Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni grafik. Si të zgjidhim grafikisht një ekuacion kuadratik

Shumë detyra që jemi mësuar t'i llogaritim thjesht algjebrike mund të zgjidhen shumë më lehtë dhe më shpejt; përdorimi i grafikëve të funksioneve do të na ndihmojë për këtë. Ju thoni "si kështu?" vizatoni diçka dhe çfarë të vizatoni? Më besoni, ndonjëherë është më e përshtatshme dhe më e lehtë. Të fillojmë? Le të fillojmë me ekuacionet!

Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Zgjidhja grafike e ekuacioneve lineare

Siç e dini tashmë, grafiku i një ekuacioni linear është një vijë e drejtë, prandaj emri i këtij lloji. Ekuacionet lineare janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur në mënyrë algjebrike - ne transferojmë të gjitha të panjohurat në njërën anë të ekuacionit, gjithçka që dimë në anën tjetër dhe voila! E gjetëm rrënjën. Tani do t'ju tregoj se si ta bëni atë grafikisht.

Pra, ju keni ekuacionin:

Si ta zgjidhim atë?
opsioni 1, dhe më e zakonshmja është zhvendosja e të panjohurave në njërën anë dhe të njohurat në anën tjetër, marrim:

Tani le të ndërtojmë. Çfarë more?

Cila mendoni se është rrënja e ekuacionit tonë? Ashtu është, koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve është:

Përgjigja jonë është

Kjo është e gjithë mençuria e zgjidhjes grafike. Siç mund ta kontrolloni lehtësisht, rrënja e ekuacionit tonë është një numër!

Siç thashë më lart, ky është opsioni më i zakonshëm, afër një zgjidhjeje algjebrike, por ju mund ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër. Për të shqyrtuar një zgjidhje alternative, le të kthehemi te ekuacioni ynë:

Këtë herë nuk do të lëvizim asgjë nga njëra anë në tjetrën, por do të ndërtojmë grafikët drejtpërdrejt, siç janë tani:

E ndërtuar? Le të shohim!

Cila është zgjidhja këtë herë? Kjo është e drejtë. E njëjta gjë - koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve:

Dhe, përsëri, përgjigja jonë është.

Siç mund ta shihni, me ekuacione lineare gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë. Është koha për të parë diçka më komplekse... Për shembull, zgjidhje grafike e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve kuadratike

Pra, tani le të fillojmë të zgjidhim ekuacionin kuadratik. Le të themi se ju duhet të gjeni rrënjët e këtij ekuacioni:

Natyrisht, tani mund të filloni të numëroni përmes diskriminuesit, ose sipas teoremës së Vietës, por shumë njerëz, nga nervat, bëjnë gabime kur shumëzojnë ose katrorojnë, veçanërisht nëse shembulli është me numra të mëdhenj dhe, siç e dini, keni fituar. Nuk kam një kalkulator për provimin... Prandaj, le të përpiqemi të relaksohemi pak dhe të vizatojmë gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni.

Zgjidhjet e këtij ekuacioni mund të gjenden grafikisht në mënyra të ndryshme. Le të shohim opsionet e ndryshme dhe ju mund të zgjidhni atë që ju pëlqen më shumë.

Metoda 1. Direkt

Ne thjesht ndërtojmë një parabolë duke përdorur këtë ekuacion:

Për ta bërë këtë shpejt, unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: Është i përshtatshëm për të filluar ndërtimin duke përcaktuar kulmin e parabolës. Formulat e mëposhtme do të ndihmojnë në përcaktimin e koordinatave të kulmit të një parabole:

Do të thuash “Stop! Formula për është shumë e ngjashme me formulën për gjetjen e diskriminuesit,” po, është, dhe ky është një disavantazh i madh i ndërtimit “drejtpërdrejt” të një parabole për të gjetur rrënjët e saj. Megjithatë, le të numërojmë deri në fund, dhe pastaj do t'ju tregoj se si ta bëni atë shumë (shumë!) më lehtë!

A keni numëruar? Çfarë koordinatash keni marrë për kulmin e parabolës? Le ta kuptojmë së bashku:

Saktësisht e njëjta përgjigje? Te lumte! Dhe tani ne tashmë i dimë koordinatat e kulmit, por për të ndërtuar një parabolë na duhen më shumë... pikë. Sa pikë minimale mendoni se na duhen? E drejta,.

