Logarithm sa anumang base. Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

pangunahing katangian.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

magkatulad na batayan

Log6 4 + log6 9.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Siyempre, lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x >

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Hayaan itong ibigay logarithm log palakol. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tingnan din ang:

Mga pangunahing katangian ng logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay katumbas ng 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Halimbawa 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Gamit ang mga katangian 3.5 kinakalkula namin

2.

3.

4. saan .

Halimbawa 2. Hanapin ang x kung

Halimbawa 3. Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Tiyak na kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - hindi isang solong seryosong problema sa logarithmic ang malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: pangunahing punto dito - magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin pagpapahayag ng logarithmic kahit na hindi binibilang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran , ibig sabihin. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator.

Mga formula ng logarithm. Mga halimbawa ng solusyon sa Logarithms.

Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang matagpuan sa maginoo numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay isang logarithm value lamang.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b ay itinaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang na a? Iyan ay tama: ang resulta ay ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan sa parehong batayan, nakukuha namin ang:

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang a0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.

Tingnan din ang:

Ang logarithm ng b sa base a ay nagsasaad ng expression. Upang kalkulahin ang logarithm ay nangangahulugan na makahanap ng isang kapangyarihan x () kung saan ang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Kinakailangang malaman ang mga katangian sa itaas, dahil halos lahat ng mga problema at mga halimbawa na may kaugnayan sa logarithms ay nalutas sa kanilang batayan. Ang natitirang mga kakaibang katangian ay maaaring makuha sa pamamagitan ng matematikal na pagmamanipula gamit ang mga formula na ito

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kapag kinakalkula ang formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga logarithms (3.4) madalas kang nakakaharap. Ang natitira ay medyo kumplikado, ngunit sa isang bilang ng mga gawain sila ay kailangang-kailangan para sa pagpapasimple ng mga kumplikadong expression at pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Ang ilan sa mga karaniwang logarithms ay ang mga kung saan ang base ay kahit sampu, exponential o dalawa.
Ang logarithm sa base sampu ay karaniwang tinatawag na decimal logarithm at simpleng tinutukoy ng lg(x).

Malinaw sa recording na ang mga basic ay hindi nakasulat sa recording. Halimbawa

Ang natural na logarithm ay isang logarithm na ang base ay isang exponent (na tinutukoy ng ln(x)).

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay katumbas ng 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Nikolaevich Tolstoy. Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

At isa pang mahalagang logarithm sa base ng dalawa ay tinutukoy ng

Ang derivative ng logarithm ng isang function ay katumbas ng isang hinati ng variable

Ang integral o antiderivative logarithm ay tinutukoy ng relasyon

Ang ibinigay na materyal ay sapat para sa iyo upang malutas ang isang malawak na klase ng mga problema na may kaugnayan sa logarithms at logarithms. Upang matulungan kang maunawaan ang materyal, magbibigay lamang ako ng ilang karaniwang mga halimbawa mula sa kurikulum ng paaralan at mga unibersidad.

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Halimbawa 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Gamit ang mga katangian 3.5 kinakalkula namin

2.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng pagkakaiba ng logarithms mayroon tayo

3.
Gamit ang mga katangian 3.5 nahanap namin

4. saan .

Sa itsura kumplikadong pagpapahayag ang paggamit ng ilang mga panuntunan ay pinasimple upang mabuo

Paghahanap ng mga halaga ng logarithm

Halimbawa 2. Hanapin ang x kung

Solusyon. Para sa pagkalkula, nalalapat kami sa huling termino 5 at 13 na mga katangian

Inilagay namin ito sa talaan at nagdadalamhati

Dahil ang mga base ay pantay, tinutumbasan namin ang mga expression

Logarithms. Entry level.

Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Solusyon: Kumuha tayo ng logarithm ng variable upang isulat ang logarithm sa pamamagitan ng kabuuan ng mga termino nito

Ito ay simula pa lamang ng ating pagkakakilala sa logarithms at sa kanilang mga katangian. Magsanay ng mga kalkulasyon, pagyamanin ang iyong mga praktikal na kasanayan - malapit mo nang kailanganin ang kaalaman na makukuha mo upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, palawakin namin ang iyong kaalaman sa isa pang pantay na mahalagang paksa - logarithmic inequalities...

