Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b *a c = a b+c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer exponents. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kailangan mong pasimplehin ang masalimuot na multiplikasyon sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Sa simple at naa-access na wika.
Kahulugan sa matematika
Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang hindi negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" sa base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan "c ” kung saan kinakailangan na itaas ang batayang “a” upang sa huli ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng isang kapangyarihan na mula 2 hanggang sa kinakailangang kapangyarihan ay makakakuha ka ng 8. Pagkatapos gumawa ng ilang mga kalkulasyon sa iyong ulo, makuha namin ang numero 3! At totoo iyon, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng sagot bilang 8.
Mga uri ng logarithms
Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. Mayroong tatlong magkakahiwalay na uri ng logarithmic expression:
- Likas na logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
- Decimal a, kung saan ang base ay 10.
- Logarithm ng anumang numero b sa base a>1.
Ang bawat isa sa kanila ay malulutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang solong logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat mong tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang mga ito.
Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit
Sa matematika, mayroong ilang mga patakaran-mga hadlang na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at ang katotohanan. Halimbawa, imposibleng hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang pantay na ugat ng mga negatibong numero. Ang mga logarithm ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunang gumana kahit na may mahaba at may kakayahang logarithmic na mga expression:
- Ang base na "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at hindi katumbas ng 1, kung hindi, mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
- kung a > 0, pagkatapos ay a b >0, lumalabas na ang "c" ay dapat ding mas malaki sa zero.
Paano malutas ang mga logarithms?
Halimbawa, ang gawain ay ibinigay upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x = 100. Ito ay napakadali, kailangan mong pumili ng isang kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero sampu kung saan makakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 = 100.
Ngayon, katawanin natin ang expression na ito sa logarithmic form. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nilulutas ang mga logarithm, halos lahat ng mga aksyon ay nagsasama-sama upang mahanap ang kapangyarihan kung saan kinakailangan upang ipasok ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.
Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:
Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na pag-iisip at kaalaman sa talahanayan ng multiplikasyon. Gayunpaman, para sa mas malalaking halaga kakailanganin mo ng power table. Maaari itong magamit kahit ng mga walang alam tungkol sa kumplikadong mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c kung saan itinataas ang numero a. Sa intersection, ang mga cell ay naglalaman ng mga halaga ng numero na ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinakatotoong humanist ay mauunawaan!
Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay
Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equality. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang base 3 logarithm ng 81 na katumbas ng apat (log 3 81 = 4). Para sa negatibong kapangyarihan ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 isinulat namin ito bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Ang isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Titingnan natin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation sa ibaba, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.
Dahil sa pagpapahayag ng sumusunod na anyo: log 2 (x-1) > 3 - ito ay hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng tanda ng logarithm. At din sa pagpapahayag ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa bilang tatlo.
Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang partikular na numerical values sa sagot, habang kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, parehong saklaw ng katanggap-tanggap. ang mga halaga at ang mga puntos ay tinutukoy na lumalabag sa pagpapaandar na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot sa isang equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.
Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms
Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain ng paghahanap ng mga halaga ng logarithm, ang mga katangian nito ay maaaring hindi kilala. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Titingnan natin ang mga halimbawa ng mga equation sa ibang pagkakataon, tingnan muna natin ang bawat property nang mas detalyado.
- Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kapag ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
- Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sa kasong ito, ang obligadong kondisyon ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa logarithmic formula na ito, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaang mag-log a s 1 = f 1 at mag-log a s 2 = f 2, pagkatapos ay a f1 = s 1, a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (mga katangian ng degrees ), at pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, na siyang kailangang patunayan.
- Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Ang theorem sa anyo ng isang formula ay tumatagal susunod na view: log a q b n = n/q log a b.
Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of logarithm." Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay batay sa natural na postulates. Tingnan natin ang patunay.
Hayaang mag-log a b = t, lumalabas na a t =b. Kung itataas natin ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;
ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n, samakatuwid mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Ang teorama ay napatunayan.
Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay
Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithms ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at isa ring kinakailangang bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Para sa pagpasok sa unibersidad o pagpasa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga ganitong problema.
