Paano i-factor ang isang quadratic trinomial. Paano i-factor ang isang quadratic trinomial

Square trinomial ay tinatawag na polynomial ng anyo palakol 2 +bx +c, Saan x– variable, a,b,c– ilang mga numero, at isang ≠ 0.

Coefficient A tinawag senior coefficient, c – libreng miyembro square trinomial.

Mga halimbawa square trinomals:

2 x 2 + 5x+4(Dito a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Dito a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9(Dito a = 9, b = 9, c = -9)

Coefficient b o koepisyent c o ang parehong mga coefficient ay maaaring katumbas ng zero sa parehong oras. Halimbawa:

5 x 2 + 3x(Ditoa = 5,b = 3,c = 0, kaya walang halaga para sa c sa equation).

6x 2 – 8 (Ditoa = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Ditoa = 2, b = 0, c = 0)

Ang halaga ng variable kung saan nawawala ang polynomial ay tinatawag ugat ng polynomial.

Upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic trinomialpalakol 2 + bx + c, kailangan nating ipantay ito sa zero -
ibig sabihin, lutasin ang quadratic equationpalakol 2 + bx + c = 0 (tingnan ang seksyong "Quadratic equation").

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Halimbawa:

I-factorize natin ang trinomial 2 x 2 + 7x – 4.

Nakikita natin: koepisyent A = 2.

Ngayon hanapin natin ang mga ugat ng trinomial. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero at lutasin ang equation

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Paano malutas ang naturang equation - tingnan sa seksyong "Mga formula ng mga ugat quadratic equation. Nakakadiskrimina." Dito ay agad nating sasabihin ang resulta ng mga kalkulasyon. Ang aming trinomial ay may dalawang ugat:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Palitan natin ang mga halaga ng mga ugat sa ating formula, na kunin ang halaga ng koepisyent mula sa mga bracket A, at makuha namin ang:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Ang resultang nakuha ay maaaring maisulat nang iba sa pamamagitan ng pagpaparami ng koepisyent 2 sa binomial x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Ang problema ay nalutas: ang trinomial ay factorized.

Ang ganitong pagpapalawak ay maaaring makuha para sa anumang quadratic trinomial na may mga ugat.

PANSIN!

Kung ang discriminant ng isang quadratic trinomial ay zero, kung gayon ang trinomial na ito ay may isang ugat, ngunit kapag nabubulok ang trinomial, ang ugat na ito ay kinuha bilang halaga ng dalawang ugat - iyon ay, bilang parehong halaga x 1 atx 2 .

Halimbawa, ang trinomial ay may isang ugat na katumbas ng 3. Pagkatapos x 1 = 3, x 2 = 3.

SQUARE TRIPLE III

§ 54. Pagbulok ng isang quadratic trinomial sa mga linear na salik

Sa seksyong ito ay isasaalang-alang natin ang sumusunod na tanong: sa anong kaso ang quadratic trinomial palakol 2 + bx + c maaaring ilarawan bilang isang produkto

(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)

dalawang linear na kamag-anak X mga multiplier na may totoong coefficient a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?

1. Ipagpalagay na ang ibinigay na quadratic trinomial palakol 2 + bx + c katawanin natin ito sa anyo

palakol 2 + bx + c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)

Ang kanang bahagi ng formula (1) ay nawawala kapag X = - b 1 / a 1 at X = - b 2 / a 2 (a 1 at a 2 ay hindi katumbas ng zero ayon sa kondisyon). Ngunit sa kasong ito ang mga numero ay b 1 / a 1 at - b 2 / a 2 ang mga ugat ng equation

palakol 2 + bx + c = 0.

Samakatuwid, ang discriminant ng quadratic trinomial palakol 2 + bx + c dapat hindi negatibo.

2. Sa kabaligtaran, ipagpalagay na ang discriminant D = b 2 - 4ac quadratic trinomial palakol 2 + bx + c hindi negatibo. Kung gayon ang trinomial na ito ay may tunay na mga ugat x 1 at x 2. Gamit ang teorama ni Vieta, nakukuha natin ang:

palakol 2 + bx + c =A (x 2 + b / a X + c / a ) = A [x 2 - (x 1 + x 2) X + x 1 x 2 ] =

= A [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = A [X (X - x 1) - x 2 (X - x 1) =

=a (X - x 1)(X - x 2).

palakol 2 + bx + c = a (X - x 1)(X - x 2), (2)

saan x 1 at x 2 - mga ugat ng trinomial palakol 2 + bx + c . Coefficient A maaaring maiugnay sa alinman sa dalawang linear na salik, halimbawa,

a (X - x 1)(X - x 2) = (ah - palakol 1)(X - x 2).

