Paano makahanap ng mga kumplikadong antiderivative. Antiderivative ng function

Isaalang-alang natin ang paggalaw ng isang punto sa isang tuwid na linya. Hayaan itong tumagal ng oras t mula sa simula ng paggalaw ang punto ay naglakbay ng malayo s(t). Tapos ang bilis bilis v(t) katumbas ng derivative ng function s(t), iyon ay v(t) = s"(t).

Sa pagsasagawa, nakatagpo tayo ng kabaligtaran na problema: dahil sa bilis ng paggalaw ng isang punto v(t) hanapin ang landas na kanyang tinahak s(t), ibig sabihin, hanapin ang gayong function s(t), na ang derivative ay katumbas ng v(t). Function s(t), ganyan s"(t) = v(t), ay tinatawag na antiderivative ng function v(t).

Halimbawa, kung v(t) = at, Saan A ay isang ibinigay na numero, pagkatapos ay ang function
s(t) = (at 2) / 2v(t), kasi
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Function F(x) tinatawag na antiderivative ng function f(x) sa ilang pagitan, kung para sa lahat X mula sa puwang na ito F"(x) = f(x).

Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay ang antiderivative ng function f(x) = cos x, kasi (kasalanan x)" = cos x; function F(x) = x 4 /4 ay ang antiderivative ng function f(x) = x 3, dahil (x 4/4)" = x 3.

Isaalang-alang natin ang problema.

Gawain.

Patunayan na ang mga function na x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 ay mga antiderivatives ng parehong function f(x) = x 2.

Solusyon.

1) Tukuyin natin ang F 1 (x) = x 3 /3, pagkatapos ay F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3/3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Sa pangkalahatan, ang anumang function x 3 /3 + C, kung saan ang C ay isang pare-pareho, ay isang antiderivative ng function na x 2. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang derivative ng pare-pareho ay zero. Ipinapakita ng halimbawang ito na para sa isang naibigay na function ang antiderivative nito ay hindi malinaw na tinutukoy.

Hayaang ang F 1 (x) at F 2 (x) ay dalawang antiderivatives ng parehong function na f(x).

Pagkatapos F 1 "(x) = f(x) at F" 2 (x) = f(x).

Ang derivative ng kanilang pagkakaiba g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ay katumbas ng zero, dahil g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Kung ang g"(x) = 0 sa isang tiyak na pagitan, kung gayon ang padaplis sa graph ng function na y = g(x) sa bawat punto ng interval na ito ay kahanay sa Ox axis. Samakatuwid, ang graph ng function na y = Ang g(x) ay isang tuwid na linya na parallel sa axis ng Ox, ibig sabihin, e. – F 2 (x) sumusunod na F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Kaya, kung ang function na F(x) ay isang antiderivative ng function na f(x) sa isang tiyak na pagitan, kung gayon ang lahat ng antiderivative function na f(x) ay nakasulat sa form na F(x) + C, kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho. .

Isaalang-alang natin ang mga graph ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function f(x). Kung ang F(x) ay isa sa mga antiderivative ng function na f(x), kung gayon ang anumang antiderivative ng function na ito ay makukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa F(x) ng ilang constant: F(x) + C. Mga graph ng function y = F( x) + C ay nakuha mula sa graph na y = F(x) sa pamamagitan ng shift kasama ang Oy axis. Sa pamamagitan ng pagpili sa C, maaari mong tiyakin na ang graph ng antiderivative ay dumadaan sa isang ibinigay na punto.

Bigyang-pansin natin ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga antiderivatives.

Alalahanin na ang operasyon ng paghahanap ng derivative para sa isang naibigay na function ay tinatawag pagkakaiba-iba. Ang kabaligtaran na operasyon ng paghahanap ng antiderivative para sa isang naibigay na function ay tinatawag pagsasama(mula sa salitang Latin "ibalik").

