No início da lição revisaremos as propriedades básicas raízes quadradas, e então considere alguns exemplos complexos para simplificar expressões contendo raízes quadradas.
Assunto:Função. Propriedades da raiz quadrada
Lição:Convertendo e simplificando expressões mais complexas com raízes
1. Revisão das propriedades das raízes quadradas
Vamos repetir brevemente a teoria e relembrar as propriedades básicas das raízes quadradas.
Propriedades das raízes quadradas:
1. portanto,;
3. 
;
4. 
.
2. Exemplos de simplificação de expressões com raízes
Vejamos exemplos de uso dessas propriedades.
Exemplo 1: Simplifique uma expressão 
.
Solução. Para simplificar, o número 120 deve ser fatorado em fatores primos:
Revelaremos o quadrado da soma usando a fórmula apropriada:
Exemplo 2: Simplifique uma expressão 
.
Solução. Levemos em consideração que esta expressão não faz sentido para todos os valores possíveis da variável, pois esta expressão contém raízes quadradas e frações, o que leva a um “estreitamento” da faixa de valores permitidos. ODZ: 
().
Vamos reduzir a expressão entre parênteses para denominador comum e escreva o numerador da última fração como uma diferença de quadrados:
Responder. no.
Exemplo 3: Simplifique uma expressão 
.
Solução. Percebe-se que o segundo colchete do numerador tem uma aparência inconveniente e precisa ser simplificado, vamos tentar fatorá-lo usando o método de agrupamento;
Para poder derivar um fator comum, simplificamos as raízes fatorando-as. Vamos substituir a expressão resultante na fração original:
Depois de reduzir a fração, aplicamos a fórmula da diferença de quadrados.
3. Um exemplo de como se livrar da irracionalidade
Exemplo 4. Liberte-se da irracionalidade (raízes) no denominador: a) ; b).
Solução. a) Para se livrar da irracionalidade no denominador, utiliza-se o método padrão de multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo fator conjugado ao denominador (a mesma expressão, mas com sinal oposto). Isso é feito para complementar o denominador da fração à diferença dos quadrados, o que permite eliminar as raízes do denominador. Vamos fazer isso no nosso caso:
b) realizar ações semelhantes:
4. Um exemplo de prova e de isolamento de um quadrado completo em um radical complexo
Exemplo 5. Prove igualdade 
.
Prova. Vamos usar a definição de raiz quadrada, da qual segue que o quadrado da expressão à direita deve ser igual à expressão radical:
. Vamos abrir os colchetes usando a fórmula do quadrado da soma:
, obtivemos a igualdade correta.
Comprovado.
Exemplo 6. Simplifique a expressão.
Solução. Esta expressão é geralmente chamada de radical complexo (raiz sob raiz). Neste exemplo, você precisa adivinhar para isolar um quadrado completo da expressão radical. Para isso, observe que dos dois termos, ele é candidato ao papel do dobro do produto na fórmula da diferença quadrada (diferença, pois há menos). Vamos escrevê-lo na forma do seguinte produto: , então 1 afirma ser um dos termos do quadrado completo e 1 afirma ser o segundo.
Vamos substituir esta expressão na raiz.
Seção 5 EXPRESSÕES E EQUAÇÕES
Nesta seção você aprenderá:
ü o expressões e suas simplificações;
ü quais são as propriedades das igualdades;
ü como resolver equações com base nas propriedades das igualdades;
ü que tipos de problemas são resolvidos por meio de equações; o que são retas perpendiculares e como construí-las;
ü quais linhas são chamadas de paralelas e como construí-las;
ü o que é um plano coordenado?
ü como determinar as coordenadas de um ponto em um plano;
ü o que é um gráfico da relação entre quantidades e como construí-lo;
ü como aplicar o material estudado na prática
§ 30. EXPRESSÕES E SUA SIMPLIFICAÇÃO
Você já sabe o que são expressões de letras e sabe como simplificá-las usando as leis da adição e da multiplicação. Por exemplo, 2a ∙ (-4 b) = -8ab . Na expressão resultante, o número -8 é chamado de coeficiente da expressão.
Será que a expressão CD coeficiente? Então. É igual a 1 porque CD - 1 ∙ CD .
Lembre-se de que converter uma expressão com parênteses em uma expressão sem parênteses é chamado de expansão dos parênteses. Por exemplo: 5(2x + 4) = 10x+ 20.
A ação inversa neste exemplo é retirar o fator comum dos colchetes.
Termos que contêm os mesmos fatores de letras são chamados de termos semelhantes. Ao retirar o fator comum dos colchetes, termos semelhantes são levantados:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =
Bx+ 7y - 5.
