Klase 12 . Mga kumplikadong numero.

12.1. Kahulugan ng kumplikadong mga numero sa algebraic form. Paghahambing at representasyon ng mga kumplikadong numero sa kumplikadong eroplano. Kumplikadong pagpapares. Pagdaragdag, pagpaparami, paghahati ng mga kumplikadong numero.

12.2. Modulus, argumento ng isang kumplikadong numero.

12.3. Trigonometric at exponential na anyo ng pagsulat ng complex number.

12.4. Pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at pagkuha ng ugat ng isang kumplikadong numero.

Kahulugan ng kumplikadong mga numero sa algebraic form. Paghahambing at representasyon ng mga kumplikadong numero sa kumplikadong eroplano. Kumplikadong pagpapares. Pagdaragdag, pagpaparami, paghahati ng mga kumplikadong numero.

Ang isang kumplikadong numero sa anyong algebraic ay ang numero

saan
tinawag haka-haka na yunit At
- tunay na mga numero:
tinawag tunay (tunay) na bahagi;
- haka-haka na bahagi kumplikadong numero . Mga kumplikadong numero ng form
ay tinatawag puro imaginary numbers. Ang hanay ng lahat ng kumplikadong numero ay tinutukoy ng titik .

Sa pamamagitan ng kahulugan,

Ang hanay ng lahat ng tunay na numero ay bahagi ng set
: . Sa kabilang banda, may mga kumplikadong numero na hindi kabilang sa set
.
Halimbawa,
.

At

, dahil Ang mga kumplikadong numero sa anyong algebraic ay natural na lumilitaw kapag nilulutas ang mga quadratic equation na may negatibong discriminant.
.

Halimbawa 1

. Lutasin ang equation

,
.

Solusyon. , Samakatuwid, ang ibinigay na quadratic equation ay may mga kumplikadong ugat

,

,
.

Halimbawa 2 ,

. Hanapin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng kumplikadong mga numero
Alinsunod dito, ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng numero Anumang kumplikadong numero
kinakatawan ng isang vector sa kumplikadong eroplano , na kumakatawan sa isang eroplanong may Cartesian coordinate system
. Ang simula ng vector ay namamalagi sa punto
, at ang dulo ay nasa puntong may mga coordinate
- haka-haka na axis ng kumplikadong eroplano .

Ang mga kumplikadong numero ay inihahambing sa bawat isa lamang sa pamamagitan ng mga palatandaan
. .
Kung hindi bababa sa isa sa mga pagkakapantay-pantay:
. ay nilabag, kung gayon
Mga rekord ng uri.

walang saysay Sa pamamagitan ng kahulugan, kumplikado
numero
tinatawag na complex conjugate ng isang numero
.
Sa kasong ito, nagsusulat sila

. Obvious naman yun

. Saanman sa ibaba, ang isang overbar sa itaas ng isang kumplikadong numero ay mangangahulugan ng kumplikadong conjugation. Halimbawa, .

Tapos na kumplikadong mga numero

Maaari kang magsagawa ng mga operasyon tulad ng pagdaragdag (pagbabawas), pagpaparami, paghahati.

1. Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero

ginawa tulad nito:

Mga katangian ng pagpapatakbo ng karagdagan:
- ari-arian ng commutativity; - ari-arian ng pagkakaisa.

Madaling makita na geometrically ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay nangangahulugan ng pagdaragdag ng mga nauugnay sa kanila sa eroplano vectors ayon sa parallelogram rule.

Pagpapatakbo ng pagbabawas ng numero vectors ayon sa parallelogram rule.

mula sa gitna

1. Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero

ginawa tulad nito:

2. Pagpaparami ng mga kumplikadong numero

Mga katangian ng pagpaparami ng pagpaparami: - ari-arian ng pagkakaisa;
- ang batas ng distributivity.

.

3. Dibisyon ng mga kumplikadong numero magagawa lamang sa
at ginagawa tulad nito:

Halimbawa 3. Hanapin
at ginagawa tulad nito:

, Kung .
.

