Mga tagubilin
Arithmetic progression ay isang pagkakasunod-sunod ng anyong a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Bilang d hakbang pag-unlad.Ito ay malinaw na ang heneral ng isang arbitrary n-th term ng arithmetic pag-unlad ay may anyo: An = A1+(n-1)d. Pagkatapos ay kilala ang isa sa mga miyembro pag-unlad, miyembro pag-unlad at hakbang pag-unlad, maaari mo, iyon ay, ang bilang ng miyembro ng progreso. Malinaw, ito ay matutukoy ng formula n = (An-A1+d)/d.
Hayaan ngayon na malaman ang mth term pag-unlad at isa pang miyembro pag-unlad- nth, ngunit n , tulad ng sa nakaraang kaso, ngunit ito ay kilala na ang n at m ay hindi nag-tutugma pag-unlad maaaring kalkulahin gamit ang formula: d = (An-Am)/(n-m). Pagkatapos n = (An-Am+md)/d.
Kung alam ang kabuuan ng ilang elemento ng isang arithmetic equation pag-unlad, pati na rin ang una at huli nito, kung gayon ang bilang ng mga elementong ito ay maaari ding matukoy Ang kabuuan ng aritmetika pag-unlad ay magiging katumbas ng: S = ((A1+An)/2)n. Pagkatapos n = 2S/(A1+An) - chdenov pag-unlad. Gamit ang katotohanan na An = A1+(n-1)d, ang formula na ito ay maaaring muling isulat bilang: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Mula dito maaari nating ipahayag ang n sa pamamagitan ng paglutas quadratic equation.
Ang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay isang nakaayos na hanay ng mga numero, ang bawat miyembro nito, maliban sa una, ay naiiba sa nauna sa parehong halaga. Ang pare-parehong halaga na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad o ang hakbang nito at maaaring kalkulahin mula sa mga kilalang termino ng pag-unlad ng arithmetic.
Mga tagubilin
Kung ang mga halaga ng una at pangalawa o anumang iba pang pares ng mga katabing termino ay kilala mula sa mga kondisyon ng problema, upang kalkulahin ang pagkakaiba (d) ibawas lamang ang nauna mula sa kasunod na termino. Ang resultang halaga ay maaaring maging positibo o negatibong numero- ito ay depende sa kung ang pag-unlad ay tumataas. Sa pangkalahatang anyo, isulat ang solusyon para sa isang di-makatwirang pares (aᵢ at aᵢ₊₁) ng mga kalapit na termino ng progression gaya ng sumusunod: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Para sa isang pares ng mga termino ng naturang pag-unlad, ang isa sa mga ito ay ang una (a₁), at ang isa ay anumang iba pang arbitraryong pinili, posible ring lumikha ng isang formula para sa paghahanap ng pagkakaiba (d). Gayunpaman, sa kasong ito, dapat malaman ang serial number (i) ng isang arbitraryong napiling miyembro ng sequence. Upang kalkulahin ang pagkakaiba, idagdag ang parehong mga numero at hatiin ang nagresultang resulta sa ordinal na numero ng isang arbitrary na termino na binawasan ng isa. SA pangkalahatang pananaw isulat ang formula na ito tulad nito: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Kung, bilang karagdagan sa isang di-makatwirang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika na may ordinal na numero i, ang isa pang miyembro na may ordinal na numerong u ay kilala, baguhin ang formula mula sa nakaraang hakbang nang naaayon. Sa kasong ito, ang pagkakaiba (d) ng pag-unlad ay ang kabuuan ng dalawang terminong ito na hinati sa pagkakaiba ng kanilang mga ordinal na numero: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Ang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba (d) ay nagiging mas kumplikado kung ang mga kondisyon ng problema ay nagbibigay ng halaga ng unang termino nito (a₁) at ang kabuuan (Sᵢ) ng isang naibigay na numero (i) ng mga unang termino ng pagkakasunod-sunod ng aritmetika. Upang makuha ang nais na halaga, hatiin ang kabuuan sa bilang ng mga terminong bumubuo dito, ibawas ang halaga ng unang numero sa pagkakasunud-sunod, at idoble ang resulta. Hatiin ang nagresultang halaga sa bilang ng mga termino na bumubuo sa kabuuan na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula para sa pagkalkula ng discriminant gaya ng sumusunod: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Ang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng numero ay nagpapahiwatig na ang bawat natural na numero ay tumutugma sa ilang tunay na halaga. Ang ganitong serye ng mga numero ay maaaring alinman sa arbitrary o may ilang partikular na katangian - isang pag-unlad. Sa huling kaso, ang bawat kasunod na elemento (miyembro) ng sequence ay maaaring kalkulahin gamit ang nauna.
Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numerong halaga kung saan ang mga kalapit na miyembro nito ay naiiba sa bawat isa sa parehong numero (lahat ng mga elemento ng serye, simula sa ika-2, ay may katulad na pag-aari). Ang numerong ito - ang pagkakaiba sa pagitan ng nauna at kasunod na mga termino - ay pare-pareho at tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad.
Pagkakaiba sa pag-unlad: kahulugan
Isaalang-alang ang isang pagkakasunud-sunod na binubuo ng mga halaga ng j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ay kabilang sa set natural na mga numero N. Arithmetic progression, ayon sa kahulugan nito, ay isang sequence kung saan ang a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Ang halaga d ay ang nais na pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
d = a(j) – a(j-1).
I-highlight:
- Isang tumataas na pag-unlad, kung saan d > 0. Halimbawa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Pagbaba ng pag-unlad, pagkatapos d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Pag-unlad ng pagkakaiba at ang mga di-makatwirang elemento nito
Kung ang 2 arbitrary na termino ng pag-unlad ay kilala (i-th, k-th), kung gayon ang pagkakaiba para sa isang naibigay na pagkakasunod-sunod ay maaaring matukoy batay sa relasyon:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, na nangangahulugang d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Pagkakaiba ng pag-unlad at ang unang termino nito
Ang expression na ito ay makakatulong na matukoy ang isang hindi kilalang halaga lamang sa mga kaso kung saan ang bilang ng elemento ng pagkakasunud-sunod ay kilala.
Pagkakaiba ng pag-unlad at ang kabuuan nito
Ang kabuuan ng isang pag-unlad ay ang kabuuan ng mga termino nito. Upang kalkulahin ang kabuuang halaga ng unang j elemento nito, gamitin ang naaangkop na formula:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ngunit mula noon a(j) = a(1) + d(j – 1), pagkatapos ay S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Arithmetic at geometric progressions
Teoretikal na impormasyon
Teoretikal na impormasyon
Arithmetic progression |
Geometric na pag-unlad |
|
Kahulugan |
Arithmetic progression isang n ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro na idinagdag sa parehong numero d (d- pagkakaiba sa pag-unlad) |
Geometric na pag-unlad b n ay isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero q (q- denominator ng pag-unlad) |
Formula ng pag-ulit |
Para sa anumang natural n |
Para sa anumang natural n |
Formula ika-naga termino |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Katangiang ari-arian |  |
|
| Kabuuan ng unang n termino |  |
 |
Mga halimbawa ng mga gawain na may mga komento
Gawain 1
Sa pag-unlad ng aritmetika ( isang n) a 1 = -6, a 2
Ayon sa pormula ng ika-n na termino:
isang 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Ayon sa kondisyon:
a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21 d .
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:
d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2
isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Sagot: isang 22 = -48.
Gawain 2
Hanapin ang ikalimang termino ng geometric progression: -3; 6;....
1st method (gamit ang n-term formula)
Ayon sa formula para sa ika-n na termino ng isang geometric na pag-unlad:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
kasi b 1 = -3,
Pangalawang paraan (gamit ang paulit-ulit na formula)
Dahil ang denominator ng progression ay -2 (q = -2), kung gayon:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Sagot: b 5 = -48.
Gawain 3
Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a 74 = 34; isang 76= 156. Hanapin ang pitumpu't limang termino ng pag-unlad na ito.
Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang katangian ng katangian ay may anyo 
.
Mula dito ay sumusunod:
.
I-substitute natin ang data sa formula:
Sagot: 95.
Gawain 4
Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a n= 3n - 4. Hanapin ang kabuuan ng unang labimpitong termino.
Upang mahanap ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, dalawang formula ang ginagamit:
.
Alin sa mga ito ang mas maginhawang gamitin sa kasong ito?
Sa pamamagitan ng kundisyon, ang formula para sa ika-n na termino ng orihinal na pag-unlad ay kilala ( isang n) isang n= 3n - 4. Makakahanap ka agad at a 1, At isang 16 walang mahanap d. Samakatuwid, gagamitin namin ang unang formula.
Sagot: 368.
