Noong nakaraan, pinag-aralan namin ang iba pang mga pag-andar, halimbawa linear, alalahanin natin ang karaniwang anyo nito:
kaya ang malinaw na pangunahing pagkakaiba - sa linear function X nakatayo sa unang antas, at sa bagong tungkulin ay nagsisimula kaming mag-aral, X nakatayo sa pangalawang kapangyarihan.
Alalahanin na ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya, at ang graph ng isang function, gaya ng makikita natin, ay isang curve na tinatawag na parabola.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-alam kung saan nanggaling ang formula. Ang paliwanag ay ito: kung bibigyan tayo ng isang parisukat na may gilid A, pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang lugar nito tulad nito:
Kung babaguhin natin ang haba ng gilid ng isang parisukat, magbabago ang lugar nito.
Kaya, ito ang isa sa mga dahilan kung bakit pinag-aaralan ang function
Alalahanin na ang variable X- ito ay isang independiyenteng variable, o argumento sa isang pisikal na interpretasyon, maaari itong, halimbawa, oras. Ang distansya ay, sa kabaligtaran, isang dependent variable; Ang dependent variable o function ay isang variable sa.
Ito ang batas ng pagsusulatan, ayon sa kung saan ang bawat halaga X isang solong halaga ang itinalaga sa.
Ang anumang batas sa pagsusulatan ay dapat matugunan ang pangangailangan ng pagiging natatangi mula sa argumento hanggang sa gumana. Sa isang pisikal na interpretasyon, ito ay mukhang medyo malinaw batay sa halimbawa ng pag-asa ng distansya sa oras: sa bawat sandali ng oras tayo ay nasa isang tiyak na distansya mula sa panimulang punto, at ito ay imposible sa parehong oras sa oras t upang maging. parehong 10 at 20 kilometro mula sa simula ng paglalakbay.
Kasabay nito, ang bawat halaga ng function ay maaaring makamit gamit ang ilang mga halaga ng argumento.
Kaya, kailangan naming bumuo ng isang graph ng function, para dito kailangan naming gumawa ng isang talahanayan. Pagkatapos ay pag-aralan ang function at ang mga katangian nito gamit ang graph. Ngunit bago pa man bumuo ng isang graph batay sa uri ng function, maaari nating sabihin ang tungkol sa mga katangian nito: malinaw na sa hindi maaaring kumuha ng mga negatibong halaga, dahil
Kaya, gumawa tayo ng isang talahanayan:
kanin. 1
Mula sa graph, madaling tandaan ang mga sumusunod na katangian:
Axis sa- ito ang axis ng symmetry ng graph;
Ang vertex ng parabola ay point (0; 0);
Nakikita namin na ang function ay tumatanggap lamang ng mga hindi negatibong halaga;
Sa pagitan kung saan 
bumababa ang function, at sa pagitan kung saan tumataas ang function;
Nakukuha ng function ang pinakamaliit na halaga nito sa vertex, 
;
Walang pinakamalaking halaga ng isang function;
Halimbawa 1
Kundisyon:
Solusyon:
kasi X sa pamamagitan ng mga pagbabago sa kundisyon sa isang partikular na agwat, masasabi natin ang tungkol sa pagpapaandar na ito ay tumataas at nagbabago sa pagitan . Ang function ay may isang minimum na halaga at isang maximum na halaga sa pagitan na ito
kanin. 2. Graph ng function na y = x 2 , x ∈
Halimbawa 2
Kundisyon: Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function:
Solusyon:
X mga pagbabago sa pagitan, ibig sabihin sa bumababa sa pagitan habang at tumataas sa pagitan habang .
Kaya, ang mga limitasyon ng pagbabago X, at ang mga limitasyon ng pagbabago sa, at, samakatuwid, sa isang naibigay na pagitan mayroong parehong minimum na halaga ng function at isang maximum
kanin. 3. Graph ng function na y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Ilarawan natin ang katotohanan na ang parehong halaga ng function ay maaaring makamit sa ilang mga halaga ng argumento.
Tulad ng ipinapakita sa pagsasanay, ang mga gawain sa mga katangian at mga graph ng isang quadratic function ay nagdudulot ng malubhang kahirapan. Ito ay medyo kakaiba, dahil pinag-aaralan nila ang quadratic function sa ika-8 baitang, at pagkatapos ay sa buong unang quarter ng ika-9 na baitang ay "pinahihirapan" nila ang mga katangian ng parabola at bumuo ng mga graph nito para sa iba't ibang mga parameter.
