Discriminant quadratic equation formula. Paglutas ng mga Quadratic Equation Gamit ang isang Discriminant

Magtrabaho tayo quadratic equation. Ang mga ito ay napakapopular na mga equation! Sa pinaka pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura ng quadratic equation:

Halimbawa:

Dito A =1; b = 3; c = -4

Dito A =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito A =-3; b = 6; c = -18

Well, naiintindihan mo...

Paano magdesisyon quadratic equation? Kung mayroon kang isang quadratic equation sa harap mo sa form na ito, kung gayon ang lahat ay simple. Tandaan ang magic word may diskriminasyon . Bihira ang isang high school student na hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "wesolve through a discriminant" inspires confidence and reassurance. Dahil hindi na kailangang umasa ng mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa paggamit. Kaya, ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito ang hitsura:

Ang ekspresyon sa ilalim ng tanda ng ugat ay ang isa may diskriminasyon. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa isang quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c Ito ang formula na aming kinakalkula. Palitan natin gamit ang iyong sariling mga palatandaan! Halimbawa, para sa unang equation A =1; b = 3; c= -4. Narito isulat namin ito:

Ang halimbawa ay halos malutas:

yun lang.

Anong mga kaso ang posible kapag ginagamit ang formula na ito? May tatlong kaso lang.

1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na ang ugat ay maaaring makuha mula dito. Kung ang ugat ay nakuha nang maayos o hindi maganda ay ibang tanong. Ang mahalaga ay kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay mayroon kang isang solusyon. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit ito ay gumaganap ng isang papel sa hindi pagkakapantay-pantay, kung saan pag-aaralan natin ang isyu nang mas detalyado.

3. Negatibo ang discriminant. Ang square root ng isang negatibong numero ay hindi maaaring kunin. Oh well. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Ito ay napaka-simple. At ano, sa palagay mo imposibleng magkamali? Well, oo, paano...
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b at c. O sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang nakakatulong dito ay isang detalyadong pagtatala ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin mo yan!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng humigit-kumulang 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya At ang bilang ng mga error ay bababa nang husto. Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwalang mahirap isulat nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan ito. Well, o pumili. Ano ang mas mahusay, mabilis o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang isulat ang lahat nang napakaingat. Gagana ito nang mag-isa. Lalo na kung gumagamit ka ng mga praktikal na pamamaraan na inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may isang bungkos ng mga minus ay madaling malutas at walang mga pagkakamali!

Kaya, kung paano malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na naalala natin. O natuto sila, na maganda rin. Alam mo kung paano matukoy nang tama a, b at c. Alam mo ba kung paano? matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin bilangin ang resulta. Naintindihan mo ba yun keyword dito - matulungin?

Gayunpaman, ang mga quadratic na equation ay kadalasang mukhang bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ito hindi kumpletong quadratic equation . Maaari din silang malutas sa pamamagitan ng isang discriminant. Kailangan mo lang maunawaan ng tama kung ano ang mga ito ay katumbas dito. a, b at c.

Naisip mo na ba ito? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; A c? Ito ay wala doon sa lahat! Well oo, tama iyan. Sa matematika ang ibig sabihin nito ay c = 0 ! yun lang. Ipalit ang zero sa formula sa halip c, at magtatagumpay tayo. Pareho sa pangalawang halimbawa. Wala lang tayong zero dito Sa, A b !

Ngunit ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay maaaring malutas nang mas simple. Nang walang anumang diskriminasyon. Isaalang-alang natin ang una hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin sa kaliwang bahagi? Maaari mong alisin ang X sa mga bracket! Ilabas na natin.

Kaya paano ito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag maniwala sa akin? Okay, pagkatapos ay bumuo ng dalawang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
hindi gumagana? yun lang...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x = 0, o x = 4

Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong angkop. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha namin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Gaya ng nakikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa paggamit ng isang discriminant.

Ang pangalawang equation ay maaari ding malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Ito ay lalabas:

Dalawang ugat din . x = +3 at x = -3.

Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng X sa labas ng mga bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglipat ng numero sa kanan at pagkatapos ay i-extract ang ugat.
Napakahirap lituhin ang mga diskarteng ito. Dahil lang sa unang kaso kailangan mong kunin ang ugat ng X, na sa paanuman ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket...

