base 10:Y = Log 10 (x) .
Tinutukoy ng Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Ang isang halimbawa ng paggamit ng decimal logarithm ay decibel.
6.3. Decibel
Ang item ay naka-highlight sa isang hiwalay na pahina ng Decibel6.4. Binary logarithm
Ito ang base 2 logarithm:Y = Log 2 (x).
Tinutukoy ng Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Likas na logarithm
Ito ang logarithm na ibabatay e:Y = Log e (x) .
Tinutukoy ng Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Ang natural na logarithm ay ang inverse function ng exponential function exp(X).
6.6. Mga punto ng katangian
Loga(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Formula ng logarithm ng produkto
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Formula para sa logarithm ng quotient
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Logarithm ng power formula
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Formula para sa pag-convert sa isang logarithm na may ibang base
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Halimbawa:
Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Mga formula na kapaki-pakinabang sa buhay
Kadalasan mayroong mga problema sa pag-convert ng volume sa lugar o haba at ang kabaligtaran na problema - pag-convert ng lugar sa volume. Halimbawa, ang mga board ay ibinebenta sa mga cube (kubiko metro), at kailangan nating kalkulahin kung gaano karaming lugar ng dingding ang maaaring sakop ng mga board na nilalaman sa isang tiyak na dami, tingnan ang pagkalkula ng mga board, kung gaano karaming mga board ang nasa isang kubo. O, kung ang mga sukat ng pader ay kilala, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga brick, tingnan ang pagkalkula ng brick.
Pinahihintulutan na gumamit ng mga materyal ng site sa kondisyon na ang isang aktibong link sa pinagmulan ay naka-install.
Likas na logarithm
Graph ng natural na logarithm function. Ang function ay dahan-dahang lumalapit sa positibong infinity habang tumataas ito x at mabilis na lumalapit sa negatibong kawalang-hanggan kapag x may posibilidad na 0 (“mabagal” at “mabilis” kumpara sa anumang power function ng x).
Likas na logarithm ay ang logarithm sa base , Saan e- isang hindi makatwiran na pare-pareho na katumbas ng humigit-kumulang 2.718281 828. Ang natural na logarithm ay karaniwang isinusulat bilang ln( x), log e (x) o minsan mag log( x), kung ang batayan e ipinahiwatig.
Natural logarithm ng isang numero x(isinulat bilang ln(x)) ay ang exponent kung saan dapat itaas ang numero e para makuha x. Halimbawa, ln(7,389...) katumbas ng 2 dahil e 2 =7,389... . Natural logarithm ng numero mismo e (ln(e)) ay katumbas ng 1 dahil e 1 = e, at ang natural na logarithm ay 1 ( ln(1)) ay katumbas ng 0 dahil e 0 = 1.
Ang natural na logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong tunay na numero a bilang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula 1 hanggang a. Ang pagiging simple ng kahulugan na ito, na naaayon sa maraming iba pang mga formula na gumagamit ng natural na logarithm, ay humantong sa pangalang "natural". Ang kahulugan na ito ay maaaring palawakin sa mga kumplikadong numero, gaya ng tinalakay sa ibaba.
Kung isasaalang-alang natin ang natural na logarithm bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, kung gayon ito ay ang kabaligtaran na pag-andar ng exponential function, na humahantong sa mga pagkakakilanlan:
Tulad ng lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagmamapa ng multiplikasyon sa karagdagan:
Kaya, ang logarithmic function ay isang isomorphism ng pangkat ng positibo tunay na mga numero tungkol sa pagpaparami ng isang pangkat ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng karagdagan, na maaaring katawanin bilang isang function:
Ang logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong base maliban sa 1, hindi lamang e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm. Ang mga logarithm ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga equation na kinabibilangan ng mga hindi alam bilang mga exponent. Halimbawa, ang mga logarithms ay ginagamit upang mahanap ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang mahanap ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema sa radioactivity. May mahalagang papel ang mga ito sa maraming larangan ng matematika at inilapat na agham, at ginagamit sa pananalapi upang malutas ang maraming problema, kabilang ang paghahanap ng tambalang interes.
Kwento
Ang unang pagbanggit ng natural logarithm ay ginawa ni Nicholas Mercator sa kanyang trabaho Logarithmotechnia, na inilathala noong 1668, bagama't ang guro sa matematika na si John Spidell ay nag-compile ng isang talahanayan ng natural logarithms noong 1619. Dati itong tinawag na hyperbolic logarithm dahil tumutugma ito sa lugar sa ilalim ng hyperbola. Minsan ito ay tinatawag na Napier logarithm, bagaman ang orihinal na kahulugan ng terminong ito ay medyo naiiba.
Mga kombensiyon sa pagtatalaga
Ang natural na logarithm ay karaniwang tinutukoy ng "ln( x)", logarithm hanggang base 10 - sa pamamagitan ng "lg( x)", at iba pang mga dahilan ay karaniwang ipinahiwatig nang tahasang may simbolong "log".
