Todas as fórmulas para equações quadráticas. Equações quadráticas

Renovação de casa

A transformação de uma equação quadrática completa em uma incompleta é assim (para o caso \(b=0\)):

Para os casos em que \(c=0\) ou quando ambos os coeficientes são iguais a zero, tudo é semelhante.

Observe que não há questão de \(a\) ser igual a zero, não pode ser igual a zero, pois neste caso se transformará em:

Resolvendo equações quadráticas incompletas.

Primeiro de tudo, você precisa entender que uma equação quadrática incompleta ainda é um e, portanto, pode ser resolvida da mesma forma que uma equação quadrática ordinária (via). Para fazer isso, simplesmente adicionamos o componente que falta na equação com um coeficiente zero. Exemplo
: Encontre as raízes da equação \(3x^2-27=0\) :

		Solução
Temos uma equação quadrática incompleta com coeficiente \(b=0\). Ou seja, podemos escrever a equação da seguinte forma:		\(3x^2+0\cponto x-27=0\)
Na verdade, esta é a mesma equação do início, mas agora pode ser resolvida como uma equação quadrática ordinária. Primeiro escrevemos os coeficientes.		\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)
Vamos calcular o discriminante usando a fórmula \(D=b^2-4ac\) \(=0+324=324\)		\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) Vamos encontrar as raízes da equação usando as fórmulas
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) e \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) \(x_(1)=\)\(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\) \(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\)\(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)		\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)

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Primeiro de tudo, você precisa entender que uma equação quadrática incompleta ainda é um e, portanto, pode ser resolvida da mesma forma que uma equação quadrática ordinária (via). Para fazer isso, simplesmente adicionamos o componente que falta na equação com um coeficiente zero. : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
: Encontre as raízes da equação \(3x^2-27=0\) :

		: Encontre as raízes da equação \(-x^2+x=0\)

Novamente uma equação quadrática incompleta, mas agora o coeficiente \(c\) é igual a zero. Escrevemos a equação como completa. freqüentemente aparecem ao resolver vários problemas de física e matemática. Neste artigo veremos como resolver essas igualdades de forma universal “através de um discriminante”. Exemplos de utilização dos conhecimentos adquiridos também são apresentados no artigo.

De quais equações estaremos falando?

A figura abaixo mostra uma fórmula na qual x é uma variável desconhecida e os símbolos latinos a, b, c representam alguns números conhecidos.

Cada um desses símbolos é chamado de coeficiente. Como você pode ver, o número “a” aparece antes da variável x ao quadrado. Esta é a potência máxima da expressão representada, por isso é chamada de equação quadrática. Seu outro nome é frequentemente usado: equação de segunda ordem. O próprio valor a é um coeficiente quadrado (com a variável ao quadrado), b é um coeficiente linear (está próximo à variável elevada à primeira potência) e, finalmente, o número c é o termo livre.

Observe que o tipo de equação mostrada na figura acima é uma expressão quadrática clássica geral. Além dela, existem outras equações de segunda ordem nas quais os coeficientes b e c podem ser zero.

Quando a tarefa é resolver a igualdade em questão, isso significa que é necessário encontrar os valores da variável x que a satisfaçam. Aqui, a primeira coisa que você precisa lembrar é o seguinte: como o grau máximo de X é 2, então este tipo expressões não podem ter mais de 2 soluções. Isso significa que se, ao resolver uma equação, fossem encontrados 2 valores de x que a satisfaçam, então você pode ter certeza de que não existe um 3º número, substituindo-o por x, a igualdade também seria verdadeira. As soluções para uma equação em matemática são chamadas de raízes.

Métodos para resolver equações de segunda ordem

Resolver equações deste tipo requer conhecimento de alguma teoria sobre elas. No curso escolar de álgebra eles consideram 4 vários métodos soluções. Vamos listá-los:

• usando fatoração;
• usando a fórmula do quadrado perfeito;
• aplicando o gráfico da função quadrática correspondente;
• usando a equação discriminante.

A vantagem do primeiro método é a sua simplicidade, porém não pode ser utilizado para todas as equações; O segundo método é universal, mas um tanto complicado. O terceiro método distingue-se pela sua clareza, mas nem sempre é conveniente e aplicável. E, finalmente, usar a equação discriminante é uma maneira universal e bastante simples de encontrar as raízes de absolutamente qualquer equação de segunda ordem. Portanto, neste artigo consideraremos apenas isso.

Fórmula para obter as raízes da equação

Vamos nos voltar para a forma geral da equação quadrática. Vamos anotar: a*x²+ b*x + c =0. Antes de usar o método de resolvê-lo “através de um discriminante”, você deve sempre trazer a igualdade para a sua forma escrita. Ou seja, deve consistir em três termos (ou menos se b ou c for 0).

