Maraming tao ang nag-iisip na ang mga exponential inequalities ay isang bagay na kumplikado at hindi maintindihan. At ang pag-aaral na lutasin ang mga ito ay halos isang mahusay na sining, na tanging ang Pinili lamang ang nakakaunawa...
Kumpletong kalokohan! Ang mga exponential inequalities ay madali. At palagi silang nareresolba nang simple. Well, halos palaging.
Ngayon ay titingnan natin ang paksang ito sa loob at labas. Ang araling ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para sa mga nagsisimula pa lamang na maunawaan ang seksyong ito ng matematika ng paaralan. Magsimula tayo sa mga simpleng gawain at magpapatuloy tayo sa mas kumplikadong mga isyu. Walang anumang mahirap na trabaho ngayon, ngunit ang iyong babasahin ay sapat na upang malutas ang karamihan sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa lahat ng uri ng mga pagsubok at pagsubok. malayang gawain. At sa pagsusulit mo rin na ito.
Gaya ng dati, magsimula tayo sa kahulugan. Ang exponential inequality ay anumang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng exponential function. Sa madaling salita, maaari itong palaging bawasan sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\[((a)^(x)) \gt b\]
Kung saan ang papel ng $b$ ay maaaring isang ordinaryong numero, o maaaring mas mahirap. Mga halimbawa? oo pakiusap:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(align)\]
Sa tingin ko ay malinaw ang kahulugan: mayroong exponential function na $((a)^(x))$, ito ay inihahambing sa isang bagay, at pagkatapos ay hiniling na hanapin ang $x$. Sa partikular na mga klinikal na kaso, sa halip na ang variable na $x$, maaari silang maglagay ng ilang function na $f\left(x \right)$ at sa gayon ay medyo kumplikado ang hindi pagkakapantay-pantay :).
Siyempre, sa ilang mga kaso ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mukhang mas malala. Dito, halimbawa:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
O kahit na ito:
Sa pangkalahatan, ang pagiging kumplikado ng gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ibang-iba, ngunit sa huli ay bumababa pa rin sila sa simpleng konstruksyon na $((a)^(x)) \gt b$. At kahit papaano ay malalaman natin ang gayong konstruksiyon (lalo na sa mga klinikal na kaso, kapag walang naiisip, ang logarithms ay makakatulong sa atin). Samakatuwid, ngayon ay ituturo namin sa iyo kung paano lutasin ang gayong mga simpleng konstruksyon.
Paglutas ng mga simpleng exponential inequalities
Isaalang-alang natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa, ito:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Malinaw, ang numero sa kanan ay maaaring muling isulat bilang kapangyarihan ng dalawa: $4=((2)^(2))$. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat sa isang napaka-maginhawang anyo:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
At ngayon nangangati ang aking mga kamay na "i-cross out" ang dalawa sa mga base ng mga kapangyarihan upang makuha ang sagot $x \gt 2$. Ngunit bago i-cross out ang anumang bagay, tandaan natin ang kapangyarihan ng dalawa:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Tulad ng nakikita mo, mas malaki ang numero sa exponent, mas malaki ang output number. “Salamat, Cap!” - bulalas ng isa sa mga estudyante. May kakaiba ba? Sa kasamaang palad, nangyayari ito. Halimbawa:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Ang lahat ay lohikal din dito: ano mas maraming degree, mas maraming beses na ang bilang na 0.5 ay na-multiply sa sarili nito (ibig sabihin, hinati sa kalahati). Kaya, ang resultang pagkakasunod-sunod ng mga numero ay bumababa, at ang pagkakaiba sa pagitan ng una at pangalawang pagkakasunud-sunod ay nasa base lamang:
- Kung ang base ng degree na $a \gt 1$, kung gayon habang tumataas ang exponent na $n$, tataas din ang bilang na $((a)^(n))$;
- At kabaliktaran, kung $0 \lt a \lt 1$, pagkatapos ay habang tumataas ang exponent na $n$, bababa ang bilang na $((a)^(n))$.
Sa pagbubuod ng mga katotohanang ito, nakukuha natin ang pinakamahalagang pahayag kung saan nakabatay ang buong desisyon exponential inequalities:
Kung $a \gt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \gt n$. Kung $0 \lt a \lt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \lt n$.
Sa madaling salita, kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin - hindi magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. At kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit sa parehong oras ay kailangan mong baguhin ang hindi pagkakapantay-pantay na pag-sign.
Pakitandaan na hindi namin isinasaalang-alang ang mga opsyon na $a=1$ at $a\le 0$. Dahil sa mga kasong ito ay lumitaw ang kawalan ng katiyakan. Sabihin natin kung paano lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((1)^(x)) \gt 3$? Ang isa sa anumang kapangyarihan ay muling magbibigay ng isa - hinding hindi tayo makakakuha ng tatlo o higit pa. Yung. walang solusyon.
Sa mga negatibong kadahilanan ang lahat ay mas kawili-wili. Halimbawa, isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:
\[((\kaliwa(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]
Sa unang sulyap, ang lahat ay simple:
tama? Ngunit hindi! Ito ay sapat na upang palitan ang isang pares ng kahit at isang pares ng mga kakaibang numero sa halip na $x$ upang matiyak na ang solusyon ay hindi tama. Tingnan mo:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang mga palatandaan ay kahalili. Ngunit mayroon ding mga fractional powers at iba pang kalokohan. Paano, halimbawa, mag-uutos na kalkulahin ang $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus two to the power of seven)? Hindi pwede!
Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na sa lahat ng exponential inequalities (at mga equation din pala) $1\ne a \gt 0$. At pagkatapos ang lahat ay malulutas nang napakasimple:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Sa pangkalahatan, tandaan muli ang pangunahing panuntunan: kung ang base sa isang exponential equation ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin; at kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago.
Mga halimbawa ng solusyon
Kaya, tingnan natin ang ilang simpleng exponential inequalities:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]
Ang pangunahing gawain sa lahat ng kaso ay pareho: upang bawasan ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa pinakasimpleng anyo na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ito ay eksakto kung ano ang gagawin natin ngayon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, at sa parehong oras ay uulitin natin ang mga katangian ng mga degree at exponential function. Kaya, tayo na!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Ano ang maaari mong gawin dito? Well, sa kaliwa mayroon na tayong indicative expression - walang kailangang baguhin. Ngunit sa kanan ay may ilang uri ng kalokohan: isang fraction, at kahit isang ugat sa denominator!