Ju e dini që një parabolë është simetrike në lidhje me kulmin e saj, për shembull:

Prandaj, ne kemi nevojë për dy pika të tjera në degën e majtë ose të djathtë të parabolës, dhe në të ardhmen do t'i pasqyrojmë në mënyrë simetrike këto pika në anën e kundërt:

Le të kthehemi te parabola jonë. Për rastin tonë, pika. Ne kemi nevojë për dy pikë të tjera, kështu që mund të marrim ato pozitive, apo mund të marrim ato negative? Cilat pika janë më të përshtatshme për ju? Është më e përshtatshme për mua të punoj me pozitive, kështu që do të llogaris në dhe.

Tani kemi tre pika, mund ta ndërtojmë lehtësisht parabolën tonë duke reflektuar dy pikat e fundit në lidhje me kulmin e saj:

Cila mendoni se është zgjidhja e ekuacionit? Kjo është e drejtë, pikat në të cilat, domethënë, dhe. Sepse.

Dhe nëse themi këtë, do të thotë se duhet të jetë gjithashtu e barabartë, ose.

Vetëm? Ne kemi përfunduar zgjidhjen e ekuacionit me ju në një mënyrë grafike komplekse, ose do të ketë më shumë!

Sigurisht, ju mund ta kontrolloni përgjigjen tonë në mënyrë algjebrike - mund të llogaritni rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s ose Diskriminuesin. Çfarë more? E njëjta? Ja ku e shihni! Tani le të shohim një zgjidhje grafike shumë të thjeshtë, jam i sigurt se do t'ju pëlqejë shumë!

Metoda 2. Ndarë në disa funksione

Le të marrim të njëjtin ekuacion: , por do ta shkruajmë pak më ndryshe, domethënë:

A mund ta shkruajmë kështu? Ne mundemi, pasi transformimi është ekuivalent. Le të shohim më tej.

Le të ndërtojmë dy funksione veç e veç:

1. - grafiku është një parabolë e thjeshtë, të cilën mund ta ndërtoni lehtësisht edhe pa përcaktuar kulmin duke përdorur formula dhe duke hartuar një tabelë për të përcaktuar pikat e tjera.
2. - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni po aq lehtë duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E ndërtuar? Le të krahasojmë me atë që kam marrë:

Cilat mendoni se janë rrënjët e ekuacionit në këtë rast? E drejtë! Koordinatat e marra nga kryqëzimi i dy grafikëve dhe, domethënë:

Prandaj, zgjidhja e këtij ekuacioni është:

Çfarë thoni ju? Pajtohem, kjo metodë e zgjidhjes është shumë më e lehtë se ajo e mëparshmja dhe madje më e lehtë sesa kërkimi i rrënjëve përmes një diskriminuesi! Nëse po, provoni të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm duke përdorur këtë metodë:

Çfarë more? Le të krahasojmë grafikët tanë:

Grafikët tregojnë se përgjigjet janë:

A ia dolët? Te lumte! Tani le t'i shohim ekuacionet pak më të ndërlikuara, domethënë zgjidhjen e ekuacioneve të përziera, domethënë ekuacionet që përmbajnë funksione të llojeve të ndryshme.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve të përziera

Tani le të përpiqemi të zgjidhim sa vijon:

Sigurisht, ju mund të sillni gjithçka në një emërues të përbashkët, të gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton, pa harruar të merrni parasysh ODZ, por përsëri, ne do të përpiqemi ta zgjidhim atë grafikisht, siç bëmë në të gjitha rastet e mëparshme.

Këtë herë le të ndërtojmë 2 grafikët e mëposhtëm:

1. - grafiku është një hiperbolë
2. - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni lehtësisht duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E kuptove? Tani filloni ndërtimin.

Ja çfarë mora:

Duke parë këtë foto, më thuaj cilat janë rrënjët e ekuacionit tonë?

Kjo është e drejtë, dhe. Ja konfirmimi:

Provoni të futni rrënjët tona në ekuacion. Ka ndodhur?

Kjo është e drejtë! Pajtohem, zgjidhja grafike e ekuacioneve të tilla është një kënaqësi!

Mundohuni ta zgjidhni vetë ekuacionin grafikisht:

Unë do t'ju jap një sugjerim: zhvendosni një pjesë të ekuacionit në anën e djathtë në mënyrë që funksionet më të thjeshta për t'u ndërtuar të jenë në të dyja anët. E morët sugjerimin? Vepro!

Tani le të shohim se çfarë keni:

Përkatësisht:

1. - parabolë kubike.
2. - vijë e drejtë e zakonshme.

Epo, le të ndërtojmë:

Siç keni shkruar shumë kohë më parë, rrënja e këtij ekuacioni është - .