Por exemplo, se houver uma expressão: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², então você deve primeiro mover todos os seus termos para um lado da igualdade e adicionar os termos que contêm a variável x na mesmos poderes.

Neste caso, esta operação levará à seguinte expressão: -6*x²-4*x+8=0, que equivale à equação 6*x²+4*x-8=0 (aqui multiplicamos os valores esquerdo e lados direitos da igualdade por -1).

No exemplo acima, a = 6, b=4, c=-8. Observe que todos os termos da igualdade em consideração são sempre somados, portanto, se o sinal “-” aparecer, significa que o coeficiente correspondente é negativo, como o número c neste caso.

Examinado este ponto, passemos agora à própria fórmula, que permite obter as raízes de uma equação quadrática. Parece com o mostrado na foto abaixo.

Como pode ser visto nesta expressão, ela permite obter duas raízes (preste atenção ao sinal “±”). Para isso, basta substituir nele os coeficientes b, c e a.

O conceito de discriminante

No parágrafo anterior foi fornecida uma fórmula que permite resolver rapidamente qualquer equação de segunda ordem. Nele, a expressão radical é chamada de discriminante, ou seja, D = b²-4*a*c.

Por que esta parte da fórmula é destacada e por que ainda tem nome próprio? O fato é que o discriminante conecta todos os três coeficientes da equação em uma única expressão. Este último fato significa que carrega completamente informações sobre as raízes, que podem ser expressas na lista a seguir:

1. D>0: igualdade tem 2 várias soluções, sendo que ambos são números reais.
2. D=0: A equação tem apenas uma raiz e é um número real.

Tarefa de determinação discriminante

Vamos dar um exemplo simples de como encontrar um discriminante. Seja dada a seguinte igualdade: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Vamos trazê-lo para visualização padrão, obtemos: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, de onde chegamos à igualdade: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Aqui a=-2, b=2, c=-11.

Agora você pode usar a fórmula acima para o discriminante: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. O número resultante é a resposta à tarefa. Como o discriminante no exemplo é menor que zero, podemos dizer que esta equação quadrática não possui raízes reais. Sua solução serão apenas números do tipo complexo.

Um exemplo de desigualdade através de um discriminante

Vamos resolver problemas de um tipo um pouco diferente: dada a igualdade -3*x²-6*x+c = 0. É necessário encontrar valores de c para os quais D>0.

Neste caso, apenas 2 dos 3 coeficientes são conhecidos, pelo que não é possível calcular o valor exato do discriminante, mas sabe-se que é positivo. Utilizamos o último fato na composição da desigualdade: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Resolver a desigualdade resultante leva ao resultado: c>-3.

Vamos verificar o número resultante. Para fazer isso, calculamos D para 2 casos: c=-2 e c=-4. O número -2 satisfaz o resultado obtido (-2>-3), o discriminante correspondente terá o valor: D = 12>0. Por sua vez, o número -4 não satisfaz a desigualdade (-4. Assim, quaisquer números c maiores que -3 satisfarão a condição.

Um exemplo de resolução de uma equação

Vamos apresentar um problema que envolve não apenas encontrar o discriminante, mas também resolver a equação. É necessário encontrar as raízes da igualdade -2*x²+7-9*x = 0.

Neste exemplo, o discriminante é igual ao seguinte valor: D = 81-4*(-2)*7= 137. Então as raízes da equação são determinadas da seguinte forma: x = (9±√137)/(- 4). Estes são os valores exatos das raízes; se você calcular a raiz aproximadamente, obterá os números: x = -5,176 e x = 0,676.

Problema geométrico

Vamos resolver um problema que exigirá não apenas a capacidade de calcular o discriminante, mas também o uso de habilidades de pensamento abstrato e conhecimento de como escrever equações quadráticas.

Bob tinha um edredom de 5 x 4 metros. O menino queria costurar uma tira contínua de tecido bonito em todo o perímetro. Qual será a espessura dessa tira se soubermos que Bob tem 10 m² de tecido.

Deixe a tira ter espessura de x m, então a área do tecido ao longo do lado comprido da manta será (5+2*x)*x, e como são 2 lados longos, temos: 2*x *(5+2*x). No lado curto, a área do tecido costurado será 4*x, como existem 2 desses lados, obtemos o valor 8*x. Observe que 2*x foi adicionado ao lado comprido porque o comprimento da manta aumentou nesse número. A área total do tecido costurado na manta é de 10 m². Portanto, obtemos a igualdade: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Para este exemplo, o discriminante é igual a: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Sua raiz é 22. Usando a fórmula, encontramos as raízes necessárias: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Obviamente, das duas raízes, apenas o número 0,5 é adequado de acordo com as condições do problema.

Assim, a tira de tecido que Bob costura em sua manta terá 50 cm de largura.