Regras para abrir parênteses
1. Se houver um sinal “+” antes dos colchetes, então ao abrir os colchetes, os sinais dos termos entre colchetes são preservados;
2. Se houver um sinal “-” na frente dos colchetes, quando os colchetes forem abertos, os sinais dos termos entre colchetes mudam para o oposto.
Tarefa 1. Simplifique a expressão:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 anos -(-8 + 7 anos).
Soluções. 1. Antes dos colchetes há um sinal “+”, portanto ao abrir os colchetes são preservados os sinais de todos os termos:
4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.
2. Antes dos colchetes há um sinal “-”, portanto ao abrir os colchetes: os sinais de todos os termos são invertidos:
15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.
Para abrir os parênteses, use a propriedade distributiva da multiplicação: a( b + c) = ab + ac. Se a > 0, então os sinais dos termos b e com não mude. Se um< 0, то знаки слагаемых b e mude para o oposto.
Tarefa 2. Simplifique a expressão:
1) 2(6 anos -8) + 7 anos;
2)-5(2-5x) + 12.
Soluções. 1. O fator 2 na frente dos colchetes é positivo, portanto, ao abrir os colchetes, preservamos os sinais de todos os termos: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.
2. O fator -5 na frente dos colchetes é negativo, portanto, ao abrir os colchetes, alteramos os sinais de todos os termos para o oposto:
5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Saiba mais
1. A palavra “soma” vem do latim soma , que significa “total”, “valor total”.
2. A palavra “mais” vem do latim mais que significa "mais" e a palavra "menos" vem do latim menos O que significa “menos”? Os sinais “+” e “-” são utilizados para indicar as operações de adição e subtração. Esses sinais foram introduzidos pelo cientista tcheco J. Widman em 1489 no livro “Um relato rápido e agradável para todos os comerciantes”(Fig. 138).
Arroz. 138
LEMBRE-SE DO IMPORTANTE
1. Quais termos são chamados de semelhantes? Como esses termos são construídos?
2. Como você abre parênteses precedidos de um sinal “+”?
3. Como você abre parênteses precedidos de um sinal “-”?
4. Como abrir parênteses precedidos de fator positivo?
5. Como abrir parênteses precedidos por um fator negativo?
1374". Nomeie o coeficiente da expressão:
1)12a; 3) -5,6xy;
2)4 6; 4)-s.
1375". Cite os termos que diferem apenas pelo coeficiente:
1) 10a+76-26+a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;
2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.
Como são chamados esses termos?
1376". Existem termos semelhantes na expressão:
1)11a+10a; 3)6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4)12m + m; 6)8 k +10 k - n ?
1377". É necessário alterar os sinais dos termos entre colchetes, abrindo os colchetes na expressão:
1)4 + (uma+ 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5m-8n)?
1378°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:
1379°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:
1380°. Combine termos semelhantes:
1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d-12 + 4d;
2) 4b - 5b + 4 + 5b ; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;
3)-7 ang="PT-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Combine termos semelhantes:
1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;
2)9b+12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.
1382°. Retire o fator comum dos colchetes:
1)1,2 a +1,2 b; 3) -3n - 1,8m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;
2) 0,5s + 5d; 4) 1,2n - 1,8m; 6) -8r - 10k - 6t.
1383°. Retire o fator comum dos colchetes:
1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;
2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9k + 2,7t.
1384°. Abra os colchetes e combine termos semelhantes;
1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Abra os colchetes e combine termos semelhantes:
1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);
2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5n +m) + (-4n + 8m)-(2m -5n).
1386°. Abra os colchetes e encontre o significado da expressão:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Abra os colchetes e encontre o significado da expressão:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Expanda os colchetes:
1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);
3) 1,6∙(2n+m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Expanda os colchetes:
1) 2,2∙(x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );
2) -2∙(1,2n-m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Simplifique a expressão:
1391. Simplifique a expressão:
1392. Combine termos semelhantes:
1393. Combine termos semelhantes:
1394. Simplifique a expressão:
1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, por ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Simplifique a expressão:
1396. Encontre o significado da expressão;
1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), se a = -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), se = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Encontre o significado da expressão:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), se x = -0,25;
1398*. Encontre o erro na solução:
1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;
2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.
1399*. Abra os parênteses e simplifique a expressão:
1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;
1400*. Organize os parênteses para obter a igualdade correta:
1)a-6-a + 6 = 2a; 2) uma -2 b -2 uma + b = 3 uma -3 b .
