Equação de uma tangente que passa por um determinado ponto. Tangente ao gráfico de uma função

Exemplo 1. Dada uma função f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Vamos escrever a equação da tangente ao gráfico da função f(x) no ponto do gráfico com a abcissa x 0 = 1.

Solução. Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Então f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. A equação tangente tem a forma:

sim = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

sim = 10(x – 1) + 2,

sim = 10x – 8.

Responder. sim = 10x – 8.

Exemplo 2. Dada uma função f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Vamos escrever a equação da tangente ao gráfico da função f(x), paralelo à linha sim = 2x – 11.

Solução. Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Como a tangente ao gráfico da função f(x) no ponto da abcissa x 0 é paralelo à linha sim = 2x– 11, então ela decliveé igual a 2, ou seja, ( x 0) = 2. Vamos encontrar esta abscissa a partir da condição de que 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Esta igualdade é válida somente quando x 0 = 0 e em x 0 = 2. Já que em ambos os casos f(x 0) = 5, então direto sim = 2x + b toca o gráfico da função no ponto (0; 5) ou no ponto (2; 5).

No primeiro caso, a igualdade numérica 5 = 2×0 + é verdadeira b, onde b= 5, e no segundo caso a igualdade numérica 5 = 2×2 + é verdadeira b, onde b = 1.

Então existem duas tangentes sim = 2x+ 5 e sim = 2x+ 1 ao gráfico da função f(x), paralelo à linha sim = 2x – 11.

Responder. sim = 2x + 5, sim = 2x + 1.

Exemplo 3. Dada uma função f(x) = x 2 – 6x+ 7. Vamos escrever a equação da tangente ao gráfico da função f(x), passando pelo ponto UM (2; –5).

Solução. Porque f(2) –5, então aponte UM não pertence ao gráfico da função f(x). Deixar x 0 - abcissa do ponto tangente.

Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Então f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. A equação tangente tem a forma:

sim = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

sim = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Desde o ponto UM pertence à tangente, então a igualdade numérica é verdadeira

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

onde x 0 = 0 ou x 0 = 4. Isso significa que através do ponto UM você pode desenhar duas tangentes ao gráfico da função f(x).

Se x 0 = 0, então a equação tangente tem a forma sim = –6x+ 7. Se x 0 = 4, então a equação tangente tem a forma sim = 2x – 9.

Responder. sim = –6x + 7, sim = 2x – 9.

Exemplo 4. Funções fornecidas f(x) = x 2 – 2x+ 2 e g(x) = –x 2 – 3. Vamos escrever a equação da tangente comum aos gráficos dessas funções.

Solução. Deixar x 1 - abcissa do ponto de tangência da reta desejada com o gráfico da função f(x), Um x 2 - abcissa do ponto de tangência da mesma reta com o gráfico da função g(x).

Derivada de uma função f(x) existe para qualquer x R . Vamos encontrá-la:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Então f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. A equação tangente tem a forma:

sim = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

sim = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Vamos encontrar a derivada da função g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Seja dada uma função f, que em algum ponto x 0 tem uma derivada finita f (x 0). Então a linha reta que passa pelo ponto (x 0 ; f (x 0)), tendo um coeficiente angular f '(x 0), é chamada de tangente.

O que acontece se a derivada não existir no ponto x 0? Existem duas opções:

1. Também não há tangente ao gráfico. Um exemplo clássico é a função y = |x | no ponto (0; 0).
2. A tangente torna-se vertical. Isto é verdade, por exemplo, para a função y = arcsin x no ponto (1; π /2).

Equação tangente

Qualquer linha reta não vertical é dada por uma equação da forma y = kx + b, onde k é a inclinação. A tangente não foge à regra e para criar sua equação em algum ponto x 0 basta saber o valor da função e da derivada neste ponto.

Então, seja dada uma função y = f (x), que tem uma derivada y = f ’(x) no segmento. Então, em qualquer ponto x 0 ∈ (a; b) uma tangente pode ser traçada ao gráfico desta função, que é dada pela equação:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Aqui f '(x 0) é o valor da derivada no ponto x 0, e f (x 0) é o valor da própria função.

Tarefa. Dada a função y = x 3 . Escreva uma equação para a tangente ao gráfico desta função no ponto x 0 = 2.