Gayunpaman, tandaan natin ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga fraction at kapangyarihan:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]
Ano ang ibig sabihin nito? Una, madali nating maalis ang fraction sa pamamagitan ng paggawa nito sa isang kapangyarihan na may negatibong exponent. At pangalawa, dahil ang denominator ay may ugat, ito ay magiging maganda upang gawing isang kapangyarihan - sa oras na ito na may isang fractional exponent.
Ilapat natin ang mga pagkilos na ito nang sunud-sunod sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at tingnan kung ano ang mangyayari:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kaliwa(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Huwag kalimutan na kapag nagtataas ng isang degree sa isang kapangyarihan, ang mga exponents ng mga degree na ito ay nagdaragdag. At sa pangkalahatan, kapag nagtatrabaho sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, talagang kinakailangan na malaman ang hindi bababa sa pinakasimpleng mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]
Sa totoo lang, inilapat lang namin ang huling panuntunan. Samakatuwid, ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat gaya ng sumusunod:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Ngayon ay inaalis namin ang dalawa sa base. Dahil 2 > 1, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mananatiling pareho:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Yan ang solusyon! Ang pangunahing kahirapan ay wala sa exponential function, ngunit sa karampatang pagbabago ng orihinal na expression: kailangan mong maingat at mabilis na dalhin ito sa pinakasimpleng anyo nito.
Isaalang-alang ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Oo, oo. Hinihintay na nila tayo dito mga decimal. Tulad ng sinabi ko ng maraming beses, sa anumang mga expression na may kapangyarihan dapat mong alisin ang mga decimal - ito ay madalas na ang tanging paraan upang makita ang isang mabilis at simpleng solusyon. Dito ay aalisin natin:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\kaliwa(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]
Narito muli mayroon kaming pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay, at kahit na may base na 1/10, i.e. mas mababa sa isa. Buweno, inaalis namin ang mga base, sabay-sabay na binabago ang tanda mula sa "mas kaunti" sa "higit pa", at nakukuha namin:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]
Natanggap namin ang huling sagot: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pakitandaan: ang sagot ay tiyak na isang set, at sa anumang kaso ay isang pagbuo ng form na $x \lt -1$. Sapagkat pormal, ang naturang konstruksiyon ay hindi isang set sa lahat, ngunit isang hindi pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na $x$. Oo, ito ay napaka-simple, ngunit hindi ito ang sagot!
Mahalagang Paalala. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - sa pamamagitan ng pagbabawas ng magkabilang panig sa isang kapangyarihan na may baseng mas malaki kaysa sa isa. Tingnan mo:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Pagkatapos ng gayong pagbabago, muli tayong makakakuha ng exponential inequality, ngunit may base na 10 > 1. Nangangahulugan ito na maaari nating i-cross out ang sampu - ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago. Nakukuha namin:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay eksaktong pareho. Kasabay nito, iniligtas namin ang aming sarili mula sa pangangailangan na baguhin ang tanda at sa pangkalahatan ay naaalala ang anumang mga patakaran :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Gayunpaman, huwag hayaan itong matakot sa iyo. Anuman ang nasa mga tagapagpahiwatig, ang teknolohiya para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay mismo ay nananatiling pareho. Samakatuwid, tandaan muna natin na 16 = 2 4. Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hooray! Nakuha namin ang karaniwang quadratic inequality! Ang tanda ay hindi nagbago kahit saan, dahil ang base ay dalawa - isang numero na mas malaki kaysa sa isa.
Mga zero ng isang function sa number line
Inayos namin ang mga palatandaan ng function na $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - malinaw naman, ang graph nito ay magiging parabola na may mga sanga sa itaas, kaya magkakaroon ng "pluses ” sa mga gilid. Interesado kami sa rehiyon kung saan ang function ay mas mababa sa zero, i.e. $x\in \left(2;5 \right)$ ang sagot sa orihinal na problema.
Sa wakas, isaalang-alang ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Muli tayong nakakita ng exponential function na may decimal na fraction sa base. I-convert natin ang fraction na ito sa common fraction:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kaliwa(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
Sa kasong ito, ginamit namin ang pangungusap na ibinigay kanina - binawasan namin ang base sa numerong 5 > 1 upang gawing simple ang aming karagdagang solusyon. Gawin natin ang parehong sa kanang bahagi:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang parehong mga pagbabago:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]
Ang mga base sa magkabilang panig ay pareho at lumampas sa isa. Walang iba pang mga termino sa kanan at kaliwa, kaya't "i-cross out" lang namin ang lima at makakuha ng napakasimpleng expression:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Dito kailangan mong maging mas maingat. Maraming estudyante ang gustong mag-extract lang parisukat na ugat ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay at sumulat ng isang bagay tulad ng $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Sa anumang kaso hindi mo dapat gawin ito, dahil ang ugat ng eksaktong parisukat ay module, at sa anumang kaso ang orihinal na variable:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\kaliwa| x\right|\]
Gayunpaman, ang pagtatrabaho sa mga module ay hindi ang pinaka-kaaya-ayang karanasan, hindi ba? Kaya hindi tayo magtatrabaho. Sa halip, ililipat lang namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Muli naming minarkahan ang mga nakuha na puntos sa linya ng numero at tingnan ang mga palatandaan:
Pakitandaan: ang mga tuldok ay may kulay Dahil nilulutas namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ng mga punto sa graph ay may kulay. Samakatuwid, ang magiging sagot ay: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ay hindi isang interval, ngunit isang segment.
Sa pangkalahatan, nais kong tandaan na walang kumplikado tungkol sa exponential inequalities. Ang kahulugan ng lahat ng mga pagbabagong ginawa namin ngayon ay bumaba sa isang simpleng algorithm:
- Hanapin ang batayan kung saan babawasan natin ang lahat ng antas;
- Maingat na isagawa ang mga pagbabagong-anyo upang makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Siyempre, sa halip na ang mga variable na $x$ at $n$ ay maaaring marami pa kumplikadong mga pag-andar, ngunit hindi magbabago ang kahulugan;
- I-cross out ang mga base ng degree. Sa kasong ito, maaaring magbago ang inequality sign kung ang base $a \lt 1$.
