Simplifique a expressão. Postagens marcadas como "simplificar expressão algébrica"

Alguns exemplos algébricos por si só podem aterrorizar as crianças em idade escolar. Expressões longas não são apenas intimidantes, mas também dificultam muito os cálculos. Tentando entender imediatamente o que se segue, não demorará muito para ficar confuso. É por esta razão que os matemáticos sempre tentam simplificar ao máximo um problema “terrível” e só então começam a resolvê-lo. Curiosamente, esse truque acelera significativamente o processo de trabalho.

A simplificação é um dos pontos fundamentais da álgebra. Se em tarefas simples Você ainda pode passar sem ele, mas exemplos mais difíceis de calcular podem ser muito difíceis. É aqui que essas habilidades são úteis! Além disso, não são necessários conhecimentos matemáticos complexos: bastará apenas lembrar e aprender a aplicar na prática algumas técnicas e fórmulas básicas.

Independentemente da complexidade dos cálculos, na hora de resolver qualquer expressão é importante observe a ordem de execução das operações com números:

1. parênteses;
2. exponenciação;
3. multiplicação;
4. divisão;
5. adição;
6. subtração.

Os dois últimos pontos podem ser facilmente trocados e isso não afetará em nada o resultado. Mas adicionar dois números adjacentes quando há um sinal de multiplicação próximo a um deles é absolutamente proibido! A resposta, se houver, está incorreta. Portanto, você precisa se lembrar da sequência.

O uso de tal

Esses elementos incluem números com uma variável da mesma ordem ou do mesmo grau. Existem também os chamados termos livres que não possuem uma designação de letra para o desconhecido próximo a eles.

A questão é que na ausência de parênteses você pode simplificar a expressão adicionando ou subtraindo semelhantes.

Alguns exemplos ilustrativos:

• 8x 2 e 3x 2 - ambos os números têm a mesma variável de segunda ordem, portanto são semelhantes e quando somados simplificam para (8+3)x 2 =11x 2, enquanto que quando subtraídos obtêm (8-3)x 2 = 5x2;
• 4x 3 e 6x - e aqui “x” tem graus diferentes;
• 2y 7 e 33x 7 - contêm variáveis ​​diferentes, portanto, como no caso anterior, não são semelhantes.

Fatorando um número

Este pequeno truque matemático, se você aprender a usá-lo corretamente, mais de uma vez o ajudará a lidar com um problema complicado no futuro. E não é difícil entender como funciona o “sistema”: a decomposição é o produto de vários elementos, cujo cálculo dá o valor original. Portanto, 20 pode ser representado como 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ou de alguma outra forma.

Observação: Os fatores são sempre iguais aos divisores. Portanto, você precisa procurar um “par” funcional para decomposição entre os números nos quais o original é divisível sem resto.

Esta operação pode ser realizada tanto com termos livres quanto com números em uma variável. O principal é não perder este último durante os cálculos - mesmo após a decomposição, o desconhecido não pode simplesmente “ir a lugar nenhum”. Permanece em um dos multiplicadores:

• 15x=3(5x);
• 60 anos 2 = (15 anos 2)4.

Números primos que só podem ser divididos por si mesmos ou por 1 nunca são expandidos – não faz sentido.

Métodos básicos de simplificação

A primeira coisa que seus olhos chamam:

• a presença de parênteses;
• frações;
• raízes.

Os exemplos algébricos no currículo escolar são frequentemente escritos com a ideia de que podem ser lindamente simplificados.

Cálculos entre parênteses

Preste muita atenção ao sinal na frente dos colchetes! A multiplicação ou divisão é aplicada a cada elemento interno e um sinal de menos inverte os sinais “+” ou “-” existentes.

Os colchetes são calculados de acordo com as regras ou usando fórmulas de multiplicação abreviadas, após as quais são fornecidas outras semelhantes.