1401*. Prove que para quaisquer números a e b se a > b , então a igualdade é válida:
1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.
Esta igualdade será correta se: a) a< b; b) uma = 6?
1402*. Prove que para qualquer número natural e a média aritmética dos números anteriores e seguintes é igual ao número a.
COLOQUE EM PRÁTICA
1403. Para preparar uma sobremesa de frutas para três pessoas são necessários: 2 maçãs, 1 laranja, 2 bananas e 1 kiwi. Como criar uma expressão de letras para determinar a quantidade de frutas necessárias para preparar a sobremesa dos convidados? Ajude Marin a calcular quantas frutas ela precisa comprar se: 1) 5 amigos vierem visitá-la; 2) 8 amigos.
1404. Faça uma expressão alfabética para determinar o tempo necessário para concluir seu dever de matemática se:
1) foi gasto um minuto na resolução de problemas; 2) a simplificação das expressões é 2 vezes maior do que na resolução de problemas. Quanto tempo demorou para ser concluído trabalho de casa Vasilko, se ele passasse 15 minutos resolvendo problemas?
1405. O almoço no refeitório da escola consiste em salada, borscht, rolinho de repolho e compota. O custo da salada é de 20%, borscht - 30%, rolinhos de repolho - 45%, compota - 5% custo total apenas almoço. Escreva uma expressão para saber o custo do almoço na cantina da escola. Quanto custa o almoço se o preço da salada for 2 UAH?
REVISAR PROBLEMAS
1406. Resolva a equação:
1407. Tanya gastou em sorvetetodo o dinheiro disponível e para doces -o resto. Quanto dinheiro resta para Tanya?
se os doces custam 12 UAH?
Qualquer idioma pode expressar a mesma informação em palavras diferentes e revoluções. A linguagem matemática não é exceção. Mas a mesma expressão pode ser escrita equivalentemente de maneiras diferentes. E em algumas situações, uma das entradas é mais simples. Falaremos sobre simplificação de expressões nesta lição.
As pessoas se comunicam idiomas diferentes. Para nós comparação importanteé o par “língua russa - linguagem matemática”. A mesma informação pode ser comunicada em diferentes idiomas. Mas, além disso, pode ser pronunciado de diferentes maneiras em um idioma.
Por exemplo: “Petya é amigo de Vasya”, “Vasya é amigo de Petya”, “Petya e Vasya são amigos”. Dito de forma diferente, mas a mesma coisa. A partir de qualquer uma dessas frases entenderíamos do que estamos falando.
Vejamos esta frase: “O menino Petya e o menino Vasya são amigos”. Nós entendemos o que queremos dizer estamos falando sobre. No entanto, não gostamos do som desta frase. Não podemos simplificar, dizer a mesma coisa, mas mais simples? “Menino e menino” - você pode dizer uma vez: “Os meninos Petya e Vasya são amigos”.
“Meninos”... Não fica claro pelos nomes deles que não são meninas? Removemos os “meninos”: “Petya e Vasya são amigos”. E a palavra “amigos” pode ser substituída por “amigos”: “Petya e Vasya são amigos”. Como resultado, a primeira frase longa e feia foi substituída por uma afirmação equivalente, mais fácil de dizer e mais fácil de entender. Simplificamos esta frase. Simplificar significa dizer de forma mais simples, mas sem perder ou distorcer o significado.
Na linguagem matemática, acontece aproximadamente a mesma coisa. A mesma coisa pode ser dita, escrita de forma diferente. O que significa simplificar uma expressão? Isso significa que para a expressão original existem muitas expressões equivalentes, ou seja, aquelas que significam a mesma coisa. E de toda esta variedade devemos escolher a mais simples, em nossa opinião, ou a mais adequada aos nossos propósitos futuros.
Por exemplo, considere expressão numérica. Será equivalente a.
Também será equivalente aos dois primeiros: 
.
Acontece que simplificamos as nossas expressões e encontrámos a expressão equivalente mais curta.
Para expressões numéricas, você sempre precisa executar todas as etapas e obter a expressão equivalente como um único número.
Vejamos um exemplo de expressão literal . Obviamente, será mais simples.
Ao simplificar expressões literais, é necessário realizar todas as ações possíveis.
É sempre necessário simplificar uma expressão? Não, às vezes será mais conveniente para nós ter uma entrada equivalente, mas mais longa.
Exemplo: você precisa subtrair um número de um número.
É possível calcular, mas se o primeiro número fosse representado pela sua notação equivalente: , então os cálculos seriam instantâneos: .