O uso de equações é muito difundido em nossas vidas. São utilizados em diversos cálculos, construção de estruturas e até esportes. O homem usava equações nos tempos antigos e, desde então, seu uso só aumentou. O discriminante permite resolver qualquer equação quadrática usando uma fórmula geral, que tem a seguinte forma:

A fórmula discriminante depende do grau do polinômio. A fórmula acima é adequada para resolver equações quadráticas da seguinte forma:

O discriminante tem seguintes propriedades coisas que você precisa saber:

* "D" é 0 quando o polinômio tem múltiplas raízes ( raízes iguais);

* "D" é um polinômio simétrico em relação às raízes do polinômio e é, portanto, um polinômio em seus coeficientes; além disso, os coeficientes deste polinômio são inteiros, independentemente da extensão em que as raízes são obtidas.

Digamos que recebamos uma equação quadrática da seguinte forma:

1 equação

Pela fórmula temos:

Como \, a equação tem 2 raízes. Vamos defini-los:

Onde posso resolver uma equação usando um solucionador online discriminante?

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Vamos trabalhar com equações quadráticas. Estas são equações muito populares! No próprio visão geral a equação quadrática fica assim:

Por exemplo:

Aqui UM =1; b = 3; c = -4

Aqui UM =2; b = -0,5; c = 2,2

Aqui UM =-3; b = 6; c = -18

Bem, você entende...

Como resolver equações quadráticas? Se você tiver uma equação quadrática nesta forma, tudo será simples. Lembre-se da palavra mágica discriminante . Raramente um estudante do ensino médio não ouviu essa palavra! A frase “resolvemos através de um discriminante” inspira confiança e segurança. Porque não há necessidade de esperar truques do discriminador! É simples e sem problemas de usar. Portanto, a fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática é assim:

A expressão sob o sinal da raiz é aquela discriminante. Como você pode ver, para encontrar X, usamos apenas a, b e c. Aqueles. coeficientes de uma equação quadrática. Apenas substitua cuidadosamente os valores a, b e c Esta é a fórmula que calculamos. Vamos substituir com seus próprios sinais! Por exemplo, para a primeira equação UM =1; b = 3; c= -4. Aqui nós anotamos:

O exemplo está quase resolvido:

É isso.

Que casos são possíveis ao usar esta fórmula? Existem apenas três casos.

1. O discriminante é positivo. Isso significa que a raiz pode ser extraída dele. Se a raiz é extraída bem ou mal é uma questão diferente. O que importa é o que é extraído em princípio. Então sua equação quadrática tem duas raízes. Duas soluções diferentes.

2. O discriminante é zero. Então você tem uma solução. Estritamente falando, esta não é uma raiz, mas dois idênticos. Mas isto desempenha um papel nas desigualdades, onde estudaremos a questão com mais detalhes.

3. O discriminante é negativo. De um número negativo raiz quadrada não extraído. Ah bem. Isso significa que não há soluções.

É muito simples. E o quê, você acha que é impossível cometer um erro? Bem, sim, como...
Os erros mais comuns são confusão com valores de sinais a, b e c. Ou melhor, não com seus sinais (onde se confundir?), mas com a substituição de valores negativos na fórmula de cálculo das raízes. O que ajuda aqui é um registro detalhado da fórmula com números específicos. Se houver problemas com cálculos, faça isso!

Suponha que precisemos resolver o seguinte exemplo:

Aqui uma = -6; b = -5; c = -1

Digamos que você saiba que raramente obtém respostas na primeira vez.

Bem, não seja preguiçoso. Levará cerca de 30 segundos para escrever uma linha extra e o número de erros. diminuirá drasticamente. Então escrevemos detalhadamente, com todos os colchetes e sinais:

Parece incrivelmente difícil escrever com tanto cuidado. Mas só parece assim. Experimente. Bem, ou escolha. O que é melhor, rápido ou certo? Além disso, vou te fazer feliz. Depois de um tempo, não haverá necessidade de anotar tudo com tanto cuidado. Vai funcionar sozinho. Especialmente se você usar técnicas práticas descritas abaixo. Este exemplo maligno com um monte de desvantagens pode ser resolvido facilmente e sem erros!

Então, como resolver equações quadráticas através do discriminante que lembramos. Ou aprenderam, o que também é bom. Você sabe como determinar corretamente a, b e c. Você sabe como? atentamente substitua-os na fórmula raiz e atentamente conte o resultado. Você entendeu isso palavra-chave Aqui - atentamente?

No entanto, as equações quadráticas muitas vezes parecem um pouco diferentes. Por exemplo, assim:

Esse equações quadráticas incompletas . Eles também podem ser resolvidos através de um discriminante. Você só precisa entender corretamente a que eles são iguais aqui. a, b e c.

Você já descobriu? No primeiro exemplo uma = 1; b = -4; UM c? Não está lá de jeito nenhum! Bem, sim, está certo. Em matemática isso significa que c = 0 ! É isso. Substitua zero na fórmula c, e teremos sucesso. O mesmo com o segundo exemplo. Só que não temos zero aqui Com, Um b !