Sa maraming mga gawa sa discrete mathematics, cybernetics, at computer science, ginagamit ng mga may-akda ang notasyong “log( x)" para sa logarithms sa base 2, ngunit ang kumbensyong ito ay hindi karaniwang tinatanggap at nangangailangan ng paglilinaw alinman sa listahan ng mga notasyong ginamit o (sa kawalan ng ganoong listahan) sa pamamagitan ng footnote o komento noong unang ginamit.
Ang mga panaklong sa paligid ng argumento ng logarithms (kung hindi ito humantong sa isang maling pagbabasa ng formula) ay kadalasang inaalis, at kapag tinataas ang logarithm sa isang kapangyarihan, ang exponent ay direktang itinalaga sa sign ng logarithm: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
Sistemang Anglo-Amerikano
Karaniwang ginagamit ng mga mathematician, statistician at ilang inhinyero ang terminong “natural logarithm” o “log( x)" o "ln( x)", at upang tukuyin ang base 10 logarithm - "log 10 ( x)».
Ang ilang mga inhinyero, biologist at iba pang mga espesyalista ay palaging nagsusulat ng "ln( x)" (o paminsan-minsan ay "log e ( x)") kapag ang ibig nilang sabihin ay ang natural na logarithm, at ang notasyong "log( x)" ang ibig nilang sabihin ay log 10 ( x).
log e ay isang "natural" na logarithm dahil awtomatiko itong nangyayari at madalas na lumilitaw sa matematika. Halimbawa, isaalang-alang ang problema ng derivative ng isang logarithmic function:
Kung ang basehan b katumbas e, kung gayon ang derivative ay 1/ x, at kailan x= 1 ang derivative na ito ay katumbas ng 1. Isa pang dahilan kung bakit ang base e Ang pinaka-natural na bagay tungkol sa logarithm ay maaari itong matukoy nang simple sa mga tuntunin ng isang simpleng integral o serye ng Taylor, na hindi masasabi tungkol sa iba pang logarithms.
Ang mga karagdagang katwiran para sa pagiging natural ay hindi nauugnay sa notasyon. Kaya, halimbawa, mayroong ilan mga simpleng hanay na may natural na logarithms. Tinawag sila nina Pietro Mengoli at Nicholas Mercator logarithmus naturalis ilang dekada hanggang bumuo ng differential at integral calculus sina Newton at Leibniz.
Kahulugan
Pormal na ln( a) ay maaaring tukuyin bilang ang lugar sa ilalim ng curve ng graph 1/ x mula 1 hanggang a, ibig sabihin, bilang integral:
Ito ay tunay na logarithm dahil natutugunan nito ang pangunahing katangian ng logarithm:
Ito ay maipapakita sa pamamagitan ng pag-aakalang tulad ng sumusunod:
Numerical na halaga
Para sa pagkalkula numerical value natural logarithm ng isang numero, maaari mong gamitin ang pagpapalawak ng serye ng Taylor nito sa anyo:
Para makuha mas mahusay na bilis convergence, maaari nating gamitin ang sumusunod na pagkakakilanlan:
Para sa ln( x), Saan x> 1, mas malapit ang halaga x sa 1, pagkatapos mas mabilis na bilis convergence. Ang mga pagkakakilanlan na nauugnay sa logarithm ay maaaring gamitin upang makamit ang layunin:
Ginamit ang mga pamamaraang ito bago pa man dumating ang mga calculator, kung saan ginamit ang mga numerical table at isinagawa ang mga manipulasyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas.
Mataas na katumpakan
Para sa pag-compute ng natural na logarithm na may malaking bilang ng mga precision digit, hindi mahusay ang serye ng Taylor dahil mabagal ang convergence nito. Ang isang kahalili ay ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang baligtarin ang isang exponential function na ang mga serye ay mas mabilis na nagtatagpo.
Ang isang alternatibo para sa napakataas na katumpakan ng pagkalkula ay ang formula:
saan M nagsasaad ng arithmetic-geometric average ng 1 at 4/s, at
m pinili kaya na p ang mga marka ng katumpakan ay nakamit. (Sa karamihan ng mga kaso, sapat na ang halagang 8 para sa m.) Sa katunayan, kung gagamitin ang pamamaraang ito, maaaring ilapat ang inverse ng Newton ng natural logarithm upang mahusay na makalkula ang exponential function. (Ang mga constants ln 2 at pi ay maaaring paunang kalkulahin sa nais na katumpakan gamit ang alinman sa kilalang mabilis na convergent na serye.)
Computational complexity
Ang computational complexity ng natural logarithms (gamit ang arithmetic-geometric mean) ay O( M(n)ln n). Dito n ay ang bilang ng mga digit ng katumpakan kung saan dapat suriin ang natural na logarithm, at M(n) ay ang computational complexity ng pagpaparami ng dalawa n-digit na mga numero.