Reduzindo Frações

Reduzir frações Também é fácil. Eles próprios “fugiam voluntariamente” de vez em quando, assim que são realizadas operações para trazer esses membros. Mas você pode simplificar o exemplo antes mesmo disso: preste atenção no numerador e no denominador. Muitas vezes contêm elementos explícitos ou ocultos que podem ser mutuamente reduzidos. É verdade que se no primeiro caso você só precisa riscar o desnecessário, no segundo você terá que pensar, trazendo parte da expressão para a forma para simplificação. Métodos usados:

• procurar e colocar entre parênteses o máximo divisor comum do numerador e do denominador;
• dividindo cada elemento superior pelo denominador.

Quando uma expressão ou parte dela está sob a raiz, a tarefa principal de simplificação é quase semelhante ao caso das frações. É preciso buscar formas de eliminá-lo completamente ou, caso não seja possível, minimizar o sinal que atrapalha os cálculos. Por exemplo, até o discreto √(3) ou √(7).

O caminho certo simplifique a expressão radical - tente fatorá-la, alguns dos quais são transportados para fora do sinal. Um exemplo ilustrativo: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Outros pequenos truques e nuances:

• esta operação de simplificação pode ser realizada com frações, retirando-as do sinal tanto como um todo quanto separadamente como numerador ou denominador;
• Parte da soma ou diferença não pode ser expandida e levada além da raiz;
• ao trabalhar com variáveis, leve em consideração seu grau, deve ser igual ou múltiplo da raiz para poder ser retirado: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• às vezes é possível livrar-se da variável radical elevando-a a uma potência fracionária: √(y 3)=y 3/2.

Simplificando uma expressão de poder

Se no caso de cálculos simples por menos ou mais, os exemplos são simplificados citando outros semelhantes, o que acontece na multiplicação ou divisão de variáveis ​​​​com potências diferentes? Eles podem ser facilmente simplificados lembrando-se de dois pontos principais:

1. Se houver um sinal de multiplicação entre as variáveis, as potências se somam.
2. Quando eles são divididos entre si, a mesma potência do denominador é subtraída da potência do numerador.

A única condição para tal simplificação é mesma base ambos os membros. Exemplos para maior clareza:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Notamos que as operações com valores numéricos na frente das variáveis ​​ocorrem de acordo com o usual regras matemáticas. E se você olhar de perto, fica claro que os elementos de poder da expressão “funcionam” de maneira semelhante:

• elevar um termo a uma potência significa multiplicá-lo por si mesmo um certo número de vezes, ou seja, x 2 =x×x;
• a divisão é semelhante: se você expandir as potências do numerador e do denominador, algumas das variáveis ​​​​serão canceladas, enquanto as demais serão “coletadas”, o que equivale à subtração.

Como acontece com qualquer coisa, simplificar expressões algébricas requer não apenas conhecimento básico, mas também prática. Depois de apenas algumas aulas, exemplos que antes pareciam complexos serão reduzidos sem muita dificuldade, transformando-se em exemplos curtos e de fácil solução.

Vídeo

Este vídeo ajudará você a entender e lembrar como as expressões são simplificadas.

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Freqüentemente, as tarefas exigem uma resposta simplificada. Embora as respostas simplificadas e não simplificadas estejam corretas, seu instrutor poderá diminuir sua nota se você não simplificar sua resposta. Além disso, a expressão matemática simplificada é muito mais fácil de trabalhar. Portanto, é muito importante aprender a simplificar expressões.

Passos

Ordem correta das operações matemáticas

1. Lembre-se da ordem correta para realizar operações matemáticas. Ao simplificar uma expressão matemática, há uma certa ordem que deve ser seguida, pois algumas operações matemáticas têm precedência sobre outras e devem ser feitas primeiro (na verdade, não seguir a ordem correta das operações levará a um resultado incorreto). Lembre-se da seguinte ordem de operações matemáticas: expressão entre parênteses, exponenciação, multiplicação, divisão, adição, subtração.

   • Observe que conhecer a ordem correta das operações permitirá simplificar a maioria das expressões simples, mas para simplificar um polinômio (uma expressão com uma variável), você precisa conhecer truques especiais (veja a próxima seção).