Ngunit nangangahulugan ito na sa kaso na isinasaalang-alang ang square trinomial palakol 2 + bx + c kinakatawan ito bilang isang produkto ng dalawang linear na salik na may tunay na coefficient.

Ang pagsasama-sama ng mga resulta na nakuha sa mga talata 1 at 2, dumating tayo sa sumusunod na teorama.

Teorama. Square trinomial palakol 2 + bx + c pagkatapos at pagkatapos lamang ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng dalawang linear na salik na may tunay na coefficient,

palakol 2 + bx + c = (ah - palakol 1)(X - x 2),

kapag ang discriminant ng quadratic trinomial na ito ay non-negative (iyon ay, kapag ang trinomial na ito ay may tunay na ugat).

Halimbawa 1. Linear factorize 6 x 2 - X -1.

Ang mga ugat ng quadratic trinomial na ito ay pantay x 1 = 1/2 at x 2 = - 1 / 3 .

Samakatuwid, ayon sa formula (2)

6x 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3x + 1).

Halimbawa 2. Linear factorization x 2 + X + 1. Ang discriminant ng quadratic trinomial na ito ay negatibo:

D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.

Samakatuwid, ang quadratic trinomial na ito ay hindi maaaring palawakin sa mga linear na kadahilanan na may tunay na coefficient.

Mga ehersisyo

I-factor ang mga sumusunod na expression sa linear factor (No. 403 - 406):

403. 6x 2 - 7X + 2. 405. x 2 - X + 1.

404. 2x 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. x 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - b 2 .

Bawasan ang mga fraction (Blg. 407, 408):

Lutasin ang mga equation:

Square trinomial palakol 2 +bx+c maaaring i-factor sa mga linear na kadahilanan gamit ang formula:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Saan x 1, x 2- mga ugat ng quadratic equation ax 2 +bx+c=0.

I-factor ang quadratic trinomial sa linear factor:

Halimbawa 1). 2x 2 -7x-15.

Solusyon. 2x 2 -7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Ito ang pangkalahatang kaso para sa isang kumpletong quadratic equation. Paghahanap ng discriminant D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 tunay na ugat.

Ilapat natin ang formula: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Ipinakilala namin ang trinomial na ito 2x 2 -7x-15 2x+3 At x-5.

Sagot: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).

Halimbawa 2). 3x 2 +2x-8.

Solusyon. Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation:

a=3; b=2;c=-8. Ito espesyal na kaso para sa isang kumpletong quadratic equation na may even second coefficient ( b=2). Paghahanap ng discriminant D1.

Ilapat natin ang formula: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Ipinakilala namin ang trinomial 3x 2 +2x-8 bilang isang produkto ng binomials x+2 At 3x-4.

Sagot: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

Halimbawa 3). 5x 2 -3x-2.

Solusyon. Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation:

a=5; b=-3; c=-2. Ito ay isang espesyal na kaso para sa isang kumpletong quadratic equation na may sumusunod na kundisyon: a+b+c=0(5-3-2=0). Sa ganitong mga kaso unang ugat ay palaging katumbas ng isa, at pangalawang ugat katumbas ng quotient ng libreng termino na hinati sa unang koepisyent:

Ilapat natin ang formula: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0.4)=(x-1)(5x+2). Ipinakilala namin ang trinomial 5x 2 -3x-2 bilang isang produkto ng binomials x-1 At 5x+2.

Sagot: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).

Halimbawa 4). 6x 2 +x-5.

Solusyon. Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation:

a=6; b=1; c=-5. Ito ay isang espesyal na kaso para sa isang kumpletong quadratic equation na may sumusunod na kundisyon: a-b+c=0(6-1-5=0). Sa ganitong mga kaso unang ugat ay palaging katumbas ng minus one, at pangalawang ugat ay katumbas ng minus quotient ng paghahati ng libreng termino sa unang koepisyent:

Ilapat natin ang formula: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Ipinakilala namin ang trinomial 6x 2 +x-5 bilang isang produkto ng binomials x+1 At 6x-5.

Sagot: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

Halimbawa 5). x 2 -13x+12.

Solusyon. Hanapin natin ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation:

x 2 -13x+12=0. Suriin natin kung maaari itong ilapat. Upang gawin ito, hanapin natin ang discriminant at tiyakin na ito ay isang perpektong parisukat ng isang integer.

a=1; b=-13; c=12. Paghahanap ng discriminant D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Ilapat natin ang theorem ni Vieta: ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay dapat na katumbas ng libreng termino:

x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Malinaw na ang x 1 =1; x 2 =12.