Gawain 5
Sa pag-unlad ng arithmetic( isang n) a 1 = -6; a 2= -8. Hanapin ang dalawampu't dalawang termino ng progression.
Ayon sa pormula ng ika-n na termino:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Sa kondisyon, kung a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21d . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:
d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2
isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Sagot: isang 22 = -48.
Gawain 6
Ilang magkakasunod na termino ng geometric progression ang nakasulat:
Hanapin ang termino ng progression na may label na x.
Kapag nag-solve, gagamitin namin ang formula para sa nth term b n = b 1 ∙ q n - 1 Para sa geometric na pag-unlad. Ang unang termino ng pag-unlad. Upang mahanap ang denominator ng progression q, kailangan mong kunin ang alinman sa mga ibinigay na termino ng progression at hatiin sa nauna. Sa ating halimbawa, maaari nating kunin at hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin ang q = 3. Sa halip na n, pinapalitan namin ang 3 sa formula, dahil kinakailangan upang mahanap ang ikatlong termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.
Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa formula, nakukuha namin:
.
Sagot: .
Gawain 7
Mula sa mga pag-usad ng arithmetic na ibinigay ng formula ng ika-n na termino, piliin ang isa kung saan nasiyahan ang kundisyon isang 27 > 9:
Dahil ang ibinigay na kondisyon ay dapat matugunan para sa ika-27 na termino ng pag-unlad, pinapalitan namin ang 27 sa halip na n sa bawat isa sa apat na pag-unlad. Sa ika-4 na pag-unlad ay nakukuha natin:
.
Sagot: 4.
Gawain 8
Sa pag-unlad ng aritmetika a 1= 3, d = -1.5. Tukuyin pinakamataas na halaga n kung saan pinanghahawakan ang hindi pagkakapantay-pantay isang n > -6.
O arithmetic ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Anong uri ng pag-unlad ito?
Bago lumipat sa tanong (kung paano mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa sa kung ano ang pinag-uusapan natin.
Anumang pagkakasunod-sunod tunay na mga numero, na nakukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero, ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, kapag isinalin sa wikang matematika, ay nasa anyo:
Narito ang i ay ang serial number ng elemento ng row a i. Kaya, sa pag-alam lamang ng isang panimulang numero, madali mong maibabalik ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na progression difference.
Madaling maipakita na para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng nth elemento sa pagkakasunud-sunod, dapat mong idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.
Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula
Bago ibigay ang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simple espesyal na kaso. Dahil sa pag-unlad ng mga natural na numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga termino sa pag-usad (10), posibleng lutasin ang problema nang direkta, iyon ay, isama ang lahat ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod sa pamamagitan ng parehong halaga d = 1, kung gayon ang pairwise na pagbubuod ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta. talaga:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento ng serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), makakarating ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.
Kung i-generalize natin ang mga argumentong ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang sum ang lahat ng mga elemento sa isang hilera ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n , pati na rin kabuuang bilang n mga tuntunin.
Ito ay pinaniniwalaan na unang naisip ni Gauss ang pagkakapantay-pantay na ito nang siya ay naghahanap ng solusyon sa isang problemang ibinigay ng kanyang guro sa paaralan: isama ang unang 100 integer.
Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula
Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (ang mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga problema ay kinakailangan na magsama ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gawin?
Ang pinakamadaling paraan upang masagot ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa mth hanggang sa nth. Upang malutas ang problema, dapat mong ipakita ang ibinigay na segment mula m hanggang n ng pag-unlad sa anyo ng isang bagong serye ng numero. Sa ganitong pananaw ika-apat na termino Ang isang m ay mauuna, at ang isang n ay mabibilang na n-(m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, ang sumusunod na expression ay makukuha:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Halimbawa ng paggamit ng mga formula
Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula sa itaas.
Nasa ibaba ang isang numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga termino nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:
Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay katumbas ng 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na termino ng pag-unlad. Ito ay lumalabas:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Ang pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa mga dulo ng algebraic progression na isinasaalang-alang, pati na rin ang pag-alam kung anong mga numero sa serye ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa kabuuan na nakuha sa nakaraang talata. Ito ay lalabas:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: hanapin muna ang kabuuan ng unang 12 elemento gamit ang karaniwang formula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan.
Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (grade 9) isa sa mahahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng numero, na kinabibilangan ng mga pag-usad - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito titingnan natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.
Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika?
Upang maunawaan ito, kinakailangang tukuyin ang pag-unlad na pinag-uusapan, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na gagamitin sa paglutas ng mga problema.