Mas equações quadráticas incompletas podem ser resolvidas de forma muito mais simples. Sem qualquer discriminação. Vamos considerar o primeiro equação incompleta. O que você pode fazer no lado esquerdo? Você pode tirar X dos colchetes! Vamos tirar isso.

Então, e daí? E o fato de que o produto é igual a zero se e somente se algum dos fatores for igual a zero! Não acredite em mim? Ok, então encontre dois números diferentes de zero que, quando multiplicados, darão zero!
Não funciona? É isso...
Portanto, podemos escrever com segurança: x = 0, ou x = 4

Todos. Estas serão as raízes da nossa equação. Ambos são adequados. Ao substituir qualquer um deles na equação original, obtemos a identidade correta 0 = 0. Como você pode ver, a solução é muito mais simples do que usar um discriminante.

A segunda equação também pode ser resolvida de forma simples. Mova 9 para o lado direito. Nós obtemos:

Só falta extrair a raiz de 9 e pronto. Acontecerá:

Também duas raízes . x = +3 e x = -3.

É assim que todas as equações quadráticas incompletas são resolvidas. Colocando X entre colchetes ou simplesmente movendo o número para a direita e extraindo a raiz.
É extremamente difícil confundir essas técnicas. Simplesmente porque no primeiro caso você terá que extrair a raiz de X, o que é um tanto incompreensível, e no segundo caso não há o que tirar dos colchetes...

Agora observe as técnicas práticas que reduzem drasticamente o número de erros. Os mesmos que se devem à desatenção... Pelo que depois se torna doloroso e ofensivo...

Primeira consulta. Não seja preguiçoso antes de resolver uma equação quadrática e trazê-la para a forma padrão. O que isto significa?
Digamos que depois de todas as transformações você obtenha a seguinte equação:

Não se apresse em escrever a fórmula raiz! É quase certo que você confundirá as probabilidades a, b e c. Construa o exemplo corretamente. Primeiro, X ao quadrado, depois sem quadrado e depois o termo livre. Assim:

E novamente, não tenha pressa! Um sinal de menos na frente de um X ao quadrado pode realmente incomodar você. É fácil esquecer... Livre-se do sinal de menos. Como? Sim, conforme ensinado no tópico anterior! Precisamos multiplicar a equação inteira por -1. Nós obtemos:

Mas agora você pode escrever com segurança a fórmula das raízes, calcular o discriminante e terminar de resolver o exemplo. Decida por si mesmo. Agora você deve ter raízes 2 e -1.

Recepção em segundo lugar. Verifique as raízes! De acordo com o teorema de Vieta. Não se assuste, vou explicar tudo! Verificando durar equação. Aqueles. aquele que usamos para escrever a fórmula raiz. Se (como neste exemplo) o coeficiente uma = 1, verificar as raízes é fácil. Basta multiplicá-los. O resultado deve ser um membro gratuito, ou seja, no nosso caso -2. Observe, não 2, mas -2! Membro gratuito com seu signo . Se não der certo, significa que eles já erraram em algum lugar. Procure o erro. Se funcionar, você precisa adicionar as raízes. Última e última verificação. O coeficiente deve ser b Com oposto familiar. No nosso caso -1+2 = +1. Um coeficiente b, que está antes de X, é igual a -1. Então, está tudo correto!
É uma pena que isto seja tão simples apenas para exemplos onde x ao quadrado é puro, com um coeficiente uma = 1. Mas pelo menos verifique essas equações! Todos menos erros vai.

Terceira recepção. Se a sua equação tiver coeficientes fracionários, livre-se das frações! Multiplique a equação por denominador comum, conforme descrito na seção anterior. Ao trabalhar com frações, erros continuam aparecendo por algum motivo...

A propósito, prometi simplificar o exemplo maligno com um monte de desvantagens. Por favor! Aqui está ele.

Para não nos confundirmos com os pontos negativos, multiplicamos a equação por -1. Nós obtemos:

É isso! Resolver é um prazer!

Então, vamos resumir o assunto.

Conselhos práticos:

1. Antes de resolver, trazemos a equação quadrática para a forma padrão e construímos Certo.

2. Se houver um coeficiente negativo na frente de X ao quadrado, eliminamos-o multiplicando toda a equação por -1.

3. Se os coeficientes forem fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação pelo fator correspondente.

4. Se x ao quadrado for puro, seu coeficiente é igual a um, a solução pode ser facilmente verificada usando o teorema de Vieta. Faça isso!

Equações fracionárias. ODZ.

Continuamos a dominar as equações. Já sabemos trabalhar com equações lineares e quadráticas. A última vista restante - equações fracionárias. Ou eles também são chamados de forma muito mais respeitável - equações racionais fracionárias. É a mesma coisa.