Sa katunayan, ito ay isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng lahat ng gayong hindi pagkakapantay-pantay. At lahat ng iba pang sasabihin nila sa iyo sa paksang ito ay tiyak na mga diskarte at trick na magpapasimple at magpapabilis sa pagbabago. Pag-uusapan natin ang tungkol sa isa sa mga diskarteng ito. :)
Paraan ng rasyonalisasyon
Isaalang-alang natin ang isa pang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Kaya ano ang espesyal sa kanila? Ang gaan nila. Bagaman, huminto! Nakataas ba ang bilang na π sa ilang kapangyarihan? Anong kalokohan?
Paano itaas ang numerong $2\sqrt(3)-3$ sa isang kapangyarihan? O $3-2\sqrt(2)$? Ang mga manunulat ng problema ay malinaw na uminom ng masyadong maraming Hawthorn bago umupo sa trabaho :)
Sa katunayan, walang nakakatakot sa mga gawaing ito. Paalalahanan kita: ang exponential function ay isang expression ng form na $((a)^(x))$, kung saan ang base na $a$ ay anumang positibong numero maliban sa isa. Ang bilang na π ay positibo - alam na natin iyon. Ang mga numerong $2\sqrt(3)-3$ at $3-2\sqrt(2)$ ay positibo rin - madali itong makita kung ihahambing mo ang mga ito sa zero.
Ito ay lumiliko na ang lahat ng mga "nakakatakot" na hindi pagkakapantay-pantay ay nalutas nang hindi naiiba sa mga simpleng tinalakay sa itaas? At nalutas ba sila sa parehong paraan? Oo, iyan ay ganap na tama. Gayunpaman, gamit ang kanilang halimbawa, nais kong isaalang-alang ang isang pamamaraan na lubos na nakakatipid ng oras sa independiyenteng trabaho at pagsusulit. Pag-uusapan natin ang paraan ng rasyonalisasyon. Kaya, pansin:
Anumang exponential inequality ng form na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng inequality $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.
Iyon ang buong pamamaraan :) Naisip mo ba na magkakaroon ng ibang uri ng laro? Walang katulad! Ngunit ang simpleng katotohanang ito, na literal na nakasulat sa isang linya, ay lubos na magpapasimple sa ating gawain. Tingnan mo:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Kaya wala nang mga exponential function! At hindi mo kailangang tandaan kung nagbabago ang tanda o hindi. Ngunit ito ay bumangon bagong problema: ano ang gagawin sa nakakatuwang multiplier na \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Hindi namin alam kung ano ang eksaktong halaga ng numerong π. Gayunpaman, ang kapitan ay tila nagpapahiwatig ng halata:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Sa pangkalahatan, ang eksaktong halaga ng π ay hindi talaga nag-aalala sa amin - mahalaga lamang para sa amin na maunawaan na sa anumang kaso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ito ay isang positibong pare-pareho, at maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan nito:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, sa isang tiyak na sandali kailangan nating hatiin sa minus one - at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbago. Sa dulo, pinalawak ko ang quadratic trinomial gamit ang Vieta's theorem - malinaw na ang mga ugat ay katumbas ng $((x)_(1))=5$ at $((x)_(2))=-1$ . Pagkatapos ang lahat ay napagpasyahan klasikal na pamamaraan mga pagitan:
Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng pagitan Ang lahat ng mga puntos ay tinanggal dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Interesado kami sa rehiyon na may mga negatibong halaga, kaya ang sagot ay $x\in \left(-1;5 \right)$. Yan ang solusyon. :)
Lumipat tayo sa susunod na gawain:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Ang lahat dito ay karaniwang simple, dahil may unit sa kanan. At naaalala namin na ang isa ay anumang numero na itinaas sa zero na kapangyarihan. Kahit na ang numerong ito ay hindi makatwiran na pagpapahayag, nakatayo sa base sa kaliwa:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(align)\]
Well, bigyang-katwiran natin:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Ang natitira na lang ay alamin ang mga palatandaan. Ang salik na $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ay hindi naglalaman ng variable na $x$ - ito ay pare-pareho lamang, at kailangan nating alamin ang sign nito. Upang gawin ito, tandaan ang sumusunod:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]
Ito ay lumiliko na ang pangalawang kadahilanan ay hindi lamang isang pare-pareho, ngunit isang negatibong pare-pareho! At kapag hinahati nito, ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Ngayon ang lahat ay nagiging ganap na halata. Ang mga ugat ng square trinomial sa kanan ay: $((x)_(1))=0$ at $((x)_(2))=2$. Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero at tinitingnan ang mga palatandaan ng function $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Ang kaso kapag kami ay interesado sa mga side interval Interesado kami sa mga pagitan na minarkahan ng plus sign. Ang natitira na lang ay isulat ang sagot:
Lumipat tayo sa susunod na halimbawa:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]
Buweno, ang lahat ay ganap na halata dito: ang mga base ay naglalaman ng mga kapangyarihan ng parehong numero. Samakatuwid, isusulat ko ang lahat nang maikli:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pababa \\ ((\kaliwa(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kaliwa(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kaliwa(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Tulad ng makikita mo, sa panahon ng proseso ng pagbabagong-anyo kailangan nating dumami negatibong numero, kaya nagbago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pinakadulo, muli kong inilapat ang teorama ni Vieta upang i-factor ang quadratic trinomial. Bilang resulta, ang magiging sagot ay ang mga sumusunod: $x\in \left(-8;4 \right)$ - mapapatunayan ito ng sinuman sa pamamagitan ng pagguhit ng linya ng numero, pagmamarka ng mga puntos at pagbibilang ng mga palatandaan. Samantala, magpapatuloy tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa ating "set":
\[((\kaliwa(3-2\sqrt(2) \kanan)))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Tulad ng nakikita mo, sa base ay may isang hindi makatwiran na numero, at sa kanan ay may isang yunit muli. Samakatuwid, muling isinulat namin ang aming exponential inequality gaya ng sumusunod:
\[((\left(3-2\sqrt(2)) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]
Inilapat namin ang rasyonalisasyon:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Gayunpaman, medyo halata na ang $1-\sqrt(2) \lt 0$, dahil $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Samakatuwid, ang pangalawang kadahilanan ay muli ng isang negatibong pare-pareho, kung saan ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hatiin:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Lumipat sa ibang base
Ang isang hiwalay na problema kapag nilutas ang mga exponential inequalities ay ang paghahanap para sa "tama" na batayan. Sa kasamaang palad, hindi palaging halata sa unang sulyap sa isang gawain kung ano ang dapat gawin bilang batayan, at kung ano ang gagawin ayon sa antas ng batayan na ito.