Talaan ng mga antiderivatives para sa ilang mga function maaari itong i-compile gamit ang isang talahanayan ng mga derivatives. Halimbawa, alam iyon (cos x)" = -sin x, nakukuha namin (-cos x)" = kasalanan x, kung saan sumusunod na ang lahat ng antiderivative function kasalanan x ay nakasulat sa anyo -cos x + C, Saan SA– pare-pareho.

Tingnan natin ang ilan sa mga kahulugan ng antiderivatives.

1) Function: x p, p ≠ -1. Antiderivative: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Function: 1/x, x > 0. Antiderivative: ln x + C.

3) Function: x p, p ≠ -1. Antiderivative: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Function: e x. Antiderivative: e x + C.

5) Function: kasalanan x. Antiderivative: -cos x + C.

6) Function: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivative: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Function: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivative: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Function: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivative: (1/k) e kx + b + C.

9) Function: kasalanan (kx + b), k ≠ 0. Antiderivative: (-1/k) cos (kx + b).

10) Function: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivative: (1/k) kasalanan (kx + b).

Mga panuntunan sa pagsasama maaaring makuha gamit ang mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Tingnan natin ang ilang mga patakaran.

Hayaan F(x) At G(x)– antiderivatives ng mga function ayon sa pagkakabanggit f(x) At g(x) sa ilang pagitan. Pagkatapos:

1) function F(x) ± G(x) ay ang antiderivative ng function f(x) ± g(x);

2) function аF(x) ay ang antiderivative ng function af(x).

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Talaan ng mga antiderivatives

Kahulugan. Ang function na F(x) sa isang ibinigay na interval ay tinatawag na antiderivative para sa function na f(x) , para sa lahat ng x mula sa interval na ito, kung F"(x)=f(x) .

Ang operasyon ng paghahanap ng isang antiderivative para sa isang function ay tinatawag pagsasama. Ito ang kabaligtaran ng operasyon ng pagkita ng kaibhan.

Teorama. Ang bawat function (x) na tuloy-tuloy sa isang interval ay may antiderivative sa parehong interval.

Theorem (ang pangunahing pag-aari ng antiderivative). Kung sa ilang pagitan ang function na F(x) ay isang antiderivative ng function na f(x), kung gayon sa interval na ito ang function na F(x)+C ay magiging isang antiderivative din ng f(x), kung saan ang C ay isang arbitrary constant. .

Mula sa theorem na ito ay sumusunod na kapag ang f(x) ay may isang antiderivative function na F(x) sa isang naibigay na pagitan, kung gayon ay marami sa mga primitive na ito. Ang pagbibigay ng C arbitrary na mga numerical na halaga, sa bawat oras na makakakuha tayo ng isang antiderivative function.

Upang mahanap ang paggamit ng mga antiderivative talahanayan ng mga antiderivatives. Ito ay nakuha mula sa derivative table.

Ang konsepto ng isang hindi tiyak na integral

Kahulugan. Ang set ng lahat ng antiderivative function para sa function na f(x) ay tinatawag hindi tiyak na integral at itinalaga.

Sa kasong ito f(x) ay tinatawag pagsasama at pag-andar, at f(x) dx - integrand.

Samakatuwid, kung ang F(x) ay antiderivative ng f(x) kung gayon .

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Ang konsepto ng isang tiyak na integral

Isaalang-alang natin patag na pigura, na nililimitahan ng tuloy-tuloy at di-negatibong graph sa pagitan [a; b] function f(x) , segment [a; b] , at mga tuwid na linya x=a at x=b .

Ang resultang figure ay tinatawag hubog na trapezoid. Kalkulahin natin ang lawak nito.

Upang gawin ito, hinahati namin ang segment [a; b] sa n pantay na mga segment.

Ang mga haba ng bawat segment ay katumbas ng Δx.
Ito ay isang dinamikong pagguhit ng GeoGebra.

Maaaring baguhin ang mga pulang elemento

kanin. 1. Ang konsepto ng isang tiyak na integral

Sa bawat segment, gagawa tayo ng mga parihaba na may taas na f(x k-1) (Fig. 1).

Ang lugar ng bawat parihaba ay katumbas ng S k = f(x k-1)Δx k. .

