Algorithm para sa paglutas ng isang graphical equation. Paano Lutasin ang isang Quadratic Equation sa Graphically

Maraming mga gawain na nakasanayan nating kalkulahin ang puro algebraically ay maaaring malutas nang mas madali at mas mabilis gamit ang mga function na graph ay makakatulong sa amin dito. Sabi mo "paano kaya?" gumuhit ng isang bagay, at ano ang iguguhit? Maniwala ka sa akin, kung minsan ito ay mas maginhawa at mas madali. Magsisimula na ba tayo? Magsimula tayo sa mga equation!

Graphical na solusyon ng mga equation

Graphical na solusyon ng mga linear na equation

Tulad ng alam mo na, ang graph ng isang linear equation ay isang tuwid na linya, kaya ang pangalan ng ganitong uri. Ang mga linear equation ay medyo madaling lutasin sa algebraically - inililipat namin ang lahat ng hindi alam sa isang bahagi ng equation, lahat ng alam namin sa isa pa, at voila! Natagpuan namin ang ugat. Ngayon ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gagawin graphically.

Kaya mayroon kang equation:

Paano ito lutasin?
Opsyon 1, at ang pinakakaraniwan ay ang paglipat ng mga hindi alam sa isang tabi at ang mga alam sa isa pa, nakukuha natin ang:

Ngayon ay bumuo tayo. Ano ang nakuha mo?

Ano sa palagay mo ang ugat ng ating equation? Tama, ang coordinate ng intersection point ng mga graph ay:

Ang sagot namin ay

Iyan ang buong karunungan ng graphic na solusyon. Bilang madali mong suriin, ang ugat ng aming equation ay isang numero!

Tulad ng sinabi ko sa itaas, ito ang pinakakaraniwang opsyon, malapit sa isang algebraic na solusyon, ngunit maaari mo itong lutasin sa ibang paraan. Upang isaalang-alang ang isang alternatibong solusyon, bumalik tayo sa ating equation:

Sa pagkakataong ito, hindi na kami ililipat ng anuman mula sa gilid patungo sa gilid, ngunit direktang gagawa ng mga graph, tulad ng mga ito ngayon:

Itinayo? Tingnan natin!

Ano ang solusyon sa pagkakataong ito? tama yan. Ang parehong bagay - ang coordinate ng intersection point ng mga graph:

At, muli, ang aming sagot ay.

Tulad ng nakikita mo, kasama mga linear na equation lahat ay sobrang simple. Panahon na upang tumingin sa isang bagay na mas kumplikado... Halimbawa, graphical na solusyon ng mga quadratic equation.

Graphical na solusyon ng mga quadratic equation

Kaya, ngayon simulan natin ang paglutas ng quadratic equation. Sabihin nating kailangan mong hanapin ang mga ugat ng equation na ito:

Siyempre, maaari mo na ngayong simulan ang pagbibilang sa pamamagitan ng discriminant, o ayon sa Vieta's theorem, ngunit maraming tao ang nagkakamali kapag nagpaparami o nag-square, lalo na kung ang halimbawa ay may malalaking numero, at, tulad ng alam mo, hindi ka magkakaroon ng calculator para sa pagsusulit... Samakatuwid, subukan nating mag-relax ng kaunti at gumuhit habang nilulutas ang equation na ito.

Makakahanap ka ng mga solusyon sa equation na ito nang grapiko sa iba't ibang paraan. Isaalang-alang natin iba't ibang mga pagpipilian, at maaari mong piliin kung alin ang pinakagusto mo.

Paraan 1. Direkta

Bumubuo lang kami ng parabola gamit ang equation na ito:

Upang gawin ito nang mabilis, bibigyan kita ng isang maliit na pahiwatig: Ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon sa pamamagitan ng pagtukoy sa tuktok ng parabola. Ang mga sumusunod na formula ay makakatulong na matukoy ang mga coordinate ng vertex ng isang parabola:

Sasabihin mo "Tumigil ka! Ang formula para sa ay halos kapareho sa pormula para sa paghahanap ng discriminant," oo, ito nga, at ito ay isang malaking kawalan ng "direktang" pagbuo ng isang parabola upang mahanap ang mga ugat nito. Gayunpaman, magbilang tayo hanggang sa dulo, at pagkatapos ay ipapakita ko sa iyo kung paano ito gagawin nang mas madali (mas!)!

Nagbilang ka ba? Anong mga coordinate ang nakuha mo para sa vertex ng parabola? Sabay nating alamin ito:

Eksaktong parehong sagot? Magaling! At ngayon alam na natin ang mga coordinate ng vertex, ngunit upang makabuo ng isang parabola kailangan natin ng higit... puntos. Ilang minimum na puntos sa tingin mo ang kailangan natin? Tama, .

