Paano malutas ang mga logarithms na may pantay na mga base. Logarithms: mga halimbawa at solusyon

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na ang mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! Huwag maniwala sa akin? ayos lang. Ngayon, sa loob lang ng 10 - 20 minuto ay:

1. Maiintindihan mo ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase mga exponential equation. Kahit na wala kang narinig tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang multiplication table at kung paano itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan...

Pakiramdam ko ay may pagdududa ka... Well, okay, markahan ang oras! Tara na!

Una, lutasin ang equation na ito sa iyong ulo:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Tiyak na kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - hindi isang solong seryosong problema sa logarithmic ang malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong mga base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: pangunahing punto dito - magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin pagpapahayag ng logarithmic kahit na hindi binibilang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

[Caption para sa larawan]

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mayroon kaming:

[Caption para sa larawan]

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

[Caption para sa larawan]

Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha namin ang:

[Caption para sa larawan]

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang matagpuan sa maginoo numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

[Caption para sa larawan]

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

[Caption para sa larawan]

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

[Caption para sa larawan]

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n nagiging tagapagpahiwatig ng antas na nakatayo sa argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil isa lamang itong halaga ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyon ang tawag dito: basic pagkakakilanlan ng logarithmic.

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng numero a? Tama iyon: makukuha mo ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

[Caption para sa larawan]

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

[Caption para sa larawan]

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

1. log a a Ang = 1 ay isang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: logarithm sa anumang base a mula sa baseng ito ay katumbas ng isa.
2. log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.

1. Suriin kung may mga negatibong numero o isa sa ilalim ng logarithm sign. Ang pamamaraang ito naaangkop sa mga expression ng form log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Gayunpaman, hindi ito angkop para sa ilang mga espesyal na kaso:

   • Ang logarithm ng isang negatibong numero ay hindi natukoy sa anumang base (halimbawa, log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) o log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Sa kasong ito, isulat ang "walang solusyon".
   • Ang logarithm ng zero sa anumang base ay hindi rin natukoy. Kung mahuli ka ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), isulat ang "walang solusyon".
   • Logarithm ng isa sa anumang base ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) ay palaging zero, dahil x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) para sa lahat ng halaga x. Sumulat ng 1 sa halip ng logarithm na ito at huwag gamitin ang pamamaraan sa ibaba.
   • Kung mayroon ang logarithms iba't ibang dahilan, Halimbawa l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), at hindi binabawasan sa mga integer, ang halaga ng expression ay hindi mahanap nang manu-mano.

2. I-convert ang expression sa isang logarithm. Kung ang expression ay hindi nalalapat sa mga espesyal na kaso sa itaas, maaari itong ipahayag bilang isang solong logarithm. Gamitin ang sumusunod na formula para dito: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Halimbawa 1: Isaalang-alang ang expression log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Una, katawanin natin ang expression bilang isang logarithm gamit ang formula sa itaas: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Ang formula na ito para sa "pagpapalit ng base" ng isang logarithm ay nagmula sa mga pangunahing katangian ng logarithms.

3. Kung maaari, suriin nang manu-mano ang halaga ng expression. Para mahanap mag-log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), isipin ang expression " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", ibig sabihin, itanong ang sumusunod na tanong: "Sa anong kapangyarihan mo dapat itaas a para makuha x?. Ang pagsagot sa tanong na ito ay maaaring mangailangan ng calculator, ngunit kung ikaw ay mapalad, maaari mong mahanap ito nang manu-mano.

   • Halimbawa 1 (ipinagpatuloy): Isulat muli bilang 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Kailangan mong hanapin kung anong numero ang dapat tumayo sa lugar ng "?" Magagawa ito sa pamamagitan ng pagsubok at pagkakamali:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Kaya, ang numero na hinahanap namin ay 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Iwanan ang iyong sagot sa logarithmic form kung hindi mo ito mapapasimple. Maraming logarithms ang napakahirap kalkulahin sa pamamagitan ng kamay. Sa kasong ito, para makakuha ng tumpak na sagot, kakailanganin mo ng calculator. Gayunpaman, kung nilulutas mo ang isang problema sa klase, malamang na masisiyahan ang guro sa sagot sa logarithmic form. Ang pamamaraan na tinalakay sa ibaba ay ginagamit upang malutas ang isang mas kumplikadong halimbawa:

   • halimbawa 2: ano ang katumbas log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • I-convert natin ang expression na ito sa isang logarithm: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Tandaan na ang base 3 na karaniwan sa parehong logarithms ay nawawala; ito ay totoo sa anumang kadahilanan.
   • Isulat muli natin ang expression sa form 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) at subukan nating hanapin ang halaga?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Dahil ang 58 ay nasa pagitan ng dalawang numerong ito, hindi ito ipinahayag bilang isang buong numero.
   • Iniwan namin ang sagot sa logarithmic form: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

Ang pokus ng artikulong ito ay logarithm. Dito ay magbibigay tayo ng kahulugan ng logarithm, ipakita ang tinatanggap na notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng logarithm, at pag-uusapan ang natural at decimal logarithms. Pagkatapos nito ay isasaalang-alang natin ang pangunahing logarithmic identity.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng logarithm

Ang konsepto ng isang logarithm ay lumitaw kapag nilutas ang isang problema sa sa isang tiyak na kahulugan kabaligtaran, kapag kailangan mong hanapin ang exponent gamit ang isang kilalang halaga ng exponent at isang kilalang base.

Ngunit sapat na mga paunang salita, oras na upang sagutin ang tanong na "ano ang logarithm"? Ibigay natin ang kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Logarithm ng b sa base a, kung saan ang a>0, a≠1 at b>0 ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang numerong a upang makuha ang b bilang resulta.

Sa yugtong ito, napapansin namin na ang binibigkas na salitang "logarithm" ay dapat na agad na magtaas ng dalawang follow-up na tanong: "anong numero" at "sa anong batayan." Sa madaling salita, walang logarithm, ngunit ang logarithm lamang ng isang numero sa ilang base.

Pumasok na tayo agad notasyon ng logarithm: ang logarithm ng isang numero b hanggang base a ay karaniwang tinutukoy bilang log a b. Ang logarithm ng isang numero b hanggang base e at ang logarithm sa base 10 ay may sariling mga espesyal na pagtatalaga lnb at logb, ayon sa pagkakabanggit, iyon ay, hindi sila sumulat ng log e b, ngunit lnb, at hindi log 10 b, ngunit lgb.

Ngayon ay maaari tayong magbigay ng: .
At ang mga talaan huwag magkaroon ng kahulugan, dahil sa una sa kanila sa ilalim ng tanda ng logarithm mayroong negatibong numero, sa pangalawa mayroong negatibong numero sa base, at sa pangatlo ay may negatibong numero sa ilalim ng logarithm sign at isang yunit sa base.

Ngayon pag-usapan natin mga panuntunan para sa pagbabasa ng logarithms. Ang log a b ay binabasa bilang "ang logarithm ng b hanggang base a". Halimbawa, ang log 2 3 ay ang logarithm ng tatlo hanggang base 2, at ang logarithm ng two point two thirds hanggang base 2 parisukat na ugat sa lima. Ang logarithm sa base e ay tinatawag natural na logarithm, at ang notasyong lnb ay "natural logarithm ng b". Halimbawa, ang ln7 ay ang natural na logarithm ng pito, at babasahin natin ito bilang natural na logarithm ng pi. Ang base 10 logarithm ay mayroon ding espesyal na pangalan - decimal logarithm, at ang lgb ay binabasa bilang "decimal logarithm ng b". Halimbawa, ang lg1 ay ang decimal logarithm ng isa, at ang lg2.75 ay ang decimal logarithm ng two point seven five hundredths.

Ito ay nagkakahalaga ng paninirahan nang hiwalay sa mga kondisyon a>0, a≠1 at b>0, kung saan ibinibigay ang kahulugan ng logarithm. Ipaliwanag natin kung saan nagmula ang mga paghihigpit na ito. Ang pagkakapantay-pantay ng form na tinatawag na , na direktang sumusunod sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas, ay makakatulong sa atin na gawin ito.