Ngunit huwag mag-alala: walang magic o "lihim" na teknolohiya dito. Sa matematika, anumang kasanayang hindi ma-algoritmo ay madaling mabuo sa pamamagitan ng pagsasanay. Ngunit para dito kailangan mong lutasin ang mga problema iba't ibang antas pagiging kumplikado. Halimbawa, tulad nito:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]
Mahirap? Nakakatakot? Ito ay mas madali kaysa sa paghampas ng manok sa aspalto! Subukan natin ito. Unang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Well, sa tingin ko ang lahat ay malinaw dito:
Isinulat namin muli ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, binabawasan ang lahat sa base ng dalawa:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Oo, oo, tama ang narinig mo: Inilapat ko lang ang paraan ng rasyonalisasyon na inilarawan sa itaas. Ngayon kailangan nating magtrabaho nang maingat: mayroon tayong fractional-rational inequality (ito ang may variable sa denominator), kaya bago natin i-equate ang isang bagay sa zero, kailangan nating dalhin ang lahat sa karaniwang denominador at alisin ang pare-parehong kadahilanan.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Ngayon ginagamit namin ang karaniwang paraan ng pagitan. Mga numerator zero: $x=\pm 4$. Ang denominator ay napupunta sa zero lamang kapag $x=0$. Mayroong tatlong puntos sa kabuuan na kailangang markahan sa linya ng numero (lahat ng mga puntos ay naka-pin dahil mahigpit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay). Nakukuha namin:
Higit pa mahirap kaso: tatlong ugat Tulad ng maaari mong hulaan, ang pagtatabing ay nagmamarka sa mga pagitan kung saan ang expression sa kaliwa ay kumukuha ng mga negatibong halaga. Samakatuwid, ang huling sagot ay magsasama ng dalawang pagitan nang sabay-sabay:
Ang mga dulo ng mga pagitan ay hindi kasama sa sagot dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Walang karagdagang pag-verify ng sagot na ito ay kinakailangan. Kaugnay nito, ang mga exponential inequalities ay mas simple kaysa sa logarithmic: walang ODZ, walang mga paghihigpit, atbp.
Lumipat tayo sa susunod na gawain:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Wala ring mga problema dito, dahil alam na natin na $\frac(1)(3)=(3)^(-1))$, kaya ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\kaliwa(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Pakitandaan: sa ikatlong linya nagpasya akong huwag mag-aksaya ng oras sa mga bagay na walang kabuluhan at agad na hatiin ang lahat sa pamamagitan ng (−2). Pumasok si Minul sa unang bracket (ngayon ay may mga plus sa lahat ng dako), at dalawa ang nabawasan na may pare-parehong kadahilanan. Ito mismo ang dapat mong gawin kapag naghahanda ng mga tunay na kalkulasyon para sa independyente at pagsubok na trabaho - hindi mo kailangang ilarawan ang bawat aksyon at pagbabago.
Susunod, ang pamilyar na paraan ng mga pagitan ay papasok. Numerator zero: ngunit wala. Dahil magiging negatibo ang discriminant. Sa turn, ang denominator ay na-reset lamang sa $x=0$ - tulad ng huling pagkakataon. Well, malinaw na sa kanan ng $x=0$ ang fraction ay kukuha ng mga positibong halaga, at sa kaliwa - negatibo. Dahil interesado kami sa mga negatibong halaga, ang huling sagot ay: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
Ano ang dapat mong gawin sa mga decimal fraction sa exponential inequalities? Iyan ay tama: alisin ang mga ito, i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong. Dito natin isasalin:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ kaliwa(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\kanan))^(x)). \\\end(align)\]
Kaya ano ang nakuha natin sa mga pundasyon ng exponential function? At nakakuha kami ng dalawang magkabaligtaran na numero:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kaliwa(((\kaliwa(\frac(4)(25) \kanan)))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kaliwa(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]
Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]
Siyempre, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay nagdaragdag, na kung ano ang nangyari sa pangalawang linya. Bilang karagdagan, kinakatawan namin ang yunit sa kanan, bilang isang kapangyarihan din sa base 4/25. Ang natitira na lang ay ang pangangatwiran:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Tandaan na $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. ang pangalawang kadahilanan ay isang negatibong pare-pareho, at kapag hinati nito, magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Sa wakas, ang huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa kasalukuyang "set":
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Sa prinsipyo, ang ideya ng solusyon dito ay malinaw din: lahat ng exponential function na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na bawasan sa base na "3". Ngunit para dito kakailanganin mong mag-isip nang kaunti sa mga ugat at kapangyarihan:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]
Isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ at ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]
Bigyang-pansin ang ika-2 at ika-3 linya ng mga kalkulasyon: bago gumawa ng anumang bagay na may hindi pagkakapantay-pantay, siguraduhing dalhin ito sa form na napag-usapan natin mula sa simula ng aralin: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Hangga't mayroon kang ilang left-handed factor, karagdagang constants, atbp. sa kaliwa o kanan, walang rasyonalisasyon o "pagtawid" sa mga batayan ang maaaring isagawa! Hindi mabilang na mga gawain ang nakumpleto nang hindi tama dahil sa pagkabigo na maunawaan ang simpleng katotohanang ito. Ako mismo ay patuloy na nagmamasid sa problemang ito sa aking mga mag-aaral noong nagsisimula pa lamang kaming mag-analisa ng exponential at logarithmic inequalities.
Ngunit bumalik tayo sa ating gawain. Subukan nating gawin nang walang rasyonalisasyon sa pagkakataong ito. Tandaan natin: ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, kaya ang mga triple ay maaaring i-cross out - hindi magbabago ang inequality sign. Nakukuha namin:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
yun lang. Panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Pagbubukod ng isang matatag na expression at pagpapalit ng isang variable
Bilang konklusyon, iminumungkahi kong lutasin ang apat pang exponential inequalities, na medyo mahirap para sa mga hindi handa na mga mag-aaral. Upang makayanan ang mga ito, kailangan mong tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree. Sa partikular, ang paglalagay ng mga karaniwang salik sa labas ng mga bracket.
Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ang matutong maunawaan kung ano ang eksaktong maaaring alisin sa mga bracket. Ang ganitong expression ay tinatawag na stable - maaari itong ipahiwatig ng isang bagong variable at sa gayon ay mapupuksa ang exponential function. Kaya, tingnan natin ang mga gawain:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Magsimula tayo sa pinakaunang linya. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito nang hiwalay:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Tandaan na $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, kaya ang kanang kamay side ay maaaring muling isulat:
Tandaan na walang ibang exponential function maliban sa $((5)^(x+1))$ sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa pangkalahatan, ang variable na $x$ ay hindi lumalabas kahit saan pa, kaya magpakilala tayo ng bagong variable: $((5)^(x+1))=t$. Nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Bumalik tayo sa orihinal na variable ($t=((5)^(x+1))$), at sa parehong oras tandaan na 1=5 0 . Mayroon kaming:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]
Yan ang solusyon! Sagot: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Ang lahat ay pareho dito. Tandaan na $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Pagkatapos ay maaaring muling isulat ang kaliwang bahagi:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \tama. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]
Ito ay humigit-kumulang kung paano mo kailangan na gumuhit ng isang solusyon para sa mga tunay na pagsubok at independiyenteng trabaho.
Well, subukan natin ang isang bagay na mas kumplikado. Halimbawa, narito ang hindi pagkakapantay-pantay:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Anong problema dito? Una sa lahat, ang mga base ng exponential function sa kaliwa ay magkakaiba: 5 at 25. Gayunpaman, 25 = 5 2, kaya ang unang termino ay maaaring mabago:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Tulad ng nakikita mo, dinala muna namin ang lahat parehong batayan, at pagkatapos ay napansin na ang unang termino ay madaling bawasan sa pangalawa - kailangan mo lang palawakin ang exponent. Ngayon ay maaari mong ligtas na ipakilala ang isang bagong variable: $((5)^(2x+2))=t$, at ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
At muli, walang kahirapan! Panghuling sagot: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay sa aralin ngayon:
\[((\kaliwa(0.5 \kanan)))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
Ang unang bagay na dapat mong bigyang pansin ay, siyempre, ang decimal fraction sa base ng unang kapangyarihan. Ito ay kinakailangan upang mapupuksa ito, at sa parehong oras dalhin ang lahat ng exponential function sa parehong base - ang bilang na "2":
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\kaliwa(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ at ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Mahusay, ginawa namin ang unang hakbang-lahat ay humantong sa parehong pundasyon. Ngayon ay kailangan mong pumili ng isang matatag na expression. Tandaan na $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kung magpapakilala kami ng bagong variable na $((2)^(4x+6))=t$, kung gayon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(align)\]
Natural, ang tanong ay maaaring lumitaw: paano natin natuklasan na 256 = 2 8? Sa kasamaang palad, dito kailangan mo lamang malaman ang mga kapangyarihan ng dalawa (at sa parehong oras ang mga kapangyarihan ng tatlo at lima). Well, o hatiin ang 256 sa 2 (maaari mong hatiin, dahil ang 256 ay isang even na numero) hanggang makuha natin ang resulta. Magiging ganito ang hitsura nito:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Ang parehong ay totoo sa tatlo (ang mga numero 9, 27, 81 at 243 ay ang mga degree nito), at may pito (ang mga numero 49 at 343 ay maganda ring tandaan). Well, ang lima ay mayroon ding "magandang" degree na kailangan mong malaman:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ at ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]
Siyempre, kung nais mo, ang lahat ng mga numerong ito ay maaaring maibalik sa iyong isipan sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng mga ito nang sunud-sunod sa bawat isa. Gayunpaman, kapag kailangan mong lutasin ang ilang exponential inequalities, at ang bawat susunod ay mas mahirap kaysa sa nauna, ang huling bagay na gusto mong isipin ay ang kapangyarihan ng ilang numero. At sa ganitong kahulugan, ang mga problemang ito ay mas kumplikado kaysa sa "klasikal" na hindi pagkakapantay-pantay na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.
Sa araling ito ay titingnan natin ang iba't ibang exponential inequalities at matutunan kung paano lutasin ang mga ito, batay sa pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng exponential inequalities
1. Kahulugan at katangian ng isang exponential function
Alalahanin natin ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng exponential function. Ang solusyon ng lahat ng exponential equation at inequalities ay batay sa mga katangiang ito.
Exponential function ay isang function ng form , kung saan ang base ay ang degree at Narito ang x ay ang independent variable, argument; y ang dependent variable, function.
kanin. 1. Graph ng exponential function
Ipinapakita ng graph ang pagtaas at pagbaba ng mga exponent, na naglalarawan ng exponential function na may base na mas malaki sa isa at mas mababa sa isa ngunit mas malaki sa zero, ayon sa pagkakabanggit.
Ang parehong mga kurba ay dumadaan sa punto (0;1)
Mga Katangian ng Exponential Function:
Saklaw: ;
Saklaw ng mga halaga: ;
Ang pag-andar ay monotoniko, tumataas nang may, bumababa nang may.
Kinukuha ng monotonic function ang bawat value nito na binibigyan ng isang value ng argument.
Kapag , kapag ang argument ay tumaas mula minus hanggang plus infinity, ang function ay tumataas mula sa zero inclusive hanggang plus infinity, ibig sabihin, para sa mga ibinigay na halaga ng argumento ay mayroon tayong monotonically na pagtaas ng function (). Sa kabaligtaran, kapag ang argument ay tumaas mula minus hanggang plus infinity, bumababa ang function mula sa infinity hanggang zero inclusive, ibig sabihin, para sa mga ibinigay na halaga ng argumento ay mayroon tayong monotonically decreasing function ().
2. Ang pinakasimpleng exponential inequalities, paraan ng solusyon, halimbawa
Batay sa itaas, nagpapakita kami ng isang paraan para sa paglutas ng mga simpleng exponential inequalities:
Pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay:
I-equalize ang mga base ng degrees;
Ihambing ang mga indicator sa pamamagitan ng pagpapanatili o pagpapalit ng inequality sign sa kabaligtaran.
Ang solusyon sa mga kumplikadong exponential inequalities ay karaniwang binubuo sa pagbabawas ng mga ito sa pinakasimpleng exponential inequalities.
Ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, na nangangahulugang ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay napanatili:
Ibahin natin ang kanang bahagi ayon sa mga katangian ng antas:
Ang batayan ng antas ay mas mababa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na baligtarin:
Upang malutas ang quadratic inequality, nilulutas namin ang kaukulang quadratic equation:
Gamit ang teorama ni Vieta nakita natin ang mga ugat:
Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.