Alam mo na ang isang parabola ay simetriko sa tuktok nito, halimbawa:

Alinsunod dito, kailangan namin ng dalawa pang punto sa kaliwa o kanang sangay ng parabola, at sa hinaharap ay ipapakita namin ang simetriko na mga puntong ito sa kabaligtaran:

Bumalik tayo sa ating parabola. Para sa aming kaso, panahon. Kailangan natin ng dalawa pang puntos, para makuha natin ang mga positibo, o maaari nating kunin ang mga negatibo? Aling mga punto ang mas maginhawa para sa iyo? Mas maginhawa para sa akin na magtrabaho kasama ang mga positibo, kaya kakalkulahin ko sa at.

Ngayon ay mayroon na tayong tatlong puntos, madali nating mabuo ang ating parabola sa pamamagitan ng pagpapakita ng huling dalawang puntos na nauugnay sa tuktok nito:

Ano sa tingin mo ang solusyon sa equation? Iyan ay tama, mga punto kung saan, iyon ay, at. kasi.

At kung sasabihin natin iyan, ibig sabihin ay dapat pantay din, o.

Basta? Natapos na namin ang paglutas ng equation sa isang kumplikadong graphical na paraan, o magkakaroon ng higit pa!

Siyempre, maaari mong suriin ang aming sagot sa algebraically - maaari mong kalkulahin ang mga ugat gamit ang Vieta's theorem o Discriminant. Ano ang nakuha mo? Ganun din? Kita mo! Ngayon tingnan natin ang isang napakasimpleng graphic na solusyon, sigurado akong magugustuhan mo ito!

Paraan 2. Nahahati sa ilang mga function

Kunin natin ang ating parehong equation: , ngunit isusulat natin ito nang medyo naiiba, ibig sabihin:

Maaari ba nating isulat ito ng ganito? Kaya natin, dahil ang pagbabago ay katumbas. Tingnan pa natin.

Bumuo tayo ng dalawang function nang hiwalay:

1. - ang graph ay isang simpleng parabola, na madali mong mabuo kahit na hindi tinukoy ang vertex gamit ang mga formula at pagguhit ng isang talahanayan upang matukoy ang iba pang mga punto.
2. - ang graph ay isang tuwid na linya, na madali mong mabuo sa pamamagitan ng pagtantya ng mga halaga sa iyong ulo nang hindi gumagamit ng calculator.

Itinayo? Ihambing natin sa nakuha ko:

Ano sa palagay mo ang mga ugat ng equation sa kasong ito? Tama! Ang mga coordinate na nakuha sa pamamagitan ng intersection ng dalawang graph at, iyon ay:

Alinsunod dito, ang solusyon sa equation na ito ay:

ano sabi mo Sumang-ayon, ang pamamaraang ito ng solusyon ay mas madali kaysa sa nauna at mas madali kaysa sa paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng isang discriminant! Kung gayon, subukang lutasin ang sumusunod na equation gamit ang paraang ito:

Ano ang nakuha mo? Ihambing natin ang ating mga graph:

Ipinapakita ng mga graph na ang mga sagot ay:

Nakaya mo ba? Magaling! Ngayon tingnan natin ang mga equation na medyo mas kumplikado, ibig sabihin, paglutas ng mga mixed equation, iyon ay, mga equation na naglalaman ng mga function ng iba't ibang uri.

Graphical na solusyon ng halo-halong mga equation

Ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod:

Siyempre, lahat ay maaaring mabawasan sa karaniwang denominador, hanapin ang mga ugat ng nagresultang equation, hindi nalilimutang isaalang-alang ang ODZ, ngunit muli, susubukan naming lutasin ito nang grapiko, tulad ng ginawa namin sa lahat ng nakaraang mga kaso.

Sa pagkakataong ito, buuin natin ang sumusunod na 2 graph:

1. - ang graph ay isang hyperbola
2. - ang graph ay isang tuwid na linya, na madali mong mabuo sa pamamagitan ng pagtantya ng mga halaga sa iyong ulo nang hindi gumagamit ng calculator.

Napagtanto ito? Ngayon simulan ang pagbuo.

Narito ang nakuha ko:

Sa pagtingin sa larawang ito, sabihin sa akin kung ano ang mga ugat ng ating equation?

Tama iyon, at. Narito ang kumpirmasyon:

Subukang isaksak ang aming mga ugat sa equation. gumana ba?

tama yan! Sumang-ayon, ang paglutas ng mga naturang equation sa graphical na paraan ay isang kasiyahan!

Subukang lutasin ang equation nang graphical sa iyong sarili:

Bibigyan kita ng pahiwatig: ilipat ang bahagi ng equation sa kanang bahagi upang ang pinakasimpleng mga function na gagawin ay nasa magkabilang panig. Nakuha mo ba ang pahiwatig? Kumilos ka!

