Umaasa ako na pagkatapos pag-aralan ang artikulong ito matututunan mo kung paano hanapin ang mga ugat ng isang kumpletong quadratic equation.
Gamit ang discriminant, ang kumpletong quadratic equation lamang ang malulutas para sa paglutas ng mga hindi kumpleto quadratic equation gumamit ng iba pang mga pamamaraan na makikita mo sa artikulong "Paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation."
Anong mga quadratic equation ang tinatawag na complete? Ito mga equation ng anyong ax 2 + b x + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang isang kumpletong quadratic equation, kailangan nating kalkulahin ang discriminant D.
D = b 2 – 4ac.
Depende sa halaga ng discriminant, isusulat namin ang sagot.
Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.
Kung zero ang discriminant, x = (-b)/2a. Kapag ang discriminant ay isang positibong numero (D > 0),
pagkatapos x 1 = (-b - √D)/2a, at x 2 = (-b + √D)/2a.
Halimbawa. Lutasin ang equation x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Sagot: 2.
Lutasin ang Equation 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Sagot: walang ugat.
Lutasin ang Equation 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Sagot: – 3.5; 1.
Kaya isipin natin ang solusyon ng kumpletong quadratic equation gamit ang diagram sa Figure 1.
Gamit ang mga formula na ito maaari mong lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation. Kailangan mo lang mag-ingat ang equation ay isinulat bilang polynomial ng karaniwang anyo
A x 2 + bx + c, kung hindi, maaari kang magkamali. Halimbawa, sa pagsulat ng equation na x + 3 + 2x 2 = 0, maaari kang magkamali na magpasya na
a = 1, b = 3 at c = 2. Pagkatapos
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 at pagkatapos ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang solusyon sa halimbawa 2 sa itaas).
Samakatuwid, kung ang equation ay hindi isinulat bilang polynomial ng standard form, dapat muna ang kumpletong quadratic equation ay isulat bilang polynomial ng standard form (ang monomial na may pinakamalaking exponent ay dapat mauna, iyon ay. A x 2 , pagkatapos ay may mas kaunti – bx at pagkatapos ay isang libreng miyembro Sa.
Kapag nilulutas ang pinababang quadratic equation at isang quadratic equation na may even coefficient sa pangalawang termino, maaari kang gumamit ng iba pang mga formula. Kilalanin natin ang mga formula na ito. Kung sa isang kumpletong quadratic equation ang pangalawang termino ay may pantay na koepisyent (b = 2k), maaari mong lutasin ang equation gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 2.
Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na reduced kung ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng isa at ang equation ay nasa anyo x 2 + px + q = 0. Ang ganitong equation ay maaaring ibigay para sa solusyon, o maaari itong makuha sa pamamagitan ng paghati sa lahat ng coefficient ng equation sa coefficient. A, nakatayo sa x 2 .
Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang diagram para sa paglutas ng pinababang parisukat 
mga equation. Tingnan natin ang isang halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na tinalakay sa artikulong ito.
Halimbawa. Lutasin ang equation
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Lutasin natin ang equation na ito gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Sagot: –1 – √3; –1 + √3
Mapapansin mo na ang coefficient ng x sa equation na ito ay isang even number, iyon ay, b = 6 o b = 2k, kung saan k = 3. Pagkatapos ay subukan nating lutasin ang equation gamit ang mga formula na ipinapakita sa diagram ng figure D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Sagot: –1 – √3; –1 + √3. Napansin na ang lahat ng mga coefficient sa quadratic equation na ito ay nahahati ng 3 at nagsasagawa ng division, nakukuha natin ang pinababang quadratic equation x 2 + 2x – 2 = 0 Solve ang equation na ito gamit ang mga formula para sa reduced quadratic. 
equation figure 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Sagot: –1 – √3; –1 + √3.
Tulad ng nakikita natin, kapag nilulutas ang equation na ito sa pamamagitan ng iba't ibang mga formula parehas kaming nakatanggap ng sagot. Samakatuwid, nang lubusan mong pinagkadalubhasaan ang mga formula na ipinapakita sa diagram sa Figure 1, palagi mong magagawang lutasin ang anumang kumpletong quadratic equation.
blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.
Basta. Ayon sa mga formula at malinaw, simpleng mga panuntunan. Sa unang yugto
kailangan ibinigay na equation humantong sa karaniwang view, ibig sabihin. sa form:
Kung ang equation ay ibinigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto. Ang pinakamahalagang bagay ay gawin ito ng tama
matukoy ang lahat ng mga coefficient, A, b At c.
Formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.
Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon . Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, kami
ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa quadratic equation. Maingat lang ilagay ito
mga halaga a, b at c Kinakalkula namin ang formula na ito. Pinapalitan namin ng kanilang mga palatandaan!