Ang lugar ng lahat ng naturang mga parihaba ay katumbas ng Ang halagang ito ay tinatawag integral sum

para sa function na f(x) .

Kung n→∞ kung gayon ang lugar ng figure na itinayo sa ganitong paraan ay mag-iiba nang kaunti at mas kaunti mula sa lugar ng curvilinear trapezoid. Kahulugan. Ang hangganan ng integral sum kapag n→∞ ay tinatawag tiyak na integral .

, at nakasulat tulad nito: nagbabasa:

"integral mula sa a hanggang b f mula sa xdx"

Ang numero a ay tinatawag na mas mababang limitasyon ng pagsasama, b ay ang itaas na limitasyon ng pagsasama, ang segment [a; b] – agwat ng pagsasama.

Mga katangian ng isang tiyak na integral

Formula ng Newton-Leibniz Ang tiyak na integral ay malapit na nauugnay sa antiderivative at hindi tiyak na integral

.

Formula ng Newton-Leibniz

Gamit ang Integral

Pagkalkula ng mga volume ng katawan

Hayaang magbigay ng function na tumutukoy sa cross-sectional area ng katawan depende sa ilang variable S = s(x), x[a; b] . Pagkatapos ang dami ng isang ibinigay na katawan ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama ng function na ito sa loob ng naaangkop na mga limitasyon.
Kung bibigyan tayo ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curvilinear trapezoid sa paligid ng Ox axis na nililimitahan ng ilang function f(x), x [a; b] . (Larawan 3). Yung square mga cross section maaaring kalkulahin gamit ang kilalang formula S = π f 2 (x). Samakatuwid, ang pormula para sa dami ng naturang katawan ng rebolusyon ay

Target:

• Pagbuo ng konsepto ng antiderivative.
• Paghahanda para sa pang-unawa ng integral.
• Pagbuo ng mga kasanayan sa pag-compute.
• Paglinang ng isang pakiramdam ng kagandahan (ang kakayahang makita ang kagandahan sa hindi pangkaraniwan).

Ang pagsusuri sa matematika ay isang hanay ng mga sangay ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga function at ang kanilang mga generalization sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng differential at integral calculus.

Hanggang ngayon ay pinag-aralan namin ang isang sangay ng mathematical analysis na tinatawag na differential calculus, ang kakanyahan nito ay ang pag-aaral ng isang function sa "maliit".

Yung. pag-aaral ng isang function sa sapat na maliliit na kapitbahayan ng bawat punto ng kahulugan. Ang isa sa mga operasyon ng pagkita ng kaibhan ay ang paghahanap ng derivative (differential) at paglalapat nito sa pag-aaral ng mga function.

Ang kabaligtaran na problema ay hindi gaanong mahalaga. Kung ang pag-uugali ng isang function sa paligid ng bawat punto ng kahulugan nito ay kilala, kung gayon paano muling mabubuo ng isang tao ang pag-andar sa kabuuan, i.e. sa buong saklaw ng kahulugan nito. Ang problemang ito ay paksa ng pag-aaral ng tinatawag na integral calculus.

Ang pagsasama ay ang kabaligtaran na pagkilos ng pagkita ng kaibhan. O pagpapanumbalik ng function na f(x) mula sa ibinigay na derivative f`(x). Ang salitang Latin na "integro" ay nangangahulugang pagpapanumbalik.

Halimbawa Blg. 1.

Hayaan ang (x)`=3x 2.
Hanapin natin ang f(x).

Solusyon:

Batay sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan, hindi mahirap hulaan na f(x) = x 3, dahil (x 3)` = 3x 2
Gayunpaman, madali mong mapapansin na ang f(x) ay hindi natatangi.
Bilang f(x) maaari nating kunin
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, atbp.

Dahil ang derivative ng bawat isa sa kanila ay katumbas ng 3x 2. (Ang derivative ng isang pare-pareho ay 0). Ang lahat ng mga function na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino. kaya lang pangkalahatang solusyon ang problema ay maaaring isulat sa anyong f(x)= x 3 +C, kung saan ang C ay anumang pare-parehong tunay na numero.