Ngayon tingnan natin kung ano ang nakuha mo:

Ayon sa pagkakabanggit:

1. - kubiko parabola.
2. - ordinaryong tuwid na linya.

Buweno, buuin natin:

Gaya ng isinulat mo noon pa man, ang ugat ng equation na ito ay - .

Napagpasyahan ito malaking bilang mga halimbawa, sigurado akong napagtanto mo kung gaano kadali at kabilis mong malutas ang mga equation sa graphical na paraan. Panahon na upang malaman kung paano lutasin ang mga sistema sa ganitong paraan.

Graphic na solusyon ng mga system

Ang mga graphically solving system ay hindi naiiba sa graphically solving equation. Bubuo din kami ng dalawang graph, at ang kanilang mga intersection point ang magiging ugat ng system na ito. Ang isang graph ay isang equation, ang pangalawang graph ay isa pang equation. Ang lahat ay sobrang simple!

Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation

Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na sistema:

Una, ibahin natin ito upang sa kaliwa ay mayroong lahat ng bagay na konektado, at sa kanan - lahat ng bagay na konektado. Sa madaling salita, isulat natin ang mga equation na ito bilang isang function sa ating karaniwang anyo:

Ngayon kami ay bumuo lamang ng dalawang tuwid na linya. Ano ang solusyon sa ating kaso? Tama! Ang punto ng intersection nila! At dito kailangan mong maging napaka, maingat! Isipin mo, bakit? Hayaan akong bigyan ka ng isang pahiwatig: tayo ay nakikitungo sa isang sistema: sa system mayroong pareho, at... Nakuha ang pahiwatig?

tama yan! Kapag nilulutas ang isang sistema, dapat nating tingnan ang parehong mga coordinate, at hindi tulad ng paglutas ng mga equation! Isa pa mahalagang punto- isulat ang mga ito ng tama at huwag malito kung saan mayroon tayong kahulugan at kung saan ang kahulugan! Isinulat mo ba ito? Ngayon ihambing natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod:

At ang mga sagot: at. Gumawa ng check - palitan ang mga nahanap na ugat sa system at siguraduhin kung nalutas namin ito nang tama sa graphically?

Paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation

Paano kung, sa halip na isang tuwid na linya, mayroon tayo quadratic equation? ayos lang! Gumawa ka lang ng parabola sa halip na isang tuwid na linya! Huwag maniwala sa akin? Subukang lutasin ang sumusunod na sistema:

Ano ang ating susunod na hakbang? Tama, isulat ito upang maging maginhawa para sa amin na bumuo ng mga graph:

At ngayon ang lahat ay isang bagay ng maliliit na bagay - buuin ito nang mabilis at narito ang iyong solusyon! Kami ay nagtatayo:

Pareho ba ang mga graph? Ngayon markahan ang mga solusyon ng system sa figure at isulat nang tama ang mga natukoy na sagot!

Ginawa mo ba ang lahat? Ikumpara sa aking mga tala:

Tama ba ang lahat? Magaling! Nagagawa mo na ang mga ganitong uri ng mga gawain tulad ng mga mani! Kung gayon, bigyan ka namin ng mas kumplikadong sistema:

Anong ginagawa natin? Tama! Isinulat namin ang system upang ito ay maginhawa upang bumuo:

Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig, dahil mukhang napakakomplikado ng system! Kapag gumagawa ng mga graph, buuin ang mga ito "higit pa", at higit sa lahat, huwag magulat sa bilang ng mga intersection point.

Kaya, tayo na! Napabuga ng hangin? Ngayon simulan ang pagbuo!

Kaya paano? maganda? Ilang intersection point ang nakuha mo? Mayroon akong tatlo! Ihambing natin ang ating mga graph:

Gayundin? Ngayon maingat na isulat ang lahat ng mga solusyon ng aming system:

Ngayon tingnan muli ang system:

Maaari mo bang isipin na nalutas mo ito sa loob lamang ng 15 minuto? Sumang-ayon, ang matematika ay simple pa rin, lalo na kapag tumitingin sa isang expression hindi ka natatakot na magkamali, ngunit kunin lamang ito at lutasin ito! ang galing mo!

Graphical na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay

Graphical na solusyon ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Pagkatapos ng huling halimbawa, magagawa mo ang anuman! Ngayon huminga nang palabas - kumpara sa mga nakaraang seksyon, ang isang ito ay magiging napaka, napakadali!

Magsisimula kami, gaya ng dati, sa isang graphical na solusyon linear inequality. Halimbawa, ito:

Una, gawin natin ang pinakasimpleng pagbabago - buksan ang mga bracket ng perpektong mga parisukat at ipakita ang mga katulad na termino:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, kaya hindi ito kasama sa pagitan, at ang solusyon ay ang lahat ng mga punto na nasa kanan, dahil higit pa, higit pa, at iba pa:

Sagot:

yun lang! madali? Lutasin natin ang isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable:

Gumuhit tayo ng function sa coordinate system.