Halimbawa, sa equation:
A =1; b = 3; c = -4.
Pinapalitan namin ang mga halaga at isulat:
Ang halimbawa ay halos malutas:
Ito ang sagot.
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b At Sa. O sa halip, may kapalit
negatibong mga halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang isang detalyadong pag-record ng formula ay dumating sa pagsagip dito
na may mga tiyak na numero. Kung mayroon kang mga problema sa mga kalkulasyon, gawin ito!
Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:
Dito a = -6; b = -5; c = -1
Inilalarawan namin ang lahat nang detalyado, maingat, nang walang nawawalang anuman kasama ang lahat ng mga palatandaan at bracket:
Ang mga parisukat na equation ay madalas na bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:
Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali.
Unang appointment. Huwag kang tamad dati paglutas ng isang quadratic equation dalhin ito sa karaniwang anyo.
Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:
Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c.
Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. ganito:
Tanggalin ang minus. Paano? Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:
Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa.
Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.
Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Sa pamamagitan ng Ang teorama ni Vieta.
Upang malutas ang ibinigay na quadratic equation, i.e. kung ang coefficient
x 2 +bx+c=0,
Pagkataposx 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−b
Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan a≠1:
x 2 +bx+c=0,
hatiin ang buong equation sa pamamagitan ng A:
→ 
→
saan x 1 At x 2 - mga ugat ng equation.
Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! Paramihin
equation na may common denominator.
Konklusyon. Praktikal na payo:
1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.
2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat
mga equation sa pamamagitan ng -1.
3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa katumbas na
salik.
4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng
paglalarawan ng bibliograpiya: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation // Young scientist. 2016. Hindi. 6.1. P. 17-20..02.2019).
Ang aming proyekto ay tungkol sa mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation. Layunin ng proyekto: matutong lutasin ang mga quadratic equation sa mga paraang hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Gawain: hanapin ang lahat mga posibleng paraan paglutas ng mga quadratic equation at pag-aaral kung paano gamitin ang mga ito sa iyong sarili at pagpapakilala ng mga pamamaraang ito sa iyong mga kaklase.
Ano ang "quadratic equation"?
Quadratic equation- equation ng form palakol2 + bx + c = 0, Saan a, b, c- ilang mga numero ( isang ≠ 0), x- hindi kilala.
Ang mga numerong a, b, c ay tinatawag na coefficients ng quadratic equation.
- a ay tinatawag na unang koepisyent;
- b ay tinatawag na pangalawang koepisyent;
- c - libreng miyembro.
Sino ang unang "nag-imbento" ng mga quadratic equation?
Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon. Ang pagtuklas ng mga sinaunang Babylonian clay tablet, na mula sa isang lugar sa pagitan ng 1800 at 1600 BC, ay nagbibigay ng pinakamaagang ebidensya ng pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang parehong mga tablet ay naglalaman ng mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga quadratic equation.
Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, pabalik sa sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at gawaing lupa ng kalikasang militar, gayundin sa pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo.
Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay mahalagang tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila mataas na antas pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto negatibong numero At pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga quadratic equation.
Babylonian mathematician mula noong mga ika-4 na siglo BC. ginamit ang square complement method upang malutas ang mga equation na may positibong mga ugat. Mga 300 BC Nakaisip si Euclid ng isang mas pangkalahatang paraan ng solusyong geometriko. Ang unang mathematician na nakahanap ng mga solusyon sa mga equation na may mga negatibong ugat sa anyo algebraic formula, ay isang Indian scientist Brahmagupta(India, ika-7 siglo AD).
Inilatag ni Brahmagupta ang isang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:
ax2 + bx = c, a>0
Ang mga coefficient sa equation na ito ay maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.
Ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan sa India. Ganito ang sabi ng isa sa mga lumang aklat ng India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa pamamagitan ng ningning nito, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaniyang kaluwalhatian sa mga pampublikong asembliya sa pamamagitan ng pagmumungkahi at paglutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga problema ay madalas na iniharap sa anyong patula.
Sa isang algebraic treatise Al-Khawarizmi isang pag-uuri ng linear at quadratic equation ay ibinigay. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:
1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. ax2 = bx.
2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero," ibig sabihin, ax2 = c.
3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ax2 = c.
4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat," ibig sabihin, ax2 + c = bx.
5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng bilang," ibig sabihin, ax2 + bx = c.
6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c == ax2.
Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-mukabal. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, si Al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician hanggang sa ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa tiyak na praktikal na ito ay hindi mahalaga sa mga gawain. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.
Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation na sumusunod sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa "Book of the Abacus," na isinulat noong 1202. Italyano na matematiko Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.