2. Comece resolvendo a expressão entre parênteses. Em matemática, os parênteses indicam que a expressão dentro deles deve ser avaliada primeiro. Portanto, ao simplificar qualquer expressão matemática, comece resolvendo a expressão entre parênteses (não importa quais operações você precisa realizar entre parênteses). Mas lembre-se que ao trabalhar com uma expressão entre colchetes, deve-se seguir a ordem das operações, ou seja, os termos entre colchetes são primeiro multiplicados, divididos, somados, subtraídos e assim por diante.

   • Por exemplo, vamos simplificar a expressão 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Aqui começamos com as expressões entre colchetes: 5 + 2 = 7 e 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • A expressão no segundo par de parênteses é simplificada para 5 porque 4/2 deve ser dividido primeiro (de acordo com a ordem correta das operações). Se você não seguir esta ordem, obterá a resposta errada: 3 + 4 = 7 e 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Se houver outro par de parênteses entre parênteses, comece a simplificar resolvendo a expressão entre parênteses internos e depois prossiga para resolver a expressão entre parênteses externos.

3. Exponenciar. Depois de resolver as expressões entre parênteses, passe para a exponenciação (lembre-se que uma potência tem um expoente e uma base). Eleve a expressão (ou número) correspondente a uma potência e substitua o resultado na expressão dada a você.

   • Em nosso exemplo, a única expressão (número) elevada à potência é 3 2: 3 2 = 9. Na expressão dada a você, substitua 3 2 por 9 e você obterá: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Multiplicar. Lembre-se que a operação de multiplicação pode ser representada pelos seguintes símbolos: “x”, “∙” ou “*”. Mas se não houver símbolos entre o número e a variável (por exemplo, 2x) ou entre o número e o número entre parênteses (por exemplo, 4(7)), então esta também é uma operação de multiplicação.

   • No nosso exemplo, existem duas operações de multiplicação: 2x (dois multiplicados pela variável “x”) e 4(7) (quatro multiplicados por sete). Não sabemos o valor de x, então deixaremos a expressão 2x como está. 4(7) = 4 x 7 = 28. Agora você pode reescrever a expressão que lhe foi dada da seguinte forma: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dividir. Lembre-se que a operação de divisão pode ser representada pelos seguintes símbolos: “/”, “÷” ou “–” (você pode ver o último caractere nas frações). Por exemplo, 3/4 é três dividido por quatro.

   • No nosso exemplo, não existe mais operação de divisão, pois você já dividiu 4 por 2 (4/2) ao resolver a expressão entre parênteses. Então você pode passar para a próxima etapa. Lembre-se de que a maioria das expressões não contém todas as operações matemáticas (apenas algumas delas).

6. Dobrar. Ao adicionar termos de uma expressão, você pode começar com o termo mais distante (à esquerda) ou pode adicionar primeiro os termos que se somam facilmente. Por exemplo, na expressão 49 + 29 + 51 +71, primeiro é mais fácil somar 49 + 51 = 100, depois 29 + 71 = 100 e finalmente 100 + 100 = 200. É muito mais difícil somar assim: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • No nosso exemplo 2x + 28 + 9 + 5 existem duas operações de adição. Vamos começar com o termo mais externo (esquerdo): 2x + 28; você não pode adicionar 2x e 28 porque não sabe o valor da variável "x". Portanto, adicione 28 + 9 = 37. Agora a expressão pode ser reescrita da seguinte forma: 2x + 37 - 5.

7. Subtrair. Esta é a última operação em na ordem certa realizando operações matemáticas. Nesta fase você também pode adicionar números negativos ou faça isso na fase de adição de membros - isso não afetará de forma alguma o resultado final.

   • No nosso exemplo 2x + 37 - 5 existe apenas uma operação de subtração: 37 - 5 = 32.