Nakakuha ka ba ng ganoong iskedyul? Ngayon tingnan nating mabuti kung anong hindi pagkakapantay-pantay ang mayroon tayo doon? Mas kaunti? Nangangahulugan ito na pinipinta namin ang lahat ng nasa kaliwa ng aming tuwid na linya. Paano kung marami pa? Tama iyon, pagkatapos ay ipinta namin ang lahat ng nasa kanan ng aming tuwid na linya. Simple lang.

Ang lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay "naliliman" kulay kahel. Iyon lang, nalutas ang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng anumang punto mula sa may kulay na lugar ay ang mga solusyon.

Graphical na solusyon ng mga quadratic inequalities

Ngayon ay mauunawaan natin kung paano graphical na lutasin ang mga quadratic inequalities.

Ngunit bago tayo bumaba sa negosyo, suriin natin ang ilang materyal tungkol sa quadratic function.

Ano ang pananagutan ng discriminant? Tama iyon, para sa posisyon ng graph na nauugnay sa axis (kung hindi mo ito naaalala, pagkatapos ay tiyak na basahin ang teorya tungkol sa mga quadratic function).

Sa anumang kaso, narito ang isang maliit na paalala para sa iyo:

Ngayong na-refresh na natin ang lahat ng materyal sa ating memorya, mag-negosyo tayo - lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa graphical na paraan.

Sasabihin ko kaagad sa iyo na mayroong dalawang pagpipilian para sa paglutas nito.

Opsyon 1

Isinulat namin ang aming parabola bilang isang function:

Gamit ang mga formula, tinutukoy namin ang mga coordinate ng vertex ng parabola (eksaktong kapareho ng kapag nilulutas ang mga quadratic equation):

Nagbilang ka ba? Ano ang nakuha mo?

Ngayon kumuha tayo ng dalawa pa iba't ibang puntos at kalkulahin para sa kanila:

Simulan natin ang pagbuo ng isang sangay ng parabola:

Kami ay simetriko na sumasalamin sa aming mga punto sa isa pang sangay ng parabola:

Ngayon bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay.

Kailangan namin itong mas mababa sa zero, ayon sa pagkakabanggit:

Dahil sa aming hindi pagkakapantay-pantay ang pag-sign ay mahigpit na mas mababa kaysa sa, ibinubukod namin ang mga punto ng pagtatapos - "butas".

Sagot:

Malayo, tama? Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang isang mas simpleng bersyon ng graphical na solusyon gamit ang halimbawa ng parehong hindi pagkakapantay-pantay:

Opsyon 2

Bumalik tayo sa ating hindi pagkakapantay-pantay at markahan ang mga agwat na kailangan natin:

Sumang-ayon, ito ay mas mabilis.

Isulat natin ngayon ang sagot:

Isaalang-alang natin ang isa pang solusyon na nagpapasimple sa algebraic na bahagi, ngunit ang pangunahing bagay ay hindi malito.

I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:

Subukang lutasin ang sumusunod sa iyong sarili quadratic inequality sa anumang paraan na gusto mo: .

Nakaya mo ba?

Tingnan kung paano lumabas ang aking graph:

Sagot: .

Graphical na solusyon ng magkahalong hindi pagkakapantay-pantay

Ngayon ay lumipat tayo sa mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!

Paano mo ito gusto:

Ang creepy, di ba? Sa totoo lang, wala akong ideya kung paano lutasin ito sa algebraically... Ngunit hindi ito kailangan. Sa graphically, walang kumplikado tungkol dito! Ang mga mata ay natatakot, ngunit ang mga kamay ay gumagawa!

Ang unang bagay na sisimulan natin ay sa pamamagitan ng pagbuo ng dalawang graph:

Hindi ako magsusulat ng isang talahanayan para sa bawat isa - sigurado akong magagawa mo ito nang perpekto sa iyong sarili (wow, napakaraming mga halimbawa upang malutas!).

Pinintahan mo ba ito? Ngayon bumuo ng dalawang graph.

Ihambing natin ang ating mga guhit?

Ganun din ba sayo? Magaling! Ngayon ay ayusin natin ang mga intersection point at gumamit ng kulay upang matukoy kung aling graph ang dapat nating magkaroon ng mas malaki sa teorya, iyon ay. Tingnan kung ano ang nangyari sa huli:

Ngayon tingnan lang natin kung saan mas mataas ang napili nating graph kaysa sa graph? Huwag mag-atubiling kumuha ng lapis at pintura sa lugar na ito! Siya ang magiging solusyon sa ating kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay!

Sa anong mga agwat sa kahabaan ng axis kami ay matatagpuan mas mataas kaysa? Tama, . Ito ang sagot!