Halimbawa 4

. Kalkulahin

z, kasi

.(aray!)
Hindi mahirap suriin (iminumungkahi na ikaw mismo ang gumawa nito) ang bisa ng mga sumusunod na pahayag: Modulus, argumento ng isang kumplikadong numero. Modulus ng isang kumplikadong numero
(modyul
.

ipinapahiwatig ng ) ay isang hindi negatibong numero , ibig sabihin. Geometric na kahulugan
- haba ng vector na kumakatawan sa numero sa kumplikadong eroplano .
.

Equation
tumutukoy sa hanay ng lahat ng mga numero Modulus, argumento ng isang kumplikadong numero.
(mga vector bawat ), na ang mga dulo ay nasa bilog ng yunit
Pangangatwiran ng Complex Number , ibig sabihin. (argumento ) ito ay isang anggulo
sa radians sa pagitan ng tunay na axis at numero , at positibo kung ito ay binibilang mula sa
sa radians sa pagitan ng tunay na axis sa.

counterclockwise, at negatibo kung
sinusukat mula sa axis
clockwise Kaya ang argumento ng numero
ay tinutukoy nang hindi maliwanag, hanggang sa isang termino . , Saan
. Talagang isang argumento ng numero
,tinutukoy sa loob ng isang round ng unit circle sa eroplano
.

Kadalasan kailangan mong maghanap
sa loob ng pagitan ang halagang ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng argumento ng numero
at itinalaga At mga numero ay matatagpuan mula sa equation , habang Kailangan
:

kailangang isaalang-alang
, kung saang quarter ng eroplano namamalagi sa dulo ng vector

kailangang isaalang-alang
- punto Kung

kailangang isaalang-alang
(1st quarter ng eroplano namamalagi sa dulo ng vector

kailangang isaalang-alang
), na ; (2nd quarter ng eroplano

), Iyon;
(3rd quarter ng eroplano
(4th quarter na eroplano
), Iyon. ay tinutukoy nang hindi maliwanag, hanggang sa isang termino .

Sa katunayan, ang modulus at argumento ng numero, ito ay mga polar coordinates

.

puntos
- dulo ng vector , ay makikita kaagad mula sa mga graphic na representasyon ng mga numerong ito sa eroplano .

Trigonometric at exponential na anyo ng pagsulat ng complex number. Pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero sa trigonometric at exponential notation.

Trigonometric notation kumplikadong numero
ay may anyo:

, (2)

saan - module, - argumento ng kumplikadong numero . Ang representasyong ito ng mga kumplikadong numero ay sumusunod mula sa mga pagkakapantay-pantay.

Nagpapahiwatig(exponential) anyo ng pagsulat ng complex number
ay may anyo:

, (3)

saan - module, - argumento ng numero . Ang posibilidad na kumatawan sa mga kumplikadong numero sa exponential form (3) ay sumusunod mula sa trigonometric form (2) at formula ni Euler:

. (4)

Ang formula na ito ay napatunayan sa kurso ng TFKP (Theory of Functions of a Complex Variable).

Halimbawa 6. Maghanap ng mga trigonometric at exponential form para sa mga kumplikadong numero: mula sa halimbawa 5.

Solusyon. Gamitin natin ang mga resulta ng Halimbawa 5, kung saan matatagpuan ang mga module at argumento ng lahat ng ipinahiwatig na numero.

,

.

- trigonometrikong anyo ng pagsulat ng isang numero ,

- exponential form ng pagsulat ng isang numero .

3)

- trigonometrikong anyo ng pagsulat ng isang numero ,

- exponential form ng pagsulat ng isang numero .

Trigonometric na anyo ng pagsulat ng isang numero ,

- exponential form ng pagsulat ng isang numero .

5)

- trigonometrikong anyo ng pagsulat ng isang numero ,

- exponential form ng pagsulat ng isang numero .

Trigonometric form ng isang numero ,

.

7)

- trigonometrikong anyo ng pagsulat ng isang numero ,

- exponential form ng isang numero .

- trigonometrikong anyo ng pagsulat ng isang numero ,

- exponential form ng pagsulat ng isang numero .

Ang exponential form ng pagsulat ng mga kumplikadong numero ay humahantong sa sumusunod na geometric na interpretasyon ng mga operasyon ng multiplikasyon at paghahati ng mga kumplikadong numero. Hayaan
- mga exponential na anyo ng mga numero
.