Equações fracionárias.

Como o nome indica, essas equações contêm necessariamente frações. Mas não apenas frações, mas frações que têm desconhecido no denominador. Pelo menos em um. Por exemplo:

Deixe-me lembrá-lo de que se os denominadores forem apenas números, Esse equações lineares.

Como decidir equações fracionárias? Em primeiro lugar, livre-se das frações! Depois disso, a equação geralmente se transforma em linear ou quadrática. E então sabemos o que fazer... Em alguns casos pode se transformar em uma identidade, como 5=5 ou em uma expressão incorreta, como 7=2. Mas isso raramente acontece. Mencionarei isso abaixo.

Mas como se livrar das frações!? Muito simples. Aplicando as mesmas transformações idênticas.

Precisamos multiplicar a equação inteira pela mesma expressão. Para que todos os denominadores sejam reduzidos! Tudo ficará imediatamente mais fácil. Deixe-me explicar com um exemplo. Suponha que precisemos resolver a equação:

Como você foi ensinado no ensino fundamental? Movemos tudo para um lado, trazemos para um denominador comum, etc. Esqueça como sonho ruim! Isso é o que você precisa fazer ao adicionar ou subtrair frações. Ou você trabalha com desigualdades. E nas equações, multiplicamos imediatamente ambos os lados por uma expressão que nos dará a oportunidade de reduzir todos os denominadores (ou seja, em essência, por um denominador comum). E qual é essa expressão?

No lado esquerdo, reduzir o denominador requer multiplicar por x+2. E à direita, é necessária a multiplicação por 2. Isso significa que a equação deve ser multiplicada por. 2(x+2). Multiplicar:

Esta é uma multiplicação comum de frações, mas vou descrevê-la em detalhes:

Observe que ainda não estou abrindo o colchete (x + 2)! Então, na íntegra, escrevo:

No lado esquerdo ele se contrai totalmente (x+2), e à direita 2. Qual era o necessário! Após a redução obtemos linear equação:

E todos podem resolver esta equação! x = 2.

Vamos resolver outro exemplo, um pouco mais complicado:

Se lembrarmos que 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1, podemos escrever:

E novamente nos livramos daquilo que realmente não gostamos - frações.

Vemos que para reduzir o denominador por X, precisamos multiplicar a fração por (x – 2). E alguns não são um obstáculo para nós. Bem, vamos multiplicar. Todos lado esquerdo e todos lado direito:

Parênteses novamente (x – 2) Não estou revelando. Trabalho com o colchete como um todo como se fosse um número só! Isso deve ser feito sempre, caso contrário nada será reduzido.

Com um sentimento de profunda satisfação reduzimos (x – 2) e obtemos uma equação sem frações, com uma régua!

Agora vamos abrir os colchetes:

Trazemos outros semelhantes, movemos tudo para o lado esquerdo e obtemos:

Equação quadrática clássica. Mas o menos à frente não é bom. Você sempre pode se livrar disso multiplicando ou dividindo por -1. Mas se você observar atentamente o exemplo, notará que é melhor dividir essa equação por -2! De uma só vez, o sinal negativo desaparecerá e as probabilidades se tornarão mais atraentes! Divida por -2. No lado esquerdo - termo por termo, e no lado direito - simplesmente divida zero por -2, zero e obtemos:

Resolvemos através do discriminante e verificamos utilizando o teorema de Vieta. Nós conseguimos x = 1 e x = 3. Duas raízes.

Como você pode ver, no primeiro caso a equação após a transformação tornou-se linear, mas aqui torna-se quadrática. Acontece que depois de se livrar das frações, todos os X são reduzidos. Algo permanece, como 5=5. Isso significa que x pode ser qualquer coisa. Seja o que for, ainda será reduzido. E acaba sendo pura verdade, 5=5. Mas, depois de se livrar das frações, pode acabar sendo completamente falso, como 2=7. E isso significa que sem soluções! Qualquer X acaba sendo falso.

Percebi a solução principal equações fracionárias ? É simples e lógico. Mudamos a expressão original para que tudo o que não gostamos desapareça. Ou interfere. Neste caso são frações. Faremos o mesmo com todos os tipos de exemplos complexos com logaritmos, senos e outros horrores. Nós Sempre Vamos nos livrar de tudo isso.

No entanto, precisamos mudar a expressão original na direção que precisamos de acordo com as regras, sim... Cujo domínio é a preparação para o Exame Estadual Unificado de matemática. Então, estamos dominando isso.

Agora aprenderemos como contornar um dos principais emboscadas no Exame Estadual Unificado! Mas primeiro vamos ver se você cai nessa ou não?

Vejamos um exemplo simples:

O assunto já é familiar, multiplicamos ambos os lados por (x – 2), obtemos:

Eu te lembro, entre colchetes (x – 2) Trabalhamos como se fosse uma expressão integral!