Magsimula tayo sa a≠1. Dahil ang isa sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng isa, ang pagkakapantay-pantay ay maaari lamang maging totoo kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay maaaring maging anuman tunay na numero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, ipinapalagay ang a≠1.

Bigyan natin ng katwiran ang pagiging angkop ng kondisyon a>0. Sa a=0, ayon sa kahulugan ng logarithm, magkakaroon tayo ng pagkakapantay-pantay na posible lamang sa b=0. Ngunit ang log 0 0 ay maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Ang kundisyong a≠0 ay nagpapahintulot sa amin na maiwasan ang kalabuan na ito. At kapag a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Sa wakas, ang kundisyon b>0 ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil , at ang halaga ng isang kapangyarihan na may positibong base a ay palaging positibo.

Upang tapusin ang puntong ito, sabihin natin na ang nakasaad na kahulugan ng logarithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na ipahiwatig ang halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang kahulugan ng isang logarithm ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na kung b=a p, kung gayon ang logarithm ng numerong b sa base a ay katumbas ng p. Ibig sabihin, ang equality log a a p =p ay totoo. Halimbawa, alam natin na 2 3 =8, pagkatapos ay log 2 8=3. Pag-uusapan natin ang higit pa tungkol dito sa artikulo.

Magsimula tayo sa katangian ng logarithm ng isa. Ang pagbabalangkas nito ay ang mga sumusunod: ang logarithm ng pagkakaisa ay katumbas ng zero, iyon ay, log a 1=0 para sa alinmang a>0, a≠1. Ang patunay ay hindi mahirap: dahil ang isang 0 =1 para sa anumang a na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon sa itaas a>0 at a≠1, kung gayon ang equality log a 1=0 na patunayan ay sumusunod kaagad mula sa kahulugan ng logarithm.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng itinuturing na ari-arian: log 3 1=0, log1=0 at .

Lumipat tayo sa sa sumusunod na ari-arian: ang logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay katumbas ng isa, ibig sabihin, log a a=1 para sa a>0, a≠1. Sa katunayan, dahil ang isang 1 =a para sa anumang a, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan logarithm log a a=1 .

Ang mga halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms ay ang equalities log 5 5=1, log 5.6 5.6 at lne=1.

Halimbawa, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 at .

Logarithm ng produkto ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng produkto ng logarithms ng mga numerong ito: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Patunayan natin ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto. Dahil sa mga katangian ng degree isang log a x+log a y =a log a x ·a log a y, at dahil sa pamamagitan ng pangunahing logarithmic identity isang log a x =x at isang log a y =y, pagkatapos ay isang log a x ·a log a y =x·y. Kaya, ang isang log a x+log a y =x·y, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm, ang pagkakapantay-pantay na pinatutunayan ay sumusunod.

Magpakita tayo ng mga halimbawa ng paggamit ng property ng logarithm ng isang produkto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 at .

Ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng isang may hangganan na bilang n ng mga positibong numero x 1 , x 2 , …, x n bilang log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay mapapatunayan nang walang mga problema.

Halimbawa, ang natural na logarithm ng isang produkto ay maaaring mapalitan ng kabuuan ng tatlo natural logarithms mga numero 4 , e , at .

Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga numerong ito. Ang property ng logarithm ng isang quotient ay tumutugma sa isang formula ng form , kung saan ang a>0, a≠1, x at y ay ilang positibong numero. Ang bisa ng formula na ito ay napatunayan pati na rin ang formula para sa logarithm ng isang produkto: since , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm.

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithm: .

Lumipat tayo sa ari-arian ng logarithm ng kapangyarihan. Ang logarithm ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng modulus ng base ng degree na ito. Isulat natin ang katangiang ito ng logarithm ng isang kapangyarihan bilang isang pormula: log a b p =p·log a |b|, kung saan ang a>0, a≠1, b at p ay mga numero na ang antas b p ay may katuturan at b p >0.