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Tiyak na kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - hindi isang solong seryosong problema sa logarithmic ang malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log6 4 + log6 9.

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran , ibig sabihin. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay isang logarithm value lamang.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b ay itinaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang na a? Iyan ay tama: ang resulta ay ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang a0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.

Logarithm ng isang numero N batay sa A tinatawag na exponent X , kung saan kailangan mong buuin A para makuha ang numero N

Provided na
,
,

Mula sa kahulugan ng logarithm ito ay sumusunod na
, ibig sabihin.
- ang pagkakapantay-pantay na ito ay ang pangunahing logarithmic identity.

Ang mga logarithm hanggang base 10 ay tinatawag na decimal logarithms. sa halip na
magsulat
.

Logarithms sa base e ay tinatawag na natural at itinalaga
.

Mga pangunahing katangian ng logarithms.

Ang logarithm ng isa ay katumbas ng zero para sa anumang base.

Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.

3) Ang logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms

Salik
tinatawag na modulus ng paglipat mula sa logarithms hanggang sa base a sa logarithms sa base b .

Gamit ang mga katangian 2-5, madalas na posible na bawasan ang logarithm ng isang kumplikadong expression sa resulta ng mga simpleng operasyon ng arithmetic sa logarithms.

Halimbawa,

Ang ganitong mga pagbabago ng logarithm ay tinatawag na logarithms. Ang mga pagbabagong inverse sa logarithms ay tinatawag na potentiation.

Kabanata 2. Mga Elemento ng mas mataas na matematika.

1. Mga limitasyon

Limitasyon ng function
ay isang may hangganang bilang A kung, bilang xx 0 para sa bawat paunang natukoy
, may ganyang numero
na sa lalong madaling panahon
, Iyon
.

Ang isang function na may limitasyon ay naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang napakaliit na halaga:
, kung saan- b.m.v., ibig sabihin.
.

Halimbawa. Isaalang-alang ang function
.

Kapag nagsusumikap
, function y may posibilidad na zero:

1.1. Mga pangunahing teorema tungkol sa mga limitasyon.

Limitahan pare-pareho ang halaga katumbas ng pare-parehong halaga na ito

.

Ang limitasyon ng kabuuan (difference) ng isang may hangganang bilang ng mga function ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga limitasyon ng mga function na ito.

Ang limitasyon ng produkto ng isang may hangganang bilang ng mga function ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon ng mga function na ito.

Ang limitasyon ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon ng mga function na ito kung ang limitasyon ng denominator ay hindi zero.

Kahanga-hangang mga Limitasyon

,
, Saan

1.2. Limitahan ang Mga Halimbawa ng Pagkalkula

Gayunpaman, hindi lahat ng mga limitasyon ay kinakalkula nang ganoon kadali. Mas madalas, ang pagkalkula ng limitasyon ay bumababa sa pagbubunyag ng isang uri ng kawalan ng katiyakan: o .

.

2. Derivative ng isang function

Magkaroon tayo ng function
, tuloy-tuloy sa segment
.

Pangangatwiran nakakuha ng kaunting pagtaas
. Pagkatapos ang function ay makakatanggap ng isang pagtaas
.

Halaga ng argumento tumutugma sa halaga ng function
.

Halaga ng argumento
tumutugma sa halaga ng function.

Kaya naman, .

Hanapin natin ang limitasyon ng ratio na ito sa
. Kung umiiral ang limitasyong ito, ito ay tinatawag na derivative ng ibinigay na function.

Kahulugan 3 Derivative ng isang ibinigay na function
sa pamamagitan ng argumento ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng isang function sa pagtaas ng argumento, kapag ang pagtaas ng argumento ay arbitraryong nagiging zero.

Derivative ng isang function
maaaring italaga bilang mga sumusunod:

; ; ; .

Depinisyon 4Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ng isang function ay tinatawag pagkakaiba-iba.

2.1. Ang mekanikal na kahulugan ng derivative.

Isaalang-alang natin ang rectilinear motion ng ilang matibay na katawan o materyal na punto.