Kaya, ngayon ay maaari mong pangasiwaan ang anumang equation, anumang sistema, at higit pa sa anumang hindi pagkakapantay-pantay!

MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Algorithm para sa paglutas ng mga equation gamit ang mga function graph:

1. Ipahayag natin ito sa pamamagitan ng
2. Tukuyin natin ang uri ng pag-andar
3. Bumuo tayo ng mga graph ng mga resultang function
4. Hanapin natin ang mga intersection point ng mga graph
5. Isulat natin nang tama ang sagot (isinasaalang-alang ang mga palatandaan ng ODZ at hindi pagkakapantay-pantay)
6. Suriin natin ang sagot (palitan ang mga ugat sa equation o system)

Para sa higit pang impormasyon tungkol sa pagbuo ng mga function graph, tingnan ang paksang "".

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...

Para saan?

Para sa matagumpay pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...

Mga taong nakatanggap magandang edukasyon, kumikita ng mas malaki kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang bukas sa kanila mas maraming posibilidad at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?

AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.

Kakailanganin mo lutasin ang mga problema laban sa oras.

At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - Bumili ng isang aklat-aralin - 899 RUR

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa BUONG buhay ng site.

At sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!

Hello. Sa artikulong ito susubukan kong ipakita sa iyo mga posibleng paraan paglutas ng mga quadratic equation gamit ang mga graph.

Sabihin nating kailangan nating lutasin ang equation x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0. Gamit ang halimbawang ito, isasaalang-alang natin ang mga opsyon para sa paglutas ng quadratic equation nang grapiko.

1) Maaari nating katawanin ang ating equation sa anyong x 2 = 2x + 3. Susunod, bumuo tayo ng mga graph ng mga function na y = x 2 at y = 2x + 3 sa parehong sistema ng coordinate Ang graph na y = x 2 ay ipinapakita sa Figure 1 , at parehong mga graph sa Figure 2.

Larawan 1 Larawan 2

Ang mga graph ay bumalandra sa dalawang punto, ang aming equation ay may solusyon na x = – 1 at x = 3.

2) Ngunit maaari mong katawanin ang equation sa ibang paraan, halimbawa, x 2 ‒ 2x = 3 at bumuo ng mga graph ng mga function na y = x 2 ‒ 2x at y = 3 sa isang coordinate system. Makikita mo ang mga ito sa Figures 3 at 4. Ipinapakita ng Figure 3 ang graph na y = x 2 ‒ 2x, at ang Figure 4 ay nagpapakita ng parehong mga graph na y = x 2 ‒ 2x at y = 3.

Larawan 3 Larawan 4

Tulad ng nakikita natin, ang dalawang graph na ito ay nagsalubong din sa dalawang punto, kung saan ang x = -1 at x = 3. Ibig sabihin sagot: - 1; 3.

3) May isa pang opsyon para sa kumakatawan sa equation na ito x 2 ‒ 3 = 2x. At muli, bumuo kami ng mga graph ng mga function y = x 2 ‒ 3 at y = 2x sa parehong coordinate system. Ang unang y = x 2 ‒ 3 sa Figure 5 at parehong mga graph sa Figure 6.

Larawan 5 Larawan 6

Sagot: - 1; 3.

4) Maaari kang bumuo ng isang parabola y = x 2 ‒ 2x ‒ 3.

Ang vertex ng parabola x 0 = - b/2a = 2/2=1, y 0 = 1 2 ‒ 2 1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Ito ang punto (1; ‒ 4). Kung gayon ang aming parabola ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x =1. Kung kukuha tayo ng dalawang puntos na simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x = 1, halimbawa: x = - 2 at x = 4, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang puntos kung saan dumadaan ang mga sangay ng graph.

Kung x = -2, kung gayon y =(- 2) 2 ‒ 2(-2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5.

Katulad din x = 4, y = 4 2 ‒ 2 · 4 ‒ 3 = 16 – 8 – 3 = 5. Ang mga resultang puntos ay (-2; 5); (1; 4) at (4; 5) nagmarka kami sa eroplano at gumuhit ng parabola (Larawan 7).

Larawan 7

Bina-intersect ng parabola ang x-axis sa mga punto 1 at 3. Ito ang mga ugat ng equation x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0.

Sagot: – 1 at 3.

5) At maaari mong ihiwalay ang parisukat ng binomial:

x 2 ‒ 2x ‒ 3= 0

(x 2 ‒ 2x + 1) ‒ 1 ‒ 3= 0

(x -1) 2 - 4 = 0

Pagkatapos ay bumuo ng mga graph ng mga function na y = (x - 1) 2 at y = 4 sa isang coordinate system Ang unang graph ay y = (x - 1) 2 sa Figure 8, at ang parehong mga graph ay y = (x - 1) 2 at y = 4 sa Figure 9.