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang parehong mga iyon ay dahil sa kawalan ng pansin... Kung saan sa kalaunan ay nagiging masakit at nakakasakit...

Unang appointment. Huwag maging tamad bago lutasin ang isang quadratic equation at dalhin ito sa karaniwang view. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c. Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. ganito:

At muli, huwag magmadali! Ang isang minus sa harap ng isang X squared ay maaari talagang magalit sa iyo. Madaling kalimutan... Tanggalin ang minus. Paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa. Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Ayon sa teorama ni Vieta. Huwag kang matakot, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huli equation. Yung. ang ginamit namin para isulat ang root formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, ang pagsuri sa mga ugat ay madali. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Ang resulta ay dapat na isang libreng miyembro, i.e. sa aming kaso -2. Mangyaring tandaan, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro kasama ang iyong tanda . Kung hindi ito gumana, nangangahulugan ito na nagkagulo na sila sa isang lugar. Hanapin ang error. Kung ito ay gumagana, kailangan mong idagdag ang mga ugat. Huling at huling pagsusuri. Ang koepisyent ay dapat b Sa kabaligtaran pamilyar. Sa aming kaso -1+2 = +1. Isang koepisyent b, na nasa harap ng X, ay katumbas ng -1. Kaya, lahat ay tama!
Nakakalungkot na napakasimple lang nito para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay purong, na may koepisyent. a = 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang gayong mga equation! Lahat mas kaunting mga error kalooban.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa pamamagitan ng karaniwang denominador, gaya ng inilarawan sa nakaraang seksyon. Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, patuloy na gumagapang ang mga error sa ilang kadahilanan...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na pasimplehin ang masamang halimbawa sa isang bungkos ng mga minus. Pakiusap! Heto siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:

yun lang! Ang paglutas ay isang kasiyahan!

Kaya, sabihin buod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang factor.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling ma-verify gamit ang Vieta's theorem. Gawin mo!

Fractional equation. ODZ.

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga equation. Alam na natin kung paano gumawa ng mga linear at quadratic na equation. Ang huling view na natitira - mga fractional equation. O tinatawag din silang higit na kagalang-galang - fractional rational equation. Ito ay ang parehong bagay.

Fractional equation.

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga equation na ito ay kinakailangang naglalaman ng mga fraction. Ngunit hindi lamang mga praksiyon, ngunit mga praksiyon na mayroon hindi kilala sa denominator. Hindi bababa sa isa. Halimbawa:

Ipaalala ko sa iyo na kung ang mga denominador ay lamang mga numero, ito ay mga linear na equation.

Paano magdesisyon mga fractional equation? Una sa lahat, alisin ang mga fraction! Pagkatapos nito, ang equation ay madalas na nagiging linear o quadratic. At pagkatapos ay alam namin kung ano ang gagawin... Sa ilang mga kaso maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5=5 o isang hindi tamang expression, tulad ng 7=2. Ngunit bihira itong mangyari. Babanggitin ko ito sa ibaba.

Ngunit paano mapupuksa ang mga fraction!? Napakasimple. Paglalapat ng magkaparehong pagbabagong-anyo.

Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa parehong expression. Upang ang lahat ng mga denominador ay nabawasan! Ang lahat ay agad na magiging mas madali. Hayaan akong ipaliwanag sa isang halimbawa. Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang equation:

Paano ka tinuruan noong elementarya? Inilipat namin ang lahat sa isang tabi, dalhin ito sa isang karaniwang denominator, atbp. Kalimutan kung paano masamang panaginip! Ito ang kailangan mong gawin kapag nagdagdag o nagbawas ng mga fraction. O nagtatrabaho ka sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad nating i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng isang expression na magbibigay sa atin ng pagkakataong bawasan ang lahat ng denominator (i.e., sa esensya, ng isang common denominator). At ano ang expression na ito?

Sa kaliwang bahagi, ang pagbabawas ng denominator ay nangangailangan ng pagpaparami ng x+2. At sa kanan, kailangan ang multiplication sa 2. Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat i-multiply sa 2(x+2). Multiply:

Ito ay isang karaniwang multiplikasyon ng mga fraction, ngunit ilalarawan ko ito nang detalyado:

Pakitandaan na hindi ko pa binubuksan ang bracket (x + 2)! Kaya, sa kabuuan nito, isinulat ko ito:

Sa kaliwang bahagi ito ay ganap na nagkontrata (x+2), at sa kanan 2. Alin ang kinakailangan! Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin linear equation:

At lahat ay maaaring malutas ang equation na ito! x = 2.