Anuman sa mga nahanap na function f(x) ay tinatawag PRIMODIUM para sa function na F`(x)= 3x 2

Kahulugan. Ang isang function na F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa isang function na f(x) sa isang ibinigay na interval J kung para sa lahat ng x mula sa interval na ito F`(x)= f(x). Kaya ang function na F(x)=x 3 ay antiderivative para sa f(x)=3x 2 sa (- ∞ ; ∞).
Dahil para sa lahat ng x ~R ang pagkakapantay-pantay ay totoo: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Tulad ng napansin na natin, ang function na ito ay may walang katapusang bilang ng mga antiderivatives (tingnan ang halimbawa No. 1).

Halimbawa Blg. 2. Ang function na F(x)=x ay antiderivative para sa lahat ng f(x)= 1/x sa pagitan (0; +), dahil para sa lahat ng x mula sa pagitan na ito, nananatili ang pagkakapantay-pantay.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Halimbawa Blg. 3. Ang function na F(x)=tg3x ay isang antiderivative para sa f(x)=3/cos3x sa pagitan (-n/ 2; p/ 2),
kasi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Halimbawa Blg. 4. Ang function na F(x)=3sin4x+1/x-2 ay antiderivative para sa f(x)=12cos4x-1/x 2 sa pagitan (0;∞)
kasi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Lektura 2.

Paksa: Antiderivative. Ang pangunahing katangian ng isang antiderivative function.

Kapag pinag-aaralan ang antiderivative, aasa tayo sa sumusunod na pahayag. Sign of constancy ng isang function: Kung sa interval J ang derivative na Ψ(x) ng function ay katumbas ng 0, kung gayon sa interval na ito ang function na Ψ(x) ay pare-pareho.

Ang pahayag na ito ay maaaring ipakita sa geometriko.

Alam na ang Ψ`(x)=tgα, γde α ay ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph ng function na Ψ(x) sa puntong may abscissa x 0. Kung Ψ`(υ)=0 sa anumang punto sa pagitan ng J, pagkatapos ay tanα=0 δpara sa anumang padaplis sa graph ng function na Ψ(x). Nangangahulugan ito na ang tangent sa graph ng function sa anumang punto ay parallel sa abscissa axis. Samakatuwid, sa ipinahiwatig na agwat, ang graph ng function na Ψ(x) ay tumutugma sa segment ng tuwid na linya na y=C.

Kaya, ang function na f(x)=c ay pare-pareho sa interval J kung f`(x)=0 sa interval na ito.

Sa katunayan, para sa isang di-makatwirang x 1 at x 2 mula sa pagitan ng J, gamit ang theorem sa mean na halaga ng isang function, maaari nating isulat:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), dahil f`(c)=0, pagkatapos f(x 2)= f(x 1)

Theorem: (Ang pangunahing katangian ng antiderivative function)

Kung ang F(x) ay isa sa mga antiderivative para sa function na f(x) sa interval J, ang set ng lahat ng antiderivatives ng function na ito ay may anyo: F(x)+C, kung saan ang C ay anumang tunay na numero.

Patunay:

Hayaang F`(x) = f (x), pagkatapos (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), para sa x Є J.
Ipagpalagay na mayroong Φ(x) - isa pang antiderivative para sa f (x) sa pagitan ng J, i.e. Φ`(x) = f (x),
pagkatapos (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, para sa x Є J.
Nangangahulugan ito na ang Φ(x) - F(x) ay pare-pareho sa pagitan ng J.
Samakatuwid, Φ(x) - F(x) = C.
Mula sa kung saan Φ(x)= F(x)+C.
Nangangahulugan ito na kung ang F(x) ay isang antiderivative para sa isang function na f (x) sa interval J, ang set ng lahat ng antiderivatives ng function na ito ay may anyo: F(x)+C, kung saan ang C ay anumang tunay na numero.
Dahil dito, ang anumang dalawang antiderivative ng isang ibinigay na function ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino.