Aqui eu não escrevi mais um nos denominadores, é indigno... E não coloquei colchetes nos denominadores, exceto x-2 não há nada, você não precisa desenhar. Vamos encurtar:

Abra os parênteses, mova tudo para a esquerda e dê outros semelhantes:

Resolvemos, verificamos, temos duas raízes. x = 2 E x = 3. Ótimo.

Suponha que a tarefa diga para anotar a raiz, ou sua soma, se houver mais de uma raiz. O que vamos escrever?

Se você decidir que a resposta é 5, você foram emboscados. E a tarefa não será creditada a você. Eles trabalharam em vão... A resposta correta é 3.

Qual é o problema?! E você tenta fazer uma verificação. Substitua os valores da incógnita em original exemplo. E se em x = 3 tudo vai crescer maravilhosamente bem, obtemos 9 = 9, então quando x = 2 Será divisão por zero! O que você absolutamente não pode fazer. Significa x = 2 não é uma solução e não é levada em consideração na resposta. Esta é a chamada raiz estranha ou extra. Nós simplesmente descartamos isso. A raiz final é uma. x = 3.

Como assim?! – ouço exclamações indignadas. Aprendemos que uma equação pode ser multiplicada por uma expressão! Esta é uma transformação idêntica!

Sim, idêntico. No condição pequena– a expressão pela qual multiplicamos (dividimos) – diferente de zero. UM x-2 no x = 2é igual a zero! Então tudo é justo.

Então, o que devemos fazer agora?! Não multiplique por expressão? Devo verificar sempre? Novamente não está claro!

Calmamente! Não entrar em pânico!

Nesta situação difícil, três letras mágicas nos salvarão. Eu sei o que você está pensando. Certo! Esse ODZ . Área de Valores Aceitáveis.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Instituição educacional orçamentária municipal, escola secundária nº 11

O texto da obra é postado sem imagens e fórmulas.
Versão completa o trabalho está disponível na aba "Arquivos de Trabalho" em formato PDF

História das equações quadráticas

Babilônia

A necessidade de resolver equações não só de primeiro grau, mas também de segundo, na antiguidade era causada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas dos terrenos, com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática. Equações quadráticas poderiam ser resolvidas por volta de 2.000 aC. e. Babilônios. As regras para resolver essas equações, estabelecidas nos textos babilônicos, coincidem essencialmente com as modernas, mas nesses textos não há conceito de número negativo e métodos gerais resolvendo equações quadráticas.

Grécia Antiga

A resolução de equações quadráticas também foi feita em Grécia Antiga cientistas como Diofanto, Euclides e Heron. Diofanto Diofanto de Alexandria é um antigo matemático grego que provavelmente viveu no século III DC. A principal obra de Diofanto é “Aritmética” em 13 livros. Euclides. Euclides é um matemático grego antigo, autor do primeiro tratado teórico de matemática que chegou até nós, Heron. Heron - matemático e engenheiro grego pela primeira vez na Grécia no século I DC. fornece uma maneira puramente algébrica de resolver uma equação quadrática

Índia

Problemas sobre equações quadráticas já são encontrados no tratado astronômico “Aryabhattiam”, compilado em 499 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhatta. Outro cientista indiano, Brahmagupta (século VII), descreveu regra geral soluções de equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Na equação (1) os coeficientes podem ser negativos. O governo de Brahmagupta é essencialmente o mesmo que o nosso. As competições públicas para resolver problemas difíceis eram comuns na Índia. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol ofusca as estrelas com seu brilho, um homem instruído ofuscará sua glória em assembléias públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos”. Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.

Este é um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII. Bhaskars.

“Um bando de macacos brincalhões

E doze ao longo das vinhas, tendo comido o quanto quisesse, se divertiram

Eles começaram a pular, pendurados

Parte oito deles ao quadrado

Quantos macacos havia?

Eu estava me divertindo na clareira

Me diga, neste pacote?

A solução de Bhaskara indica que o autor sabia que as raízes das equações quadráticas têm dois valores. Bhaskar escreve a equação correspondente ao problema como x2 - 64x = - 768 e, para completar o lado esquerdo desta equação em um quadrado, soma 322 a ambos os lados, obtendo então: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Equações quadráticas na Europa do século XVII

As fórmulas para resolver equações quadráticas nos moldes de Al-Khorezmi na Europa foram estabelecidas pela primeira vez no Livro do Ábaco, escrito em 1202 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta volumosa obra, que reflecte a influência da matemática, tanto dos países do Islão como da Grécia antiga, distingue-se pela sua completude e clareza de apresentação. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução números negativos. O seu livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas do Livro do Ábaco foram usados ​​em quase todos os livros europeus dos séculos XVI a XVII. e parcialmente XVIII. A derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática na forma geral está disponível em Viète, mas Viète reconheceu apenas raízes positivas. Os matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estiveram entre os primeiros no século XVI. Além das positivas, também são levadas em consideração as raízes negativas. Somente no século XVII. Graças ao trabalho de Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assume uma forma moderna.