8. Nesta fase, após realizar todas as operações matemáticas, deverá obter uma expressão simplificada. Mas se a expressão dada a você contiver uma ou mais variáveis, lembre-se de que o termo da variável permanecerá como está. Resolver (não simplificar) uma expressão com uma variável envolve encontrar o valor dessa variável. Às vezes, expressões variáveis ​​podem ser simplificadas usando métodos especiais(veja a próxima seção).

   • No nosso exemplo, a resposta final é 2x + 32. Você não pode somar os dois termos até saber o valor da variável “x”. Depois de saber o valor da variável, você pode simplificar facilmente esse binômio.

   Simplificando expressões complexas

   1. Adição de termos semelhantes. Lembre-se que você só pode subtrair e somar termos semelhantes, ou seja, termos com a mesma variável e o mesmo expoente. Por exemplo, você pode adicionar 7x e 5x, mas não pode adicionar 7x e 5x 2 (já que os expoentes são diferentes).

      • Esta regra também se aplica a membros com múltiplas variáveis. Por exemplo, você pode adicionar 2xy 2 e -3xy 2 , mas não pode adicionar 2xy 2 e -3x 2 y ou 2xy 2 e -3y 2 .
      • Vejamos um exemplo: x 2 + 3x + 6 - 8x. Aqui, os termos semelhantes são 3x e 8x, portanto podem ser somados. A expressão simplificada fica assim: x 2 - 5x + 6.

   2. Simplifique a fração numérica. Nessa fração, tanto o numerador quanto o denominador contêm números (sem variável). Fração numérica simplificado de várias maneiras. Primeiro, basta dividir o denominador pelo numerador. Em segundo lugar, fatore o numerador e o denominador e cancele os fatores semelhantes (já que dividir um número por ele mesmo resultará em 1). Em outras palavras, se o numerador e o denominador tiverem o mesmo fator, você poderá eliminá-lo e obter uma fração simplificada.

      • Por exemplo, considere a fração 36/60. Usando uma calculadora, divida 36 por 60 para obter 0,6. Mas você pode simplificar essa fração de outra maneira, fatorando o numerador e o denominador: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Como 6/6 = 1, a fração simplificada é: 1 x 6/10 = 6/10. Mas esta fração também pode ser simplificada: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Se uma fração contém uma variável, você pode cancelar fatores semelhantes com a variável. Fatore o numerador e o denominador e cancele os fatores semelhantes, mesmo que contenham a variável (lembre-se de que os fatores semelhantes aqui podem ou não conter a variável).

      • Vejamos um exemplo: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Esta expressão pode ser reescrita (fatorada) na forma: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Como o termo 3x está tanto no numerador quanto no denominador, você pode cancelá-lo para obter uma expressão simplificada: (x + 1)/(5 - x). Vejamos outro exemplo: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Observe que você não pode cancelar nenhum termo - apenas fatores idênticos presentes no numerador e no denominador são cancelados. Por exemplo, na expressão (x(x + 2))/x, a variável (fator) “x” está tanto no numerador quanto no denominador, então “x” pode ser reduzido para obter uma expressão simplificada: (x + 2)/1 = x + 2. Porém, na expressão (x + 2)/x, a variável “x” não pode ser reduzida (já que “x” não é um fator no numerador).

   4. Abra os parênteses. Para fazer isso, multiplique o termo fora dos colchetes por cada termo entre colchetes. Às vezes isso ajuda a simplificar uma expressão complexa. Isso se aplica tanto a membros que são números primos quanto a membros que contêm uma variável.

      • Por exemplo, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 e 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Observe que em expressões fracionárias não há necessidade de abrir parênteses se o numerador e o denominador tiverem o mesmo fator. Por exemplo, na expressão (3(x 2 + 8))/3x não há necessidade de expandir os parênteses, pois aqui você pode cancelar o fator de 3 e obter a expressão simplificada (x 2 + 8)/x. Esta expressão é mais fácil de trabalhar; se você expandisse os parênteses, obteria a seguinte expressão complexa: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Fatorar polinômios. Usando este método, você pode simplificar algumas expressões e polinômios. Fatorar é a operação oposta de abrir parênteses, ou seja, uma expressão é escrita como o produto de duas expressões, cada uma entre parênteses. Em alguns casos, a fatoração permite reduzir a mesma expressão. Em casos especiais (geralmente com equações quadráticas) a fatoração permitirá que você resolva a equação.