1. Kapag nagpaparami ng mga kumplikadong numero, ang kanilang mga module ay pinarami at ang kanilang mga argumento ay idinaragdag.

2. Kapag naghahati ng isang kumplikadong numero bawat numero ito pala ay isang kumplikadong numero , modyul na katumbas ng ratio ng mga module , at ang argumento - mga pagkakaiba
mga argumento ng numero
.

Pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at pagkuha ng ugat ng isang kumplikadong numero.

Sa pamamagitan ng kahulugan,

Kapag itinaas sa isang buong kapangyarihan kumplikadong numero
, dapat kang magpatuloy tulad nito: hanapin muna ang module at argumento ang numerong ito; ipakilala sa demonstrative form
;
hanapin

sa pamamagitan ng pagsasagawa ng sumusunod na pagkakasunod-sunod ng mga aksyon

saan . (5) Magkomento.
Pangangatwiran
mga numero
maaaring hindi kabilang sa pagitan . Sa kasong ito, ayon sa nakuha na halaga

hanapin ang pangunahing kahulugan
argumento
mga numero
, pagdaragdag (o pagbabawas) ng isang numero

na may ganitong kahulugan
, sa nabibilang sa pagitan .

. magagawa lamang sa .
Pagkatapos nito, kailangan mong palitan sa mga formula (5)
.

1)
=
sa Halimbawa 7

2)
, Kung
.
.
.

(tingnan ang numero mula sa halimbawa 6).

, Saan
.

3)
, Kung
.
.

Kaya naman, maaaring palitan ng at, ibig sabihin

saan Papalitan namin
sa .
Kaya naman,

Pagkuha ng ugat

ika degree Kadalasan kailangan mong maghanap mula sa isang kumplikadong numero

natupad ayon sa formula ng Moivre-Laplace

Mga kumplikadong numero

representasyon ng mga kumplikadong numero. Kumplikadong eroplano.

Modulus at argumento ng isang kumplikadong numero. Trigonometric

kumplikadong anyo ng numero. Mga operasyong may kumplikado

mga numero sa anyong trigonometriko. Formula ni Moivre.

Paunang impormasyon O haka-haka At kumplikadong mga numero ay ibinigay sa seksyong "Imaginary at kumplikadong mga numero". Ang pangangailangan para sa mga numerong ito ng isang bagong uri ay lumitaw kapag nilulutas ang mga quadratic equation para sa kasoD< 0 (здесь D– may diskriminasyon quadratic equation). Sa mahabang panahon ang mga numerong ito ay walang pisikal na aplikasyon, kaya naman tinawag silang mga "haka-haka" na mga numero. Gayunpaman, ngayon sila ay napakalawak na ginagamit sa iba't ibang larangan ng pisika.

at teknolohiya: electrical engineering, hydro- at aerodynamics, elasticity theory, atbp.

Pagkuha ng ugat ay nakasulat sa anyo:a+bi. Dito a Kadalasan kailangan mong maghanap b – tunay na mga numero , A i – haka-haka na yunit, i.e. e. i 2 = –1. Numero a tinawag abscissa, a b – ordinatekumplikadong numeroisang + bi.Dalawang kumplikadong numeroa+bi. a–bi ay tinatawag conjugate kumplikadong mga numero.

Mga pangunahing kasunduan:

1. Tunay na numeroAmaaari ding isulat sa anyokumplikadong numero:a+ 0 i o a – 0 i. Halimbawa, nagtala ng 5 + 0i at 5 – 0 iibig sabihin ng parehong numero 5 .

2. Kumplikadong numero 0 + bitinawag puro imaginary numero. Italabinangangahulugang pareho ng 0 + bi.

3. Dalawang kumplikadong numeroa+bi Atc + diay itinuturing na pantay kunga = c Kadalasan kailangan mong maghanap b = d. Kung hindi ang mga kumplikadong numero ay hindi pantay.

Dagdag. Kabuuan ng mga kumplikadong numeroa+bi At c + diay tinatawag na complex number (a+c ) + (b+d ) i.kaya, kapag nagdadagdag kumplikadong mga numero, ang kanilang mga abscissas at ordinates ay idinagdag nang hiwalay.