Ang aklat na ito ay nag-ambag sa paglaganap ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa aklat na ito ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Pangkalahatang tuntunin ang solusyon ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form x2 + bх = с para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga sign at coefficient b, c ay nabuo sa Europe noong 1544. M. Stiefel.
Derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation sa pangkalahatang pananaw Ang Viet ay mayroon nito, ngunit ang Viet ay nakilala lamang ang mga positibong ugat. Italyano mathematician Tartaglia, Cardano, Bombelli kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. salamat sa mga pagsisikap Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal ng isang modernong anyo.
Tingnan natin ang ilang mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation.
Mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation mula sa kurikulum ng paaralan:
- Factoring ang kaliwang bahagi ng equation.
- Paraan para sa pagpili ng isang kumpletong parisukat.
- Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang formula.
- Graphic na solusyon quadratic equation.
- Paglutas ng mga equation gamit ang Vieta's theorem.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang paglutas ng nabawas at hindi nabawas na mga quadratic na equation gamit ang Vieta's theorem.
Alalahanin na upang malutas ang mga parisukat na equation sa itaas, sapat na upang makahanap ng dalawang numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.
Halimbawa.x 2 -5x+6=0
Kailangan mong maghanap ng mga numero na ang produkto ay 6 at ang kabuuan ay 5. Ang mga numerong ito ay magiging 3 at 2.
Sagot: x 1 =2, x 2 =3.
Ngunit maaari mong gamitin ang pamamaraang ito para sa mga equation na may unang koepisyent na hindi katumbas ng isa.
Halimbawa.3x 2 +2x-5=0
Kunin ang unang koepisyent at i-multiply ito sa libreng termino: x 2 +2x-15=0
Ang mga ugat ng equation na ito ay mga numero na ang produkto ay katumbas ng - 15, at ang kabuuan ay katumbas ng - 2. Ang mga numerong ito ay 5 at 3. Upang mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation, hatiin ang mga resultang ugat sa unang koepisyent.
Sagot: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Paglutas ng mga equation gamit ang "throw" method.
Isaalang-alang ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, kung saan a≠0.
Ang pag-multiply ng magkabilang panig ng a, makuha natin ang equation na a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Hayaan ang ax = y, kung saan ang x = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation y 2 + by + ac = 0, katumbas ng ibinigay na isa. Nahanap natin ang mga ugat nito para sa 1 at 2 gamit ang teorem ng Vieta.
Sa wakas ay nakukuha natin ang x 1 = y 1 /a at x 2 = y 2 /a.
Sa pamamaraang ito, ang koepisyent a ay pinarami ng libreng termino, na parang "itinapon" dito, kung kaya't ito ay tinatawag na "pagtapon" na paraan. Ginagamit ang paraang ito kapag madali mong mahahanap ang mga ugat ng equation gamit ang theorem ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.
Halimbawa.2x 2 - 11x + 15 = 0.
"Itapon" natin ang coefficient 2 sa libreng term at gumawa ng substitution at makuha ang equation na y 2 - 11y + 30 = 0.
Ayon sa inverse theorem ni Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5;
Sagot: x 1 =2.5; X 2 = 3.
7. Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation.
Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
1. Kung a+ b + c = 0 (i.e. ang kabuuan ng mga coefficient ng equation ay zero), kung gayon x 1 = 1.
2. Kung a - b + c = 0, o b = a + c, kung gayon x 1 = - 1.
Halimbawa.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Dahil a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), kung gayon x 1 = 1, x 2 = -208/345.
Sagot: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Halimbawa.132x 2 + 247x + 115 = 0
kasi a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pagkatapos x 1 = - 1, x 2 = - 115/132
Sagot: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Mayroong iba pang mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation. ngunit ang kanilang paggamit ay mas kumplikado.
8. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram.
Fig 1. Nomogram
Matanda na ito at sa kasalukuyan nakalimutang paraan mga solusyon sa quadratic equation, na inilagay sa p 83 ng koleksyon: Bradis V.M. Apat na digit na mga talahanayan sa matematika. - M., Edukasyon, 1990.
Talahanayan XXII. Nomogram para sa paglutas ng equation z 2 + pz + q = 0. Ang nomogram na ito ay nagbibigay-daan, nang hindi nilulutas ang isang quadratic equation, na matukoy ang mga ugat ng equation mula sa mga coefficient nito.
Ang curvilinear scale ng nomogram ay binuo ayon sa mga formula (Larawan 1):
Naniniwala OS = p, ED = q, OE = a(lahat sa cm), mula sa Fig. 1 pagkakatulad ng mga tatsulok SAN At CDF nakukuha natin ang proporsyon
na, pagkatapos ng mga pagpapalit at pagpapasimple, ay nagbubunga ng equation z 2 + pz + q = 0, at ang sulat z nangangahulugang ang marka ng anumang punto sa isang hubog na sukat.
kanin. 2 Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram
Mga halimbawa.