      • Considere a expressão x 2 - 5x + 6. Ela é fatorada: (x - 3)(x - 2). Assim, se, por exemplo, a expressão for dada (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), então você pode reescrevê-la como (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), reduza a expressão (x - 2) e obtenha uma expressão simplificada (x - 3)/2.
      • A fatoração de polinômios é usada para resolver (encontrar raízes) equações (uma equação é um polinômio igual a 0). Por exemplo, considere a equação x 2 - 5x + 6 = 0. Ao fatorá-la, você obtém (x - 3)(x - 2) = 0. Como qualquer expressão multiplicada por 0 é igual a 0, podemos escrevê-la como isto: x - 3 = 0 e x - 2 = 0. Assim, x = 3 e x = 2, ou seja, você encontrou duas raízes da equação que lhe foi dada.

Simplificar expressões algébricas é uma das pontos-chave aprender álgebra e uma habilidade extremamente útil para todos os matemáticos. A simplificação permite reduzir uma expressão complexa ou longa a uma expressão simples e fácil de trabalhar. Habilidades básicas de simplificação são boas mesmo para quem não está entusiasmado com matemática. Ao observar vários regras simples, você pode simplificar muitos dos tipos mais comuns de expressões algébricas sem nenhum conhecimento matemático especial.

Passos

Definições importantes

1. Membros semelhantes. São membros com uma variável da mesma ordem, membros com as mesmas variáveis ​​ou membros livres (membros que não contêm uma variável). Em outras palavras, termos semelhantes incluem a mesma variável no mesmo grau, incluem várias das mesmas variáveis ​​ou não incluem nenhuma variável. A ordem dos termos na expressão não importa.

   • Por exemplo, 3x 2 e 4x 2 são termos semelhantes porque contêm uma variável de segunda ordem (elevada à segunda potência) "x". Porém, x e x2 não são termos semelhantes, pois contêm a variável “x” de ordens diferentes (primeira e segunda). Da mesma forma, -3yx e 5xz não são termos semelhantes porque contêm variáveis ​​diferentes.

2. Fatoração. Isto é encontrar números cujo produto leva ao número original. Qualquer número original pode ter vários fatores. Por exemplo, o número 12 pode ser decomposto em próxima linha fatores: 1×12, 2×6 e 3×4, então podemos dizer que os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são fatores do número 12. Fatores são iguais aos divisores, ou seja, os números pelos quais o número original é dividido.

   • Por exemplo, se você quiser fatorar o número 20, escreva assim: 4×5.
   • Observe que ao fatorar, a variável é levada em consideração. Por exemplo, 20x = 4(5x).
   • Os números primos não podem ser fatorados porque só são divisíveis por eles próprios e por 1.

3. Lembre-se e siga a ordem das operações para evitar erros.

   • Parênteses
   • Grau
   • Multiplicação
   • Divisão
   • Adição
   • Subtração

   Trazendo membros semelhantes

   1. Escreva a expressão. Expressões algébricas simples (aquelas que não contêm frações, raízes, etc.) podem ser resolvidas (simplificadas) em apenas alguns passos.

      • Por exemplo, simplifique a expressão 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Defina termos semelhantes (termos com a mesma variável, termos com as mesmas variáveis ​​ou termos livres).

      • Encontre termos semelhantes nesta expressão. Os termos 2x e 4x contêm uma variável da mesma ordem (primeira). Além disso, 1 e -3 são termos livres (não contêm uma variável). Assim, nesta expressão os termos 2x e 4x são semelhantes, e os membros 1 e -3 também são semelhantes.

   3. Dê membros semelhantes. Isso significa adicioná-los ou subtraí-los e simplificar a expressão.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Reescreva a expressão levando em consideração os termos fornecidos. Você obterá uma expressão simples com menos termos. A nova expressão é igual à original.