Lutasin natin ang isa pang halimbawa, medyo mas kumplikado:

Kung naaalala natin na 3 = 3/1, at 2x = 2x/ 1, maaari nating isulat:

At muli, inaalis natin ang hindi natin gusto - mga fraction.

Nakikita natin na upang mabawasan ang denominator na may X, kailangan nating i-multiply ang fraction sa (x – 2). At ang iilan ay hindi hadlang sa amin. Well, paramihin natin. Lahat kaliwang bahagi at lahat kanang bahagi:

Panaklong muli (x – 2) Hindi ako nagsisiwalat. Nagtatrabaho ako sa bracket bilang isang buo na parang isang numero! Ito ay dapat palaging gawin, kung hindi, walang mababawasan.

Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan binabawasan namin (x – 2) at nakakakuha tayo ng equation na walang anumang fraction, na may ruler!

Ngayon buksan natin ang mga bracket:

Nagdadala kami ng mga katulad, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makakuha ng:

Klasikong quadratic equation. Ngunit ang minus sa unahan ay hindi maganda. Maaari mong palaging mapupuksa ito sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa -1. Ngunit kung titingnan mong mabuti ang halimbawa, mapapansin mo na pinakamahusay na hatiin ang equation na ito sa -2! Sa isang iglap, ang minus ay mawawala, at ang mga posibilidad ay magiging mas kaakit-akit! Hatiin sa -2. Sa kaliwang bahagi - termino ayon sa termino, at sa kanan - hatiin lamang ang zero sa -2, zero at makuha natin ang:

Niresolba namin ang discriminant at sinusuri gamit ang theorem ng Vieta. Nakukuha namin x = 1 at x = 3. Dalawang ugat.

Tulad ng makikita mo, sa unang kaso ang equation pagkatapos ng pagbabagong-anyo ay naging linear, ngunit dito ito ay nagiging parisukat. Nangyayari na pagkatapos maalis ang mga fraction, lahat ng X ay nabawasan. May natitira, tulad ng 5=5. Ibig sabihin nito x ay maaaring maging kahit ano. Kung ano man yan, mababawasan pa rin. At ito ay lumabas na purong katotohanan, 5=5. Ngunit, pagkatapos maalis ang mga fraction, maaari itong maging ganap na hindi totoo, tulad ng 2=7. At ito ay nangangahulugan na walang solusyon! Ang alinmang X ay lumalabas na hindi totoo.

Napagtanto ang pangunahing solusyon mga fractional equation ? Ito ay simple at lohikal. Binabago namin ang orihinal na expression para mawala ang lahat ng hindi namin gusto. O nakakasagabal ito. Sa kasong ito, ito ay mga fraction. Gayon din ang gagawin natin sa lahat ng uri ng kumplikadong mga halimbawa na may logarithms, sines at iba pang kakila-kilabot. Kami Laging Alisin na natin ang lahat ng ito.

Gayunpaman, kailangan nating baguhin ang orihinal na expression sa direksyon na kailangan natin ayon sa mga tuntunin, oo... Ang karunungan nito ay paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika. Kaya't pinagkadalubhasaan namin ito.

Ngayon ay matututunan natin kung paano i-bypass ang isa sa pangunahing ambus sa Unified State Exam! Ngunit una, tingnan natin kung nahulog ka ba dito o hindi?

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Ang bagay ay pamilyar na, pinarami namin ang magkabilang panig (x – 2), nakukuha namin ang:

Paalala ko sa iyo, may mga bracket (x – 2) Nagtatrabaho kami na parang may isa, integral na expression!

Dito hindi na ako sumulat ng isa sa mga denominador, ito ay hindi marangal... At hindi ako gumuhit ng mga bracket sa mga denominador, maliban sa x – 2 walang anuman, hindi mo kailangang gumuhit. Paikliin natin:

Buksan ang mga panaklong, ilipat ang lahat sa kaliwa, at magbigay ng mga katulad:

Malutas namin, suriin, nakakuha kami ng dalawang ugat. x = 2 At x = 3. Mahusay.

Ipagpalagay na ang takdang-aralin ay nagsasabi na isulat ang ugat, o ang kanilang kabuuan, kung mayroong higit sa isang ugat. Ano ang isusulat natin?