Sa kasamaang palad, walang nag-iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi alam na halaga ng logarithm, ngunit ang ilang mga patakaran ay maaaring ilapat sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o humantong sa pangkalahatang hitsura. Pasimplehin ang mga mahahaba logarithmic expression posible kung gagamitin mo nang tama ang kanilang mga katangian. Kilalanin natin sila agad.
Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, dapat nating matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo: ang isang halimbawang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.
Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan nilang matukoy ang kapangyarihan kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Upang malutas ang mga natural na logarithms, kailangan mong ilapat ang mga logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.
Paano gamitin ang mga formula ng logarithm: may mga halimbawa at solusyon
Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms.
- Ang pag-aari ng logarithm ng isang produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan na palawakin malaking halaga mga numero b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, gamit ang ikaapat na pag-aari ng kapangyarihan ng logarithm, nalutas namin ang isang tila kumplikado at hindi malulutas na expression. Kailangan mo lamang i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga exponent value sa sign ng logarithm.
Mga takdang-aralin mula sa Unified State Exam
Ang mga logarithm ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na sa maraming mga logarithmic na problema sa Unified State Exam (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Kadalasan, ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamasalimuot at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nangangailangan ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".
Ang mga halimbawa at solusyon sa mga problema ay kinuha mula sa opisyal Mga opsyon sa Pinag-isang State Exam. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.
Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4, samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.
- Pinakamainam na bawasan ang lahat ng logarithms sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
- Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng logarithm sign ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag ang exponent ng isang expression na nasa ilalim ng logarithm sign at bilang base nito ay kinuha bilang isang multiplier, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.
Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi natukoy. Bilang karagdagan, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero na hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang base -2 logarithm ng 4 ay pantay. sa 2.
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Mahalagang magkaiba ang saklaw ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Ang kaliwang bahagi ay tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. Ang kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, at hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa OD.
Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.
Logarithm ng produkto at logarithm ng quotient
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Gusto kong bigyan ng babala ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paggamit ng mga formula na ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginagamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan," ang ODZ ay lumiliit, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, lumalawak ang ODZ.
Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f(x) at g(x) ay parehong mas mababa sa zero.
Ang pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x), napipilitan tayong limitahan ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. Mayroong pagpapaliit ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).
Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)At muli gusto kong tumawag para sa katumpakan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Sa pamamagitan ng pagkuha ng degree sa logarithm, muli naming pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.
Formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.
Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalagang espesyal na kaso mga formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Ilang simpleng halimbawa na may logarithms
Halimbawa 1. Kalkulahin: log2 + log50.
Solusyon. log2 + log50 = log100 = 2. Ginamit namin ang sum ng logarithms formula (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.
Halimbawa 2. Kalkulahin: lg125/lg5.
Solusyon. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base (8).
Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms
| isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Ito ay maaaring, halimbawa, isang calculator mula sa pangunahing hanay ng mga programa operating system Windows. Ang link upang ilunsad ito ay nakatago sa pangunahing menu ng OS - buksan ito sa pamamagitan ng pag-click sa pindutan ng "Start", pagkatapos ay buksan ang seksyong "Programs", pumunta sa subsection na "Standard", at pagkatapos ay sa "Utilities" seksyon at, sa wakas, mag-click sa item na "Calculator" " Sa halip na gamitin ang mouse at mag-navigate sa mga menu, maaari mong gamitin ang keyboard at ang dialog ng paglulunsad ng programa - pindutin ang kumbinasyon ng WIN + R key, i-type ang calc (ito ang pangalan ng calculator executable file) at pindutin ang Enter.
Ilipat ang interface ng calculator sa advanced mode, na nagbibigay-daan sa iyong gawin... Bilang default, bubukas ito sa "normal" na view, ngunit kailangan mo ng "engineering" o " " (depende sa bersyon ng OS na iyong ginagamit). Palawakin ang seksyong "Tingnan" sa menu at piliin ang naaangkop na linya.
Ilagay ang argumento na ang natural na halaga ay gusto mong suriin. Magagawa ito mula sa keyboard o sa pamamagitan ng pag-click sa kaukulang mga pindutan sa interface ng calculator sa screen.
I-click ang button na may label na ln - kakalkulahin ng program ang logarithm sa base e at ipapakita ang resulta.