Hayaan sa isang punto ng oras gumagalaw na punto
ay nasa malayo mula sa panimulang posisyon
.

Pagkaraan ng ilang panahon
lumipat siya ng distansya
. Saloobin =- average na bilis materyal na punto
. Hanapin natin ang limitasyon ng ratio na ito, na isinasaalang-alang iyon
.

Dahil dito, ang pagtukoy sa agarang bilis ng paggalaw ng isang materyal na punto ay nababawasan sa paghahanap ng derivative ng landas na may paggalang sa oras.

2.2. Geometric na halaga ng derivative

Magkaroon tayo ng isang graphically tinukoy na function
.

kanin. 1. Geometric na kahulugan ng derivative

Kung
, pagkatapos ay ituro
, ay lilipat sa kurba, papalapit sa punto
.

Kaya naman
, ibig sabihin. ang halaga ng derivative para sa isang ibinigay na halaga ng argumento ayon sa bilang na katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo ng tangent sa isang naibigay na punto na may positibong direksyon ng axis
.

2.3. Talaan ng mga pangunahing formula ng pagkakaiba-iba.

Pag-andar ng kapangyarihan

Exponential function

Logarithmic function

Trigonometric function

Reverse trigonometriko function

2.4. Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan.

Hinango ng

Derivative ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga function

Derivative ng produkto ng dalawang function

Derivative ng quotient ng dalawang function

2.5. Derivative ng isang kumplikadong function.

Hayaang ibigay ang function
upang ito ay maipakita sa anyo

At
, kung saan ang variable ay isang intermediate argument, kung gayon

Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng ibinigay na function na may paggalang sa intermediate argument at ang derivative ng intermediate argument na may paggalang sa x.

Halimbawa 1.

Halimbawa 2.

3. Differential function.

Hayaan mo na
, naiba sa isang tiyak na agwat
at hayaan sa may derivative ang function na ito

,

pagkatapos ay maaari tayong magsulat

(1),

saan - isang napakaliit na dami,

simula nung

Pagpaparami ng lahat ng tuntunin ng pagkakapantay-pantay (1) sa
mayroon kaming:

saan
- b.m.v. mas mataas na pagkakasunud-sunod.

Magnitude
tinatawag na differential ng function
at itinalaga

.

3.1. Geometric na halaga ng kaugalian.

Hayaang ibigay ang function
.

Fig.2. Geometric na kahulugan ng kaugalian.

.

Malinaw, ang kaugalian ng pag-andar
ay katumbas ng pagtaas ng ordinate ng tangent sa isang naibigay na punto.

3.2. Mga derivatives at differentials ng iba't ibang mga order.

Kung meron
, Pagkatapos
ay tinatawag na unang derivative.

Ang derivative ng unang derivative ay tinatawag na second-order derivative at nakasulat
.

Derivative ng nth order ng function
ay tinatawag na (n-1)th order derivative at nakasulat:

.

Ang differential ng differential ng isang function ay tinatawag na second differential o second order differential.

.

.

3.3 Paglutas ng mga biological na problema gamit ang differentiation.

Gawain 1. Ipinakita ng mga pag-aaral na ang paglaki ng isang kolonya ng mga mikroorganismo ay sumusunod sa batas
, Saan N – bilang ng mga mikroorganismo (sa libu-libo), t - oras (araw).

b) Tataas o bababa ba ang populasyon ng kolonya sa panahong ito?

Sagot. Tataas ang laki ng kolonya.

Gawain 2. Ang tubig sa lawa ay pana-panahong sinusuri upang masubaybayan ang nilalaman ng pathogenic bacteria. Sa pamamagitan ng t araw pagkatapos ng pagsubok, ang konsentrasyon ng bakterya ay tinutukoy ng ratio

.

Kailan magkakaroon ng pinakamababang konsentrasyon ng bacteria ang lawa at posible bang lumangoy dito?

Solusyon: Ang isang function ay umabot sa max o min kapag ang derivative nito ay zero.

,

Tukuyin natin ang max o min sa loob ng 6 na araw. Upang gawin ito, kunin natin ang pangalawang derivative.

Sagot: Pagkatapos ng 6 na araw magkakaroon ng pinakamababang konsentrasyon ng bacteria.