Pasi të keni punuar me një numër kaq të madh shembujsh, jam i sigurt që keni kuptuar se sa e lehtë dhe e shpejtë është të zgjidhen ekuacionet në mënyrë grafike. Është koha për të kuptuar se si t'i zgjidhni sistemet në këtë mënyrë.

Zgjidhja grafike e sistemeve

Zgjidhja grafike e sistemeve në thelb nuk ndryshon nga zgjidhja grafike e ekuacioneve. Ne gjithashtu do të ndërtojmë dy grafikë, dhe pikat e kryqëzimit të tyre do të jenë rrënjët e këtij sistemi. Një grafik është një ekuacion, grafiku i dytë është një ekuacion tjetër. Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë!

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë - zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare

Le të themi se kemi sistemin e mëposhtëm:

Së pari, le ta transformojmë atë në mënyrë që në të majtë të ketë gjithçka që lidhet me të, dhe në të djathtë - gjithçka që lidhet me të. Me fjalë të tjera, le t'i shkruajmë këto ekuacione si funksion në formën tonë të zakonshme:

Tani ne ndërtojmë vetëm dy vija të drejta. Cila është zgjidhja në rastin tonë? E drejtë! Pika e kryqëzimit të tyre! Dhe këtu duhet të jeni shumë, shumë të kujdesshëm! Mendoni për këtë, pse? Më lejoni t'ju jap një sugjerim: kemi të bëjmë me një sistem: në sistem ka të dyja, dhe... E kuptuat?

Kjo është e drejtë! Kur zgjidhim një sistem, duhet të shikojmë të dyja koordinatat, dhe jo vetëm si kur zgjidhim ekuacione! Një pikë tjetër e rëndësishme është t'i shkruajmë saktë dhe të mos ngatërrojmë ku e kemi kuptimin dhe ku është kuptimi! E ke shkruar? Tani le të krahasojmë gjithçka në rend:

Dhe përgjigjet: dhe. Bëni një kontroll - zëvendësoni rrënjët e gjetura në sistem dhe sigurohuni nëse e kemi zgjidhur saktë grafikisht?

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve jolineare

Po sikur, në vend të një drejtëze, të kemi një ekuacion kuadratik? është në rregull! Ju thjesht ndërtoni një parabolë në vend të një vije të drejtë! Nuk e besoj? Provoni të zgjidhni sistemin e mëposhtëm:

Cili është hapi ynë i ardhshëm? Është e drejtë, shkruajeni në mënyrë që të jetë e përshtatshme për ne të ndërtojmë grafikë:

Dhe tani gjithçka është çështje e gjërave të vogla - ndërtojeni shpejt dhe ja ku është zgjidhja juaj! Ne po ndërtojmë:

A dolën grafikët njësoj? Tani shënoni zgjidhjet e sistemit në figurë dhe shkruani saktë përgjigjet e identifikuara!

Unë kam bërë gjithçka? Krahasoni me shënimet e mia:

A është gjithçka në rregull? Te lumte! Tashmë po kryeni këto lloj detyrash si arra! Nëse po, le t'ju japim një sistem më të komplikuar:

Cfare po bejme? E drejtë! Ne e shkruajmë sistemin në mënyrë që të jetë i përshtatshëm për të ndërtuar:

Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël, pasi sistemi duket shumë i ndërlikuar! Kur ndërtoni grafikë, ndërtoni ato "më shumë", dhe më e rëndësishmja, mos u habitni nga numri i pikave të kryqëzimit.

Pra, le të shkojmë! Shfryrë? Tani filloni të ndërtoni!

Pra, si? E bukur? Sa pika kryqëzimi keni marrë? Unë kam tre! Le të krahasojmë grafikët tanë:

Gjithashtu? Tani shkruani me kujdes të gjitha zgjidhjet e sistemit tonë:

Tani shikoni përsëri sistemin:

Mund ta imagjinoni se e keni zgjidhur këtë në vetëm 15 minuta? Dakord, matematika është ende e thjeshtë, veçanërisht kur shikon një shprehje nuk ke frikë të bësh një gabim, por thjesht merre dhe zgjidhe! Ju jeni një djalë i madh!

Zgjidhja grafike e inekuacioneve

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve lineare

Pas shembullit të fundit, ju mund të bëni gjithçka! Tani merrni frymë - në krahasim me seksionet e mëparshme, kjo do të jetë shumë, shumë e lehtë!