Ou seja, uma expressão simplificada nem sempre é benéfica para cálculos posteriores.
No entanto, muitas vezes nos deparamos com uma tarefa que soa apenas como “simplificar a expressão”.
Simplifique a expressão: .
Solução
1) Execute as ações do primeiro e segundo colchetes: .
2) Vamos calcular os produtos: .
Obviamente, a última expressão tem uma forma mais simples que a inicial. Nós simplificamos isso.
Para simplificar a expressão, ela deve ser substituída por um equivalente (igual).
Para determinar a expressão equivalente, você precisa:
1) realizar todas as ações possíveis,
2) utilizar as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão para simplificar os cálculos.
Propriedades de adição e subtração:
1. Propriedade comutativa da adição: reorganizar os termos não altera a soma.
2. Propriedade combinativa de adição: para adicionar um terceiro número à soma de dois números, você pode adicionar a soma do segundo e do terceiro números ao primeiro número.
3. A propriedade de subtrair uma soma de um número: para subtrair uma soma de um número, você pode subtrair cada termo separadamente.
Propriedades de multiplicação e divisão
1. Propriedade comutativa da multiplicação: reorganizar os fatores não altera o produto.
2. Propriedade combinativa: para multiplicar um número pelo produto de dois números, você pode primeiro multiplicá-lo pelo primeiro fator e depois multiplicar o produto resultante pelo segundo fator.
3. Propriedade distributiva da multiplicação: para multiplicar um número por uma soma, é necessário multiplicá-lo por cada termo separadamente.
Vamos ver como realmente fazemos cálculos mentais.
Calcular:
Solução
1) Vamos imaginar como
2) Vamos imaginar o primeiro fator como uma soma de termos de bits e realizar a multiplicação:
3) você pode imaginar como e realizar a multiplicação:
4) Substitua o primeiro fator por uma soma equivalente:
A lei distributiva também pode ser usada em verso: .
Siga estas etapas:
1) 
2) 
Solução
1) Por conveniência, você pode usar a lei distributiva, mas use-a na direção oposta - retire o fator comum dos colchetes.
2) Vamos tirar o fator comum dos colchetes
É necessário comprar linóleo para cozinha e corredor. Área da cozinha - , corredor - . Existem três tipos de linóleo: para e rublos para. Quanto custará cada um? três tipos linóleo? (Fig. 1)
Arroz. 1. Ilustração para a definição do problema
Solução
Método 1. Você pode descobrir separadamente quanto dinheiro será necessário para comprar linóleo para a cozinha e depois para o corredor e somar os produtos resultantes.
Uma expressão literal (ou expressão variável) é uma expressão matemática que consiste em números, letras e símbolos matemáticos. Por exemplo, a seguinte expressão é literal:
a+b+4
Usando expressões alfabéticas você pode escrever leis, fórmulas, equações e funções. A capacidade de manipular expressões de letras é a chave para um bom conhecimento de álgebra e matemática superior.
Qualquer problema sério em matemática se resume à resolução de equações. E para poder resolver equações, você precisa saber trabalhar com expressões literais.
Para trabalhar com expressões literais, você precisa ser versado em aritmética básica: adição, subtração, multiplicação, divisão, leis básicas da matemática, frações, operações com frações, proporções. E não apenas estude, mas entenda bem.
Conteúdo da liçãoVariáveis
Letras contidas em expressões literais são chamadas variáveis. Por exemplo, na expressão a+b+4 as variáveis são as letras um E b. Se substituirmos quaisquer números em vez dessas variáveis, então a expressão literal a+b+4 se transformará em uma expressão numérica cujo valor pode ser encontrado.
Os números que são substituídos por variáveis são chamados valores de variáveis. Por exemplo, vamos alterar os valores das variáveis um E b. O sinal de igual é usado para alterar valores
uma = 2, b = 3
Mudamos os valores das variáveis um E b. Variável um atribuído um valor 2 , variável b atribuído um valor 3 . A expressão literal resultante a+b+4 se transforma em uma expressão numérica regular 2+3+4 cujo valor pode ser encontrado:
2 + 3 + 4 = 9
Quando as variáveis são multiplicadas, elas são escritas juntas. Por exemplo, registre ab significa o mesmo que a entrada a×b. Se substituirmos as variáveis um E b números 2 E 3 , então obtemos 6
2 × 3 = 6
Você também pode escrever a multiplicação de um número por uma expressão entre parênteses. Por exemplo, em vez de uma×(b + c) pode ser escrito uma(b + c). Aplicando a lei de distribuição da multiplicação, obtemos uma(b + c)=ab+ac.