Ang kahulugan na ito ay tumutugma sa mga patakaran para sa mga operasyon na may mga ordinaryong polynomial.

Pagbabawas. Ang pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numeroa+bi(nabawasan) at c + di(subtrahend) ay tinatawag na complex number (a–c ) + (b–d ) i.

kaya, Kapag binabawasan ang dalawang kumplikadong numero, ang kanilang mga abscissas at ordinates ay ibinabawas nang hiwalay.

Pagpaparami. Produkto ng mga kumplikadong numeroa+bi. c + di ay tinatawag na isang kumplikadong numero:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Ang kahulugang ito ay sumusunod sa dalawang pangangailangan:

1) mga numero a+bi At c + didapat i-multiply tulad ng algebraic binomials,

2) numero iay may pangunahing pag-aari:i 2 = – 1.

HALIMBAWA ( a+ bi )(a–bi) =a 2 + b 2 . Kaya naman, trabaho

dalawang conjugate complex number ay katumbas ng real

isang positibong numero.

Dibisyon. Hatiin ang isang kumplikadong numeroa+bi (mahati) ng ibac + di(divider) - ibig sabihin ay hanapin ang ikatlong numeroe + f i(chat), na kapag pinarami ng divisorc + di, nagreresulta sa dibidendoisang + bi.

Kung ang divisor ay hindi zero, ang paghahati ay palaging posible.

HALIMBAWA Hanapin ang (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Solusyon. Isulat muli natin ang ratio na ito bilang isang fraction:

I-multiply ang numerator at denominator nito sa 2 + 3i

AT Matapos maisagawa ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin:

Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero. Ang mga tunay na numero ay kinakatawan ng mga puntos sa linya ng numero:

Narito ang punto Aibig sabihin ang bilang –3, tuldokB– numero 2, at O- zero. Sa kaibahan, ang mga kumplikadong numero ay kinakatawan ng mga punto sa coordinate plane. Para sa layuning ito, pipiliin namin ang mga coordinate na hugis-parihaba (Cartesian) na may parehong mga kaliskis sa parehong mga palakol. Tapos yung complex numbera+bi ay kakatawanin ng isang tuldok P na may abscissa a at ordinate b (tingnan ang larawan). Ang coordinate system na ito ay tinatawag kumplikadong eroplano .

Module complex number ay ang haba ng vectorOP, na kumakatawan sa isang kumplikadong numero sa coordinate ( komprehensibo) eroplano. Modulus ng isang kumplikadong numeroa+bi tinutukoy | a+bi| o sulat r

Gamit ang calculator

Upang suriin ang isang expression, dapat kang magpasok ng isang string na susuriin. Kapag naglalagay ng mga numero, ang separator sa pagitan ng integer at fractional na bahagi ay isang tuldok. Maaari kang gumamit ng mga panaklong. Ang mga operasyon sa mga kumplikadong numero ay multiplikasyon (*), dibisyon (/), karagdagan (+), pagbabawas (-), exponentiation (^) at iba pa. Maaari kang gumamit ng mga exponential at algebraic form upang magsulat ng mga kumplikadong numero. Ipasok ang haka-haka na yunit i ito ay posible nang walang multiplication sign sa ibang mga kaso, ang multiplication sign ay kinakailangan, halimbawa, sa pagitan ng mga panaklong o sa pagitan ng isang numero at isang pare-pareho. Maaari ding gamitin ang mga Constant: ang numerong π ay ipinasok bilang pi, exponent e, anumang mga expression sa indicator ay dapat na napapalibutan ng mga panaklong.

Halimbawang linya para sa pagkalkula: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), na tumutugma sa expression na \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

Binibigyang-daan ka ng calculator na gumamit ng mga constant, mathematical function, karagdagang operasyon at higit pa. kumplikadong mga ekspresyon, maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa mga posibilidad na ito sa pahina ng mga pangkalahatang tuntunin para sa paggamit ng mga calculator sa site na ito.

Ang site ay nasa ilalim ng pagbuo, ang ilang mga pahina ay maaaring hindi magagamit.