Halimbawa: Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na f (x) = cos x. Gumuhit ng mga graph ng unang tatlo.

Solusyon: Ang Sin x ay isa sa mga antiderivatives para sa function na f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – ang set ng lahat ng antiderivatives.

F 1 (x) = Kasalanan x-1
F 2 (x) = Kasalanan x
F 3 (x) = Kasalanan x+1

Geometric na paglalarawan: Ang graph ng anumang antiderivative F(x)+C ay maaaring makuha mula sa graph ng antiderivative F(x) gamit ang parallel transfer ng r (0;c).

Halimbawa: Para sa function na f (x) = 2x, humanap ng antiderivative na ang graph ay dumadaan sa t.M (1;4)

Solusyon: F(x)=x 2 +C – ang set ng lahat ng antiderivatives, F(1)=4 - ayon sa mga kondisyon ng problema.
Samakatuwid, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Antiderivative ng function

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) (na isang putol na linya na binubuo ng tatlong tuwid na mga segment). Gamit ang figure, kalkulahin ang F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x).

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ayon sa formula ng Newton-Leibniz, ang pagkakaiba F(9)-F(5), kung saan ang F(x) ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x), ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid na limitado sa pamamagitan ng graph ng function na y=f(x), tuwid na linya y=0 , x=9 at x=5.

Mula sa graph natukoy namin na ang ipinahiwatig na curved trapezoid ay isang trapezoid na may mga base na katumbas ng 4 at 3 at taas 3. Ang lawak nito ay pantay

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Antiderivative ng function

Kundisyon

Sagot

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=F(x) - isa sa mga antiderivatives ng ilang function na f(x) na tinukoy sa pagitan (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Gamit ang figure, tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation f(x)=0 sa segment [-3; 4]. Ayon sa kahulugan ng isang antiderivative, ang pagkakapantay-pantay ay mayroong: F"(x)=f(x). Samakatuwid, ang equation na f(x)=0 ay maaaring isulat bilang F"(x)=0. Dahil ang figure ay nagpapakita ng graph ng function na y=F(x), kailangan nating hanapin ang mga puntong iyon sa pagitan [-3; 4], kung saan ang derivative ng function na F(x) ay katumbas ng zero. Malinaw sa figure na ito ang magiging abscissas ng mga extreme point (maximum o minimum) ng F(x) graph.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Antiderivative ng function

Kundisyon

May eksaktong 7 sa kanila sa ipinahiwatig na pagitan (apat na minimum na puntos at tatlong pinakamataas na puntos).

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017.

Mula sa graph natukoy namin na ang ipinahiwatig na curved trapezoid ay isang trapezoid na may mga base na katumbas ng 4 at 3 at taas 3. \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Antiderivative ng function

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=F(x) - isa sa mga antiderivatives ng ilang function na f(x), na tinukoy sa pagitan (-5; 4).

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Gamit ang figure, tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation f (x) = 0 sa segment (-3; 3].

Ayon sa kahulugan ng isang antiderivative, ang pagkakapantay-pantay ay mayroong: F"(x)=f(x). Samakatuwid, ang equation na f(x)=0 ay maaaring isulat bilang F"(x)=0.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Antiderivative ng function

Kundisyon

Dahil ang figure ay nagpapakita ng graph ng function na y=F(x), kailangan nating hanapin ang mga puntong iyon sa pagitan [-3; 3], kung saan ang derivative ng function na F(x) ay katumbas ng zero.

Malinaw sa figure na ito ang magiging abscissas ng mga extreme point (maximum o minimum) ng F(x) graph.

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Mayroong eksaktong 5 sa kanila sa ipinahiwatig na pagitan (dalawang minimum na puntos at tatlong pinakamataas na puntos). Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x). Ang function na F(x)=-x^3+4.5x^2-7 ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x). Hanapin ang lugar ng shaded figure. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Pinagmulan: “Matematika. Paghahanda para sa Unified State Exam 2017. Antas ng profile." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Antiderivative ng function

Kundisyon

Ang shaded figure ay isang curvilinear trapezoid na nakatali mula sa itaas ng graph ng function na y=f(x), straight lines y=0, x=1 at x=3.