Chances
Em expressões literais, muitas vezes você pode encontrar uma notação na qual um número e uma variável são escritos juntos, por exemplo 3a. Na verdade, esta é uma forma abreviada de multiplicar o número 3 por uma variável. um e esta entrada parece 3×a .
Em outras palavras, a expressão 3aé o produto do número 3 e da variável um. Número 3 neste trabalho eles chamam coeficiente. Este coeficiente mostra quantas vezes a variável será aumentada um. Esta expressão pode ser lida como " um três vezes" ou "três vezes UM", ou "aumentar o valor de uma variável um três vezes", mas na maioria das vezes lido como "três um«
Por exemplo, se a variável um igual a 5 , então o valor da expressão 3a será igual a 15.
3 × 5 = 15
Falando em linguagem simples, o coeficiente é o número que vem antes da letra (antes da variável).
Pode haver várias letras, por exemplo 5abc. Aqui o coeficiente é o número 5 . Este coeficiente mostra que o produto das variáveis abc aumenta cinco vezes. Esta expressão pode ser lida como " abc cinco vezes" ou "aumentar o valor da expressão abc cinco vezes" ou "cinco abc«.
Se em vez de variáveis abc substitua os números 2, 3 e 4, então o valor da expressão 5abc será igual 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Você pode imaginar mentalmente como os números 2, 3 e 4 foram multiplicados pela primeira vez e o valor resultante aumentou cinco vezes:
O sinal do coeficiente refere-se apenas ao coeficiente e não se aplica às variáveis.
Considere a expressão −6b. Menos antes do coeficiente 6 , aplica-se apenas ao coeficiente 6 , e não pertence à variável b. Compreender esse fato permitirá que você não cometa erros no futuro com os sinais.
Vamos encontrar o valor da expressão −6b no b = 3.
−6b −6×b. Para maior clareza, vamos escrever a expressão −6b na forma expandida e substitua o valor da variável b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão −6b no b = −5
Vamos escrever a expressão −6b em forma expandida
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Exemplo 3. Encontre o valor de uma expressão −5a+b no uma = 3 E b = 2
−5a+b este é um formulário curto para −5 × a + b, então para maior clareza escrevemos a expressão −5×a+b na forma expandida e substitua os valores das variáveis um E b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Às vezes, as letras são escritas sem coeficiente, por exemplo um ou ab. Neste caso, o coeficiente é unitário:
mas tradicionalmente a unidade não é escrita, então eles simplesmente escrevem um ou ab
Se houver um sinal de menos antes da letra, então o coeficiente é um número −1 . Por exemplo, a expressão −a na verdade parece −1a. Este é o produto de menos um e a variável um. Aconteceu assim:
−1 × uma = −1a
Há um pequeno problema aqui. Em expressão −a sinal de menos na frente da variável um na verdade, refere-se a uma "unidade invisível" em vez de uma variável um. Portanto, você deve ter cuidado ao resolver problemas.
Por exemplo, se for dada a expressão −a e somos solicitados a encontrar seu valor em uma = 2, então na escola substituímos dois em vez de uma variável um e recebi uma resposta −2 , sem focar muito em como acabou. Na verdade, menos um foi multiplicado pelo número positivo 2
−uma = −1 × uma
−1 × uma = −1 × 2 = −2
Se dada a expressão −a e você precisa encontrar seu valor em uma = −2, então substituímos −2 em vez de uma variável um
−uma = −1 × uma
−1 × uma = −1 × (−2) = 2
Para evitar erros, a princípio as unidades invisíveis podem ser escritas explicitamente.
Exemplo 4. Encontre o valor de uma expressão abc no uma=2 , b=3 E c=4
Expressão abc 1×a×b×c. Para maior clareza, vamos escrever a expressão abc um, b E c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Exemplo 5. Encontre o valor de uma expressão abc no uma=−2, b=−3 E c = −4
Vamos escrever a expressão abc na forma expandida e substitua os valores das variáveis um, b E c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Exemplo 6. Encontre o valor de uma expressão − abc no a=3, b=5 e c=7
Expressão − abc este é um formulário curto para −1×a×b×c. Para maior clareza, vamos escrever a expressão − abc na forma expandida e substitua os valores das variáveis um, b E c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Exemplo 7. Encontre o valor de uma expressão − abc no a=−2, b=−4 e c=−3
Vamos escrever a expressão − abc em forma expandida:
−abc = −1 × a × b × c
Vamos substituir os valores das variáveis um , b E c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Como determinar o coeficiente
Às vezes você precisa resolver um problema no qual precisa determinar o coeficiente de uma expressão. Em princípio, esta tarefa é muito simples. Basta saber multiplicar os números corretamente.