Ilapat natin ang formula: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

Sagot: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

Halimbawa 6). x 2 -4x-6.

Solusyon. Hanapin natin ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation:

a=1; b=-4; c=-6. Ang pangalawang koepisyent ay isang kahit na numero. Hanapin ang discriminant D 1.

Ang discriminant ay hindi isang perpektong parisukat ng isang integer, samakatuwid, ang Vieta's theorem ay hindi makakatulong sa amin, at mahahanap namin ang mga ugat gamit ang mga formula para sa kahit na pangalawang koepisyent:

Ilapat natin ang formula: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) at isulat ang sagot.

Pag-factor ng isang quadratic trinomial maaaring maging kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay mula sa problema C3 o problema sa parameter C5. Gayundin, mas mabilis na malulutas ang maraming B13 word problem kung alam mo ang theorem ni Vieta.

Ang teorama na ito, siyempre, ay maaaring isaalang-alang mula sa pananaw ng ika-8 baitang, kung saan ito ay itinuro sa unang pagkakataon. Ngunit ang aming gawain ay upang maghanda nang mabuti para sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit at matutong lutasin ang mga gawain sa pagsusulit nang mahusay hangga't maaari. Samakatuwid, isinasaalang-alang ng araling ito ang isang diskarte na bahagyang naiiba mula sa isang paaralan.

Formula para sa mga ugat ng equation gamit ang Vieta's theorem Alam ng maraming tao (o hindi bababa sa nakakita):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

kung saan ang `a, b` at `c` ay ang mga coefficient ng quadratic trinomial `ax^2+bx+c`.

Upang matutunan kung paano madaling gamitin ang theorem, unawain natin kung saan ito nanggaling (ito ay talagang gagawing mas madaling matandaan).

Magkaroon tayo ng equation na `ax^2+ bx+ c = 0`. Para sa karagdagang kaginhawahan, hatiin ito sa `a` at kunin ang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Ang ganyang equation ay tinatawag na pinababang quadratic equation.

Mahalagang ideya sa aralin: anumang quadratic polynomial na may mga ugat ay maaaring palawakin sa mga panaklong. Ipagpalagay natin na ang atin ay maaaring katawanin bilang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, kung saan `k` at ` l` - ilang mga pare-pareho.

Tingnan natin kung paano nagbubukas ang mga bracket:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Kaya, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ito ay bahagyang naiiba sa klasikal na interpretasyon Ang teorama ni Vieta- dito hinahanap natin ang mga ugat ng equation. Iminumungkahi kong maghanap ng mga termino para sa pagkabulok ng bracket- sa ganitong paraan hindi mo na kailangang tandaan ang tungkol sa minus mula sa formula (ibig sabihin `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Ito ay sapat na upang pumili ng dalawang tulad na mga numero, ang kabuuan nito ay katumbas ng average na koepisyent, at ang produkto ay katumbas ng libreng termino.

Kung kailangan natin ng solusyon sa equation, kung gayon ito ay malinaw: ang mga ugat `x=-k` o `x=-l` (dahil sa mga kasong ito ang isa sa mga bracket ay magiging zero, na nangangahulugang ang buong expression ay magiging zero. ).

Ipapakita ko sa iyo ang algorithm bilang isang halimbawa: Paano palawakin ang isang quadratic polynomial sa mga bracket.

Halimbawa ng isa. Algorithm para sa factoring ng isang quadratic trinomial

Ang path na mayroon kami ay isang quadrant trinomial `x^2+5x+4`.

Ito ay nabawasan (ang coefficient ng `x^2` ay katumbas ng isa). Siya ay may mga ugat. (Upang makatiyak, maaari mong tantyahin ang discriminant at tiyaking mas malaki ito sa zero.)

Mga karagdagang hakbang (kailangan mong matutunan ang mga ito pagkatapos makumpleto ang lahat mga gawain sa pagsasanay):

1. Kumpletuhin ang sumusunod na entry: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Sa halip na mga tuldok, mag-iwan ng libreng espasyo, magdaragdag kami ng mga angkop na numero at palatandaan doon.
2. Tingnan lahat posibleng mga opsyon, paano mo made-decompose ang numerong `4` sa produkto ng dalawang numero. Kumuha kami ng mga pares ng "kandidato" para sa mga ugat ng equation: `2, 2` at `1, 4`.
3. Alamin kung aling pares ang maaari mong makuha average na koepisyent. Malinaw na ito ay `1, 4`.
4. Isulat ang $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Ang susunod na hakbang ay maglagay ng mga karatula sa harap ng mga nakapasok na numero.