Gamitin ang isa sa mga -calculator bilang alternatibo sa pagkalkula ng halaga ng natural logarithm. Halimbawa, ang matatagpuan sa http://calc.org.ua. Ang interface nito ay napaka-simple - mayroong isang solong input field kung saan kailangan mong i-type ang halaga ng numero, ang logarithm na kailangan mong kalkulahin. Sa mga button, hanapin at i-click ang nagsasabing ln. Ang script ng calculator na ito ay hindi nangangailangan ng pagpapadala ng data sa server at isang tugon, kaya matatanggap mo ang resulta ng pagkalkula halos kaagad. Ang tanging tampok na dapat isaalang-alang ay ang separator sa pagitan ng fractional at integer na mga bahagi ng ipinasok na numero ay dapat na isang tuldok, at hindi .
Ang katagang " logarithm Ang " ay mula sa dalawang salitang Griyego, ang isa ay nangangahulugang "bilang" at ang isa ay nangangahulugang "ratio". Ito ay nagsasaad ng mathematical na operasyon ng pagkalkula ng variable na dami (exponent) kung saan ang isang pare-parehong halaga (base) ay dapat na itaas upang makuha ang numerong ipinahiwatig sa ilalim ng tanda logarithm A. Kung ang base ay katumbas ng isang mathematical constant na tinatawag na numerong "e", kung gayon logarithm tinatawag na "natural".
Kakailanganin mo
- access sa internet, Microsoft Office Excel o calculator.
Mga tagubilin
Gamitin ang maraming mga calculator na magagamit sa Internet - ito ay marahil isang madaling paraan upang makalkula ang natural na a. Hindi mo kailangang maghanap ng naaangkop na serbisyo, dahil marami mga search engine at ang kanilang mga sarili ay may built-in na mga calculator, medyo angkop para sa pagtatrabaho logarithm ami. Halimbawa, pumunta sa pangunahing pahina ng pinakamalaking online na search engine - Google. Walang mga pindutan ang kinakailangan dito upang magpasok ng mga halaga o pumili ng mga function; Sabihin nating, upang makalkula logarithm at ang numerong 457 sa base “e”, ipasok ang ln 457 - ito ay magiging sapat na para ipakita ng Google na may katumpakan na walong decimal na lugar (6.12468339) kahit na hindi pinindot ang pindutan upang magpadala ng kahilingan sa server.
Gamitin ang naaangkop na built-in na function kung kailangan mong kalkulahin ang halaga ng isang natural logarithm at nangyayari kapag nagtatrabaho sa data sa sikat na spreadsheet editor na Microsoft Office Excel. Ang function na ito ay tinatawag dito gamit ang karaniwang notasyon logarithm at sa upper case - LN. Piliin ang cell kung saan dapat ipakita ang resulta ng pagkalkula at maglagay ng pantay na senyales - ganito dapat magsimula ang mga record ng editor ng spreadsheet na ito sa mga cell na naglalaman ng subsection na "Standard" ng seksyong "Lahat ng Programa" ng pangunahing menu. Ilipat ang calculator sa isang mas functional mode sa pamamagitan ng pagpindot sa keyboard shortcut na Alt + 2. Pagkatapos ay ilagay ang value, natural logarithm na gusto mong kalkulahin, at i-click sa interface ng programa ang button na ipinahiwatig ng mga simbolo ln. Gagawin ng application ang pagkalkula at ipapakita ang resulta.
Video sa paksa
madalas kumuha ng numero e = 2,718281828 . Ang mga logarithms batay sa base na ito ay tinatawag natural. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon na may natural na logarithms, karaniwan na gumana gamit ang sign ln, hindi log; habang ang numero 2,718281828 , pagtukoy sa batayan, ay hindi ipinahiwatig.
Sa madaling salita, ang pagbabalangkas ay magiging ganito: natural na logarithm mga numero X- isa itong exponent kung saan dapat itaas ang isang numero e para makuha x.
Kaya, ln(7,389...)= 2, dahil e 2 =7,389... . Natural logarithm ng numero mismo e= 1 kasi e 1 =e, at ang natural na logarithm ng pagkakaisa ay zero, dahil e 0 = 1.