Ne do të fillojmë, si zakonisht, me një zgjidhje grafike të një pabarazie lineare. Për shembull, ky:

Së pari, le të bëjmë transformimet më të thjeshta - hapni kllapat e katrorëve të përsosur dhe paraqisni terma të ngjashëm:

Pabarazia nuk është e rreptë, prandaj nuk përfshihet në interval, dhe zgjidhja do të jenë të gjitha pikat që janë në të djathtë, pasi më shumë, më shumë, e kështu me radhë:

Përgjigje:

Kjo eshte e gjitha! Lehtësisht? Le të zgjidhim një pabarazi të thjeshtë me dy ndryshore:

Le të vizatojmë një funksion në sistemin e koordinatave.

A keni marrë një orar të tillë? Tani le të shohim me kujdes se çfarë pabarazie kemi atje? Më pak? Kjo do të thotë që ne pikturojmë mbi gjithçka që është në të majtë të vijës sonë të drejtë. Po sikur të kishte më shumë? Kjo është e drejtë, atëherë ne do të pikturonim mbi gjithçka që është në të djathtë të vijës sonë të drejtë. Është e thjeshtë.

Të gjitha zgjidhjet e kësaj pabarazie janë të hijezuara në portokalli. Kaq, zgjidhet pabarazia me dy ndryshore. Kjo do të thotë se koordinatat e çdo pike nga zona e hijezuar janë zgjidhjet.

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve kuadratike

Tani do të kuptojmë se si të zgjidhim grafikisht pabarazitë kuadratike.

Por, para se të fillojmë me biznesin, le të shqyrtojmë disa materiale në lidhje me funksionin kuadratik.

Për çfarë është përgjegjës diskriminuesi? Kjo është e drejtë, për pozicionin e grafikut në lidhje me boshtin (nëse nuk e mbani mend këtë, atëherë lexoni patjetër teorinë për funksionet kuadratike).

Në çdo rast, këtu është një kujtesë e vogël për ju:

Tani që kemi rifreskuar të gjithë materialin në kujtesën tonë, le t'i drejtohemi punës - zgjidhim pabarazinë grafikisht.

Unë do t'ju them menjëherë se ka dy mundësi për ta zgjidhur atë.

opsioni 1

Ne shkruajmë parabolën tonë si funksion:

Duke përdorur formulat, ne përcaktojmë koordinatat e kulmit të parabolës (saktësisht njësoj si kur zgjidhim ekuacionet kuadratike):

A keni numëruar? Çfarë more?

Tani le të marrim dy pika të tjera të ndryshme dhe të llogarisim për to:

Le të fillojmë të ndërtojmë një degë të parabolës:

Ne pasqyrojmë në mënyrë simetrike pikat tona në një degë tjetër të parabolës:

Tani le të kthehemi te pabarazia jonë.

Na duhet që të jetë më pak se zero, përkatësisht:

Meqenëse në pabarazinë tonë shenja është rreptësisht më e vogël se, ne përjashtojmë pikat përfundimtare - "shpojmë".

Përgjigje:

Rrugë e gjatë, apo jo? Tani do t'ju tregoj një version më të thjeshtë të zgjidhjes grafike duke përdorur shembullin e të njëjtës pabarazi:

Opsioni 2

Ne i kthehemi pabarazisë sonë dhe shënojmë intervalet që na duhen:

Dakord, është shumë më shpejt.

Le të shkruajmë tani përgjigjen:

Le të shqyrtojmë një zgjidhje tjetër që thjeshton pjesën algjebrike, por gjëja kryesore është të mos ngatërrohemi.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Përpiquni ta zgjidhni vetë pabarazinë kuadratike të mëposhtme në çdo mënyrë që ju pëlqen: .

A ia dolët?

Shikoni si doli grafiku im:

Përgjigje: .

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve të përziera

Tani le të kalojmë te pabarazitë më komplekse!

Si ju pëlqen kjo:

Është e frikshme, apo jo? Sinqerisht, nuk e kam idenë se si ta zgjidh këtë në mënyrë algjebrike... Por nuk është e nevojshme. Grafikisht nuk ka asgjë të komplikuar për këtë! Sytë kanë frikë, por duart po bëjnë!

Gjëja e parë me të cilën do të fillojmë është duke ndërtuar dy grafikë:

Unë nuk do të shkruaj një tabelë për secilën prej tyre - jam i sigurt se mund ta bëni atë në mënyrë të përsosur vetë (wow, ka kaq shumë shembuj për të zgjidhur!).

E keni pikturuar? Tani ndërtoni dy grafikë.

Le të krahasojmë vizatimet tona?