Kaya, mayroon tayong solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:
Madaling hulaan na ang kanang bahagi ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan na may exponent na zero:
Ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay hindi nagbabago, nakukuha namin:
Alalahanin natin ang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang ang fractional-rational function:
Nahanap namin ang domain ng kahulugan:
Paghahanap ng mga ugat ng function:
Ang function ay may iisang ugat, 
Pinipili namin ang mga agwat ng palaging pag-sign at tinutukoy ang mga palatandaan ng pag-andar sa bawat agwat:
kanin. 2. Mga agwat ng constancy ng sign
Kaya, natanggap namin ang sagot.
Sagot: 
3. Paglutas ng mga karaniwang exponential inequalities
Isaalang-alang natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may parehong mga tagapagpahiwatig, ngunit magkaibang mga batayan.
Ang isa sa mga katangian ng exponential function ay nangangailangan ito ng mahigpit na positibong mga halaga para sa anumang halaga ng argumento, na nangangahulugan na maaari itong hatiin sa isang exponential function. Hatiin natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa kanang bahagi nito:
Ang batayan ng antas ay mas malaki kaysa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili.
Ilarawan natin ang solusyon:
Ang Figure 6.3 ay nagpapakita ng mga graph ng mga function at . Malinaw, kapag ang argument ay mas malaki kaysa sa zero, ang graph ng function ay mas mataas, ang function na ito ay mas malaki. Kapag negatibo ang mga halaga ng argumento, bumababa ang function, mas maliit ito. Kapag ang argument ay pantay, ang mga function ay pantay, ibig sabihin ibinigay na punto ay isa ring solusyon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.
kanin. 3. Paglalarawan halimbawa 4
Ibahin natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ayon sa mga katangian ng antas:
Narito ang ilang katulad na termino:
Hatiin natin ang parehong bahagi sa:
Ngayon ay patuloy naming malulutas ang katulad ng halimbawa 4, hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng:
Ang batayan ng antas ay mas malaki kaysa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili:
4. Graphical na solusyon ng mga exponential inequalities
Halimbawa 6 - Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay nang grapiko:
Tingnan natin ang mga function sa kaliwa at kanang bahagi at bumuo ng isang graph para sa bawat isa sa kanila.
Ang function ay exponential at tumataas sa buong domain ng kahulugan nito, ibig sabihin, para sa lahat ng tunay na halaga ng argumento.
Ang function ay linear at bumababa sa buong domain ng kahulugan nito, ibig sabihin, para sa lahat ng tunay na halaga ng argumento.
Kung ang mga pag-andar na ito ay bumalandra, iyon ay, ang sistema ay may solusyon, kung gayon ang gayong solusyon ay natatangi at madaling mahulaan. Upang gawin ito, umuulit kami sa mga integer ()
Madaling makita na ang ugat ng sistemang ito ay:
Kaya, ang mga graph ng mga function ay bumalandra sa isang punto na may argumento na katumbas ng isa.
Ngayon kailangan nating makakuha ng sagot. Ang kahulugan ng ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay ang exponent ay dapat na mas malaki kaysa sa o katumbas ng linear function, ibig sabihin, maging mas mataas o kasabay nito. Ang sagot ay malinaw: (Figure 6.4)
kanin. 4. Ilustrasyon halimbawa 6
Kaya, tiningnan namin ang paglutas ng iba't ibang mga karaniwang exponential inequalities. Susunod, magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mas kumplikadong exponential inequalities.
Mga sanggunian
Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. et al. - M.: Enlightenment.
Math. md. Matematika-pag-uulit. com. Diffur. kemsu. ru.
Takdang-Aralin
1. Algebra at ang simula ng pagsusuri, mga grado 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.
Kinakailangan na ihambing ang mga dami at dami kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mula noong sinaunang panahon. Kasabay nito, ang mga salitang tulad ng parami at mas kaunti, mas mataas at mas mababa, mas magaan at mas mabigat, mas tahimik at mas malakas, mas mura at mas mahal, atbp., na nagpapahiwatig ng mga resulta ng paghahambing ng mga homogenous na dami.
Ang mga konsepto ng higit pa at mas kaunti ay lumitaw na may kaugnayan sa pagbibilang ng mga bagay, pagsukat at paghahambing ng mga dami. Halimbawa, alam ng mga mathematician ng Sinaunang Greece na ang gilid ng anumang tatsulok ay mas mababa sa kabuuan ng iba pang dalawang panig at ang mas malaking panig ay nasa tapat ng mas malaking anggulo sa isang tatsulok. Si Archimedes, habang kinakalkula ang circumference, ay itinatag na ang perimeter ng anumang bilog ay katumbas ng tatlong beses ang diameter na may labis na mas mababa sa ikapitong diameter, ngunit higit sa sampung pitumpung beses ang diameter.
Simbolikong isulat ang mga ugnayan sa pagitan ng mga numero at dami gamit ang mga palatandaan > at b. Mga tala kung saan ang dalawang numero ay konektado sa pamamagitan ng isa sa mga palatandaan: > (mas malaki kaysa sa), Nakatagpo ka rin ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero sa mas mababang mga marka. Alam mo na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring totoo, o maaari silang maging mali. Halimbawa, ang \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) ay isang tamang numerical inequality, 0.23 > 0.235 ay isang maling numerical inequality.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na kinasasangkutan ng mga hindi alam ay maaaring totoo para sa ilang mga halaga ng mga hindi alam at mali para sa iba. Halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay na 2x+1>5 ay totoo para sa x = 3, ngunit mali para sa x = -3. Para sa hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam, maaari mong itakda ang gawain: lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagsasagawa, ang mga problema sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay inilalantad at nalutas nang mas madalas kaysa sa mga problema sa paglutas ng mga equation. Halimbawa, maraming problemang pang-ekonomiya ang dumating sa pag-aaral at solusyon ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Sa maraming sangay ng matematika, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mas karaniwan kaysa sa mga equation.
Ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nagsisilbing tanging pantulong na paraan upang patunayan o pabulaanan ang pagkakaroon ng isang partikular na bagay, halimbawa, ang ugat ng isang equation.
Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero
Maaari mong ihambing ang mga buong numero at decimal fraction. Alam mo ba ang mga tuntunin ng paghahambing? ordinaryong fraction na may parehong denominador ngunit magkaibang mga numerator; na may parehong mga numerator, ngunit iba't ibang denominador. Dito matututunan mo kung paano ihambing ang alinmang dalawang numero sa pamamagitan ng paghahanap ng tanda ng kanilang pagkakaiba.
Ang paghahambing ng mga numero ay malawakang ginagamit sa pagsasanay. Halimbawa, ikinukumpara ng isang ekonomista ang mga nakaplanong tagapagpahiwatig sa mga aktwal, ikinukumpara ng isang doktor ang temperatura ng isang pasyente sa normal, inihahambing ng isang turner ang mga sukat ng isang bahagi na may makina sa isang pamantayan. Sa lahat ng ganoong kaso, ang ilang numero ay inihahambing. Bilang resulta ng paghahambing ng mga numero, lumitaw ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.
Kahulugan. Bilang a mas maraming numero b, kung pagkakaiba a-b positibo. Bilang a mas kaunting numero b, kung ang pagkakaiba a-b ay negatibo.
Kung ang a ay mas malaki kaysa sa b, isusulat nila ang: a > b; kung ang a ay mas mababa sa b, pagkatapos ay isusulat nila: a Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay a > b ay nangangahulugan na ang pagkakaiba a - b ay positibo, i.e. a - b > 0. Hindi pagkakapantay-pantay a Para sa alinmang dalawang numero a at b mula sa sumusunod na tatlong ugnayan a > b, a = b, a Upang ihambing ang mga numerong a at b ay nangangahulugang alamin kung alin sa mga palatandaan >, = o Teorama. Kung a > b at b > c, a > c.
Teorama. Kung idaragdag mo ang parehong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, hindi magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Bunga. Anumang termino ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng terminong ito sa kabaligtaran.
Teorama. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.
Bunga. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa parehong positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa parehong negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.
Alam mo na ang mga numerical equalities ay maaaring idagdag at i-multiply ang termino sa term. Susunod, matututunan mo kung paano magsagawa ng mga katulad na aksyon na may mga hindi pagkakapantay-pantay. Ang kakayahang magdagdag at magparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay na termino sa pamamagitan ng termino ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay. Ang mga pagkilos na ito ay tumutulong sa paglutas ng mga problema sa pagsusuri at paghahambing ng mga kahulugan ng mga expression.
Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema, madalas na kinakailangan upang idagdag o i-multiply ang kaliwa at kanang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay na termino sa pamamagitan ng termino. Kasabay nito, kung minsan ay sinasabi na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagdaragdag o dumarami. Halimbawa, kung ang isang turista ay lumakad ng higit sa 20 km sa unang araw, at higit sa 25 km sa pangalawa, maaari nating sabihin na sa loob ng dalawang araw ay lumakad siya ng higit sa 45 km. Katulad nito, kung ang haba ng isang rektanggulo ay mas mababa sa 13 cm at ang lapad ay mas mababa sa 5 cm, maaari nating sabihin na ang lugar ng parihaba na ito ay mas mababa sa 65 cm2.
Kapag isinasaalang-alang ang mga halimbawang ito, ang mga sumusunod ay ginamit: theorems sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay:
Teorama. Kapag nagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda ay nakuha: kung a > b at c > d, pagkatapos ay a + c > b + d.
Teorama. Kapag nagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda, na ang kaliwa at kanang bahagi ay positibo, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong palatandaan ay nakuha: kung ang a > b, c > d at a, b, c, d ay mga positibong numero, pagkatapos ay ac > bd.
Mga hindi pagkakapantay-pantay na may sign > (mas malaki kaysa) at 1/2, 3/4 b, c Kasama ng mga palatandaan ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay > at Sa parehong paraan, ang hindi pagkakapantay-pantay \(a \geq b \) ay nangangahulugan na ang bilang a ay mas malaki sa o katumbas ng b, ibig sabihin, .at hindi bababa sa b.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng tandang \(\geq \) o ang tandang \(\leq \) ay tinatawag na hindi mahigpit. Halimbawa, ang \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ay hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.
Ang lahat ng mga katangian ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay may bisa din para sa hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Bukod dito, kung para sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan > ay itinuturing na kabaligtaran at alam mo na upang malutas ang isang bilang ng mga inilapat na problema kailangan mong lumikha ng isang modelo ng matematika sa anyo ng isang equation o isang sistema ng mga equation. Susunod, matututunan mo na ang mga modelo ng matematika para sa paglutas ng maraming problema ay hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi alam. Ipakikilala namin ang konsepto ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay at ipapakita kung paano susubukan kung ang isang ibinigay na numero ay isang solusyon sa isang partikular na hindi pagkakapantay-pantay.
Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\(ax > b, \quad ax kung saan ang a at b ay binibigyan ng mga numero, at ang x ay hindi kilala, ay tinatawag mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi kilala.
Kahulugan. Ang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam ay ang halaga ng hindi alam kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay sa numero. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng solusyon nito o pagtatatag na wala.
Nalutas mo ang mga equation sa pamamagitan ng pagbabawas sa mga ito sa pinakasimpleng equation. Katulad nito, kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, sinusubukan ng isang tao na bawasan ang mga ito, gamit ang mga katangian, sa anyo ng mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay.
Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas na may isang variable
Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\(ax^2+bx+c >0 \) at \(ax^2+bx+c kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay ilang mga numero at \(a \neq 0 \), tinatawag hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas na may isang variable.
Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
Maaaring ituring ang \(ax^2+bx+c >0 \) o \(ax^2+bx+c bilang paghahanap ng mga pagitan kung saan ang function na \(y= ax^2+bx+c \) ay kumukuha ng positibo o negatibo values Upang gawin ito, sapat na upang pag-aralan kung paano matatagpuan ang graph ng function na \(y= ax^2+bx+c\) sa coordinate plane: kung saan nakadirekta ang mga sanga ng parabola - pataas o pababa, kung ang parabola ay nag-intersect sa x axis at kung ito ay, pagkatapos ay sa anong mga punto.
Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang antas na may isang variable:
1) hanapin ang discriminant ng square trinomial \(ax^2+bx+c\) at alamin kung ang trinomial ay may mga ugat;
2) kung ang trinomial ay may mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa x-axis at sa pamamagitan ng mga minarkahang puntos ay gumuhit ng isang schematic parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas para sa isang > 0 o pababa para sa isang 0 o sa ibaba para sa isang 3) maghanap ng mga pagitan sa x-axis kung saan matatagpuan ang mga point parabola sa itaas ng x-axis (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantay \(ax^2+bx+c >0\)) o sa ibaba ng x-axis (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantay
\(ax^2+bx+c Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang interval method
Isaalang-alang ang function
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Ang domain ng function na ito ay ang set ng lahat ng numero. Ang mga zero ng function ay ang mga numero -2, 3, 5. Hinahati nila ang domain ng kahulugan ng function sa mga pagitan na \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) at \( (5; +\infty)\)
Alamin natin kung ano ang mga palatandaan ng function na ito sa bawat isa sa mga ipinahiwatig na pagitan.
Ang expression (x + 2)(x - 3)(x - 5) ay produkto ng tatlong salik. Ang tanda ng bawat isa sa mga salik na ito sa mga agwat na isinasaalang-alang ay ipinahiwatig sa talahanayan:
Sa pangkalahatan, hayaan ang function na ibigay ng formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
kung saan ang x ay isang variable, at ang x 1, x 2, ..., x n ay mga numero na hindi katumbas ng bawat isa. Ang mga numerong x 1 , x 2 , ..., x n ay ang mga zero ng function. Sa bawat isa sa mga agwat kung saan ang domain ng kahulugan ay nahahati sa mga zero ng function, ang tanda ng function ay napanatili, at kapag dumadaan sa zero ay nagbabago ang sign nito.
Ang ari-arian na ito ay ginagamit upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng form
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kung saan ang x 1, x 2, ..., x n ay mga numerong hindi pantay sa isa't isa
Isinasaalang-alang na pamamaraan ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na paraan ng pagitan.
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng pagitan.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:
\(x(0.5-x)(x+4) Malinaw, ang mga zero ng function na f(x) = x(0.5-x)(x+4) ay ang mga puntos na \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \;Inilalagay namin ang mga zero ng function sa axis ng numero at kinakalkula ang sign sa bawat pagitan:
Pinipili namin ang mga pagitan kung saan ang function ay mas mababa sa o katumbas ng zero at isulat ang sagot.
Sagot:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Teorya:
Kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit ang mga sumusunod na patakaran:
1. Anumang termino ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi
hindi pagkakapantay-pantay sa isa pang may kabaligtaran na tanda, ngunit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
2. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin ng isa
at ang parehong positibong numero nang hindi binabago ang inequality sign.
3. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin ng isa
at ang parehong negatibong numero, binabago ang hindi pagkakapantay-pantay na sign sa
kabaligtaran.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay − 8 x + 11<
−
3
x
−
4
Solusyon.
1. Igalaw natin ang ari − 3 x sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang termino 11
- sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, habang binabago ang mga palatandaan sa kabaligtaran − 3 x at sa 11
.
Pagkatapos makuha namin
− 8 x + 3 x< − 4 − 11
− 5 x< − 15
2. Hatiin natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay − 5 x<
−
15
sa isang negatibong numero −
5
, at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay <
, ay magbabago sa >
, ibig sabihin. lumipat tayo sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan.
Nakukuha namin:
− 5 x< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3- solusyon ng isang naibigay na hindi pagkakapantay-pantay.
pansinin mo!
Mayroong dalawang mga pagpipilian para sa pagsulat ng isang solusyon: x > 3 o bilang pagitan ng numero.
Markahan natin ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay sa linya ng numero at isulat ang sagot sa anyo ng isang numerical interval.
x ∈ (3 ; + ∞ )
Sagot: x > 3 o x ∈ (3 ; + ∞ )
Algebraic inequalities.
Quadratic inequalities. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ng mas mataas na antas.
Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay higit na nakadepende sa kung anong klase nabibilang ang mga function na bumubuo sa hindi pagkakapantay-pantay.
- ako. Quadratic inequalities, iyon ay, hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
palakol 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay maaari mong:
- Square trinomial factorize, ibig sabihin, isulat ang hindi pagkakapantay-pantay sa form
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- I-plot ang mga ugat ng polynomial sa linya ng numero. Maraming nasira ang mga ugat tunay na mga numero sa mga pagitan, sa bawat isa ay mayroong katumbas quadratic function ay magiging palaging tanda.
- Tukuyin ang tanda ng a (x - x 1) (x - x 2) sa bawat pagitan at isulat ang sagot.
Kung ang isang parisukat na trinomial ay walang mga ugat, kung gayon para sa D<0 и a>0 square trinomial ay positibo para sa anumang x.
- Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. x 2 + x - 6 > 0.
I-factor ang quadratic trinomial (x + 3) (x - 2) > 0
Sagot: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa anumang x maliban sa x = 6.
Sagot: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
Dito D< 0, a = 1 >0. Ang square trinomial ay positibo para sa lahat ng x.
Sagot: x Î Ø.
Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Sagot:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Sagot:
- 2x² - 12x + 18 > 0. Sagot:
- Para sa anong mga halaga ng a ang hindi pagkakapantay-pantay
x² - ax > humahawak para sa anumang x? Sagot:
- II. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ng mas mataas na antas, iyon ay, hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
Ang isang polynomial ng pinakamataas na antas ay dapat i-factorized, iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na nakasulat sa form
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
Markahan ang mga punto sa linya ng numero kung saan nawawala ang polynomial.
Tukuyin ang mga palatandaan ng polynomial sa bawat pagitan.
1) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Kaya x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
Sagot: (0; 1) (2; 3).
2) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
Markahan natin ang mga punto sa axis ng numero kung saan nawawala ang polynomial. Ito ay x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.
Sa puntong x = - ½ walang pagbabago ng sign dahil ang binomial (2x + 1) ay nakataas sa pantay na kapangyarihan, ibig sabihin, ang expression (2x + 1) 4 ay hindi nagbabago ng sign kapag dumadaan sa puntong x = - ½.
Sagot: (-∞; -2) (½; 1).
3) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sumusunod na hanay
Ang solusyon sa (1) ay x (-∞; -2) (3; +∞). Ang solusyon sa (2) ay x = 0, x = -2, x = 3. Pagsasama-sama ng mga solusyon na nakuha, makuha namin ang x О (-∞; -2] (0) (0) )
Naglo-load...