Ang numero mismo e tumutukoy sa limitasyon ng isang monotone bounded sequence
kalkulado iyon e = 2,7182818284... .
Kadalasan, upang ayusin ang isang numero sa memorya, ang mga digit ng kinakailangang numero ay nauugnay sa ilang natitirang petsa. Bilis ng pagsasaulo ng unang siyam na digit ng isang numero e pagkatapos ng decimal point ay tataas kung mapapansin mo na ang 1828 ay ang taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy!
Ngayon ay may mga kumpletong talahanayan ng natural logarithms.
Natural na logarithm graph(mga function y=ln x) ay bunga ng exponential graph bilang mirror image ng tuwid na linya y = x at may anyo:
Ang natural na logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong tunay na numero a bilang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula sa 1 sa a.
Ang elementarya na katangian ng pagbabalangkas na ito, na naaayon sa maraming iba pang mga pormula kung saan ang natural na logarithm ay kasangkot, ang dahilan ng pagbuo ng pangalang "natural".
Kung susuriin mo natural na logarithm, bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, pagkatapos ay kumikilos ito baligtad na pag-andar sa isang exponential function, na bumababa sa mga pagkakakilanlan:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagpapalit ng multiplikasyon sa karagdagan, paghahati sa pagbabawas:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Ang logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong base na hindi katumbas ng isa, hindi lamang para sa e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm.
Nasuri natural na logarithm graph, nalaman namin na ito ay umiiral para sa mga positibong halaga ng variable x. Ito ay tumataas monotonically sa kanyang domain ng kahulugan.
Sa x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( -∞ ).Sa x → +∞ ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Sa kabuuan x Ang logarithm ay tumataas nang medyo mabagal. Anumang power function xa na may positibong exponent a mas mabilis na tumataas kaysa sa logarithm. Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema.
Paggamit natural logarithms very rational kapag pumasa mas mataas na matematika. Kaya, ang paggamit ng logarithm ay maginhawa para sa paghahanap ng sagot sa mga equation kung saan lumilitaw ang mga hindi alam bilang mga exponent. Ang paggamit ng natural na logarithms sa mga kalkulasyon ay ginagawang posible na lubos na pasimplehin malaking bilang mga pormula sa matematika. Logarithms sa base e ay naroroon sa paglutas ng malaking bilang ng mga pisikal na problema at natural na kasama sa matematikal na paglalarawan ng indibidwal na kemikal, biyolohikal at iba pang mga proseso. Kaya, ang logarithms ay ginagamit upang kalkulahin ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang kalkulahin ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema ng radioactivity. Gumaganap sila ng nangungunang papel sa maraming larangan ng matematika at praktikal na agham, ang mga ito ay ginagamit sa larangan ng pananalapi upang malutas malaking bilang mga gawain, kabilang ang pagkalkula ng tambalang interes.
Hindi naman masama, tama? Habang naghahanap ang mga mathematician ng mga salita na magbibigay sa iyo ng mahaba, nakakalito na kahulugan, tingnan natin ang simple at malinaw na kahulugan na ito.
Ang bilang e ay nangangahulugan ng paglago
Ang bilang e ay nangangahulugang patuloy na paglaki. Gaya ng nakita natin sa nakaraang halimbawa, pinapayagan tayo ng e x na iugnay ang interes at oras: 3 taon sa 100% na paglago ay kapareho ng 1 taon sa 300%, kung ipagpalagay na "compound interest".
Maaari mong palitan ang anumang porsyento at mga halaga ng oras (50% para sa 4 na taon), ngunit mas mahusay na itakda ang porsyento bilang 100% para sa kaginhawahan (lumalabas na 100% para sa 2 taon). Sa pamamagitan ng paglipat sa 100%, maaari tayong tumuon lamang sa bahagi ng oras:
e x = e percent * time = e 1.0 * time = e time
Malinaw na ang ibig sabihin ng e x ay:
- magkano ang lalago ng aking kontribusyon pagkatapos ng x unit ng oras (ipagpalagay na 100% tuloy-tuloy na paglago).
- halimbawa, pagkatapos ng 3 agwat ng oras makakatanggap ako ng e 3 = 20.08 beses na mas maraming "bagay".