Larawan 8 Larawan 9

Nag-intersect din sila sa dalawang punto, kung saan ang x = -1, x = 3.

Sagot: - 1; 3.

6) Dahil ang x = 0 ay hindi ang ugat ng equation x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 (kung hindi, ang pagkakapantay-pantay na 0 2 – 2 0 –3 = 0 ay mananatili), kung gayon ang lahat ng termino ng equation ay maaaring hatiin sa x. Bilang resulta, nakukuha natin ang equation x – 2 – 3/x = 0. Ilipat natin ang 3/x sa kanan at makuha ang equation na x – 2 = 3/x Pagkatapos ay maaari tayong bumuo ng mga graph ng mga function na y = 3/x at y = x – 2 sa isang coordinate system .

Ipinapakita ng Figure 10 ang isang graph ng function na y = 3/x, at ang Figure 11 ay nagpapakita ng parehong mga graph ng mga function na y = 3/x at y = x – 2.

Larawan 10 Larawan 11

Nag-intersect din sila sa dalawang punto, kung saan ang x = -1, x = 3.

Sagot: - 1; 3.

Kung ikaw ay nagbigay-pansin, mapapansin mo na kahit paano mo ipakita ang equation bilang dalawang function, palagi kang magkakaroon ng parehong sagot (siyempre, hindi ka magkakamali kapag naglilipat ng mga expression mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa pa. at kapag gumagawa ng mga graph). Samakatuwid, kapag nilutas ang isang equation sa graphical na paraan, piliin ang paraan ng kumakatawan sa mga graphical na function na mas madali para sa iyo na bumuo. At isa pang tala: kung ang mga ugat ng equation ay hindi mga integer, kung gayon ang sagot ay hindi magiging tumpak.

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Nakatagpo ka na ng mga quadratic equation sa kursong algebra sa ika-7 baitang. Alalahanin na ang isang quadratic equation ay isang equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a, b, c ay anumang mga numero (coefficients), at a . Gamit ang aming kaalaman sa ilang mga function at kanilang mga graph, nagagawa namin ngayon, nang hindi naghihintay ng isang sistematikong pag-aaral ng paksang "Quadratic Equation," upang malutas ang ilang mga quadratic equation, at sa iba't ibang paraan; Isasaalang-alang namin ang mga pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng isang quadratic equation.

Halimbawa. Lutasin ang equation x 2 - 2x - 3 = 0.
Solusyon.
Pamamaraan I . Bumuo tayo ng graph ng function na y = x 2 - 2x - 3, gamit ang algorithm mula sa § 13:

1) Mayroon kaming: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Nangangahulugan ito na ang vertex ng parabola ay ang punto (1; -4), at ang axis ng parabola ay ang tuwid na linya x = 1.

2) Kumuha ng dalawang puntos sa x-axis na simetriko tungkol sa axis ng parabola, halimbawa, mga puntos na x = -1 at x = 3.

Mayroon tayong f(-1) = f(3) = 0. Bumuo tayo ng mga puntos (-1; 0) at (3; 0) sa coordinate plane.

3) Sa pamamagitan ng mga puntos (-1; 0), (1; -4), (3; 0) gumuhit kami ng parabola (Larawan 68).

Ang mga ugat ng equation x 2 - 2x - 3 = 0 ay ang abscissas ng mga punto ng intersection ng parabola na may x axis; Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng equation ay: x 1 = - 1, x 2 - 3.

II pamamaraan. Ibahin natin ang equation sa anyong x 2 = 2x + 3. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function na y - x 2 at y = 2x + 3 sa isang coordinate system (Fig. 69). Nag-intersect sila sa dalawang puntong A(- 1; 1) at B(3; 9). Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga puntos A at B, na nangangahulugang x 1 = - 1, x 2 - 3.

III paraan . Ibahin natin ang equation sa anyong x 2 - 3 = 2x. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function na y = x 2 - 3 at y = 2x sa isang coordinate system (Fig. 70). Nag-intersect sila sa dalawang puntong A (-1; - 2) at B (3; 6). Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga puntos A at B, kaya x 1 = - 1, x 2 = 3.

IV na pamamaraan. Ibahin natin ang equation sa anyong x 2 -2x 4-1-4 = 0
at pasulong
x 2 - 2x + 1 = 4, ibig sabihin (x - IJ = 4.
Bumuo tayo ng parabola y = (x - 1) 2 at isang tuwid na linya y = 4 sa isang coordinate system (Larawan 71). Nag-intersect sila sa dalawang puntong A(-1; 4) at B(3; 4). Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga puntos A at B, kaya x 1 = -1, x 2 = 3.

V pamamaraan. Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa x term sa pamamagitan ng term, nakukuha natin

Bumuo tayo ng hyperbola at isang tuwid na linya y = x - 2 sa isang coordinate system (Larawan 72).