1) Para sa equation z 2 - 9z + 8 = 0 binibigyan ng nomogram ang mga ugat na z 1 = 8.0 at z 2 = 1.0
Sagot:8.0; 1.0.
2) Gamit ang isang nomogram, nilulutas namin ang equation
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Hatiin ang mga coefficient ng equation na ito ng 2, makuha natin ang equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.
Ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat z 1 = 4 at z 2 = 0.5.
Sagot: 4; 0.5.
9. Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.
Halimbawa.X 2 + 10x = 39.
Sa orihinal, ang problemang ito ay nabuo tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."
Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid x, ang mga parihaba ay itinayo sa mga gilid nito upang ang kabilang panig ng bawat isa sa kanila ay 2.5, samakatuwid ang lugar ng bawat isa ay 2.5x. Ang resultang figure ay pagkatapos ay nakumpleto sa isang bagong parisukat ABCD, pagdaragdag ng apat na mga parisukat sa mga sulok. pantay na parisukat, ang gilid ng bawat isa sa kanila ay 2.5, at ang lugar ay 6.25
kanin. 3 Grapikong pamamaraan para sa paglutas ng equation x 2 + 10x = 39
Ang lugar S ng parisukat ABCD ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga lugar ng: ang orihinal na parisukat x 2, apat na parihaba (4∙2.5x = 10x) at apat na karagdagang parisukat (6.25∙4 = 25), i.e. S = x 2 + 10x = 25. Ang pagpapalit ng x 2 + 10x sa numerong 39, makuha namin na S = 39 + 25 = 64, na nangangahulugan na ang gilid ng parisukat ay ABCD, i.e. segment AB = 8. Para sa kinakailangang panig x ng orihinal na parisukat na nakuha namin
10. Paglutas ng mga equation gamit ang theorem ni Bezout.
Ang teorama ni Bezout. Ang natitira sa paghahati ng polynomial P(x) sa binomial na x - α ay katumbas ng P(α) (iyon ay, ang halaga ng P(x) sa x = α).
Kung ang bilang na α ay ang ugat ng polynomial P(x), kung gayon ang polynomial na ito ay mahahati ng x -α na walang nalalabi.
Halimbawa.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Hatiin ang P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Sagot: x1 =2, x2 =3.
Konklusyon: Ang kakayahang mabilis at makatwiran na malutas ang mga quadratic equation ay kailangan lamang upang malutas ang higit pa kumplikadong mga equation, Halimbawa, fractional rational equation, mga equation ng mas mataas na degree, biquadratic equation, at sa high school trigonometric, exponential at logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng lahat ng nahanap na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, maaari naming payuhan ang aming mga kaklase, bilang karagdagan sa mga karaniwang pamamaraan, upang malutas sa pamamagitan ng paraan ng paglipat (6) at lutasin ang mga equation gamit ang pag-aari ng mga coefficient (7), dahil mas madaling ma-access ang mga ito. sa pag-unawa.
Panitikan:
- Bradis V.M. Apat na digit na mga talahanayan sa matematika. - M., Edukasyon, 1990.
- Algebra ika-8 baitang: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ika-15 ed., binago. - M.: Edukasyon, 2015
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Manwal para sa mga guro. / Ed. V.N. Mas bata. - M.: Edukasyon, 1964.
SA modernong lipunan ang kakayahang magsagawa ng mga operasyon na may mga equation na naglalaman ng isang parisukat na variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming lugar ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa siyentipiko at teknikal na mga pag-unlad. Ang katibayan nito ay makikita sa disenyo ng dagat at mga bangkang ilog, mga eroplano at missile. Gamit ang naturang mga kalkulasyon, ang mga trajectory ng paggalaw ng karamihan iba't ibang katawan, kabilang ang mga bagay sa kalawakan. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ay ginagamit hindi lamang sa pang-ekonomiyang pagtataya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinaka-ordinaryong pang-araw-araw na kalagayan. Maaaring kailanganin ang mga ito sa mga paglalakbay sa hiking, sa mga sporting event, sa mga tindahan kapag bumibili at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.
Hatiin natin ang expression sa mga component factor nito
Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na halaga ng antas ng variable na naglalaman ng expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na quadratic.
Kung nagsasalita tayo sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga ipinahiwatig na expression, gaano man ang hitsura nila, ay maaaring palaging dalhin sa anyo kapag ang kaliwang bahagi ng expression ay binubuo ng tatlong termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, isang variable na squared kasama ang coefficient nito), bx (isang hindi kilalang walang square na may coefficient nito) at c (isang libreng bahagi, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kapag ang naturang polynomial ay kulang sa isa sa mga terminong bumubuo nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon sa mga naturang problema, ang mga halaga ng mga variable na kung saan ay madaling mahanap, ay dapat isaalang-alang muna.