Equação tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). O ponto x 0 = 2 nos é dado, mas os valores f (x 0) e f ’(x 0) deverão ser calculados.

Primeiro, vamos encontrar o valor da função. Tudo é fácil aqui: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Agora vamos encontrar a derivada: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Substituímos x 0 = 2 na derivada: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
No total obtemos: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Esta é a equação tangente.

Tarefa. Escreva uma equação para a tangente ao gráfico da função f (x) = 2sen x + 5 no ponto x 0 = π /2.

Desta vez não descreveremos cada ação em detalhes - apenas indicaremos as principais etapas. Nós temos:

f (x 0) = f (π /2) = 2sen (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sen x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Equação tangente:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Neste último caso, a linha reta acabou sendo horizontal, porque seu coeficiente angular k = 0. Não há nada de errado com isso - apenas tropeçamos em um ponto extremo.

Tipo de trabalho: 7

Doença

A reta y=3x+2 é tangente ao gráfico da função y=-12x^2+bx-10.

Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

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Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=-12x^2+bx-10 por onde passa a tangente a este gráfico. O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por outro lado, o ponto de tangência pertence simultaneamente tanto ao gráfico do função e a tangente, ou seja, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2.

\begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \fim(casos)

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1.

Tipo de trabalho: 7
De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Doença

Responder

Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

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Tópico: Significado geométrico das derivadas. Tangente ao gráfico de uma função

A reta y=-3x+4 é paralela à tangente ao gráfico da função y=-x^2+5x-7.

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1.

Encontre a abscissa do ponto tangente. O coeficiente angular da linha reta para o gráfico da função y=-x^2+5x-7 em um ponto arbitrário x_0 é igual a y"(x_0). Mas y"=-2x+5, o que significa y" (x_0)=-2x_0+5. Angular o coeficiente da reta y=-3x+4 especificado na condição é igual a -3. -2x_0 +5=-3. Obtemos: x_0 = 4.

Tipo de trabalho: 7
De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Doença

Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017.

Nível do perfil " Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Pela figura determinamos que a tangente passa pelos pontos A(-6; 2) e B(-1; 1). Denotemos por C(-6; 1) o ponto de intersecção das retas x=-6 e y=1, e por \alpha o ângulo ABC (você pode ver na figura que ele é agudo). Então a linha reta AB forma um ângulo \pi -\alpha com a direção positiva do eixo do Boi, que é obtuso.

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1.

Como se sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

Tipo de trabalho: 7
De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Doença

Observe que

Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

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tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

A partir daqui, usando as fórmulas de redução, obtemos:

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=32x_0+b=-2. Por outro lado, o ponto de tangência pertence simultaneamente tanto ao gráfico do função e a tangente, ou seja, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obtemos um sistema de equações. \begin(casos) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \fim(casos)

Resolvendo o sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1.

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1.

Como se sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

Tipo de trabalho: 7
De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Doença

De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são maiores que zero, então x_0=1, então b=-2-32x_0=-34.

Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

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A figura mostra um gráfico da função y=f(x), definida no intervalo (-2; 8). Determine o número de pontos em que a tangente ao gráfico da função é paralela à reta y=6. A linha reta y=6 é paralela ao eixo do Boi. Portanto, encontramos pontos nos quais a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo do Boi.

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1.

Como se sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

Tipo de trabalho: 7
De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Doença

Sobre

Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

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este gráfico

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1.

Como se sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

Tipo de trabalho: 7
De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Doença

tais pontos são pontos extremos (pontos máximos ou mínimos). Como você pode ver, existem 4 pontos extremos.

Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

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A reta y=4x-6 é paralela à tangente ao gráfico da função y=x^2-4x+9.

Encontre a abscissa do ponto tangente.

A inclinação da tangente ao gráfico da função y=x^2-4x+9 em um ponto arbitrário x_0 é igual a y"(x_0). Mas y"=2x-4, o que significa y"(x_0)= 2x_0-4. A inclinação da tangente y =4x-7, especificada na condição, é igual a 4. Retas paralelas têm os mesmos coeficientes angulares. Portanto, encontramos um valor de x_0 tal que 2x_0-4=4.

A figura mostra o gráfico da função y=f(x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x_0.

Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

Pela figura determinamos que a tangente passa pelos pontos A(1; 1) e B(5; 4). Denotemos por C(5; 1) o ponto de intersecção das retas x=5 e y=1, e por \alpha o ângulo BAC (você pode ver na figura que ele é agudo). Então a linha reta AB forma um ângulo α com a direção positiva do eixo do Boi. Considere a seguinte figura:

Neste caso, o coeficiente angular da tangente será igual à derivada desta função neste ponto f’(x0). Isso é significado geométrico derivado. A tangente ao gráfico de uma função f diferenciável no ponto x0 é uma certa reta que passa pelo ponto (x0;f(x0)) e tem um coeficiente angular f’(x0).

Equação tangente

Vamos tentar obter a equação da tangente ao gráfico de alguma função f no ponto A(x0; f(x0)). A equação de uma linha reta com inclinação k tem próxima visualização:

Como nosso coeficiente de inclinação é igual à derivada f’(x0), então a equação terá a seguinte forma: y = f’(x0)*x + b.

Agora vamos calcular o valor de b. Para fazer isso, usamos o fato de que a função passa pelo ponto A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, a partir daqui expressamos b e obtemos b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Substituímos o valor resultante na equação tangente:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Considere o seguinte exemplo: encontre a equação da tangente ao gráfico da função f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 no ponto x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Substitua os valores obtidos na fórmula tangente, obtemos: y = 1 + 4*(x - 2). Abrindo os colchetes e trazendo termos semelhantes obtemos: y = 4*x - 7.

Resposta: y = 4*x - 7.

Esquema geral para compor a equação tangente ao gráfico da função y = f(x):

1. Determine x0.

2. Calcule f(x0).

3. Calcule f’(x)

Tangenteé uma linha reta que passa por um ponto da curva e coincide com ele neste ponto até a primeira ordem (Fig. 1).

Outra definição: esta é a posição limite da secante em Δ x→0.

Explicação: Pegue uma linha reta que cruze a curva em dois pontos: UM E b(ver foto). Esta é uma secante. Vamos girá-lo no sentido horário até encontrar apenas um ponto comum com a curva. Isso nos dará uma tangente.

Definição estrita de tangente:

Tangente ao gráfico de uma função f, diferenciável no ponto xÓ, é uma linha reta que passa pelo ponto ( xÓ; f(xÓ)) e tendo uma inclinação f′( xÓ).

A inclinação tem uma linha reta da forma e =kx +b. Coeficiente k e é declive esta linha reta.

O coeficiente angular é igual à tangente do ângulo agudo formado por esta reta com o eixo das abcissas:

k = tan α

Aqui o ângulo α é o ângulo entre a linha reta e =kx +b e direção positiva (isto é, anti-horária) do eixo x. Chama-se ângulo de inclinação de uma linha reta(Fig. 1 e 2).

Se o ângulo de inclinação for reto e =kx +b agudo, então a inclinação é um número positivo. O gráfico está aumentando (Fig. 1).

Se o ângulo de inclinação for reto e =kx +bé obtuso, então a inclinação é número negativo. O gráfico está diminuindo (Fig. 2).

Se a linha reta for paralela ao eixo x, então o ângulo de inclinação da linha reta é zero. Neste caso, a inclinação da reta também é zero (já que a tangente de zero é zero). A equação da linha reta será semelhante a y = b (Fig. 3).

Se o ângulo de inclinação de uma reta é 90º (π/2), ou seja, é perpendicular ao eixo das abcissas, então a reta é dada pela igualdade x =c, Onde c- alguns número real(Fig. 4).

Equação da tangente ao gráfico de uma funçãosim = f(x) no ponto xÓ:

Exemplo: Encontre a equação da tangente ao gráfico da função f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 no ponto com abcissa 2.

Solução.

Seguimos o algoritmo.

1) Ponto de contato xÓé igual a 2. Calcule f(xÓ):

f(xÓ) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Encontre f′( x). Para fazer isso, aplicamos as fórmulas de diferenciação descritas na seção anterior. De acordo com essas fórmulas, X 2 = 2X, Um X 3 = 3X 2. Significa:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Agora, usando o valor resultante f′( x), calcular f′( xÓ):

f′( xÓ) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Assim, temos todos os dados necessários: xÓ = 2, f(xÓ) = 1, f ′( xÓ) = 4. Substitua esses números na equação tangente e encontre a solução final:

você = f(xÓ) + f′( xÓ) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Resposta: y = 4x – 7.