A është e njëjta gjë me ju? E shkëlqyeshme! Tani le të rregullojmë pikat e kryqëzimit dhe të përdorim ngjyrën për të përcaktuar se cilin grafik duhet të kemi më të madh në teori, domethënë. Shikoni çfarë ndodhi në fund:

Tani le të shohim se ku grafiku ynë i zgjedhur është më i lartë se grafiku? Mos ngurroni të merrni një laps dhe të lyeni këtë zonë! Ajo do të jetë zgjidhja e pabarazisë sonë komplekse!

Në cilat intervale përgjatë boshtit ndodhemi më lart se? E drejta,. Kjo është përgjigja!

Epo, tani mund të trajtoni çdo ekuacion, çdo sistem dhe aq më tepër çdo pabarazi!

SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur grafikët e funksionit:

1. Le ta shprehim përmes
2. Le të përcaktojmë llojin e funksionit
3. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve që rezultojnë
4. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve
5. Le ta shkruajmë saktë përgjigjen (duke marrë parasysh ODZ dhe shenjat e pabarazisë)
6. Le të kontrollojmë përgjigjen (zëvendësojmë rrënjët në ekuacion ose sistem)

Për më shumë informacion rreth ndërtimit të grafikëve të funksioneve, shihni temën "".

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 899 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Përshëndetje. Në këtë artikull do të përpiqem t'ju tregoj mënyrat e mundshme zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur grafikët.

Le të themi se duhet të zgjidhim ekuacionin x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0. Duke përdorur këtë shembull, do të shikojmë opsionet për zgjidhjen grafike të ekuacionit kuadratik.

1) Ekuacionin tonë mund ta paraqesim në formën x 2 = 2x + 3. Më pas, le të ndërtojmë grafikët e funksioneve y = x 2 dhe y = 2x + 3 në të njëjtin sistem koordinativ. Grafiku y = x 2 është paraqitur në figurën 1. , dhe të dy grafikët në figurën 2.

Foto 1 Figura 2

Grafikët kryqëzohen në dy pika, ekuacioni ynë ka një zgjidhje x = – 1 dhe x = 3.

2) Por ju mund ta paraqisni ekuacionin në një mënyrë tjetër, për shembull, x 2 ‒ 2x = 3 dhe të ndërtoni grafikë të funksioneve y = x 2 ‒ 2x dhe y = 3 në një sistem koordinativ. Mund t'i shihni në figurat 3 dhe 4. Figura 3 tregon grafikun y = x 2 ‒ 2x, dhe Figura 4 tregon të dy grafikët y = x 2 ‒ 2x dhe y = 3.

Figura 3 Figura 4

Siç e shohim, edhe këta dy grafikë kryqëzohen në dy pika, ku x = -1 dhe x = 3. Kjo do të thotë përgjigje: - 1; 3.

3) Ekziston një mundësi tjetër për paraqitjen e këtij ekuacioni x 2 ‒ 3 = 2x. Dhe përsëri ndërtojmë grafikë të funksioneve y = x 2 ‒ 3 dhe y = 2x në të njëjtin sistem koordinativ. y i parë = x 2 ‒ 3 në figurën 5 dhe të dy grafikët në figurën 6.

Figura 5 Figura 6

Përgjigje: - 1; 3.

4) Mund të ndërtoni një parabolë y = x 2 ‒ 2x ‒ 3.

Kulmi i parabolës x 0 = - b/2a = 2/2=1, y 0 = 1 2 ‒ 2 1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Kjo është pika (1; ‒ 4). Atëherë parabola jonë është simetrike në lidhje me drejtëzën x =1. Nëse marrim dy pika simetrike në lidhje me drejtëzën x = 1, për shembull: x = - 2 dhe x = 4, atëherë fitojmë dy pika nëpër të cilat kalojnë degët e grafikut.

Nëse x = -2, atëherë y =(- 2) 2 ‒ 2(-2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5.

Në mënyrë të ngjashme x = 4, y = 4 2 ‒ 2 · 4 ‒ 3 = 16 – 8 – 3 = 5. Pikat që rezultojnë janë (-2; 5); (1; 4) dhe (4; 5) shënojmë në aeroplan dhe vizatojmë një parabolë, Figura 7.

Figura 7

Parabola pret boshtin x në pikat 1 dhe 3. Këto janë rrënjët e ekuacionit x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0.

Përgjigje: - 1 dhe 3.

5) Dhe mund të izoloni katrorin e binomit:

x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0

(x 2 ‒ 2x + 1) ‒ 1 ‒ 3= 0

(x -1) 2 - 4 = 0

Më pas ndërtoni grafikët e funksioneve y = (x - 1) 2 dhe y = 4 në një sistem koordinativ. Grafiku i parë është y = (x - 1) 2 në figurën 8, dhe të dy grafikët janë y = (x - 1) 2 dhe y = 4 në figurën 9.