Kung magpasya kang ang sagot ay 5, ikaw ay tinambangan. At ang gawain ay hindi mai-kredito sa iyo. Nagtrabaho sila nang walang kabuluhan... Tamang sagot 3.

Anong meron?! At subukan mong gumawa ng tseke. Palitan ang mga halaga ng hindi alam sa orihinal halimbawa. At kung sa x = 3 lahat ay lalago nang kahanga-hanga, makakakuha tayo ng 9 = 9, pagkatapos ay kailan x = 2 Ito ay magiging dibisyon ng zero! Ang talagang hindi mo magagawa. ibig sabihin x = 2 ay hindi solusyon, at hindi isinasaalang-alang sa sagot. Ito ang tinatawag na extraneous o extra root. Itatapon na lang namin. Ang huling ugat ay isa. x = 3.

Paano kaya?! – Nakarinig ako ng mga galit na bulalas. Itinuro sa amin na ang isang equation ay maaaring i-multiply sa isang expression! Ito ay isang magkatulad na pagbabagong-anyo!

Oo, magkapareho. Sa maliit na kondisyon– ang expression kung saan tayo nagpaparami (hatiin) – iba sa zero. A x – 2 sa x = 2 katumbas ng zero! Kaya lahat ay patas.

Kaya ano ang dapat nating gawin ngayon?! Huwag i-multiply sa expression? Dapat ko bang suriin sa bawat oras? Muli itong hindi malinaw!

mahinahon! Huwag mag-panic!

Sa mahirap na sitwasyong ito, tatlong magic letter ang magliligtas sa atin. Alam ko kung ano ang iniisip mo. Tama! Ito ODZ . Lugar ng Mga Katanggap-tanggap na Halaga.

Ito ay kilala na ito ay isang partikular na bersyon ng equality ax 2 + bx + c = o, kung saan ang a, b at c ay tunay na coefficient para sa hindi kilalang x, at kung saan ang a ≠ o, at b at c ay magiging mga zero - sabay-sabay o magkahiwalay. Halimbawa, c = o, b ≠ o o vice versa. Halos naalala namin ang kahulugan ng isang quadratic equation.

Ang pangalawang degree na trinomial ay zero. Ang unang coefficient nito na a ≠ o, b at c ay maaaring tumagal ng anumang mga halaga. Ang halaga ng variable na x ay magiging kapag ginawa ito ng pagpapalit sa isang tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Pagtuunan natin ng pansin ang mga tunay na ugat, bagama't ang mga equation ay maaari ding maging mga solusyon Karaniwang tawagin ang isang equation na kumpleto kung saan wala sa mga coefficient ang katumbas ng o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Lutasin natin ang isang halimbawa. 2x 2 -9x-5 = oh, nakita namin
D = 81+40 = 121,
Ang D ay positibo, na nangangahulugang mayroong mga ugat, x 1 = (9+√121):4 = 5, at ang pangalawang x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Ang pagsuri ay makakatulong na matiyak na tama ang mga ito.

Narito ang isang hakbang-hakbang na solusyon sa quadratic equation

Gamit ang discriminant, maaari mong lutasin ang anumang equation sa kaliwang bahagi kung saan mayroong kilalang quadratic trinomial para sa isang ≠ o. Sa ating halimbawa. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+c = o)

Isaalang-alang natin kung ano ang mga hindi kumpletong equation ng ikalawang antas

1. palakol 2 +in = o. Ang libreng termino, ang coefficient c sa x 0, ay katumbas ng zero dito, sa ≠ o.
   Paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng ganitong uri? Alisin natin ang x sa mga bracket. Tandaan natin kapag ang produkto ng dalawang salik ay katumbas ng zero.
   x(ax+b) = o, ito ay maaaring kapag x = o o kapag ax+b = o.
   Ang pagkakaroon ng malutas ang ika-2 mayroon kaming x = -в/а.
   Bilang resulta, mayroon tayong mga ugat x 1 = 0, ayon sa mga kalkulasyon x 2 = -b/a.
2. Ngayon ang koepisyent ng x ay katumbas ng o, at ang c ay hindi katumbas ng (≠) o.
   x 2 +c = o. Ilipat natin ang c sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, makuha natin ang x 2 = -с. Ang equation na ito ay mayroon lamang tunay na mga ugat kapag ang -c ay isang positibong numero (c ‹ o),
   Ang x 1 ay katumbas ng √(-c), ayon sa pagkakabanggit, ang x 2 ay -√(-c). Kung hindi, ang equation ay walang mga ugat sa lahat.
3. Ang huling opsyon: b = c = o, ibig sabihin, ax 2 = o. Natural, ang gayong simpleng equation ay may isang ugat, x = o.