Para determinar o coeficiente em uma expressão, você precisa multiplicar separadamente os números incluídos nesta expressão e multiplicar separadamente as letras. O fator numérico resultante será o coeficiente.
Exemplo 1. 7m×5a×(−3)×n
A expressão consiste em vários fatores. Isso pode ser visto claramente se você escrever a expressão de forma expandida. Ou seja, as obras 7m E 5a escreva no formato 7×m E 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Vamos aplicar a lei associativa da multiplicação, que permite multiplicar fatores em qualquer ordem. Ou seja, multiplicaremos separadamente os números e multiplicaremos separadamente as letras (variáveis):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105homem
O coeficiente é −105 . Após a conclusão, é aconselhável organizar a parte das letras em ordem alfabética:
−105h
Exemplo 2. Determine o coeficiente na expressão: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
O coeficiente é 6.
Exemplo 3. Determine o coeficiente na expressão: 
Vamos multiplicar números e letras separadamente:
O coeficiente é −1. Observe que a unidade não está anotada, pois é costume não escrever o coeficiente 1.
Essas tarefas aparentemente mais simples podem nos pregar uma peça muito cruel. Muitas vezes acontece que o sinal do coeficiente está definido incorretamente: ou falta o menos ou, pelo contrário, foi definido em vão. Para evitar esses erros irritantes, deve ser estudado em bom nível.
Adendos em expressões literais
Ao somar vários números, obtém-se a soma desses números. Os números que somam são chamados de adendos. Pode haver vários termos, por exemplo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Quando uma expressão consiste em termos, é muito mais fácil avaliá-la porque somar é mais fácil do que subtrair. Mas a expressão pode conter não apenas adição, mas também subtração, por exemplo:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
Nesta expressão, os números 3 e 5 são subtraendos, não adendos. Mas nada nos impede de substituir a subtração pela adição. Então obtemos novamente uma expressão que consiste em termos:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Não importa que os números −3 e −5 tenham agora um sinal menos. O principal é que todos os números desta expressão estejam ligados por um sinal de adição, ou seja, a expressão é uma soma.
Ambas as expressões 1 + 2 − 3 + 4 − 5 E 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) igual ao mesmo valor - menos um
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Assim, o significado da expressão não será prejudicado se substituirmos a subtração pela adição em algum lugar.
Você também pode substituir a subtração pela adição em expressões literais. Por exemplo, considere a seguinte expressão:
7a + 6b - 3c + 2d - 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Para quaisquer valores de variáveis a, b, c, d E é expressões 7a + 6b - 3c + 2d - 4s E 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) será igual ao mesmo valor.
Você deve estar preparado para o fato de que um professor de escola ou de instituto pode citar números pares (ou variáveis) que não são adendos.
Por exemplo, se a diferença estiver escrita no quadro a-b, então o professor não vai dizer isso umé um minuendo e b- subtraível. Ele chamará ambas as variáveis de uma em termos gerais — termos. E tudo porque a expressão da forma a-b o matemático vê como a soma uma+(−b). Neste caso, a expressão se torna uma soma e as variáveis um E (-b) tornam-se termos.
Termos semelhantes
Termos semelhantes- são termos que possuem a mesma parte da letra. Por exemplo, considere a expressão 7a + 6b + 2a. Componentes 7a E 2a têm a mesma parte da letra - variável um. Então os termos 7a E 2a são semelhantes.
Normalmente, termos semelhantes são adicionados para simplificar uma expressão ou resolver uma equação. Esta operação é chamada trazendo termos semelhantes.
Para trazer termos semelhantes, você precisa somar os coeficientes desses termos e multiplicar o resultado resultante pela parte da letra comum.
Por exemplo, vamos apresentar termos semelhantes na expressão 3a + 4a + 5a. Neste caso, todos os termos são semelhantes. Vamos somar seus coeficientes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum - pela variável um
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Termos semelhantes geralmente são lembrados e o resultado é anotado imediatamente:
3a + 4a + 5a = 12a
Além disso, pode-se raciocinar da seguinte forma:
Havia 3 variáveis a, mais 4 variáveis a e mais 5 variáveis a foram adicionadas a elas. Como resultado, obtivemos 12 variáveis por
Vejamos vários exemplos de trazer termos semelhantes. Considerando que este tema é muito importante, a princípio iremos anotar detalhadamente cada pequeno detalhe. Embora tudo aqui seja muito simples, a maioria das pessoas comete muitos erros. Principalmente por desatenção, não por ignorância.