   Paano maiintindihan at maalala magpakailanman kung anong mga palatandaan ang dapat lumitaw bago ang mga numero sa mga bracket? Subukang buksan ang mga ito (mga bracket). Ang koepisyent bago ang `x` sa unang kapangyarihan ay magiging `(± 4 ± 1)` (hindi pa natin alam ang mga palatandaan - kailangan nating pumili), at dapat itong katumbas ng `5. Malinaw, magkakaroon ng dalawang plus $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Gawin ang operasyong ito nang maraming beses (hello, mga gawain sa pagsasanay!) at mas maraming problema hinding hindi ito mangyayari.

Kung kailangan mong lutasin ang equation na `x^2+5x+4`, ngayon ay hindi na ito magiging mahirap. Ang mga ugat nito ay `-4, -1`.

Halimbawa dalawa. Factorization ng isang quadratic trinomial na may mga coefficient ng iba't ibang mga palatandaan

Kailangan nating lutasin ang equation na `x^2-x-2=0`. Offhand, ang discriminant ay positibo.

Sinusunod namin ang algorithm.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Mayroon lamang isang factorization ng dalawa sa integer factor: `2 · 1`.
3. Nilaktawan namin ang punto - walang mapagpipilian.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Ang produkto ng aming mga numero ay negatibo (`-2` ay ang libreng termino), na nangangahulugan na ang isa sa mga ito ay magiging negatibo at ang isa ay magiging positibo.
   Dahil ang kanilang kabuuan ay katumbas ng `-1` (ang coefficient ng `x`), kung gayon ang `2` ay magiging negatibo (ang intuitive na paliwanag ay ang dalawa ay ang mas malaki sa dalawang numero, ito ay "huhila" nang mas malakas sa negatibong panig). Nakukuha namin ang $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Pangatlong halimbawa. Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Ang equation ay `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Factorization ng 84 sa integer factor: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
3. Dahil kailangan natin ang pagkakaiba (o kabuuan) ng mga numero upang maging 5, ang pares na `7, 12` ay angkop.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

pag-asa, pagpapalawak ng quadratic trinomial na ito sa mga bracket Malinaw na.

Kung kailangan mo ng solusyon sa isang equation, narito: `12, -7`.

Mga gawain sa pagsasanay

Dinadala ko sa iyong pansin ang ilang mga halimbawa na madaling gawin ay nalutas gamit ang teorama ni Vieta.(Mga halimbawang kinuha mula sa magazine na "Mathematics", 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Ilang taon pagkatapos isulat ang artikulo, lumitaw ang isang koleksyon ng 150 mga gawain para sa agnas parisukat na polinomyal sa pamamagitan ng teorama ni Vieta.

I-like at magtanong sa mga komento!

Sa araling ito, matututunan natin kung paano i-factor ang quadratic trinomals sa linear factor. Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang teorama ni Vieta at ang kabaligtaran nito. Ang kasanayang ito ay makakatulong sa amin na mabilis at maginhawang palawakin ang mga quadratic trinomial sa mga linear na kadahilanan, at pasimplehin din ang pagbabawas ng mga fraction na binubuo ng mga expression.

Kaya bumalik tayo sa quadratic equation, kung saan .

Ang mayroon tayo sa kaliwang bahagi ay tinatawag na quadratic trinomial.

Ang teorama ay totoo: Kung ang mga ugat ng isang quadratic trinomial, kung gayon ang pagkakakilanlan ay humahawak

Nasaan ang nangungunang koepisyent, ang mga ugat ng equation.

Kaya, mayroon kaming isang quadratic equation - isang quadratic trinomial, kung saan ang mga ugat ng quadratic equation ay tinatawag ding mga ugat ng quadratic trinomial. Samakatuwid, kung mayroon tayong mga ugat ng isang square trinomial, ang trinomial na ito ay maaaring mabulok sa mga linear na kadahilanan.

Patunay:

Patunay ang katotohanang ito ay isinagawa gamit ang teorama ni Vieta, na tinalakay natin sa mga nakaraang aralin.

Tandaan natin kung ano ang sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta:

Kung ang mga ugat ng isang quadratic trinomial kung saan , kung gayon .

Ang sumusunod na pahayag ay sumusunod mula sa teorama na ito:

Nakikita namin na, ayon sa teorama ng Vieta, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa pormula sa itaas, nakukuha namin ang sumusunod na expression

Q.E.D.

Alalahanin na napatunayan namin ang teorama na kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial, kung gayon ang pagpapalawak ay wasto.