Ito ay dahil sa ang katunayan na kapag pinipilit ang mga mag-aaral na gumawa ng mga parabola, halos hindi sila nag-uukol ng oras sa "pagbasa" ng mga graph, iyon ay, hindi sila nagsasanay sa pag-unawa sa impormasyong natanggap mula sa larawan. Tila, ipinapalagay na, pagkatapos makabuo ng isang dosenang o higit pang mga graph, ang isang matalinong mag-aaral mismo ang makakatuklas at makakapagbalangkas ng ugnayan sa pagitan ng mga koepisyent sa pormula at hitsura graphics. Sa pagsasagawa, hindi ito gumagana. Para sa naturang generalization, ang seryosong karanasan sa matematika na mini-research ay kinakailangan, na karamihan sa mga ika-siyam na baitang, siyempre, ay hindi nagtataglay. Samantala, ang State Inspectorate ay nagmumungkahi na tukuyin ang mga palatandaan ng mga coefficient gamit ang iskedyul.
Hindi namin hihilingin ang imposible mula sa mga mag-aaral at mag-aalok lamang ng isa sa mga algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema.
Kaya, isang function ng form y = ax 2 + bx + c tinatawag na quadratic, ang graph nito ay isang parabola. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang pangunahing termino ay palakol 2. Iyon ay A hindi dapat katumbas ng zero, ang natitirang mga coefficient ( b At Sa) ay maaaring katumbas ng zero.
Tingnan natin kung paano nakakaapekto ang mga palatandaan ng mga coefficient nito sa hitsura ng isang parabola.
Ang pinakasimpleng pag-asa para sa koepisyent A. Karamihan sa mga mag-aaral ay kumpiyansa na sumasagot: “kung A> 0, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
Sa kasong ito A = 0,5
At ngayon para sa A < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
Sa kasong ito A = - 0,5
Epekto ng koepisyent Sa Medyo madali din itong sundin. Isipin natin na gusto nating mahanap ang halaga ng isang function sa isang punto X= 0. Palitan ang zero sa formula:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Lumalabas na y = c. Iyon ay Sa ay ang ordinate ng punto ng intersection ng parabola sa y-axis. Karaniwan, ang puntong ito ay madaling mahanap sa graph. At tukuyin kung ito ay nasa itaas ng zero o mas mababa. Iyon ay Sa> 0 o Sa < 0.
Sa > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Sa < 0
y = x 2 + 4x - 3
Alinsunod dito, kung Sa= 0, kung gayon ang parabola ay kinakailangang dumaan sa pinanggalingan:
y = x 2 + 4x
Mas mahirap sa parameter b. Ang punto kung saan natin makikita ito ay nakasalalay hindi lamang sa b ngunit mula rin sa A. Ito ang tuktok ng parabola. Ang abscissa nito (axis coordinate X) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula x sa = - b/(2a). kaya, b = - 2ax in. Iyon ay, nagpapatuloy kami tulad ng sumusunod: nakita namin ang vertex ng parabola sa graph, tinutukoy ang tanda ng abscissa nito, iyon ay, tumingin kami sa kanan ng zero ( x sa> 0) o sa kaliwa ( x sa < 0) она лежит.
Gayunpaman, hindi lang iyon. Kailangan din nating bigyang-pansin ang sign ng coefficient A. Iyon ay, tingnan kung saan nakadirekta ang mga sanga ng parabola. At pagkatapos lamang nito, ayon sa pormula b = - 2ax in tukuyin ang tanda b.
Tingnan natin ang isang halimbawa:
Ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, ibig sabihin A> 0, ang parabola ay nag-intersect sa axis sa below zero, ibig sabihin Sa < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sa> 0. Kaya b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Sa < 0.
Noong nakaraan, pinag-aralan namin ang iba pang mga pag-andar, halimbawa linear, alalahanin natin ang karaniwang anyo nito:
kaya ang halatang pangunahing pagkakaiba - sa linear function X nakatayo sa unang antas, at sa bagong tungkulin ay nagsisimula kaming mag-aral, X nakatayo sa pangalawang kapangyarihan.
Alalahanin na ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya, at ang graph ng isang function, gaya ng makikita natin, ay isang curve na tinatawag na parabola.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-alam kung saan nanggaling ang formula. Ang paliwanag ay ito: kung bibigyan tayo ng isang parisukat na may gilid A, pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang lugar nito tulad nito:
Kung babaguhin natin ang haba ng gilid ng isang parisukat, magbabago ang lugar nito.
Kaya, ito ang isa sa mga dahilan kung bakit pinag-aaralan ang function
Alalahanin na ang variable X- ito ay isang independiyenteng variable, o argumento sa isang pisikal na interpretasyon, maaari itong, halimbawa, oras. Ang distansya ay, sa kabaligtaran, isang dependent variable; Ang dependent variable o function ay isang variable sa.
Ito ang batas ng pagsusulatan, ayon sa kung saan ang bawat halaga X isang solong halaga ang itinalaga sa.