Function Ayon sa formula ng Newton-Leibniz, ang lugar na S nito ay katumbas ng pagkakaiba F(3)-F(1), kung saan ang F(x) ay ang antiderivative ng function na f(x) na tinukoy sa kundisyon.kaya lang ) S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x).kaya lang) Ang function na F(x)=x^3+6x^2+13x-5 ay isa sa mga antiderivatives ng function na f(x). Hanapin ang lugar ng shaded figure. F(

xkaya lang ) = tinawag(kaya lang ) .

antiderivative para sa function 2 Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x).kaya lang ) = 2X f(

sa isang ibinigay na pagitan, kung para sa lahat 2 )" = 2x ◄

mula sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay ay hawak

F"( F(x) f f(x) Halimbawa, ang function f(x) F(x) = x , dahil, Saan F"(x) = (x x = f(x).

Ang pangunahing pag-aari ng antiderivative Kung - antiderivative ng isang function 2 + 1 sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang function Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x).kaya lang ) = 2X , dahil ay may walang katapusang maraming antiderivative, at lahat ng mga antiderivative na ito ay maaaring isulat sa anyo 1 )" = 2 F(x) + C; function - antiderivative ng isang function 2 - 1 sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang function Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x).kaya lang ) = 2X SA sa isang ibinigay na pagitan, kung para sa lahat 2 - 1)" = 2F(x) + C ; function para sa function 2 - 3 ay isang arbitrary na pare-pareho. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x).kaya lang) = 2X SA sa isang ibinigay na pagitan, kung para sa lahat 2 - 3)" = 2 Halimbawa.; Function para sa function 2 + SA , Saan F"(x) = (x F(x) = x Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng ilang function y=f(x).kaya lang) = 2X . ◄

ay isang antiderivative ng function

1. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , dahil ay isang antiderivative ng function x = f(x) anumang function - isang di-makatwirang pare-pareho, at ang gayong function lamang ang isang antiderivative ng function Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga antiderivative F(x) - antiderivative para sa f(x) , A G(x) .
2. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , dahil - antiderivative para sa g(x) , Iyon g(x) · F"(x) = (x 2 + - antiderivative para sa g(x) · F(x) + G(x) , A - antiderivative para sa .
3. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , dahil - antiderivative para sa g(x),f(x) + g(x). Sa madaling salita, ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives 0 Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga antiderivative 1 / , At k- pare-pareho, kung gayon f(x) ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative ) - antiderivative para sa b(g(x) - pare-pareho, at k ≠) .

k

Indefinite integral mula sa pag-andar , dahil tinatawag na expression , dahil, iyon ay, ang set ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function F(x) + G(x) . Ang indefinite integral ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- tawag nila pagsasama at pag-andar ;

f(x)dx- tawag nila integrand ;

kaya lang - tawag nila variable ng pagsasama ;

F"(x) = (x 2 + - isa sa mga primitive na function , dahil ;

F"(x) = (x x = f(x).

Halimbawa, ∫ 2 x dx =X 2 + SA , ∫ cosx dx = kasalanan X + SA at iba pa. ◄

Ang salitang "integral" ay nagmula sa salitang Latin integer , na nangangahulugang "ibinalik". Isinasaalang-alang ang hindi tiyak na integral ng 2 kaya lang, mukhang ibinabalik namin ang function X 2 , na ang derivative ay katumbas ng 2 kaya lang. Ang pagpapanumbalik ng isang function mula sa derivative nito, o, kung ano ang pareho, ang paghahanap ng isang hindi tiyak na integral sa isang ibinigay na integrand ay tinatawag pagsasama function na ito. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagkita ng kaibhan Upang masuri kung ang pagsasama ay naisagawa nang tama, ito ay sapat na upang maiiba ang resulta at makuha ang pagsasama.