Ang aritmetika o ay isang hanay ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang dami na ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng aritmetika.
Magbigay tayo ng halimbawa. Ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga numero ay isang arithmetic progression: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi pare-pareho ang halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Mahahalagang Formula
Ilahad natin ngayon ang mga pangunahing pormula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang pag-unlad ng aritmetika. Tukuyin natin sa pamamagitan ng simbolong a n nth term mga sequence kung saan ang n ay isang integer. Tinutukoy natin ang pagkakaiba sa pamamagitan ng letrang Latin na d. Pagkatapos ang mga sumusunod na expression ay wasto:
- Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang sumusunod na formula ay angkop: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n +a 1)*n/2.
Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na isinasaalang-alang ay batay sa kanilang paggamit. Dapat mo ring tandaan na ang pagkakaiba ng pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1.
Halimbawa #1: paghahanap ng hindi kilalang miyembro
Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga formula na kailangang gamitin upang malutas ito.
Hayaang ibigay ang sequence 10, 8, 6, 4, ..., kailangan mong hanapin ang limang termino dito.
Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:
- Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Sa katulad na paraan, maaari mong kunin ang sinumang dalawang miyembro na nakatayo sa tabi ng isa't isa. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d = a n - a n-1, kung gayon d = a 5 - a 4, kung saan nakukuha natin ang: a 5 = a 4 + d. Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Ang pangalawang paraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-usad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang tukuyin ito tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba sa pag-unlad d ay isang negatibong halaga. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na bumababa, dahil ang bawat susunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain, magbigay ng isang halimbawa kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ito ay kilala na sa ilang algebraic progression ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.
Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Palitan natin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon tayo: 18 = 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) /6 = 2. Kaya, nasagot namin ang unang bahagi ng problema.
Upang maibalik ang sequence sa ika-7 termino, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Halimbawa Blg. 3: pagbubuo ng progreso
Gawin pa natin ang problema. Ngayon kailangan nating sagutin ang tanong kung paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika. Maaaring ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinibigay, halimbawa - 4 at 5. Kinakailangang lumikha ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.
Bago mo simulan ang paglutas ng problemang ito, kailangan mong maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 = -4 at isang 5 = 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy tayo sa problema, na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term na ginagamit namin ang formula, nakukuha namin ang: a 5 = a 1 + 4 * d. Mula sa: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Ang nakuha namin dito ay hindi isang integer na halaga ng pagkakaiba, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.
Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang termino ng pag-unlad. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, na nagtutugma sa mga kondisyon ng problema.
Halimbawa Blg. 4: unang termino ng pag-unlad
Patuloy tayong magbigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang natin ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap kung aling numero ang sequence na ito ay nagsisimula.
Ang mga formula na ginamit sa ngayon ay ipinapalagay ang kaalaman sa isang 1 at d. Sa pahayag ng problema, walang alam tungkol sa mga numerong ito. Gayunpaman, isusulat namin ang mga expression para sa bawat termino tungkol sa kung aling impormasyon ang makukuha: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakatanggap kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.
Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang sistemang ito ay ang pagpapahayag ng 1 sa bawat equation at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Pag-equate ng mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 decimal place lang ang binigay).
Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1. Halimbawa, una: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.
Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na termino ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.
Halimbawa Blg. 5: halaga
Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Hayaang magbigay ng numerical progression ang sumusunod na uri: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?
Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, posible na malutas ang problemang ito, iyon ay, idagdag ang lahat ng mga numero nang sunud-sunod, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa pag-iisip kung bibigyan mo ng pansin ang katotohanan na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makakakuha tayo ng: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian" dahil sa maagang XVIII siglo, ang sikat na Aleman, habang 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang ulo sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang pormula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung idaragdag mo ang mga numero sa dulo ng sequence sa mga pares, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100/2), kung gayon para makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.
Halimbawa Blg. 6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m
Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang sumusunod: binigyan ng serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging katumbas ng kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14 sa .
Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi masyadong labor-intensive. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito gamit ang pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.
Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Dahil n > m, halatang kasama sa 2nd sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + isang m * (1- m/2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.
Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman sa expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang kailangan mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.
Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang isang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng arithmetic na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at break karaniwang gawain sa magkahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).
Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Nalaman namin kung paano maghanap ng pag-unlad ng aritmetika. Kung naisip mo ito, hindi ito mahirap.
Naglo-load...