Exemplo 1. 3a + 2a + 6a + 8 um
Vamos somar os coeficientes nesta expressão e multiplicar o resultado resultante pela parte da letra comum:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
projeto (3 + 2 + 6 + 8)×a Você não precisa anotar, então anotaremos a resposta imediatamente
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Exemplo 2. Dê termos semelhantes na expressão 2a+a
Segundo mandato um escrito sem coeficiente, mas na verdade há um coeficiente na frente dele 1 , que não vemos porque não está registrado. Então a expressão fica assim:
2a + 1a
Agora vamos apresentar termos semelhantes. Ou seja, somamos os coeficientes e multiplicamos o resultado pela parte da letra comum:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Vamos escrever brevemente a solução:
2a + uma = 3a
2a+a, você pode pensar de forma diferente:
Exemplo 3. Dê termos semelhantes na expressão 2a-a
Vamos substituir a subtração pela adição:
2a + (−a)
Segundo mandato (-a) escrito sem coeficiente, mas na realidade parece (−1a). Coeficiente −1 novamente invisível devido ao fato de não ser gravado. Então a expressão fica assim:
2a + (-1a)
Agora vamos apresentar termos semelhantes. Vamos somar os coeficientes e multiplicar o resultado pela parte total das letras:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × uma = 1a = uma
Geralmente escrito mais curto:
2a - uma = uma
Dando termos semelhantes na expressão 2a-a Você pode pensar diferente:
Havia 2 variáveis a, subtraia uma variável a, no final só restava uma variável a
Exemplo 4. Dê termos semelhantes na expressão 6a - 3a + 4a - 8a
6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Agora vamos apresentar termos semelhantes. Vamos somar os coeficientes e multiplicar o resultado pela parte total das letras
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × uma = −1a = −a
Vamos escrever brevemente a solução:
6a - 3a + 4a - 8a = -uma
Existem expressões que contêm vários grupos diferentes de termos semelhantes. Por exemplo, 3a + 3b + 7a + 2b. Para tais expressões aplicam-se as mesmas regras das demais, ou seja, somar os coeficientes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum. Mas para evitar erros, é conveniente grupos diferentes termos sublinhados linhas diferentes.
Por exemplo, na expressão 3a + 3b + 7a + 2b aqueles termos que contêm uma variável um, pode ser sublinhado com uma linha e os termos que contêm uma variável b, pode ser enfatizado com duas linhas:
Agora podemos apresentar termos semelhantes. Ou seja, some os coeficientes e multiplique o resultado resultante pela parte total das letras. Isto deve ser feito para ambos os grupos de termos: para termos que contêm uma variável um e para termos contendo uma variável b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Mais uma vez, repetimos, a expressão é simples e termos semelhantes podem ser dados em mente:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Exemplo 5. Dê termos semelhantes na expressão 5a − 6a −7b + b
Vamos substituir a subtração pela adição sempre que possível:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Sublinhemos termos semelhantes com linhas diferentes. Termos contendo variáveis um sublinhamos com uma linha, e os termos são o conteúdo das variáveis b, sublinhe com duas linhas:
Agora podemos apresentar termos semelhantes. Ou seja, some os coeficientes e multiplique o resultado resultante pela parte da letra comum:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Se a expressão contiver números comuns sem fatores alfabéticos, eles serão somados separadamente.
Exemplo 6. Dê termos semelhantes na expressão 4a + 3a - 5 + 2b + 7
Vamos substituir a subtração pela adição sempre que possível:
4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Vamos apresentar termos semelhantes. Números −5 E 7 não possuem fatores de letras, mas são termos semelhantes - só precisam ser somados. E o termo 2b permanecerá inalterado, pois é o único nesta expressão que possui um fator alfabético b, e não há nada para adicionar:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Vamos escrever brevemente a solução:
4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Os termos podem ser ordenados de forma que os termos que possuem a mesma parte alfabética estejam localizados na mesma parte da expressão.
Exemplo 7. Dê termos semelhantes na expressão 5t+2x+3x+5t+x
Como a expressão é a soma de vários termos, isso nos permite avaliá-la em qualquer ordem. Portanto, os termos que contêm a variável t, pode ser escrito no início da expressão, e os termos que contêm a variável x no final da expressão:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Agora podemos apresentar termos semelhantes:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Vamos escrever brevemente a solução:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
A soma dos números opostos é zero. Esta regra também funciona para expressões literais. Se a expressão contiver termos idênticos, mas com sinais opostos, você poderá eliminá-los na fase de redução de termos semelhantes. Em outras palavras, basta eliminá-los da expressão, pois sua soma é zero.