Mga espesyal na kaso

Tiningnan namin kung paano lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation, at ngayon ay kunin natin ang anumang uri.

• Sa isang kumpletong quadratic equation, ang pangalawang coefficient ng x ay isang even na numero.
  Hayaan ang k = o.5b. Mayroon kaming mga formula para sa pagkalkula ng discriminant at mga ugat.
  D/4 = k 2 - ac, ang mga ugat ay kinakalkula bilang x 1,2 = (-k±√(D/4))/a para sa D › o.
  x = -k/a at D = o.
  Walang mga ugat para sa D ‹ o.
• Mayroong ibinigay na mga quadratic equation, kapag ang coefficient ng x squared ay 1, kadalasang isinusulat ang mga ito x 2 + рх + q = o. Ang lahat ng mga formula sa itaas ay nalalapat sa kanila, ngunit ang mga kalkulasyon ay medyo mas simple.
  Halimbawa, x 2 -4x-9 = 0. Kalkulahin ang D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Bilang karagdagan, ito ay madaling ilapat sa mga ibinigay na sinasabi na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p, ang pangalawang koepisyent na may minus (ibig sabihin ang kabaligtaran na tanda), at ang produkto ng parehong mga ugat ay magiging. maging katumbas ng q, ang libreng termino. Tingnan kung gaano kadaling matukoy ang mga ugat ng equation na ito sa salita. Para sa mga hindi nabawasang coefficient (para sa lahat ng coefficient na hindi katumbas ng zero), ang theorem na ito ay naaangkop tulad ng sumusunod: ang kabuuan x 1 + x 2 ay katumbas ng -b/a, ang produkto x 1 · x 2 ay katumbas ng c/a.

Ang kabuuan ng libreng termino c at ang unang koepisyent a ay katumbas ng koepisyent b. Sa sitwasyong ito, ang equation ay may hindi bababa sa isang ugat (madaling patunayan), ang una ay kinakailangang katumbas ng -1, at ang pangalawa -c/a, kung ito ay umiiral. Maaari mong suriin kung paano lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation sa iyong sarili. Hindi ito maaaring maging mas simple. Ang mga coefficient ay maaaring nasa ilang partikular na relasyon sa isa't isa

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Ang kabuuan ng lahat ng coefficient ay katumbas ng o.
  Ang mga ugat ng naturang equation ay 1 at c/a. Halimbawa, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Mayroong ilang iba pang mga paraan upang malutas ang iba't ibang mga equation ng pangalawang antas. Narito, halimbawa, ay isang paraan para sa pagkuha ng isang kumpletong parisukat mula sa isang binigay na polynomial. Mga graphic na pamamaraan ilang. Kapag madalas kang humarap sa mga ganitong halimbawa, matututunan mong "i-click" ang mga ito tulad ng mga buto, dahil ang lahat ng mga pamamaraan ay awtomatikong naiisip.

Mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation. Ang mga kaso ng tunay, maramihang at kumplikadong mga ugat ay isinasaalang-alang. Factorization quadratic trinomial. Geometric na interpretasyon. Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat at factoring.

Mga pangunahing formula

Isaalang-alang ang quadratic equation:
(1) .
Mga ugat ng isang quadratic equation(1) ay tinutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng isang quadratic equation ay kilala, ang isang polynomial ng pangalawang degree ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga kadahilanan (factored):
.

Ipinapalagay pa namin na - tunay na mga numero.
Isaalang-alang natin discriminant ng isang quadratic equation:
.
Kung positibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang magkaibang tunay na ugat:
; .
Pagkatapos ang factorization ng quadratic trinomial ay may anyo:
.
Kung ang discriminant ay katumbas ng zero, kung gayon ang quadratic equation (1) ay mayroong dalawang multiple (equal) real roots:
.
Factorization:
.
Kung negatibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang kumplikadong conjugate roots:
;
.
Narito ang haka-haka na yunit, ;
at ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga ugat:
; .
Pagkatapos

.