Nag-intersect sila sa dalawang puntong A (-1; -3) at B (3; 1). Ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga puntos A at B, samakatuwid, x 1 = - 1, x 2 = 3.

Kaya, nalutas namin ang quadratic equation x 2 - 2x - 3 = 0 graphically sa limang paraan. Suriin natin ang kakanyahan ng mga pamamaraang ito.

Pamamaraan I Bumuo ng graph ng function sa punto ng intersection nito sa x-axis.

II pamamaraan. Ibahin ang anyo ng equation sa anyo na ax 2 = -bx - c, bumuo ng parabola y = ax 2 at isang tuwid na linya y = -bx - c, hanapin ang kanilang mga punto ng intersection (ang mga ugat ng equation ay ang abscissas ng mga intersection point , kung, siyempre, mayroon man).

III paraan. Ibahin ang anyo ng equation sa anyo na ax 2 + c = - bx, bumuo ng isang parabola y - ax 2 + c at isang tuwid na linya y = -bx (ito ay dumadaan sa pinanggalingan); hanapin ang kanilang mga intersection point.

IV na pamamaraan. Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng kumpletong parisukat, ibahin ang anyo ng equation

Bumuo ng parabola y = a (x + I) 2 at isang tuwid na linya y = - m, parallel sa x axis; hanapin ang mga intersection point ng isang parabola at isang tuwid na linya.

V pamamaraan. I-convert ang equation sa form

Bumuo ng hyperbola (ito ay isang hyperbola kung ganoon) at ang tuwid na linya y = - ax - b; hanapin ang kanilang mga intersection point.

Tandaan na ang unang apat na pamamaraan ay naaangkop sa anumang mga equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, at ang panglima - sa mga may c lamang. Sa pagsasagawa, maaari mong piliin ang paraan na tila pinakaangkop sa ibinigay na equation o kung saan mas gusto mo (o naiintindihan).

Magkomento . Sa kabila ng kasaganaan ng mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation sa graphical na paraan, tiwala kami na anumang quadratic equation ay malulutas.
Maaari nating lutasin ito nang graphical, hindi. Hayaan, halimbawa, kailangan mong lutasin ang equation x 2 - x - 3 = 0 (partikular nating kunin ang isang equation na katulad ng kung ano ang nasa
itinuturing na halimbawa). Subukan nating lutasin ito, halimbawa, sa pangalawang paraan: ibahin ang anyo ng equation sa anyo na x 2 = x + 3, bumuo ng parabola y = x 2 at
tuwid na linya y = x + 3, nagsalubong sila sa mga puntong A at B (Larawan 73), na nangangahulugang ang equation ay may dalawang ugat. Ngunit ano ang katumbas ng mga ugat na ito, tayo, sa tulong ng isang pagguhit,
Hindi namin masasabi - ang mga punto A at B ay walang ganoong "magandang" mga coordinate tulad ng sa halimbawa sa itaas. Ngayon isaalang-alang ang equation
x 2 - 16x - 95 = 0. Subukan nating lutasin ito, sabihin nating, sa ikatlong paraan. Ibahin natin ang equation sa anyong x 2 - 95 = 16x. Dito kailangan nating gumawa ng parabola
y = x 2 - 95 at tuwid na linya y = 16x. Ngunit ang limitadong sukat ng notebook sheet ay hindi pinapayagan ito, dahil ang parabola y = x 2 ay dapat ibaba ng 95 na mga cell pababa.

Kaya, ang mga graphical na pamamaraan para sa paglutas ng isang quadratic equation ay maganda at kaaya-aya, ngunit hindi sila nagbibigay ng isang daang porsyento na garantiya ng paglutas ng anumang quadratic equation. Isasaalang-alang namin ito sa hinaharap.

>>Mathematics: Graphical na solusyon ng mga equation

Graphical na solusyon ng mga equation

Ibuod natin ang ating kaalaman tungkol sa mga graph mga function. Natutunan namin kung paano bumuo ng mga graph ng mga sumusunod na function:

y =b (tuwid na linya parallel sa x axis);

y = kx (linya na dumadaan sa pinanggalingan);

y - kx + m (tuwid na linya);

y = x 2 (parabola).

Ang kaalaman sa mga graph na ito ay magbibigay-daan sa amin, kung kinakailangan, na palitan ang analytical modelo geometric (graphical), halimbawa, sa halip na ang modelong y = x 2 (na kumakatawan sa pagkakapantay-pantay na may dalawang variable na x at y), isaalang-alang ang isang parabola sa coordinate plane. Sa partikular, minsan ito ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga equation. Talakayin natin kung paano ito ginagawa gamit ang ilang mga halimbawa.