Ang anumang batas sa pagsusulatan ay dapat matugunan ang pangangailangan ng pagiging natatangi mula sa argumento hanggang sa gumana. Sa isang pisikal na interpretasyon, ito ay mukhang medyo malinaw batay sa halimbawa ng pag-asa ng distansya sa oras: sa bawat sandali ng oras tayo ay nasa isang tiyak na distansya mula sa panimulang punto, at ito ay imposible sa parehong oras sa oras t upang maging. parehong 10 at 20 kilometro mula sa simula ng paglalakbay.
Kasabay nito, ang bawat halaga ng function ay maaaring makamit gamit ang ilang mga halaga ng argumento.
Kaya, kailangan naming bumuo ng isang graph ng function, para dito kailangan naming gumawa ng isang talahanayan. Pagkatapos ay pag-aralan ang function at ang mga katangian nito gamit ang graph. Ngunit bago pa man bumuo ng isang graph batay sa uri ng function, maaari nating sabihin ang tungkol sa mga katangian nito: malinaw na sa hindi maaaring kumuha ng mga negatibong halaga, dahil
Kaya, gumawa tayo ng isang talahanayan:
kanin. 1
Mula sa graph, madaling tandaan ang mga sumusunod na katangian:
Axis sa- ito ang axis ng symmetry ng graph;
Ang vertex ng parabola ay point (0; 0);
Nakikita namin na ang function ay tumatanggap lamang ng mga hindi negatibong halaga;
Sa pagitan kung saan bumababa ang function, at sa pagitan kung saan tumataas ang function;
Nakukuha ng function ang pinakamaliit na halaga nito sa vertex, ;
Walang pinakamalaking halaga ng isang function;
Halimbawa 1
Kundisyon:
Solusyon:
kasi X sa pamamagitan ng mga pagbabago sa kundisyon sa isang partikular na agwat, masasabi natin ang tungkol sa pagpapaandar na ito ay tumataas at nagbabago sa pagitan . Ang function ay may isang minimum na halaga at isang maximum na halaga sa pagitan na ito
kanin. 2. Graph ng function na y = x 2 , x ∈
Halimbawa 2
Kundisyon: Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function:
Solusyon:
X mga pagbabago sa pagitan, ibig sabihin sa bumababa sa pagitan habang at tumataas sa pagitan habang .
Kaya, ang mga limitasyon ng pagbabago X, at ang mga limitasyon ng pagbabago sa, at, samakatuwid, sa isang naibigay na pagitan mayroong parehong minimum na halaga ng function at isang maximum
kanin. 3. Graph ng function na y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Ilarawan natin ang katotohanan na ang parehong halaga ng function ay maaaring makamit sa ilang mga halaga ng argumento.
Ang function na y=x^2 ay tinatawag na quadratic function. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola. Pangkalahatang view Ang parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Quadratic function
Fig 1. Pangkalahatang view ng parabola
Tulad ng makikita mula sa graph, ito ay simetriko tungkol sa Oy axis. Ang Oy axis ay tinatawag na axis of symmetry ng parabola. Nangangahulugan ito na kung gumuhit ka ng isang tuwid na linya sa graph parallel sa Ox axis sa itaas ng axis na ito. Pagkatapos ay mag-intersect ito sa parabola sa dalawang punto. Magiging pareho ang distansya mula sa mga puntong ito hanggang sa Oy axis.
Hinahati ng axis ng symmetry ang graph ng isang parabola sa dalawang bahagi. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng parabola. At ang punto ng isang parabola na nasa axis ng symmetry ay tinatawag na vertex ng parabola. Iyon ay, ang axis ng symmetry ay dumadaan sa vertex ng parabola. Ang mga coordinate ng puntong ito ay (0;0).
Mga pangunahing katangian ng isang quadratic function
1. Sa x =0, y=0, at y>0 sa x0
2. Naabot ng quadratic function ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito. Ymin sa x=0; Dapat ding tandaan na ang function ay walang maximum na halaga.
3. Bumababa ang function sa pagitan (-∞;0] at tumataas sa pagitan - kasama ang mga halagang ito ng x, na gumagalaw kasama ang parabola mula kaliwa hanggang kanan, "bumababa tayo sa burol" (tingnan ang Fig. 55) Ang function na y = x 2 ay tumataas sa ray ;
b) sa segment [- 3, - 1.5];
c) sa segment [- 3, 2].