      • No nosso exemplo: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ou seja, a expressão original é simplificada e mais fácil de trabalhar.

   5. Siga a ordem das operações ao trazer membros semelhantes. No nosso exemplo foi fácil fornecer termos semelhantes. No entanto, caso expressões complexas, em que os termos estão entre colchetes e há frações e raízes, não é tão fácil trazer tais termos. Nestes casos, siga a ordem das operações.

      • Por exemplo, considere a expressão 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aqui seria um erro definir imediatamente 3x e 2x como termos semelhantes e fornecê-los, porque é necessário primeiro abrir os parênteses. Portanto, execute as operações de acordo com sua ordem.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Agora, quando a expressão contém apenas operações de adição e subtração, você pode trazer termos semelhantes.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Tirando o multiplicador dos colchetes

   1. Encontre o máximo divisor comum (MDC) de todos os coeficientes da expressão. GCD é maior número, pelo qual todos os coeficientes da expressão são divididos.

      • Por exemplo, considere a equação 9x 2 + 27x - 3. Neste caso, GCD = 3, pois qualquer coeficiente desta expressão é divisível por 3.

   2. Divida cada termo da expressão por mdc. Os termos resultantes conterão coeficientes menores do que na expressão original.

      • No nosso exemplo, divida cada termo da expressão por 3.
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • O resultado foi uma expressão 3x 2 + 9x - 1. Não é igual à expressão original.

   3. Escreva a expressão original como igual ao produto do mdc e a expressão resultante. Ou seja, coloque a expressão resultante entre colchetes e retire o mdc dos colchetes.

      • No nosso exemplo: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificando expressões fracionárias colocando o fator fora dos colchetes. Por que simplesmente colocar o multiplicador fora dos colchetes, como foi feito anteriormente? Depois, aprenda como simplificar expressões complexas, como expressões fracionárias. Nesse caso, colocar o fator fora dos colchetes pode ajudar a eliminar a fração (do denominador).

      • Por exemplo, considere a expressão fracionária (9x 2 + 27x - 3)/3. Use a fatoração para simplificar esta expressão.
        • Coloque o fator 3 entre colchetes (como você fez anteriormente): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Observe que agora existe um 3 no numerador e no denominador. Isso pode ser reduzido para dar a expressão: (3x 2 + 9x – 1)/1.
        • Como qualquer fração que tenha o número 1 no denominador é simplesmente igual ao numerador, a expressão fracionária original é simplificada para: 3x 2 + 9x - 1.

   Métodos adicionais de simplificação

4. Vejamos um exemplo simples: √(90). O número 90 pode ser fatorado nos seguintes fatores: 9 e 10, e extraído de 9 raiz quadrada(3) e remova 3 debaixo da raiz.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Simplificando expressões com potências. Algumas expressões contêm operações de multiplicação ou divisão de termos com potências. No caso de multiplicação de termos de mesma base, somam-se suas potências; no caso de divisão de termos de mesma base, subtraem-se seus graus.

   • Por exemplo, considere a expressão 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). No caso de multiplicação, some as potências e, no caso de divisão, subtraia-as.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7 +x2
   • A seguir está uma explicação das regras para multiplicar e dividir termos com potências.
     • Multiplicar termos com potências equivale a multiplicar termos por si mesmos. Por exemplo, como x 3 = x × x × x e x 5 = x × x × x × x × x, então x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ou x 8 .
     • Da mesma forma, dividir os termos com graus equivale a dividir os termos por si próprios. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Como termos semelhantes encontrados tanto no numerador quanto no denominador podem ser reduzidos, o produto de dois “x”, ou x 2 , permanece no numerador.

• Lembre-se sempre dos sinais (mais ou menos) que precedem os termos da expressão, pois muitas pessoas têm dificuldade em escolher o sinal correto.
• Peça ajuda se necessário!
• Simplificar expressões algébricas não é fácil, mas depois de pegar o jeito, é uma habilidade que você pode usar pelo resto da vida.