Ang e x ay isang scaling factor na nagpapakita kung saang antas tayo lalago sa x na tagal ng panahon.
Ang ibig sabihin ng natural logarithm ay oras
Ang natural na logarithm ay ang kabaligtaran ng e, isang magarbong termino para sa kabaligtaran. Nagsasalita ng mga quirks; sa Latin ito ay tinatawag na logarithmus naturali, kaya ang pagdadaglat na ln.
At ano ang ibig sabihin ng pagbabaligtad o kabaligtaran na ito?
- Pinapayagan tayo ng e x na palitan ang oras at makakuha ng paglago.
- Ang ln(x) ay nagbibigay-daan sa amin na kunin ang paglago o kita at alamin ang oras na kinakailangan upang mabuo ito.
Halimbawa:
- e 3 ay katumbas ng 20.08. Pagkatapos ng tatlong yugto ng panahon, magkakaroon tayo ng 20.08 beses na higit pa kaysa sa nasimulan natin.
- Ang ln(08/20) ay humigit-kumulang 3. Kung interesado ka sa paglago ng 20.08 beses, kakailanganin mo ng 3 yugto ng panahon (muli, sa pag-aakalang 100% patuloy na paglago).
Nagbabasa pa rin? Ang natural na logarithm ay nagpapakita ng oras na kinakailangan upang maabot ang nais na antas.
Itong hindi karaniwang logarithmic counting
Dumaan ka na ba sa logarithms - kakaibang nilalang sila. Paano nila nagawang gawing karagdagan ang multiplikasyon? Paano ang paghahati sa pagbabawas? Tingnan natin.
Ano ang katumbas ng ln(1)? Sa madaling salita, ang tanong ay: gaano katagal ako dapat maghintay upang makakuha ng 1x na higit pa sa kung ano ang mayroon ako?
Zero. Zero. Hindi naman. Mayroon ka na nito minsan. Hindi magtatagal upang pumunta mula sa antas 1 hanggang sa antas 1.
- ln(1) = 0
Okay, paano naman ang fractional value? Gaano katagal bago natin matitira ang 1/2 ng available na dami? Alam namin na sa 100% tuloy-tuloy na paglaki, ang ln(2) ay nangangahulugang ang oras na kinakailangan upang madoble. Kung tayo ibalik natin ang panahon(ibig sabihin, maghintay ng negatibong tagal ng oras), pagkatapos ay makukuha natin ang kalahati ng kung ano ang mayroon tayo.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0.693
Logical diba? Kung babalik tayo (time back) sa 0.693 segundo, makikita natin ang kalahati ng halagang magagamit. Sa pangkalahatan, maaari mong ibalik ang fraction at kumuha ng negatibong halaga: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Nangangahulugan ito na kung babalik tayo sa oras sa 1.09 na beses, makakakita lamang tayo ng ikatlong bahagi ng kasalukuyang numero.
Okay, paano ang logarithm ng isang negatibong numero? Gaano katagal bago "lumago" ang isang kolonya ng bakterya mula 1 hanggang -3?
Ito ay imposible! Hindi ka makakakuha ng isang negatibong bilang ng bakterya, hindi ba? Maaari kang makakuha ng maximum (er...minimum) ng zero, ngunit walang paraan na makakakuha ka ng negatibong numero mula sa maliliit na nilalang na ito. SA negatibong numero walang saysay ang bacteria.
- ln(negatibong numero) = hindi natukoy
"Hindi natukoy" ay nangangahulugan na walang tagal ng oras na kailangang maghintay upang makakuha ng negatibong halaga.
Nakakatuwa lang ang logarithmic multiplication
Gaano katagal bago lumaki ng apat na beses? Siyempre, maaari mo lamang kunin ang ln(4). Ngunit ito ay masyadong simple, tayo ay pupunta sa ibang paraan.