Una naming patunayan ang katangiang ito para sa positibo b. Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na kumatawan sa bilang b bilang isang log a b , pagkatapos ay b p =(a log a b) p , at ang resultang expression, dahil sa pag-aari ng kapangyarihan, ay katumbas ng isang p·log a b . Kaya't dumating tayo sa pagkakapantay-pantay b p =a p·log a b, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, napagpasyahan natin na ang log a b p =p·log a b.

Ito ay nananatiling patunayan ang ari-arian na ito para sa negatibo b. Dito napapansin natin na ang expression na log a b p para sa negatibong b ay may katuturan lamang para sa kahit na mga exponents p (dahil ang halaga ng degree b p ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kung hindi, ang logarithm ay hindi magkakaroon ng kahulugan), at sa kasong ito b p =|b| p. Pagkatapos b p ==b| p =(isang log a |b|) p =a p·log a |b|, mula sa kung saan log a b p =p·log a |b| .

Halimbawa, at ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Ito ay sumusunod mula sa nakaraang ari-arian ari-arian ng logarithm mula sa ugat: ang logarithm ng nth root ay katumbas ng produkto ng fraction 1/n ng logarithm ng radical expression, iyon ay, , kung saan a>0, a≠1, n – natural na numero, mas malaki sa isa, b>0.

Ang patunay ay batay sa pagkakapantay-pantay (tingnan), na wasto para sa anumang positibong b, at ang pag-aari ng logarithm ng kapangyarihan: .

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito: .

Ngayon patunayan natin formula para sa paglipat sa isang bagong logarithm base mabait . Para magawa ito, sapat na upang patunayan ang bisa ng equality log c b=log a b·log c a. Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay log c b=log c a log a b . Ito ay nananatiling gamitin ang pag-aari ng logarithm ng degree: log c a log a b =log a b log c a. Pinatutunayan nito ang equality log c b=log a b·log c a, na nangangahulugan na ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay napatunayan na rin.

Magpakita tayo ng ilang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms: at .

Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ay nagbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga logarithms na may "maginhawa" na base. Halimbawa, maaari itong magamit upang pumunta sa natural o decimal logarithms upang makalkula mo ang halaga ng isang logarithm mula sa isang talahanayan ng logarithms. Ang formula para sa paglipat sa isang bagong logarithm base ay nagbibigay-daan din, sa ilang mga kaso, upang mahanap ang halaga ng isang naibigay na logarithm kapag ang mga halaga ng ilang logarithm sa iba pang mga base ay kilala.

Madalas ginagamit espesyal na kaso mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm na may c=b ng form . Ipinapakita nito na ang log a b at log b a – . Halimbawa, .

Madalas ding ginagamit ang formula , na maginhawa para sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm. Upang kumpirmahin ang aming mga salita, ipapakita namin kung paano ito magagamit upang kalkulahin ang halaga ng isang logarithm ng form . meron tayo . Upang patunayan ang formula ito ay sapat na upang gamitin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm a: .

Ito ay nananatiling patunayan ang mga katangian ng paghahambing ng logarithms.

Patunayan natin na para sa anumang positibong numero b 1 at b 2, b 1 log a b 2 , at para sa a>1 – ang inequality log a b 1

Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng logarithms. Limitahan natin ang ating sarili sa patunay ng unang bahagi nito, ibig sabihin, patunayan natin na kung ang isang 1 >1, isang 2 >1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b>log a 2 b . Ang natitirang mga pahayag ng pag-aari na ito ng logarithms ay pinatunayan ayon sa isang katulad na prinsipyo.

Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay na para sa isang 1>1, isang 2>1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b≤log a 2 b . Batay sa mga katangian ng logarithms, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang At ayon sa pagkakabanggit, at mula sa kanila ay sumusunod na log b a 1 ≤log b a 2 at log b a 1 ≥log b a 2, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, ayon sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga pagkakapantay-pantay b log b a 1 ≥b log b a 2 at b log b a 1 ≥b log b a 2 ay dapat hawakan, iyon ay, a 1 ≥a 2 . Kaya't dumating kami sa isang pagkakasalungatan sa kundisyon a 1

Mga sanggunian.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa Algebra at ang simula ng pagsusuri: Teksbuk para sa mga baitang 10 - 11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).