Graphic na interpretasyon

Kung magtatayo ka graph ng isang function
,
na isang parabola, kung gayon ang mga punto ng intersection ng graph na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Sa , ang graph ay nag-intersect sa x-axis (axis) sa dalawang punto.
Kapag , hinawakan ng graph ang x-axis sa isang punto.
Kapag , ang graph ay hindi tumatawid sa x-axis.

Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga graph.

Mga Kapaki-pakinabang na Formula na May Kaugnayan sa Mga Quadratic Equation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo at naglalapat ng mga formula (f.1) at (f.3):




,
saan
; .

Kaya, nakuha namin ang formula para sa isang polynomial ng pangalawang degree sa form:
.
Ito ay nagpapakita na ang equation

ginanap sa
At .
Iyon ay, at ang mga ugat ng quadratic equation
.

Mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat ng isang quadratic equation

Halimbawa 1

(1.1) .

Solusyon

.
Ang paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
;
;
.

Mula dito nakukuha natin ang factorization ng quadratic trinomial:

.

Graph ng function na y = 2 x 2 + 7 x + 3 nag-intersect sa x-axis sa dalawang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Tinatawid nito ang abscissa axis (axis) sa dalawang punto:
At .
Ang mga puntong ito ay ang mga ugat ng orihinal na equation (1.1).

Sagot

;
;
.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(2.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
.
Ang paghahambing sa orihinal na equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (pantay) na ugat:
;
.

Pagkatapos ang factorization ng trinomial ay may anyo:
.

Graph ng function na y = x 2 - 4 x + 4 hinawakan ang x-axis sa isang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hinahawakan nito ang x-axis (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng orihinal na equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay naka-factor nang dalawang beses:
,
kung gayon ang gayong ugat ay karaniwang tinatawag na maramihan. Iyon ay, naniniwala sila na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

Sagot

;
.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(3.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
(1) .
Isulat muli natin ang orihinal na equation (3.1):
.
Ang paghahambing sa (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Ang discriminant ay negatibo, .

Samakatuwid walang tunay na mga ugat.
;
;
.

Makakahanap ka ng mga kumplikadong ugat:


.

Pagkatapos

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function ay hindi tumatawid sa x-axis. Walang tunay na ugat.

Sagot

Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hindi ito bumalandra sa x-axis (axis). Samakatuwid walang tunay na mga ugat.
;
;
.

Walang tunay na ugat. Mga kumplikadong ugat: Higit pa sa simpleng paraan

. Upang gawin ito, ilagay ang z sa labas ng mga bracket. Makakakuha ka ng: z(аz + b) = 0. Ang mga salik ay maaaring isulat: z=0 at аz + b = 0, dahil ang dalawa ay maaaring magresulta sa zero. Sa notasyong az + b = 0, inililipat namin ang pangalawa sa kanan na may ibang tanda. Mula dito nakukuha natin ang z1 = 0 at z2 = -b/a. Ito ang mga ugat ng orihinal.

Kung mayroong isang hindi kumpletong equation ng form na az² + c = 0, sa kasong ito ay matatagpuan ang mga ito sa pamamagitan lamang ng paglipat ng libreng termino sa kanang bahagi ng equation. Baguhin din ang tanda nito. Ang magiging resulta ay az² = -с. Ipahayag ang z² = -c/a. Kunin ang ugat at isulat ang dalawang solusyon - isang positibo at negatibong square root.

Mangyaring tandaan

Kung mayroong mga fractional coefficient sa equation, i-multiply ang buong equation sa naaangkop na salik upang maalis ang mga fraction.

Ang kaalaman sa kung paano lutasin ang mga quadratic equation ay kinakailangan para sa parehong mga mag-aaral at mag-aaral kung minsan ay makakatulong din ito sa isang may sapat na gulang sa pang-araw-araw na buhay. Mayroong ilang mga tiyak na paraan ng solusyon.

Paglutas ng mga Quadratic Equation

Quadratic equation ng anyong a*x^2+b*x+c=0. Ang coefficient x ay ang gustong variable, a, b, c ay mga numerical coefficients. Tandaan na ang “+” sign ay maaaring magpalit ng “-” sign.

Upang mahanap ang discriminant (D), kailangan mong isulat ang formula D=b^2 - 4*a*c. Ang halaga ng D ay maaaring mas malaki sa, mas mababa sa, o katumbas ng zero. Kung ang D ay mas malaki o mas mababa sa zero, pagkatapos ay magkakaroon ng dalawang ugat; Palitan ang mga kilalang coefficient a, b, c sa formula at kalkulahin ang halaga.