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na ang mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! Huwag maniwala sa akin? ayos lang. Ngayon, sa loob lang ng 10 - 20 minuto ay:

1. Maiintindihan mo ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase mga exponential equation. Kahit na wala kang narinig tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang multiplication table at kung paano itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan...

Pakiramdam ko ay may pagdududa ka... Well, okay, markahan ang oras! Tara na!

Una, lutasin ang equation na ito sa iyong ulo:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Mga tagubilin

Isulat ang ibinigay na logarithmic expression. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, ang notasyon nito ay pinaikli at ganito ang hitsura: lg b ay ang decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may numerong e bilang base nito, pagkatapos ay isulat ang expression: ln b – natural na logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng alinman ay ang kapangyarihan kung saan ang batayang numero ay dapat na itaas upang makuha ang numero b.

Kapag hinahanap ang kabuuan ng dalawang function, kailangan mo lang na ibahin ang mga ito nang isa-isa at idagdag ang mga resulta: (u+v)" = u"+v";

Kapag hinahanap ang derivative ng produkto ng dalawang function, kailangang i-multiply ang derivative ng unang function sa pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function na pinarami ng unang function: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Upang mahanap ang derivative ng quotient ng dalawang function, kinakailangan na ibawas mula sa produkto ng derivative ng dividend na pinarami ng divisor function ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng function ng dividend, at hatiin. lahat ng ito sa pamamagitan ng divisor function squared. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kung bibigyan kumplikadong pag-andar, kung gayon kinakailangan na i-multiply ang derivative ng internal function at ang derivative ng external. Hayaan ang y=u(v(x)), pagkatapos ay y"(x)=y"(u)*v"(x).

Gamit ang mga resulta na nakuha sa itaas, maaari mong iiba ang halos anumang function. Kaya tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Mayroon ding mga problema na kinasasangkutan ng pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang function na y=e^(x^2+6x+5), kailangan mong hanapin ang halaga ng function sa puntong x=1.
1) Hanapin ang derivative ng function: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng function sa ibinigay na punto y"(1)=8*e^0=8

Video sa paksa

Kapaki-pakinabang na payo

Alamin ang talahanayan ng mga elementary derivatives. Makakatipid ito ng oras.

Mga Pinagmulan:

• derivative ng isang pare-pareho

Kaya, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng rational equation mula sa makatwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng sign parisukat na ugat, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.

Mga tagubilin

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagbuo ng magkabilang panig mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman. ito ay natural, ang unang bagay na kailangan mong gawin ay alisin ang tanda. Ang pamamaraang ito ay hindi teknikal na mahirap, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation ay v(2x-5)=v(4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig makakakuha ka ng 2x-5=4x-7. Ang paglutas ng gayong equation ay hindi mahirap; x=1. Ngunit ang numero 1 ay hindi ibibigay mga equation. Bakit? Ipalit ang isa sa equation sa halip na ang halaga ng x At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatwiran, iyon ay. Ang halagang ito ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang extraneous na ugat, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.

Kaya, ang isang hindi makatwirang equation ay nalulutas gamit ang paraan ng pag-squaring sa magkabilang panig nito. At nang malutas ang equation, kinakailangan na putulin ang mga extraneous na ugat. Upang gawin ito, palitan ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2х+vх-3=0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong equation tulad ng nauna. Ilipat ang mga Compound mga equation, na walang square root, sa kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang squaring method. lutasin ang nagresultang rational equation at mga ugat. Ngunit isa pa, mas matikas. Magpasok ng bagong variable; vх=y. Alinsunod dito, makakatanggap ka ng equation ng form na 2y2+y-3=0. Iyon ay, ang karaniwan quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1=1 at y2=-3/2. Susunod, lutasin ang dalawa mga equation vх=1; vх=-3/2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat; Huwag kalimutang suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay medyo simple. Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo hanggang sa makamit ang itinakdang layunin. Kaya, sa tulong ng mga simpleng operasyon ng aritmetika, ang gawain sa kamay ay malulutas.

Kakailanganin mo

• - papel;
• - panulat.