Definição de uma equação quadrática

Uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde a, b, c são números, é chamada quadrática.

Coeficientes da equação quadrática

Os números a, b, c são os coeficientes da equação quadrática a é o primeiro coeficiente (antes de x²), a ≠ b é o segundo coeficiente (antes de x c ​​é o termo livre (sem x);

Quais dessas equações não são quadráticas??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipos de equações quadráticas

Nome	Forma geral da equação	Recurso (quais são os coeficientes)	Exemplos de equações
	machado 2 + bx + c = 0	a, b, c - números diferentes de 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Incompleto
			x 2 - 1/5x = 0
Dado	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Reduzida é uma equação quadrática em que o coeficiente líder é igual a um. Tal equação pode ser obtida dividindo a expressão inteira pelo coeficiente líder um:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Uma equação quadrática é chamada completa se todos os seus coeficientes forem diferentes de zero.

Uma equação quadrática é chamada de incompleta quando pelo menos um dos coeficientes, exceto o principal (seja o segundo coeficiente ou o termo livre), é igual a zero.

Métodos para resolver equações quadráticas

Método I Fórmula geral para cálculo de raízes

Para encontrar as raízes de uma equação quadrática machado 2 + b + c = 0 Em geral, você deve usar o algoritmo abaixo:

Calcule o valor do discriminante de uma equação quadrática: esta é a expressão para isso D = b 2 - 4ac

Derivação da fórmula:

Observação:É óbvio que a fórmula para uma raiz de multiplicidade 2 é um caso especial da fórmula geral, obtida substituindo nela a igualdade D=0, e a conclusão sobre a ausência de raízes reais em D0, e (displaystyle (sqrt ( -1))=eu) = eu.

O método apresentado é universal, mas está longe de ser o único. A resolução de uma única equação pode ser abordada de várias maneiras, com preferências geralmente dependendo do solucionador. Além disso, muitas vezes, para esse fim, alguns dos métodos revelam-se muito mais elegantes, simples e menos trabalhosos do que o método padrão.

Método II. Raízes de uma equação quadrática com coeficiente par b Método III. Resolvendo equações quadráticas incompletas

Método IV. Usando razões parciais de coeficientes

Existem casos especiais de equações quadráticas em que os coeficientes estão relacionados entre si, tornando-os muito mais fáceis de resolver.

Raízes de uma equação quadrática em que a soma do coeficiente principal e do termo livre é igual ao segundo coeficiente

Se em uma equação quadrática machado 2 + bx + c = 0 a soma do primeiro coeficiente e do termo livre é igual ao segundo coeficiente: a+b=c, então suas raízes são -1 e o número oposto à razão entre o termo livre e o coeficiente líder ( -c/a).

Portanto, antes de resolver qualquer equação quadrática, você deve verificar a possibilidade de aplicar este teorema a ela: compare a soma do coeficiente líder e do termo livre com o segundo coeficiente.

Raízes de uma equação quadrática cuja soma de todos os coeficientes é zero

Se em uma equação quadrática a soma de todos os seus coeficientes for zero, então as raízes de tal equação são 1 e a razão entre o termo livre e o coeficiente líder ( c/a).

Portanto, antes de resolver uma equação usando métodos padrão, você deve verificar a aplicabilidade deste teorema a ela: somar todos os coeficientes de uma determinada equação e ver se essa soma não é igual a zero.

Método V. Decomposição de um trinômio quadrático em fatores lineares

Se o trinômio for da forma (estilo de exibição machado ^ (2) + bx + c (anot = 0)) machado 2 + bx + c(uma ≠ 0) pode de alguma forma ser representado como um produto de fatores lineares (estilo de exibição (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), então podemos encontrar as raízes da equação machado 2 + bx + c = 0- eles serão -m/k e n/l, de fato, afinal (estilo de exibição (kx + m) (lx + n) = 0Longleftrightarrow kx + m = 0cup lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n, e tendo resolvido as equações lineares indicadas, obtemos o acima. Observe que o trinômio quadrático nem sempre se decompõe em fatores lineares com coeficientes reais: isso é possível se a equação correspondente tiver raízes reais.