Figura 8 Figura 9

Ata gjithashtu kryqëzohen në dy pika, në të cilat x = -1, x = 3.

Përgjigje: - 1; 3.

6) Meqenëse x = 0 nuk është rrënja e ekuacionit x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 (përndryshe do të ishte barazia 0 2 – 2 0 –3 = 0), atëherë të gjithë termat e ekuacionit mund të pjesëtohen me x. Si rezultat, marrim ekuacionin x – 2 – 3/x = 0. Le të lëvizim 3/x në të djathtë dhe të marrim ekuacionin x – 2 = 3/x Më pas mund të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = 3/x dhe y = x – 2 në një sistem koordinativ .

Figura 10 tregon një grafik të funksionit y = 3/x, dhe Figura 11 tregon të dy grafikët e funksioneve y = 3/x dhe y = x – 2.

Figura 10 Figura 11

Ata gjithashtu kryqëzohen në dy pika, në të cilat x = -1, x = 3.

Përgjigje: - 1; 3.

Nëse keni qenë të vëmendshëm, do të keni vënë re se sido që ta paraqisni ekuacionin si dy funksione, gjithmonë do të keni të njëjtën përgjigje (natyrisht, nuk do të bëni gabime kur transferoni shprehjet nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën. dhe gjatë ndërtimit të grafikëve). Prandaj, kur zgjidhni një ekuacion grafikisht, zgjidhni metodën e paraqitjes së funksioneve grafike që janë më të lehta për t'u ndërtuar. Dhe një shënim tjetër: nëse rrënjët e ekuacionit nuk janë numra të plotë, atëherë përgjigja nuk do të jetë e saktë.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Ekuacionet kuadratike i keni hasur tashmë në lëndën e algjebrës së klasës së 7-të. Kujtojmë se një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a, b, c janë çdo numër (koeficient) dhe a . Duke përdorur njohuritë tona për disa funksione dhe grafikët e tyre, tani jemi në gjendje, pa pritur një studim sistematik të temës “Ekuacionet kuadratike”, të zgjidhim disa ekuacione kuadratike dhe në mënyra të ndryshme; Ne do t'i shqyrtojmë këto metoda duke përdorur shembullin e një ekuacioni kuadratik.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin x 2 - 2x - 3 = 0.
Zgjidhje.
Metoda I . Le të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 2 - 2x - 3, duke përdorur algoritmin nga § 13:

1) Kemi: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Kjo do të thotë se kulmi i parabolës është pika (1; -4), dhe boshti i parabolës është drejtëza x = 1.

2) Merrni dy pika në boshtin x që janë simetrike rreth boshtit të parabolës, për shembull pikat x = -1 dhe x = 3.

Kemi f(-1) = f(3) = 0. Të ndërtojmë pikat (-1; 0) dhe (3; 0) në planin koordinativ.

3) Nëpër pikat (-1; 0), (1; -4), (3; 0) vizatojmë një parabolë (Fig. 68).

Rrënjët e ekuacionit x 2 - 2x - 3 = 0 janë abshisat e pikave të prerjes së parabolës me boshtin x; Kjo do të thotë se rrënjët e ekuacionit janë: x 1 = - 1, x 2 - 3.

Metoda II. Le ta shndërrojmë ekuacionin në formën x 2 = 2x + 3. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve y - x 2 dhe y = 2x + 3 në një sistem koordinativ (Fig. 69). Ato kryqëzohen në dy pika A(- 1; 1) dhe B(3; 9). Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave A dhe B, që do të thotë x 1 = - 1, x 2 - 3.

Metoda III . Le ta transformojmë ekuacionin në formën x 2 - 3 = 2x. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve y = x 2 - 3 dhe y = 2x në një sistem koordinativ (Fig. 70). Ata kryqëzohen në dy pika A (-1; - 2) dhe B (3; 6). Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave A dhe B, pra x 1 = - 1, x 2 = 3.

Metoda IV. Le ta transformojmë ekuacionin në formën x 2 -2x 4-1-4 = 0
dhe në vazhdim
x 2 - 2x + 1 = 4, d.m.th. (x - IJ = 4.
Le të ndërtojmë një parabolë y = (x - 1) 2 dhe një drejtëz y = 4 në një sistem koordinativ (Fig. 71). Ato kryqëzohen në dy pika A(-1; 4) dhe B(3; 4). Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave A dhe B, pra x 1 = -1, x 2 = 3.