Maaari mong isipin ang quadruple growth bilang pagdodoble (nangangailangan ng ln(2) unit ng oras) at pagkatapos ay pagdodoble muli (nangangailangan ng isa pang ln(2) unit ng oras):
- Oras para lumaki ng 4 na beses = ln(4) = Oras para doblehin at pagkatapos ay doble muli = ln(2) + ln(2)
Interesting. Anumang rate ng paglago, sabihin nating 20, ay maaaring ituring na pagdodoble pagkatapos ng 10x na pagtaas. O paglago ng 4 na beses, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng 5 beses. O tripling at pagkatapos ay tumaas ng 6.666 beses. Tingnan ang pattern?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Ang logarithm ng A times B ay log(A) + log(B). Ang relasyon na ito ay agad na may katuturan kung titingnan sa mga tuntunin ng paglago.
Kung interesado ka sa 30x na paglaki, maaari kang maghintay ng ln(30) sa isang upuan, o maghintay ng ln(3) para sa tripling, at pagkatapos ay isa pang ln(10) para sa 10x. Ang resulta ay pareho, kaya siyempre ang oras ay dapat manatiling pare-pareho (at ito ay nangyayari).
Paano naman ang division? Sa partikular, ang ibig sabihin ng ln(5/3) ay: gaano katagal ang paglaki ng 5 beses at pagkatapos ay makuha ang 1/3 niyan?
Mahusay, ang paglago ng 5 beses ay ln(5). Ang pagtaas ng 1/3 beses ay aabutin -ln(3) mga yunit ng oras. Kaya,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Nangangahulugan ito: hayaan itong lumaki ng 5 beses, at pagkatapos ay "bumalik sa nakaraan" sa punto kung saan nananatili na lamang ang ikatlong bahagi ng halagang iyon, upang makakuha ka ng 5/3 na paglago. Sa pangkalahatan ito ay lumalabas
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Umaasa ako na ang kakaibang aritmetika ng logarithms ay nagsisimula nang magkaroon ng kahulugan sa iyo: ang pagpaparami ng mga rate ng paglago ay nagiging pagdaragdag ng mga yunit ng oras ng paglago, at ang paghahati ay nagiging pagbabawas ng mga yunit ng oras. Hindi na kailangang kabisaduhin ang mga patakaran, subukang maunawaan ang mga ito.
Paggamit ng natural na logarithm para sa arbitraryong paglaki
Well, siyempre, "sabi mo, "ito ay mabuti kung ang paglago ay 100%, ngunit paano ang 5% na natatanggap ko?"
Walang problema. Ang "oras" na kinakalkula namin sa ln() ay talagang kumbinasyon ng rate ng interes at oras, ang parehong X mula sa e x equation. Nagpasya lang kaming itakda ang porsyento sa 100% para sa pagiging simple, ngunit malaya kaming gumamit ng anumang mga numero.
Sabihin nating gusto nating makamit ang 30x na paglago: kunin ang ln(30) at makakuha ng 3.4 Nangangahulugan ito:
- e x = taas
- e 3.4 = 30
Malinaw, ang equation na ito ay nangangahulugang "100% return sa loob ng 3.4 na taon ay nagbibigay ng 30x na paglago." Maaari nating isulat ang equation na ito tulad ng sumusunod:
- e x = e rate*time
- e 100% * 3.4 taon = 30
Maaari naming baguhin ang mga halaga ng "taya" at "oras", hangga't ang taya * oras ay nananatiling 3.4. Halimbawa, kung interesado tayo sa 30x na paglago, gaano katagal tayo maghihintay sa interest rate na 5%?
- ln(30) = 3.4
- rate * oras = 3.4
- 0.05 * oras = 3.4
- oras = 3.4 / 0.05 = 68 taon
Nangangatuwiran ako ng ganito: "ln(30) = 3.4, kaya sa 100% na paglago ay aabutin ng 3.4 na taon. Kung doblehin ko ang rate ng paglago, ang oras na kinakailangan ay hahahatiin."
- 100% para sa 3.4 na taon = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 200% sa 1.7 taon = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 50% para sa 6.8 taon = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 5% sa 68 taon = .05 * 68 = 3.4.
Mahusay, tama? Ang natural na logarithm ay maaaring gamitin sa anumang rate ng interes at oras dahil ang kanilang produkto ay nananatiling pare-pareho. Maaari mong ilipat ang mga variable na halaga hangga't gusto mo.