Vamos considerar alguns casos especiais

Usando a fórmula da soma quadrada (diferença)

Se o trinômio quadrático tiver a forma (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , então, aplicando a fórmula acima a ele, podemos fatorá-lo em fatores lineares e , portanto, encontre raízes:

(machado) 2 + 2abx + b 2 = (machado + b) 2

Isolando o quadrado completo da soma (diferença)

A fórmula acima também é usada usando um método chamado “selecionar o quadrado completo da soma (diferença)”. Em relação à equação quadrática acima com a notação introduzida anteriormente, isso significa o seguinte:

Observação: Se você notar, esta fórmula coincide com a proposta na seção “Raízes da equação quadrática reduzida”, que, por sua vez, pode ser obtida a partir da fórmula geral (1) substituindo a igualdade a=1. Este facto não é mera coincidência: utilizando o método descrito, ainda que com algum raciocínio adicional, é possível deduzir fórmula geral, e também provar as propriedades do discriminante.

Método VI. Usando o teorema de Vieta direto e inverso

O teorema direto de Vieta (veja abaixo na seção de mesmo nome) e seu teorema inverso permitem resolver oralmente as equações quadráticas acima, sem recorrer a cálculos bastante complicados usando a fórmula (1).

De acordo com o teorema inverso, todo par de números (número) (estilo de exibição x_(1),x_(2))x 1, x 2, sendo uma solução para o sistema de equações abaixo, são as raízes da equação

No caso geral, isto é, para uma equação quadrática não reduzida ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/uma, x 1 * x 2 = c/uma

Um teorema direto o ajudará a encontrar números que satisfaçam essas equações oralmente. Com sua ajuda, você pode determinar os sinais das raízes sem conhecer as próprias raízes. Para fazer isso, você deve seguir a regra:

1) se o termo livre for negativo, então as raízes têm sinais diferentes, e a maior raiz em valor absoluto tem sinal oposto ao sinal do segundo coeficiente da equação;

2) se o termo livre for positivo, então ambas as raízes têm o mesmo sinal, e este é o sinal oposto ao sinal do segundo coeficiente.

Método VII. Método de transferência

O chamado método de “transferência” permite reduzir a solução de equações não reduzidas e irredutíveis à forma de equações reduzidas com coeficientes inteiros, dividindo-as pelo coeficiente líder para a solução de equações reduzidas com coeficientes inteiros. É o seguinte:

Em seguida, a equação é resolvida oralmente da maneira descrita acima, então eles retornam à variável original e encontram as raízes das equações (estilo de exibição y_(1)=ax_(1)) sim 1 =machado 1 E sim 2 =machado 2 .(estilo de exibição y_(2)=ax_(2))

Significado geométrico

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são as abcissas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas. Se a parábola descrita função quadrática, não cruza com o eixo x, a equação não tem raízes reais. Se uma parábola intercepta o eixo x em um ponto (no vértice da parábola), a equação tem uma raiz real (diz-se também que a equação tem duas raízes coincidentes). Se a parábola intercepta o eixo x em dois pontos, a equação tem duas raízes reais (veja a imagem à direita).

Se coeficiente (estilo de exibição a) um positivo, os ramos da parábola são direcionados para cima e vice-versa. Se o coeficiente (estilo de exibição b) bpositivo (se positivo (estilo de exibição a) um, se negativo, vice-versa), então o vértice da parábola está no semiplano esquerdo e vice-versa.

Aplicação de equações quadráticas na vida

A equação quadrática é amplamente utilizada. É usado em muitos cálculos, estruturas, esportes e também ao nosso redor.

Consideremos e dêmos alguns exemplos de aplicação da equação quadrática.

Esporte. Saltos altos: durante a corrida do saltador, são utilizados cálculos relacionados à parábola para obter o arremesso mais preciso na barra de impulsão e voar alto.

Além disso, cálculos semelhantes são necessários no lançamento. O alcance de vôo de um objeto depende da equação quadrática.

Astronomia. A trajetória dos planetas pode ser encontrada usando uma equação quadrática.

Voo de avião. A decolagem do avião é o principal componente do vôo. Aqui fazemos o cálculo para baixa resistência e aceleração de decolagem.

Equações quadráticas também são usadas em vários disciplinas econômicas, em programas de processamento de áudio, vídeo, gráficos vetoriais e raster.

Conclusão

Como resultado do trabalho realizado, descobriu-se que as equações quadráticas atraíram os cientistas na antiguidade, pois já as haviam encontrado ao resolver alguns problemas e tentavam resolvê-los; Considerando várias maneiras resolvendo equações quadráticas, cheguei à conclusão de que nem todas são simples. Na minha opinião o mais a melhor maneira resolver equações quadráticas é resolver por fórmulas. As fórmulas são fáceis de lembrar, este método é universal. A hipótese de que as equações são amplamente utilizadas na vida e na matemática foi confirmada. Depois de estudar o assunto, aprendi muito fatos interessantes sobre equações quadráticas, seu uso, aplicação, tipos, soluções. E ficarei feliz em continuar estudando-os. Espero que isso me ajude a ir bem nos exames.

Lista de literatura usada

Materiais do site:

Wikipédia

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Manual de Matemática Elementar Vygodsky M. Ya.