Metoda V. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me x term me term, marrim

Le të ndërtojmë një hiperbolë dhe një drejtëz y = x - 2 në një sistem koordinativ (Fig. 72).

Ata kryqëzohen në dy pika A (-1; -3) dhe B (3; 1). Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave A dhe B, pra, x 1 = - 1, x 2 = 3.

Pra, ekuacionin kuadratik x 2 - 2x - 3 = 0 e zgjidhëm grafikisht në pesë mënyra. Le të analizojmë thelbin e këtyre metodave.

Metoda I Ndërtoni një grafik të funksionit në pikën e prerjes së tij me boshtin x.

Metoda II. Shndërroni ekuacionin në formën ax 2 = -bx - c, ndërtoni një parabolë y = sëpatë 2 dhe një drejtëz y = -bx - c, gjeni pikat e tyre të kryqëzimit (rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave të kryqëzimit , nëse, sigurisht, ka).

Metoda III. Shndërroje ekuacionin në formën ax 2 + c = - bx, ndërto një parabolë y - ax 2 + c dhe një drejtëz y = -bx (ajo kalon nëpër origjinë); gjeni pikat e tyre të kryqëzimit.

Metoda IV. Duke përdorur metodën e izolimit të një katrori të plotë, transformoni ekuacionin në formë

Ndërtoni një parabolë y = a (x + I) 2 dhe një drejtëz y = - m, paralele me boshtin x; gjeni pikat e kryqëzimit të një parabole dhe një drejtëze.

Metoda V. Shndërroni ekuacionin në formë

Ndërtoni një hiperbolë (kjo është një hiperbolë me kusht që) dhe drejtëzën y ​​= - ax - b; gjeni pikat e tyre të kryqëzimit.

Vini re se katër metodat e para janë të zbatueshme për çdo ekuacion të formës ax 2 + bx + c = 0, dhe e pesta - vetëm për ato me c. Në praktikë, ju mund të zgjidhni metodën që duket më e përshtatshme për ekuacionin e dhënë ose që ju pëlqen (ose e kuptoni) më shumë.

Koment . Pavarësisht nga mënyrat e shumta për të zgjidhur grafikisht ekuacionet kuadratike, ne kemi besim se çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet
Mund ta zgjidhim grafikisht, jo. Le të, për shembull, duhet të zgjidhni ekuacionin x 2 - x - 3 = 0 (le të marrim në mënyrë specifike një ekuacion të ngjashëm me atë që ishte në
shembull i konsideruar). Le të përpiqemi ta zgjidhim, për shembull, në mënyrën e dytë: transformoni ekuacionin në formën x 2 = x + 3, ndërtoni një parabolë y = x 2 dhe
drejtëz y = x + 3, ato kryqëzohen në pikat A dhe B (Fig. 73), që do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë. Por me çfarë barazohen këto rrënjë, ne, me ndihmën e një vizatimi,
Nuk mund të themi - pikat A dhe B nuk kanë koordinata të tilla "të mira" si në shembullin e mësipërm. Tani merrni parasysh ekuacionin
x 2 - 16x - 95 = 0. Le të përpiqemi ta zgjidhim, të themi, në mënyrën e tretë. Le ta transformojmë ekuacionin në formën x 2 - 95 = 16x. Këtu duhet të ndërtojmë një parabolë
y = x 2 - 95 dhe drejtëz y = 16x. Por madhësia e kufizuar e fletës së fletores nuk e lejon këtë, sepse parabola y = x 2 duhet të ulet 95 qeliza poshtë.

Pra, metodat grafike për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik janë të bukura dhe të këndshme, por ato nuk ofrojnë një garanci njëqind për qind për zgjidhjen e ndonjë ekuacioni kuadratik. Këtë do ta kemi parasysh në të ardhmen.

>>Matematika: Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Le të përmbledhim njohuritë tona rreth grafikët funksione. Ne kemi mësuar se si të ndërtojmë grafikë të funksioneve të mëposhtme:

y =b (vijë e drejtë paralele me boshtin x);

y = kx (vija që kalon nga origjina);

y - kx + m (vijë e drejtë);

y = x 2 (parabolë).

Njohja e këtyre grafikëve do të na lejojë, nëse është e nevojshme, të zëvendësojmë analitikën model gjeometrike (grafike), për shembull, në vend të modelit y = x 2 (i cili përfaqëson një barazi me dy ndryshore x dhe y), merrni parasysh një parabolë në planin koordinativ. Në veçanti, ndonjëherë është i dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve. Le të diskutojmë se si bëhet kjo duke përdorur disa shembuj.