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Nilalaman ng aralin mga tala ng aralin pagsuporta sa frame lesson presentation acceleration methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusulit sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga pakikipagsapalaran sa mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga retorika na tanong mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia litrato, larawan, graphics, talahanayan, diagram, katatawanan, anekdota, biro, komiks, talinghaga, kasabihan, crosswords, quote Mga add-on mga abstract articles tricks para sa mga curious crib textbooks basic at karagdagang diksyunaryo ng mga terminong iba Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa isang aklat-aralin, mga elemento ng pagbabago sa aralin, pagpapalit ng hindi napapanahong kaalaman ng mga bago Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon mga rekomendasyong metodolohikal mga programa sa talakayan Pinagsanib na Aralin

Sa araling video na ito, ang paksang "Function y=x 2" ay inaalok para sa pag-aaral. Graphic na solusyon ng mga equation." Sa araling ito, makikilala ng mga mag-aaral ang isang bagong paraan ng paglutas ng mga equation - graphically, na batay sa kaalaman sa mga katangian ng mga graph ng mga function. Ipapakita ng guro kung paano lutasin ang function na y=x 2 nang grapiko.

Paksa:Function

Aralin:Function. Graphical na solusyon ng mga equation

Ang graphical na solusyon ng mga equation ay batay sa kaalaman sa mga function graph at ang kanilang mga katangian. Ilista natin ang mga function na alam natin ang mga graph:

1), ang graph ay isang tuwid na linya na kahanay ng abscissa axis, na dumadaan sa isang punto sa ordinate axis. Tingnan natin ang isang halimbawa: y=1:

Para sa iba't ibang mga halaga, nakakakuha kami ng isang pamilya ng mga tuwid na linya na kahanay sa x-axis.

2) Function ng direktang proporsyonalidad, ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate. Tingnan natin ang isang halimbawa:

Nagawa na namin ang mga graph na ito sa mga nakaraang aralin, alalahanin na upang mabuo ang bawat linya, kailangan mong pumili ng isang punto na nakakatugon dito, at kunin ang pinagmulan ng mga coordinate bilang pangalawang punto.

Alalahanin natin ang papel ng coefficient k: habang tumataas ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x axis ay talamak; kapag bumababa ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x axis ay mahina. Bilang karagdagan, ang sumusunod na relasyon ay umiiral sa pagitan ng dalawang mga parameter k ng parehong tanda: para sa positibong k, mas malaki ito, mas mabilis ang pagtaas ng function, at para sa mga negatibo, mas mabilis na bumababa ang function para sa malalaking halaga ng k sa ganap na halaga. .

3) Linear function. Kapag - nakuha namin ang punto ng intersection sa ordinate axis at lahat ng tuwid na linya ng ganitong uri ay dumadaan sa punto (0; m). Bilang karagdagan, habang tumataas ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x axis ay talamak; kapag bumababa ang function, ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon ng x axis ay mahina. At siyempre ang halaga ng k ay nakakaapekto sa rate ng pagbabago ng halaga ng function.

4). Ang graph ng function na ito ay isang parabola.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1 - Lutasin ang equation nang grapiko:

Hindi namin alam ang mga function ng ganitong uri, kaya kailangan naming mag-transform ibinigay na equation upang gumana sa mga kilalang function:

Nakakakuha kami ng mga pamilyar na function sa magkabilang panig ng equation:

Bumuo tayo ng mga graph ng mga function:

Ang mga graph ay may dalawang intersection point: (-1; 1); (2; 4)

Suriin natin kung ang solusyon ay natagpuan nang tama at palitan ang mga coordinate sa equation:

Ang unang punto ay natagpuan nang tama.

, , , , , ,

Ang pangalawang punto ay natagpuan din nang tama.

Kaya, ang mga solusyon sa equation ay at

Nagpapatuloy kami nang katulad sa nakaraang halimbawa: binabago namin ang ibinigay na equation sa mga pag-andar na kilala sa amin, bumuo ng kanilang mga graph, hanapin ang mga intersection na alon at mula dito ay nagpapahiwatig ng mga solusyon.

Kumuha kami ng dalawang function:

Bumuo tayo ng mga graph:

Ang mga graph na ito ay walang mga intersection point, na nangangahulugang ang ibinigay na equation ay walang mga solusyon

Konklusyon: sa araling ito sinuri namin ang mga function at ang kanilang mga graph na kilala sa amin, naalala ang kanilang mga katangian at sinuri graphic na pamamaraan paglutas ng mga equation.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. at iba pa. Algebra 7. Ika-6 na edisyon. M.: Enlightenment. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. at iba pa Algebra 7.M.: Enlightenment. 2006

Gawain 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. at iba pa Algebra 7, No. 494, Art.

Gawain 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. at iba pa Algebra 7, No. 495, Art.

Gawain 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. at iba pa Algebra 7, No. 496, Art.