Solusyon,
a) Bumuo tayo ng parabola y = x 2 at piliin ang bahagi nito na tumutugma sa mga halaga ng variable x mula sa segment (Larawan 56). Para sa napiling bahagi ng graph makikita natin sa pangalan. = 1 (sa x = 1), y max. = 9 (sa x = 3).
b) Bumuo tayo ng isang parabola y = x 2 at piliin ang bahagi nito na tumutugma sa mga halaga ng variable x mula sa segment [-3, -1.5] (Larawan 57). Para sa napiling bahagi ng graph, makikita namin ang y pangalan. = 2.25 (sa x = - 1.5), y max. = 9 (sa x = - 3).
c) Bumuo tayo ng parabola y = x 2 at piliin ang bahagi nito na tumutugma sa mga halaga ng variable x mula sa segment [-3, 2] (Larawan 58). Para sa napiling bahagi ng graph, nakita namin ang y max = 0 (sa x = 0), y max. = 9 (sa x = - 3).
Payo. Upang maiwasang i-plot ang function na y - x 2 point by point sa bawat pagkakataon, gupitin ang isang parabola template mula sa makapal na papel. Sa tulong nito, mabilis kang gumuhit ng parabola.
Magkomento. Sa pamamagitan ng pag-imbita sa iyo na maghanda ng template ng parabola, tila pinapapantay namin ang mga karapatan ng function na y = x 2 at linear function y = kx + m. Pagkatapos ng lahat, ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya, at upang ilarawan ang isang tuwid na linya, isang ordinaryong ruler ang ginagamit - ito ang template para sa graph ng function na y = kx + m. Kaya hayaan kang magkaroon ng isang template para sa graph ng function na y = x 2.
Halimbawa 2. Hanapin ang mga intersection point ng parabola y = x 2 at ang tuwid na linya na y - x + 2.
Solusyon. Buuin natin sa isang coordinate system ang parabola y = x 2 at ang tuwid na linya na y = x + 2 (Fig. 59). Nag-intersect sila sa mga punto A at B, at mula sa pagguhit ay hindi mahirap hanapin ang mga coordinate ng mga puntong ito A at B: para sa punto A mayroon tayong: x = - 1, y = 1, at para sa punto B mayroon tayong: x - 2, y = 4.
Sagot: ang parabola y = x 2 at ang tuwid na linya na y = x + 2 ay nagsalubong sa dalawang punto: A (-1; 1) at B (2; 4).
Mahalagang tala. Hanggang ngayon, medyo matapang kami sa paggawa ng mga konklusyon gamit ang drawing. Gayunpaman, ang mga mathematician ay hindi masyadong nagtitiwala sa mga guhit. Matapos matuklasan sa Figure 59 ang dalawang punto ng intersection ng isang parabola at isang tuwid na linya at natukoy ang mga coordinate ng mga puntong ito gamit ang pagguhit, kadalasang sinusuri ng mathematician ang kanyang sarili: ang punto (-1; 1) ba ay nasa parehong tuwid na linya. at ang parabola; ang punto (2; 4) ba ay talagang nasa isang tuwid na linya at isang parabola?
Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang mga coordinate ng mga puntos A at B sa equation ng tuwid na linya at sa equation ng parabola, at pagkatapos ay siguraduhin na sa parehong mga kaso ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha. Sa halimbawa 2, sa parehong mga kaso ang mga pagkakapantay-pantay ay magiging totoo. Ang tseke na ito ay madalas na isinasagawa kapag may pagdududa tungkol sa katumpakan ng pagguhit.
Sa konklusyon, napansin namin ang isang kawili-wiling pag-aari ng parabola, na natuklasan at napatunayan nang sama-sama ng mga physicist at mathematician.
Kung isasaalang-alang natin ang parabola y = x 2 bilang isang screen, bilang isang reflective surface, at maglalagay ng light source sa punto, kung gayon ang mga ray, na sinasalamin mula sa parabola ng screen, ay bumubuo ng isang parallel beam ng liwanag (Fig. 60) . Ang punto ay tinatawag na pokus ng parabola. Ang ideyang ito ay ginagamit sa mga kotse: ang mapanimdim na ibabaw ng headlight ay may parabolic na hugis, at ang bombilya ay inilalagay sa focal point - pagkatapos ay ang ilaw mula sa headlight ay kumakalat nang sapat na malayo.
Calendar-thematic na pagpaplano sa matematika, video sa mathematics online, Mathematics at school download
A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon
Nilalaman ng aralin mga tala ng aralin pagsuporta sa frame lesson presentation acceleration methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusulit sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga pakikipagsapalaran sa mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga tanong na retorika mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia mga litrato, larawan, graphics, talahanayan, diagram, katatawanan, anekdota, biro, komiks, talinghaga, kasabihan, crosswords, quote Mga add-on mga abstract articles tricks para sa mga curious crib textbooks basic at karagdagang diksyunaryo ng mga terminong iba Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa isang aklat-aralin, mga elemento ng pagbabago sa aralin, pagpapalit ng hindi napapanahong kaalaman ng mga bago Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon mga rekomendasyong metodolohikal mga programa sa talakayan Pinagsanib na Aralin
Naglo-load...