Kung ang expression ay mukhang may dalawang termino sa kanang bahagi, mas tiyak na ax 2 at bx, ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang x ay sa pamamagitan ng paglalagay ng variable sa labas ng mga bracket. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x(ax+b). Susunod, nagiging malinaw na ang alinman sa x=0, o ang problema ay bumaba sa paghahanap ng variable mula sa sumusunod na expression: ax+b=0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng multiplikasyon. Ang panuntunan ay nagsasaad na ang produkto ng dalawang salik ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay zero.
Halimbawa
x=0 o 8x - 3 = 0
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng equation: 0 at 0.375.
Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring ilarawan ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng impluwensya ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na punto na kinuha bilang pinagmulan ng mga coordinate. Dito ang mathematical notation ay kumukuha ng sumusunod na anyo: y = v 0 t + gt 2 /2. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga kinakailangang halaga, pagpareho sa kanang bahagi sa 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, maaari mong malaman ang oras na lumilipas mula sa sandaling ang katawan ay tumaas hanggang sa sandaling ito ay bumagsak, pati na rin ang maraming iba pang mga dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.
Pagsasaliksik ng isang Ekspresyon
Ginagawang posible ng panuntunang inilarawan sa itaas na malutas ang mga problemang ito sa mas kumplikadong mga kaso. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation ng ganitong uri.
X 2 - 33x + 200 = 0
Ito quadratic trinomial ay kumpleto na. Una, baguhin natin ang expression at i-factor ito. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) = 0. Bilang resulta, mayroon tayong dalawang ugat 8 at 25.
Ang mga halimbawa na may paglutas ng mga quadratic equation sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa paraang ito na makahanap ng variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ng pangatlo at ikaapat na order.
Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kapag isinasali ang kanang bahagi sa mga salik na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x+1), (x-3) at (x+ 3).
Bilang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -1; 3.
Square Root
Ang isa pang kaso ng hindi kumpletong second-order equation ay isang expression na kinakatawan sa wika ng mga titik sa paraang ang kanang bahagi ay binuo mula sa mga bahaging ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inilipat sa kanang bahagi, at pagkatapos nito, ito ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. parisukat na ugat. Dapat pansinin na sa kasong ito ay karaniwang may dalawang ugat ng equation. Ang tanging mga pagbubukod ay maaaring mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng isang termino, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring isagawa gamit ang mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.
Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.
Pagkalkula ng lugar ng lupa
Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw noong sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa mga malalayong panahon ay higit na tinutukoy ng pangangailangan upang matukoy nang may pinakamalaking katumpakan ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa.
Dapat din nating isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation batay sa mga problema ng ganitong uri.
Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na kapirasong lupa, ang haba nito ay 16 metro na mas malaki kaysa sa lapad. Dapat mong mahanap ang haba, lapad at perimeter ng site kung alam mo na ang lugar nito ay 612 m 2.
Upang makapagsimula, gumawa muna tayo ng kinakailangang equation. Ipahiwatig natin sa x ang lapad ng lugar, kung gayon ang haba nito ay magiging (x+16). Mula sa kung ano ang nakasulat ay sumusunod na ang lugar ay tinutukoy ng expression na x(x+16), na, ayon sa mga kondisyon ng ating problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x(x+16) = 612.
Ang paglutas ng kumpletong quadratic equation, at ang expression na ito ay eksakto, ay hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagaman ang kaliwang bahagi ay naglalaman pa rin ng dalawang mga kadahilanan, ang kanilang produkto ay hindi katumbas ng 0 sa lahat, kaya iba't ibang mga pamamaraan ang ginagamit dito.
Nakakadiskrimina
Una sa lahat, gawin natin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon hitsura ng expression na ito ay magiging ganito ang hitsura: x 2 + 16x - 612 = 0. Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng expression sa isang form na tumutugma sa dati nang tinukoy na pamantayan, kung saan a=1, b=16, c=-612.
Ito ay maaaring isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang discriminant. Dito mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa pamamaraan: D = b 2 - 4ac. Ang auxiliary quantity na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang mahanap ang mga kinakailangang dami sa isang second-order equation, ito ay tumutukoy sa dami posibleng mga opsyon. Kung D>0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D=0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Tungkol sa mga ugat at ang kanilang formula
Sa aming kaso, ang discriminant ay katumbas ng: 256 - 4(-612) = 2704. Ito ay nagpapahiwatig na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo ang k, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.
Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 =18, x 2 =-34. Ang pangalawang pagpipilian sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging isang solusyon, dahil ang mga sukat ng plot ng lupa ay hindi masusukat sa mga negatibong dami, na nangangahulugang x (iyon ay, ang lapad ng plot) ay 18 m Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18 +16=34, at ang perimeter 2(34+ 18)=104(m2).
Mga halimbawa at gawain
Ipinagpapatuloy namin ang aming pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng pagbabago, ibig sabihin, makukuha natin ang uri ng equation na karaniwang tinatawag na standard, at i-equate ito sa zero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Pagdaragdag ng mga katulad, tinutukoy namin ang discriminant: D = 49 - 48 = 1. Nangangahulugan ito na ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kalkulahin natin ang mga ito ayon sa formula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging katumbas ng 4/3, at ang pangalawa sa 1.
2) Ngayon, lutasin natin ang mga misteryo ng ibang uri.
Alamin natin kung mayroong anumang mga ugat dito x 2 - 4x + 5 = 1? Upang makakuha ng komprehensibong sagot, bawasan natin ang polynomial sa kaukulang karaniwang anyo at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawa sa itaas, hindi kinakailangang lutasin ang quadratic equation, dahil hindi ito ang esensya ng problema. Sa kasong ito, D = 16 - 20 = -4, na nangangahulugang wala talagang mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Ito ay maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation gamit ang mga formula sa itaas at ang discriminant, kapag ang square root ay kinuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem. Siya ay pinangalanan sa isang taong nanirahan sa ika-16 na siglo ng France at gumawa ng isang napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.
Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang mga ugat ng equation ay nagdaragdag ayon sa numero sa -p=b/a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q=c/a.
Ngayon tingnan natin ang mga partikular na gawain.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Para sa pagiging simple, baguhin natin ang expression:
x 2 + 7x - 18 = 0
Gamitin natin ang theorem ni Vieta, ito ay magbibigay sa atin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Pagkatapos suriin, titiyakin namin na ang mga variable na halaga na ito ay talagang magkasya sa expression.
Parabola graph at equation
Ang mga konsepto ng quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na kanina. Ngayon tingnan natin ang ilang mga bugtong sa matematika nang mas detalyado. Ang anumang equation ng inilarawan na uri ay maaaring ilarawan nang biswal. Ang ganitong relasyon, na iginuhit bilang isang graph, ay tinatawag na parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinakita sa figure sa ibaba.
Ang anumang parabola ay may vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumalabas ang mga sanga nito. Kung a>0, mataas ang mga ito sa infinity, at kapag a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Ang mga visual na representasyon ng mga function ay tumutulong sa paglutas ng anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphical. At ang halaga ng variable na x ay ang abscissa coordinate sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay nagsalubong sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay matatagpuan gamit ang formula na ibinigay lamang x 0 = -b/2a. At sa pamamagitan ng pagpapalit ng nagresultang halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng vertex ng parabola, na kabilang sa ordinate axis.
Ang intersection ng mga sanga ng isang parabola na may abscissa axis
Mayroong maraming mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Tingnan natin sila. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa a>0 ay posible lamang kung ang 0 ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Mula sa graph ng parabola maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Ang kabaligtaran ay totoo rin. Iyon ay, kung makakakuha ka ng isang visual na imahe quadratic function Hindi madali, maaari mong itumbas ang kanang bahagi ng expression sa 0 at lutasin ang resultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling gumawa ng graph.
Mula sa kasaysayan
Gamit ang mga equation na naglalaman ng isang squared variable, sa mga lumang araw hindi lamang sila gumawa ng mga kalkulasyon sa matematika at tinutukoy ang mga lugar ng mga geometric na numero. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa mga dakilang pagtuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, gayundin sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.
Gaya ng iminumungkahi ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babylon ay kabilang sa mga unang nakalutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay radikal na naiiba mula sa mga kasalukuyang tinatanggap at naging mas primitive. Halimbawa, walang ideya ang mga matematikong Mesopotamia tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties na alam ng sinumang modernong mag-aaral.
Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babylon, ang sage mula sa India Baudhayama ay nagsimulang maglutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang panahon ni Kristo. Totoo, ang mga pangalawang-order na equation, ang mga pamamaraan para sa paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bukod sa kanya, ang mga Chinese mathematician ay interesado rin sa mga katulad na tanong noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang mga gawa ng mga dakilang siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.