Ngayon tandaan natin ang isang halimbawa ng isang quadratic equation, kung saan pinili natin ang mga ugat gamit ang Vieta's theorem. Mula sa katotohanang ito maaari nating makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay salamat sa napatunayang teorama:

Ngayon suriin natin ang kawastuhan ng katotohanang ito sa pamamagitan lamang ng pagbubukas ng mga bracket:

Nakikita namin na kami ay nag-factor nang tama, at anumang trinomial, kung ito ay may mga ugat, ay maaaring i-factorize ayon sa theorem na ito sa mga linear na kadahilanan ayon sa formula

Gayunpaman, suriin natin kung posible ang naturang factorization para sa anumang equation:

Kunin, halimbawa, ang equation . Una, suriin natin ang discriminant sign

At naaalala natin na upang matupad ang teorama na ating natutunan, ang D ay dapat na higit sa 0, kaya sa kasong ito, ang factorization ayon sa theorem na ating natutunan ay imposible.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isang bagong teorama: kung ang isang parisukat na trinomial ay walang mga ugat, kung gayon hindi ito mabulok sa mga linear na kadahilanan.

Kaya, tiningnan namin ang teorama ni Vieta, ang posibilidad na mabulok ang isang quadratic trinomial sa mga linear na kadahilanan, at ngayon ay malulutas namin ang ilang mga problema.

Gawain Blg. 1

Sa grupong ito ay talagang malulutas natin ang problema na kabaliktaran sa ipinupunta. Nagkaroon kami ng equation, at natagpuan namin ang mga ugat nito sa pamamagitan ng pag-factor nito. Dito gagawin natin ang kabaligtaran. Sabihin nating mayroon tayong mga ugat ng isang quadratic equation

Ang kabaligtaran na problema ay ito: sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito.

Mayroong 2 paraan upang malutas ang problemang ito.

Dahil ang mga ugat ng equation, kung gayon ay isang quadratic equation na ang mga ugat ay binibigyan ng mga numero. Ngayon buksan natin ang mga bracket at suriin:

Ito ang unang paraan kung saan gumawa kami ng quadratic equation na may mga ibinigay na ugat, na walang iba pang mga ugat, dahil ang anumang quadratic equation ay may hindi hihigit sa dalawang ugat.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng inverse Vieta theorem.

Kung ang mga ugat ng equation, kung gayon natutugunan nila ang kundisyon na .

Para sa pinababang quadratic equation , , ibig sabihin, sa kasong ito, at .

Kaya, lumikha kami ng isang parisukat na equation na may ibinigay na mga ugat.

Gawain Blg. 2

Ito ay kinakailangan upang bawasan ang fraction.

Mayroon tayong trinomial sa numerator at trinomial sa denominator, at ang trinomial ay maaaring i-factorize o hindi. Kung ang numerator at ang denamineytor ay pinagsama-sama, kung gayon sa kanila ay maaaring may pantay na mga kadahilanan na maaaring mabawasan.

Una sa lahat, kailangan mong i-factor ang numerator.

Una, kailangan mong suriin kung ang equation na ito ay maaaring i-factorize, hanapin natin ang discriminant. Dahil , ang sign ay depende sa produkto (dapat mas mababa sa 0), sa halimbawang ito, i.e. ibinigay na equation may mga ugat.

Upang malutas, ginagamit namin ang teorama ng Vieta:

Sa kasong ito, dahil pinag-uusapan natin ang mga ugat, magiging mahirap na piliin lamang ang mga ugat. Ngunit nakikita natin na ang mga coefficient ay balanse, ibig sabihin, kung ipagpalagay natin na , at i-substitute ang halagang ito sa equation, makukuha natin ang sumusunod na sistema: , ibig sabihin, 5-5=0. Kaya, napili namin ang isa sa mga ugat ng quadratic equation na ito.

Hahanapin natin ang pangalawang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng alam na sa sistema ng mga equation, halimbawa, , i.e. .

Kaya, natagpuan namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation at maaaring palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na equation upang i-factor ito:

Tandaan natin ang orihinal na problema, kailangan nating bawasan ang fraction .

Subukan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalit ng .

Kinakailangan na huwag kalimutan na sa kasong ito ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng 0, ibig sabihin, .

Kung matutugunan ang mga kundisyong ito, binawasan namin ang orihinal na fraction sa anyo .

Problema No. 3 (gawain na may parameter)

Sa anong mga halaga ng parameter ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation

Kung ang mga ugat ng equation na ito ay umiiral, kung gayon , tanong: kailan.