Balita

07.07.2016
Nagdagdag ng calculator para sa paglutas ng mga sistema ng nonlinear algebraic equation: .

30.06.2016
Ang site ay may tumutugon na disenyo, ang mga pahina ay sapat na ipinapakita kapwa sa malalaking monitor at sa mga mobile device.

Sponsor

RGROnline.ru – agarang solusyon sa gawaing electrical engineering online.

Alalahanin natin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga kumplikadong numero.

Kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyo a + bi, Saan a, b ay tunay na mga numero, at i- ang tinatawag na haka-haka na yunit, isang simbolo na ang parisukat ay katumbas ng –1, ibig sabihin i 2 = –1. Numero a tinawag tunay na bahagi, at ang numero b - haka-haka na bahagi kumplikadong numero z = a + bi. Kung b= 0, pagkatapos ay sa halip a + 0i nagsusulat lang sila a. Ito ay makikita na ang tunay na mga numero ay espesyal na kaso kumplikadong mga numero.

Ang mga operasyon ng aritmetika sa mga kumplikadong numero ay kapareho ng sa mga tunay na numero: maaari silang idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin sa bawat isa. Ang pagdaragdag at pagbabawas ay nangyayari ayon sa panuntunan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, at ang pagpaparami ay sumusunod sa panuntunan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(dito ginagamit yan i 2 = –1). Numero = a – bi tinawag kumplikadong conjugate Upang z = a + bi. Pagkakapantay-pantay z · = a 2 + b 2 ay nagbibigay-daan sa iyo na maunawaan kung paano hatiin ang isang kumplikadong numero sa isa pang (di-zero) kumplikadong numero:

(Halimbawa, .)

Ang mga kumplikadong numero ay may maginhawa at visual na geometric na representasyon: numero z = a + bi ay maaaring katawanin ng isang vector na may mga coordinate ( a; b) sa eroplano ng Cartesian (o, na halos magkaparehong bagay, isang punto - ang dulo ng isang vector na may mga coordinate na ito). Sa kasong ito, ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero ay inilalarawan bilang kabuuan ng mga kaukulang vectors (na makikita gamit ang parallelogram rule). Ayon sa Pythagorean theorem, ang haba ng vector na may mga coordinate ( a; b) ay katumbas ng . Ang dami na ito ay tinatawag modyul kumplikadong numero z = a + bi at ipinapahiwatig ng | z|. Ang anggulo na ginagawa ng vector na ito sa positibong direksyon ng x-axis (counted counterclockwise) ay tinatawag argumento kumplikadong numero z at tinutukoy ng Arg z. Ang argumento ay hindi natatanging tinukoy, ngunit hanggang sa pagdaragdag lamang ng isang maramihang ng 2 π radians (o 360°, kung binibilang sa mga degree) - pagkatapos ng lahat, ito ay malinaw na ang isang pag-ikot sa pamamagitan ng isang anggulo sa paligid ng pinagmulan ay hindi magbabago sa vector. Ngunit kung ang vector ng haba r bumubuo ng isang anggulo φ na may positibong direksyon ng x-axis, kung gayon ang mga coordinate nito ay katumbas ng ( r cos φ ; r kasalanan φ ). Mula dito lumalabas trigonometriko notasyon kumplikadong numero: z = |z| · (cos(Arg z) + i kasalanan (Arg z)). Ito ay madalas na maginhawa upang magsulat ng mga kumplikadong numero sa form na ito, dahil ito ay lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa trigonometric form ay napakasimple: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i kasalanan (Arg z 1 + Arg z 2)) (kapag nagpaparami ng dalawang kumplikadong numero, ang kanilang mga module ay pinarami at ang kanilang mga argumento ay idinagdag). Mula dito sumunod Mga formula ni Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i kasalanan( n· (Arg z))). Gamit ang mga formula na ito, madaling matutunan kung paano kunin ang mga ugat ng anumang antas mula sa mga kumplikadong numero. ugat nth degree mula sa numero z- ito ay isang kumplikadong numero w, Ano w n = z. Ito ay malinaw na , at , saan k maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa set (0, 1, ..., n– 1). Nangangahulugan ito na laging may eksaktong n mga ugat n ika antas ng isang kumplikadong numero (sa eroplano sila ay matatagpuan sa mga vertices ng regular n-gon).