A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore

Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime pyetje diskutimi për detyra shtëpie pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendarik për vitin, rekomandimet metodologjike, programi i diskutimit Mësime të integruara

Në këtë video-mësim ofrohet për studim tema “Funksioni y=x 2”. Zgjidhja grafike e ekuacioneve." Gjatë kësaj ore, nxënësit do të mund të njihen me një mënyrë të re të zgjidhjes së ekuacioneve - grafikisht, e cila bazohet në njohuritë e vetive të grafikëve të funksioneve. Mësuesi/ja do të tregojë se si zgjidhet grafikisht funksioni y=x 2.

Tema:Funksioni

Mësim:Funksioni. Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Zgjidhja grafike e ekuacioneve bazohet në njohuritë për grafikët e funksioneve dhe vetitë e tyre. Le të rendisim funksionet, grafikët e të cilëve dimë:

1), grafiku është një vijë e drejtë paralele me boshtin e abshisës, që kalon nëpër një pikë në boshtin e ordinatave. Le të shohim një shembull: y=1:

Për vlera të ndryshme, marrim një familje të drejtëzave paralele me boshtin x.

2) Funksioni i proporcionalitetit të drejtë, grafiku i këtij funksioni është një vijë e drejtë që kalon nga origjina e koordinatave. Le të shohim një shembull:

Këta grafikë i kemi ndërtuar tashmë në mësimet e mëparshme; kujtoni se për të ndërtuar çdo rresht, duhet të zgjidhni një pikë që e plotëson atë dhe të merrni origjinën e koordinatave si pikën e dytë.

Le të kujtojmë rolin e koeficientit k: me rritjen e funksionit, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe drejtimit pozitiv të boshtit x është i mprehtë; kur funksioni zvogëlohet, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe drejtimit pozitiv të boshtit x është i mpirë. Përveç kësaj, ekziston marrëdhënia e mëposhtme midis dy parametrave k të së njëjtës shenjë: për k pozitiv, sa më i madh të jetë, aq më shpejt rritet funksioni, dhe për ato negative, funksioni zvogëlohet më shpejt për vlera të mëdha të k në vlerë absolute. .

3) Funksioni linear. Kur - marrim pikën e prerjes me boshtin e ordinatave dhe të gjitha drejtëzat e këtij lloji kalojnë nëpër pikën (0; m). Përveç kësaj, me rritjen e funksionit, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe drejtimit pozitiv të boshtit x është akut; kur funksioni zvogëlohet, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe drejtimit pozitiv të boshtit x është i mpirë. Dhe sigurisht vlera e k ndikon në shpejtësinë e ndryshimit të vlerës së funksionit.

4). Grafiku i këtij funksioni është një parabolë.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 1 - Zgjidheni ekuacionin grafikisht:

Ne nuk njohim funksione të këtij lloji, kështu që duhet të transformojmë ekuacionin e dhënë për të punuar me funksionet e njohura:

Ne marrim funksione të njohura në të dy anët e ekuacionit:

Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Grafikët kanë dy pika kryqëzimi: (-1; 1); (2; 4)

Le të kontrollojmë nëse zgjidhja është gjetur saktë dhe të zëvendësojmë koordinatat në ekuacionin:

Pika e parë u gjet saktë.

, , , , , ,

Pika e dytë gjithashtu u gjet saktë.

Pra, zgjidhjet e ekuacionit janë dhe

Ne vazhdojmë në mënyrë të ngjashme me shembullin e mëparshëm: e transformojmë ekuacionin e dhënë në funksione të njohura për ne, ndërtojmë grafikët e tyre, gjejmë rrymat e kryqëzimit dhe prej këtu tregojmë zgjidhjet.

Ne marrim dy funksione:

Le të ndërtojmë grafikët:

Këta grafikë nuk kanë pika kryqëzimi, që do të thotë se ekuacioni i dhënë nuk ka zgjidhje

Përfundim: në këtë mësim ne rishikuam funksionet dhe grafikët e tyre të njohur, kujtuam vetitë e tyre dhe shikuam metodën grafike të zgjidhjes së ekuacioneve.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dhe të tjera.Algjebra 7. Botimi i 6-të. M.: Iluminizmi. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algjebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dhe të tjera.Algjebra 7.M.: Iluminizmi. 2006

Detyra 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dhe të tjera Algjebra 7, Nr.494, Arti 110;

Detyra 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dhe të tjera Algjebra 7, Nr.495, Arti 110;

Detyra 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dhe të tjera Algjebra 7, Nr.496, Arti 110;