Mga tagubilin

Ang pinakasimpleng mga pagbabagong-anyo ay ang algebraic abbreviated multiplications (tulad ng parisukat ng kabuuan (difference), pagkakaiba ng mga parisukat, kabuuan (difference), cube ng kabuuan (difference)). Bilang karagdagan, mayroong maraming at mga formula ng trigonometriko, na mahalagang magkaparehong pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino katumbas ng parisukat ang una at idoble ang produkto ng una sa pangalawa at idagdag ang parisukat ng pangalawa, iyon ay (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Pasimplehin pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon

Ulitin ang textbook sa mathematical analysis o mas mataas na matematika, na isang tiyak na integral. Tulad ng nalalaman, ang solusyon sa isang tiyak na integral ay isang function na ang derivative ay magbibigay ng integrand. Ang function na ito ay tinatawag na antiderivative. Batay sa prinsipyong ito, ang mga pangunahing integral ay itinayo.
Tukuyin ayon sa uri ng integrat kung alin sa mga integral ng talahanayan ang angkop sa kasong ito. Hindi laging posible na matukoy ito kaagad. Kadalasan, ang tabular form ay nagiging kapansin-pansin lamang pagkatapos ng ilang mga pagbabagong-anyo upang pasimplehin ang integrand.

Paraan ng Pagpapalit ng Variable

Kung ang integrand ay isang trigonometric function na ang argumento ay isang polynomial, pagkatapos ay subukang gamitin ang paraan ng pagbabago ng mga variable. Upang magawa ito, palitan ang polynomial sa argument ng integrand ng ilang bagong variable. Batay sa relasyon sa pagitan ng bago at lumang mga variable, tukuyin ang mga bagong limitasyon ng pagsasama. Sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng expression na ito, hanapin ang bagong kaugalian sa . Kaya makakakuha ka bagong hitsura ng nakaraang integral, malapit sa o kahit na tumutugma sa alinmang tabular.

Paglutas ng mga integral ng pangalawang uri

Kung ang integral ay isang integral ng pangalawang uri, isang vector form ng integrand, kakailanganin mong gamitin ang mga patakaran para sa paglipat mula sa mga integral na ito patungo sa mga scalar. Ang isa sa gayong tuntunin ay ang ugnayang Ostrogradsky-Gauss. Ang batas na ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa rotor flux ng isang partikular na function ng vector patungo sa triple integral sa divergence ng isang binigay na vector field.

Pagpapalit ng mga limitasyon sa pagsasama

Matapos mahanap ang antiderivative, kinakailangan na palitan ang mga limitasyon ng pagsasama. Una, palitan ang halaga ng itaas na limitasyon sa expression para sa antiderivative. Makakakuha ka ng ilang numero. Susunod, ibawas mula sa resultang numero ang isa pang numerong nakuha mula sa mas mababang limitasyon patungo sa antiderivative. Kung ang isa sa mga limitasyon ng pagsasama ay infinity, pagkatapos ay kapag pinapalitan ito sa antiderivative function kinakailangang pumunta sa limitasyon at hanapin kung ano ang sinisikap ng expression.
Kung ang integral ay two-dimensional o three-dimensional, kakailanganin mong katawanin ang mga limitasyon ng integration sa geometriko upang maunawaan kung paano suriin ang integral. Sa katunayan, sa kaso ng, sabihin nating, isang three-dimensional na integral, ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mga buong eroplano na naglilimita sa volume na isinama.

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Tiyak na kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - hindi isang solong seryosong problema sa logarithmic ang malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong mga base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

[Caption para sa larawan]

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mayroon kaming:

[Caption para sa larawan]

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

[Caption para sa larawan]

Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha namin ang:

[Caption para sa larawan]

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

[Caption para sa larawan]

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

[Caption para sa larawan]

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

[Caption para sa larawan]

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n nagiging tagapagpahiwatig ng antas na nakatayo sa argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil isa lamang itong halaga ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyan ang tawag dito: ang pangunahing logarithmic identity.

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng numero a? Tama iyon: makukuha mo ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

[Caption para sa larawan]

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

[Caption para sa larawan]

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

1. log a a Ang = 1 ay isang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: logarithm sa anumang base a mula sa baseng ito ay katumbas ng isa.
2. log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.