Quadratic equation - madaling lutasin! *Pagkatapos nito ay tinukoy bilang "KU". Mga kaibigan, tila wala nang mas simple sa matematika kaysa sa paglutas ng gayong equation. Pero may nagsabi sa akin na maraming tao ang may problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming on-demand na mga impression ang ibinibigay ng Yandex bawat buwan. Narito ang nangyari, tingnan mo:
Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 70,000 katao sa isang buwan ang naghahanap ng impormasyong ito, at ito ay tag-araw, at kung ano ang mangyayari sa taon ng pag-aaral - magkakaroon ng dalawang beses na mas maraming mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga lalaki at babae na nagtapos sa paaralan nang matagal na ang nakalipas at naghahanda para sa Unified State Exam ay naghahanap ng impormasyong ito, at nagsusumikap din ang mga mag-aaral na i-refresh ang kanilang memorya.
Sa kabila ng katotohanan na maraming mga site na nagsasabi sa iyo kung paano lutasin ang equation na ito, nagpasya akong mag-ambag din at mag-publish ng materyal. Una, gusto kong pumunta ang mga bisita sa aking site batay sa kahilingang ito; pangalawa, sa ibang mga artikulo, kapag lumabas ang paksang "KU", magbibigay ako ng link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang higit pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa ibang mga site. Magsimula na tayo! Mga nilalaman ng artikulo:
Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:
kung saan ang mga coefficient a,bat c ay mga arbitrary na numero, na may a≠0.
Sa kurso ng paaralan, ang materyal ay ibinibigay sa sumusunod na anyo - ang mga equation ay nahahati sa tatlong klase:
1. Mayroon silang dalawang ugat.
2. *Magkaroon lamang ng isang ugat.
3. Wala silang mga ugat. Ito ay nagkakahalaga lalo na tandaan dito na wala silang tunay na mga ugat
Paano kinakalkula ang mga ugat? Basta!
Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng "kakila-kilabot" na salitang ito ay may napakasimpleng formula:
Ang mga root formula ay ang mga sumusunod:
*Kailangan mong malaman ang mga formula na ito sa puso.
Maaari mong agad na isulat at lutasin ang:
Halimbawa:
1. Kung D > 0, ang equation ay may dalawang ugat.
2. Kung D = 0, ang equation ay may isang ugat.
3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Tingnan natin ang equation:
Sa bagay na ito, kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang kurso sa paaralan ay nagsasabi na ang isang ugat ay nakuha, dito ito ay katumbas ng siyam. Tama ang lahat, ganoon nga, ngunit...
Ang ideyang ito ay medyo hindi tama. Sa katunayan, mayroong dalawang ugat. Oo, oo, huwag magtaka, dalawa pala pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, ang sagot ay dapat maglaman ng dalawang ugat:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ngunit ito ay kaya - isang maliit na digression. Sa paaralan maaari mong isulat ito at sabihin na mayroong isang ugat.
Ngayon ang susunod na halimbawa:
Tulad ng alam natin, ang ugat ng isang negatibong numero ay hindi maaaring kunin, kaya walang solusyon sa kasong ito.
Iyan ang buong proseso ng desisyon.
Quadratic function.
Ipinapakita nito kung ano ang hitsura ng solusyon sa geometriko. Napakahalagang maunawaan ito (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo ay susuriin namin nang detalyado ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat).
Ito ay isang function ng form:
kung saan ang x at y ay mga variable
a, b, c – ibinigay na mga numero, na may ≠ 0
Ang graph ay isang parabola:
Iyon ay, lumalabas na sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation na may "y" na katumbas ng zero, nakita natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may x axis. Maaaring may dalawa sa mga puntong ito (positibo ang discriminant), isa (zero ang discriminant) at wala (negatibo ang discriminant). Mga detalye tungkol sa quadratic function maaari kang tumingin artikulo ni Inna Feldman.
Tingnan natin ang mga halimbawa:
Halimbawa 1: Lutasin 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Sagot: x 1 = 8 x 2 = –12
*Ito ay posible na agad na hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng 2, iyon ay, pasimplehin ito. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.
Halimbawa 2: Magpasya x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Nalaman namin na x 1 = 11 at x 2 = 11
Ito ay pinahihintulutang isulat ang x = 11 sa sagot.
Sagot: x = 11
Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Ang discriminant ay negatibo, walang solusyon sa totoong mga numero.
Sagot: walang solusyon
Ang discriminant ay negatibo. May solusyon!
Dito ay pag-uusapan natin ang paglutas ng equation sa kaso kapag nakakuha ng negatibong diskriminasyon. May alam ka ba tungkol sa kumplikadong mga numero? Hindi ko na idedetalye dito ang tungkol sa kung bakit at saan sila lumitaw at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan sa matematika ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.
Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.
Isang maliit na teorya.
Ang complex number z ay isang numero ng form
z = a + bi
nasaan ang a at b tunay na mga numero, ako ang tinatawag na imaginary unit.
a+bi – ito ay isang SINGLE NUMBER, hindi isang karagdagan.