Pagkatapos mong mahanap ang discriminant, gamitin ang mga formula upang mahanap ang x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a kung saan ang sqrt ay isang function na nangangahulugang extract parisukat na ugat mula sa numerong ito. Pagkatapos kalkulahin ang mga expression na ito, makikita mo ang dalawang ugat ng iyong equation, pagkatapos kung saan ang equation ay itinuturing na nalutas.

Kung ang D ay mas mababa sa zero, kung gayon mayroon pa itong mga ugat. Ang seksyong ito ay halos hindi pinag-aralan sa paaralan. Ang mga mag-aaral sa unibersidad ay dapat magkaroon ng kamalayan sa kung ano ang umuusbong negatibong numero sa ilalim ng ugat. Inaalis nila ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa haka-haka na bahagi, iyon ay, -1 sa ilalim ng ugat ay palaging katumbas ng haka-haka na elemento na "i", na pinarami ng ugat na may parehong positibong numero. Halimbawa, kung D=sqrt(-20), pagkatapos ng pagbabago ay makukuha natin ang D=sqrt(20)*i. Pagkatapos ng pagbabagong ito, ang paglutas ng equation ay binabawasan sa parehong paghahanap ng mga ugat tulad ng inilarawan sa itaas.

Ang teorama ni Vieta ay binubuo ng pagpili ng mga halaga ng x(1) at x(2). Dalawang magkaparehong equation ang ginagamit: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. At napaka mahalagang punto ay ang sign sa harap ng coefficient b, tandaan na ang sign na ito ay kabaligtaran ng isa sa equation. Sa unang sulyap, tila ang pagkalkula ng x(1) at x(2) ay napakasimple, ngunit kapag nag-solve, mahaharap ka sa katotohanang kailangan mong piliin ang mga numero.

Mga elemento ng paglutas ng mga quadratic equation

Ayon sa mga tuntunin ng matematika, ang ilan ay maaaring i-factorize: (a+x(1))*(b-x(2))=0, kung nagawa mong baguhin ang quadratic equation na ito sa katulad na paraan gamit ang mathematical formula, pagkatapos ay huwag mag-atubiling isulat ang sagot. Ang x(1) at x(2) ay magiging katumbas ng mga katabing coefficient sa mga panaklong, ngunit may kabaligtaran na tanda.

Gayundin, huwag kalimutan ang tungkol sa hindi kumpletong quadratic equation. Maaaring nawawala ang ilan sa mga termino kung gayon, ang lahat ng mga coefficient nito ay katumbas lang ng zero. Kung walang anuman sa harap ng x^2 o x, kung gayon ang mga coefficient a at b ay katumbas ng 1.

Ang pagbabago ng isang kumpletong quadratic equation sa isang hindi kumpleto ay ganito ang hitsura (para sa kaso \(b=0\)):

Para sa mga kaso kapag ang \(c=0\) o kapag ang parehong coefficient ay katumbas ng zero, lahat ay magkapareho.

Pakitandaan na walang tanong na ang \(a\) ay katumbas ng zero, dahil ito ay magiging :

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation.

Una sa lahat, kailangan mong maunawaan na ang isang hindi kumpletong quadratic equation ay isang , at samakatuwid ay maaaring malutas sa parehong paraan tulad ng isang ordinaryong quadratic equation (sa pamamagitan ng ). Upang gawin ito, idagdag lang namin ang nawawalang bahagi ng equation na may zero coefficient.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(3x^2-27=0\)
Solusyon :

		Mayroon kaming hindi kumpletong quadratic equation na may coefficient \(b=0\). Iyon ay, maaari nating isulat ang equation sa ang sumusunod na anyo:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Sa katunayan, ito ay ang parehong equation tulad ng sa simula, ngunit ngayon maaari itong malutas bilang isang ordinaryong parisukat. Una naming isulat ang mga coefficient.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Kalkulahin natin ang discriminant gamit ang formula na \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Hanapin natin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) at \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Isulat ang sagot

Sagot : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(-x^2+x=0\)
Solusyon :

		Muli isang hindi kumpletong quadratic equation, ngunit ngayon ang coefficient \(c\) ay katumbas ng zero. Isinulat namin ang equation bilang kumpleto.