Patuloy na mga fraction
Bagama't walang mga simpleng patuloy na fraction na kumakatawan sa isang logarithm, maaaring gamitin ang ilang pangkalahatang patuloy na fraction, kabilang ang:
Mga kumplikadong logarithms
Ang exponential function ay maaaring i-extend sa isang function na nagbibigay ng isang kumplikadong numero ng form e x para sa anumang arbitrary complex number x, sa kasong ito ay isang walang katapusang serye na may kumplikado x. Ang exponential function na ito ay maaaring baligtarin upang bumuo ng isang kumplikadong logarithm, na magkakaroon karamihan mga katangian ng ordinaryong logarithms. Gayunpaman, mayroong dalawang kahirapan: wala x, para saan e x= 0, at lumalabas na e 2πi = 1 = e 0 . Dahil ang multiplicativity property ay wasto para sa isang kumplikadong exponential function, kung gayon e z = e z+2nπi para sa lahat ng kumplikado z at buo n.
Ang logarithm ay hindi maaaring tukuyin sa buong kumplikadong eroplano, at kahit na ito ay multivalued - anumang kumplikadong logarithm ay maaaring mapalitan ng isang "katumbas" na logarithm sa pamamagitan ng pagdaragdag ng anumang integer multiple ng 2 πi. Ang kumplikadong logarithm ay maaari lamang maging isang halaga sa isang slice ng kumplikadong eroplano. Halimbawa, ln i = 1/2 πi o 5/2 πi o −3/2 πi, atbp., at bagaman i 4 = 1.4 log i maaaring tukuyin bilang 2 πi, o 10 πi o −6 πi, at iba pa.
Tingnan din
- John Napier - imbentor ng logarithms
Mga Tala
- Matematika para sa pisikal na kimika. - ika-3. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Extract ng pahina 9
- J J O"Connor at EF Robertson Ang dami e. Ang MacTutor History of Mathematics archive (Setyembre 2001). Naka-archive
- Cajori Florian Isang Kasaysayan ng Matematika, ika-5 ed. - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Pagtatantya ng Integrals gamit ang Polynomials. Na-archive mula sa orihinal noong Pebrero 12, 2012.
Graph ng natural na logarithm function. Ang function ay dahan-dahang lumalapit sa positibong infinity habang tumataas ito x at mabilis na lumalapit sa negatibong kawalang-hanggan kapag x may posibilidad na 0 (“mabagal” at “mabilis” kumpara sa anumang power function ng x).
Likas na logarithm ay ang logarithm sa base , Saan e (\displaystyle e)- isang hindi makatwiran na pare-pareho na katumbas ng humigit-kumulang 2.72. Ito ay tinutukoy bilang ln x (\displaystyle \ln x), log e x (\displaystyle \log _(e)x) o minsan lang log x (\displaystyle \log x), kung ang batayan e (\displaystyle e) ipinahiwatig . Sa madaling salita, ang natural na logarithm ng isang numero x- isa itong exponent kung saan dapat itaas ang isang numero e para makuha x. Ang kahulugan na ito ay maaaring palawakin sa mga kumplikadong numero.
ln e = 1 (\displaystyle \ln e=1), dahil e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), dahil e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).Ang natural na logarithm ay maaari ding tukuyin sa geometriko para sa anumang positibong tunay na numero a bilang lugar sa ilalim ng kurba y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) sa pagitan [ 1 ; a ] (\displaystyle ). Ang pagiging simple ng kahulugan na ito, na naaayon sa maraming iba pang mga formula na gumagamit ng logarithm na ito, ay nagpapaliwanag sa pinagmulan ng pangalang "natural".
Kung isasaalang-alang natin ang natural na logarithm bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, kung gayon ito ay ang kabaligtaran na pag-andar ng exponential function, na humahantong sa mga pagkakakilanlan:
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Tulad ng lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagmamapa ng multiplikasyon sa karagdagan:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi natukoy. Bilang karagdagan, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero na hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang base -2 logarithm ng 4 ay pantay. sa 2.
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Mahalagang magkaiba ang saklaw ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Ang kaliwang bahagi ay tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. Ang kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, at hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa OD.
Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.
Logarithm ng produkto at logarithm ng quotient
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Gusto kong bigyan ng babala ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paglalapat ng mga formula na ito sa paglutas logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginagamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan," ang ODZ ay lumiliit, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, lumalawak ang ODZ.
Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f(x) at g(x) ay parehong mas mababa sa zero.
Ang pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x), napipilitan tayong limitahan ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. Mayroong pagpapaliit ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).
Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)At muli gusto kong tumawag para sa katumpakan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Sa pamamagitan ng pagkuha ng degree sa logarithm, muli naming pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.
Formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.
Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalagang espesyal na kaso mga formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Ilang simpleng halimbawa na may logarithms
Halimbawa 1. Kalkulahin: log2 + log50.
Solusyon. log2 + log50 = log100 = 2. Ginamit namin ang sum ng logarithms formula (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.
Halimbawa 2. Kalkulahin: lg125/lg5.
Solusyon. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base (8).
Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms
| isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Naglo-load...