Ang haka-haka na yunit ay katumbas ng ugat ng minus one:
Ngayon isaalang-alang ang equation:
Nakakakuha kami ng dalawang conjugate roots.
Hindi kumpletong quadratic equation.
Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang coefficient "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay katumbas ng zero). Madali silang malulutas nang walang anumang diskriminasyon.
Case 1. Coefficient b = 0.
Ang equation ay nagiging:
Ibahin natin:
Halimbawa:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Case 2. Coefficient c = 0.
Ang equation ay nagiging:
Ibahin natin at i-factor:
*Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero.
Halimbawa:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Case 3. Coefficients b = 0 at c = 0.
Dito ay malinaw na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x = 0.
Mga kapaki-pakinabang na katangian at pattern ng mga coefficient.
May mga katangian na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation na may malalaking coefficient.
Ax 2 + bx+ c=0 pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay
a + b+ c = 0, yun
- kung para sa mga coefficient ng equation Ax 2 + bx+ c=0 pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay
a+ c =b, yun
Ang mga katangiang ito ay tumutulong sa paglutas ng isang partikular na uri ng equation.
Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Ang kabuuan ng mga logro ay 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ibig sabihin
Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan a+ c =b, ibig sabihin
Regularidad ng mga coefficient.
1. Kung sa equation na ax 2 + bx + c = 0 ang coefficient "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient "c" ay numerical na katumbas ng coefficient "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Kung sa equation ax 2 – bx + c = 0 ang coefficient “b” ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient “c” ay numerically equal sa coefficient “a”, kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Kung sa Eq. ax 2 + bx – c = 0 koepisyent “b” ay katumbas ng (a 2 – 1), at coefficient “c” ay katumbas ng bilang sa coefficient na "a", saka magkapantay ang mga ugat nito
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Kung sa equation na ax 2 – bx – c = 0 ang coefficient “b” ay katumbas ng (a 2 – 1), at ang coefficient c ay numerical na katumbas ng coefficient “a”, kung gayon ang mga ugat nito ay pantay.
palakol 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Ang teorama ni Vieta.
Ang teorama ni Vieta ay ipinangalan sa sikat na Pranses na matematiko na si Francois Vieta. Gamit ang teorama ni Vieta, maaari nating ipahayag ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang arbitrary na KU sa mga tuntunin ng mga koepisyent nito.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Sa kabuuan, ang bilang na 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ay mga ugat. Sa isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita na teorama, maaari mong malutas kaagad ang maraming mga quadratic equation.
Ang teorama ni Vieta, bilang karagdagan. maginhawa sa na pagkatapos malutas ang quadratic equation sa karaniwang paraan(sa pamamagitan ng discriminant) ang mga resultang ugat ay maaaring suriin. Inirerekomenda kong gawin ito palagi.
PARAAN NG TRANSPORTASYON
Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng termino, na parang "itinapon" dito, kaya naman tinawag itong paraan ng "paglipat". Ginagamit ang paraang ito kapag madali mong mahahanap ang mga ugat ng equation gamit ang theorem ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.
Kung A± b+c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang pamamaraan ng paglipat, halimbawa:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Gamit ang theorem ni Vieta sa equation (2), madaling matukoy na x 1 = 10 x 2 = 1
Ang mga resultang ugat ng equation ay dapat nahahati sa 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha natin
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
Ano ang katwiran? Tingnan mo ang nangyayari.
Ang mga diskriminasyon ng mga equation (1) at (2) ay pantay:
Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, makakakuha ka lamang ng iba't ibang mga denominador, at ang resulta ay tiyak na nakasalalay sa koepisyent ng x 2:
Ang pangalawa (binago) ay may mga ugat na 2 beses na mas malaki.
Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa 2.
*Kung i-reroll natin ang tatlo, hahatiin natin ang resulta sa 3, atbp.
Sagot: x 1 = 5 x 2 = 0.5
Sq. ur-ie at Pinag-isang State Examination.
Sasabihin ko sa iyo nang maikli ang tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT KAYONG MAGPASIYA nang mabilis at nang hindi nag-iisip, kailangan mong malaman ang mga pormula ng mga ugat at mga diskriminasyon sa puso. Maraming mga problema na kasama sa mga gawain ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri ay bumababa sa paglutas ng isang quadratic equation (kasama ang mga geometriko).
Isang bagay na dapat tandaan!
1. Ang anyo ng pagsulat ng isang equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na entry:
15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.
Kailangan mong dalhin ito sa isang karaniwang form (upang hindi malito kapag nag-solve).
2. Tandaan na ang x ay isang hindi kilalang dami at maaari itong tukuyin ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.
Naglo-load...