Cool na halimbawa: Panuntunan ng pitumpu't dalawa
Ang Rule of Seventy-Two ay isang mathematical technique na nagbibigay-daan sa iyong tantiyahin kung gaano katagal bago dumoble ang iyong pera. Ngayon ay hihingin natin ito (oo!), At higit pa rito, susubukan nating maunawaan ang kakanyahan nito.
Gaano katagal upang madoble ang iyong pera sa 100% na interes na pinagsama-sama taun-taon?
Oops. Ginamit namin ang natural na logarithm para sa kaso ng patuloy na paglago, at ngayon ay pinag-uusapan mo ang tungkol sa taunang compounding? Hindi ba magiging hindi angkop ang formula na ito para sa ganitong kaso? Oo, mangyayari ito, ngunit para sa tunay na mga rate ng interes tulad ng 5%, 6% o kahit na 15%, ang pagkakaiba sa pagitan ng taunang compounding at patuloy na paglago ay magiging maliit. Kaya gumagana ang magaspang na pagtatantya, um, humigit-kumulang, kaya magpapanggap tayo na mayroon tayong ganap na tuluy-tuloy na accrual.
Ngayon ang tanong ay simple: Gaano ka kabilis magdoble sa 100% na paglago? ln(2) = 0.693. Ito ay tumatagal ng 0.693 mga yunit ng oras (mga taon sa aming kaso) upang doblehin ang aming halaga na may patuloy na pagtaas ng 100%.
Kaya, paano kung ang rate ng interes ay hindi 100%, ngunit sabihin 5% o 10%?
Madali lang! Dahil taya * oras = 0.693, dodoblehin namin ang halaga:
- rate * oras = 0.693
- oras = 0.693 / taya
Lumalabas na kung ang paglago ay 10%, aabutin ng 0.693 / 0.10 = 6.93 taon upang madoble.
Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, i-multiply natin ang magkabilang panig sa 100, pagkatapos ay maaari nating sabihin ang "10" sa halip na "0.10":
- oras upang doble = 69.3 / taya, kung saan ang taya ay ipinahayag bilang isang porsyento.
Ngayon ay oras na para magdoble sa rate na 5%, 69.3 / 5 = 13.86 taon. Gayunpaman, ang 69.3 ay hindi ang pinaka-maginhawang dibidendo. Pumili tayo ng malapit na numero, 72, na madaling hatiin sa 2, 3, 4, 6, 8 at iba pang mga numero.
- oras para magdoble = 72 / taya
na siyang tuntunin ng pitumpu't dalawa. Lahat ay sakop.
Kung kailangan mong maghanap ng oras para mag-triple, maaari mong gamitin ang ln(3) ~ 109.8 at makakuha ng
- oras para triple = 110 / taya
Ano ang isa pa kapaki-pakinabang na tuntunin. Nalalapat ang "Rule of 72" sa taas mga rate ng interes, paglaki ng populasyon, kultura ng bakterya, at lahat ng bagay na lumalaki nang husto.
Ano ang susunod?
Umaasa ako na ang natural na logarithm ay may katuturan na ngayon sa iyo - ipinapakita nito ang oras na kinakailangan para sa anumang numero na lumago nang husto. Sa tingin ko ito ay tinatawag na natural dahil ang e ay isang unibersal na sukatan ng paglago, kaya ln ay maituturing na isang unibersal na paraan ng pagtukoy kung gaano katagal ang paglaki.
Sa tuwing makikita mo ang ln(x), tandaan "ang oras na kinakailangan upang lumaki ang X beses". Sa isang paparating na artikulo ay ilalarawan ko ang e at ln na magkasabay upang ang sariwang halimuyak ng matematika ay mapuno ng hangin.
Addendum: Natural logarithm ng e
Mabilis na pagsusulit: ano ang ln(e)?
- sasabihin ng isang robot sa matematika: dahil ang mga ito ay tinukoy bilang kabaligtaran ng isa't isa, malinaw na ang ln(e) = 1.
- taong maunawain: Ang ln(e) ay ang dami ng beses na kinakailangan para lumaki ang "e" na beses (mga 2.718). Gayunpaman, ang bilang e mismo ay isang sukatan ng paglago sa pamamagitan ng isang salik na 1, kaya ln(e) = 1.
Mag-isip ng mabuti.
Setyembre 9, 2013
Naglo-load...