Mga pangunahing katangian ng hindi tiyak na integral

1. Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. Ang pare-parehong kadahilanan ng integrand ay maaaring alisin sa integral sign:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. Integral ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga function katumbas ng kabuuan(mga pagkakaiba) ng mga integral ng mga function na ito:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. F"( g(x),f(x) + g(x). Sa madaling salita, ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives 0 , Iyon

∫ f ( g(x) - pare-pareho, at k ≠) dx = 1 / , At k- pare-pareho, kung gayon f(x) ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative ) + C .

Talaan ng mga antiderivative at hindi tiyak na integral

	F(x) + G(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
ako.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Karaniwang tinatawag ang antiderivative at indefinite integral na ibinigay sa talahanayang ito mga tabular na antiderivative At mga integral ng talahanayan .

Tiyak na integral

Hayaan sa pagitan [a; b] isang tuluy-tuloy na function ay ibinigay y = f(x) , Pagkatapos tiyak na integral mula a hanggang b mga function F(x) + G(x) ay tinatawag na pagtaas ng antiderivative F"(x) = (x 2 + ang function na ito, iyon ay

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Mga numero a At ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative ay tinatawag nang naaayon mas mababa At itaas mga limitasyon ng pagsasama.

Mga pangunahing tuntunin para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kung saan g(x) - pare-pareho;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kung saan , dahil - kahit na pag-andar;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kung saan F(x) + G(x) ay isang kakaibang function.

Magkomento . Sa lahat ng kaso, ipinapalagay na ang mga integrand ay mapagsasama sa mga numerical interval, ang mga hangganan nito ay ang mga limitasyon ng pagsasama.

Geometric at pisikal na kahulugan ng tiyak na integral

Geometric na kahulugan tiyak na integral	Pisikal na kahulugan tiyak na integral
Square S curvilinear trapezoid (isang figure na nililimitahan ng graph ng tuluy-tuloy na positibo sa pagitan [a; b] mga function F(x) + G(x) , axis baka at tuwid x=a , x=b ) ay kinakalkula ng formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Daan s, na nalampasan ng materyal na punto, gumagalaw nang patuwid na may bilis na nag-iiba ayon sa batas v(t) , para sa isang yugto ng panahon a ; b] , pagkatapos ay ang lugar ng figure na limitado ng mga graph ng mga function na ito at tuwid na linya x = a , x = b , kinakalkula ng formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Halimbawa. Kalkulahin natin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya y = x 2 At y = 2- x . Ilarawan natin sa eskematiko ang mga graph ng mga function na ito at i-highlight sa ibang kulay ang figure na kailangang mahanap ang lugar. Upang mahanap ang mga limitasyon ng pagsasama, lutasin namin ang equation: kaya lang 2 = 2- x ; kaya lang 2 + x- 2 = 0 ; kaya lang 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\kaliwa (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \kanan )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Dami ng isang katawan ng rebolusyon

	Kung ang isang katawan ay nakuha bilang isang resulta ng pag-ikot tungkol sa isang axis baka curvilinear trapezoid bounded ng tuloy-tuloy at di-negatibong graph sa pagitan [a; b] mga function y = f(x) at tuwid x = a At x = b , pagkatapos ito ay tinatawag na katawan ng pag-ikot . Ang dami ng isang katawan ng pag-ikot ay kinakalkula ng formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Kung ang isang katawan ng rebolusyon ay nakuha bilang isang resulta ng pag-ikot ng isang figure na nakatali sa itaas at sa ibaba ng mga graph ng mga function y = f(x) At y = g(x) , ayon, pagkatapos $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Halimbawa. Kalkulahin natin ang dami ng isang kono na may radius r at taas h . Ilagay natin ang kono sa hugis-parihaba na sistema mga coordinate upang ang axis nito ay tumutugma sa axis baka , at ang gitna ng base ay matatagpuan sa pinanggalingan. Pag-ikot ng generator AB tumutukoy sa isang kono. Mula noong equation AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
at para sa dami ng kono na mayroon kami $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\kaliwa (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