Uma expressão algébrica na qual, juntamente com as operações de adição, subtração e multiplicação, divisão por expressões literais, é chamada de expressão algébrica fracionária. Estas são, por exemplo, as expressões

Chamamos uma fração algébrica de expressão algébrica que tem a forma de um quociente da divisão de duas expressões algébricas inteiras (por exemplo, monômios ou polinômios). Estas são, por exemplo, as expressões

A terceira das expressões).

Transformações idênticas de expressões algébricas fracionárias destinam-se, em sua maior parte, a representá-las na forma fração algébrica. Para encontrar o denominador comum, utiliza-se a fatoração dos denominadores das frações - termos para encontrar seu mínimo múltiplo comum. Ao reduzir frações algébricas, a identidade estrita das expressões pode ser violada: é necessário excluir valores de quantidades em que o fator pelo qual a redução é feita torna-se zero.

Damos exemplos de transformações idênticas de expressões algébricas fracionárias.

Exemplo 1: Simplifique uma expressão

Todos os termos podem ser reduzidos a um denominador comum (é conveniente mudar o sinal do denominador do último termo e o sinal que o precede):

Nossa expressão é igual a um para todos os valores, exceto esses valores, é indefinida e reduzir a fração é ilegal).

Exemplo 2. Represente a expressão como uma fração algébrica

Solução. Para denominador comum podemos aceitar a expressão. Encontramos sequencialmente:

Exercícios

1. Encontre os valores das expressões algébricas para os valores dos parâmetros especificados:

2. Fatore.

Nota 1

Uma função booleana pode ser escrita usando uma expressão booleana e então movida para um circuito lógico. É necessário simplificar as expressões lógicas para obter o circuito lógico mais simples possível (e portanto mais barato). Essencialmente, uma função lógica, uma expressão lógica e um circuito lógico são três idiomas diferentes, contando sobre uma entidade.

Para simplificar expressões lógicas use leis da lógica da álgebra.

Algumas transformações são semelhantes às transformações de fórmulas da álgebra clássica (tirando o fator comum dos colchetes, usando leis comutativas e combinacionais, etc.), enquanto outras transformações são baseadas em propriedades que as operações da álgebra clássica não possuem (usando a distributiva lei de conjunção, leis de absorção, colagem, regras de Morgan, etc.).

As leis da álgebra lógica são formuladas para operações lógicas básicas - “NÃO” – inversão (negação), “AND” – conjunção (multiplicação lógica) e “OR” – disjunção (adição lógica).

A lei da dupla negação significa que a operação “NÃO” é reversível: se você aplicá-la duas vezes, no final o valor lógico não mudará.

A lei do terceiro excluído afirma que qualquer expressão lógica é verdadeira ou falsa (“não há terceiro”). Portanto, se $A=1$, então $\bar(A)=0$ (e vice-versa), o que significa que a conjunção dessas quantidades é sempre igual a zero, e a disjunção é sempre igual a um.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Vamos simplificar esta fórmula:

Figura 3.

Segue-se que $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Responder: Os alunos $B$, $C$ e $D$ jogam xadrez, mas o aluno $A$ não joga.

Ao simplificar expressões lógicas, você pode executar a seguinte sequência de ações:

1. Substitua todas as operações “não básicas” (equivalência, implicação, OR exclusivo, etc.) pelas suas expressões através das operações básicas de inversão, conjunção e disjunção.
2. Expanda as inversões de expressões complexas de acordo com as regras de De Morgan de tal forma que as operações de negação permaneçam apenas para variáveis ​​​​individuais.
3. Em seguida, simplifique a expressão usando colchetes de abertura, colocando fatores comuns fora dos colchetes e outras leis da álgebra lógica.

Exemplo 2

Aqui, a regra de De Morgan, a lei distributiva, a lei do terceiro excluído, a lei comutativa, a lei da repetição, novamente a lei comutativa e a lei da absorção são usadas sucessivamente.