Exemplo 8. Dê termos semelhantes na expressão 3t - 4t - 3t + 2t
Vamos substituir a subtração pela adição sempre que possível:
3t - 4t - 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Componentes 3t E (−3t) são opostos. A soma dos termos opostos é zero. Se retirarmos esse zero da expressão, o valor da expressão não mudará, então iremos removê-lo. E iremos removê-lo simplesmente riscando os termos 3t E (−3t)
Como resultado, ficaremos com a expressão (−4t) + 2t. Nesta expressão, você pode adicionar termos semelhantes e obter a resposta final:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Vamos escrever brevemente a solução:
Simplificando Expressões
"simplifique a expressão" e abaixo está a expressão que precisa ser simplificada. Simplifique uma expressão significa torná-lo mais simples e mais curto.
Na verdade, já simplificamos expressões quando reduzimos frações. Após a redução, a fração ficou mais curta e mais fácil de entender.
Considere o seguinte exemplo. Simplifique a expressão.
Esta tarefa pode ser entendida literalmente da seguinte forma: “Aplique quaisquer ações válidas a esta expressão, mas torne-a mais simples.” .
Neste caso, você pode reduzir a fração, ou seja, dividir o numerador e o denominador da fração por 2:
O que mais você pode fazer? Você pode calcular a fração resultante. Então obtemos a fração decimal 0,5
Como resultado, a fração foi simplificada para 0,5.
A primeira pergunta que você precisa se fazer ao resolver esses problemas deve ser “O que pode ser feito?” . Porque existem ações que você pode realizar e existem ações que você não pode realizar.
Outro ponto importanteÉ importante lembrar que o valor da expressão não deve mudar após a simplificação da expressão. Voltemos à expressão. Esta expressão representa uma divisão que pode ser realizada. Realizada esta divisão, obtemos o valor desta expressão, que é igual a 0,5
Mas simplificamos a expressão e obtivemos uma nova expressão simplificada. O valor da nova expressão simplificada ainda é 0,5
Mas também tentámos simplificar a expressão calculando-a. Como resultado, recebemos uma resposta final de 0,5.
Assim, não importa como simplifiquemos a expressão, o valor das expressões resultantes ainda é igual a 0,5. Isto significa que a simplificação foi realizada corretamente em todas as fases. É exatamente por isso que devemos nos esforçar ao simplificar expressões - o significado da expressão não deve ser prejudicado por nossas ações.
Muitas vezes é necessário simplificar expressões literais. As mesmas regras de simplificação se aplicam a eles como para expressões numéricas. Você pode executar qualquer ação válida, desde que o valor da expressão não mude.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1. Simplifique uma expressão 5,21s × t × 2,5
Para simplificar esta expressão, você pode multiplicar os números separadamente e multiplicar as letras separadamente. Esta tarefa é muito semelhante àquela que analisamos quando aprendemos a determinar o coeficiente:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Então a expressão 5,21s × t × 2,5 simplificado para 13.025º.
Exemplo 2. Simplifique uma expressão −0,4 × (−6,3b) × 2
Segunda peça (-6,3b) pode ser traduzido para uma forma compreensível para nós, nomeadamente escrito na forma ( −6,3)×b , em seguida, multiplique os números separadamente e multiplique as letras separadamente:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Então a expressão −0,4 × (−6,3b) × 2 simplificado para 5.04b
Exemplo 3. Simplifique uma expressão 
Vamos escrever esta expressão com mais detalhes para ver claramente onde estão os números e onde estão as letras:
Agora vamos multiplicar os números separadamente e multiplicar as letras separadamente:
Então a expressão simplificado para −abc. Esta solução pode ser escrita brevemente:
Ao simplificar expressões, as frações podem ser reduzidas durante o processo de solução, e não no final, como fizemos com as frações comuns. Por exemplo, se durante a resolução nos depararmos com uma expressão da forma , então não é necessário calcular o numerador e o denominador e fazer algo assim:
Uma fração pode ser reduzida escolhendo um fator no numerador e no denominador e reduzindo esses fatores pelo seu maior fator comum. Ou seja, uso em que não descrevemos detalhadamente em que foram divididos o numerador e o denominador.
Por exemplo, no numerador o fator é 12 e no denominador o fator 4 pode ser reduzido por 4. Mantemos o quatro em mente, e dividindo 12 e 4 por este quatro, anotamos as respostas ao lado desses números, tendo primeiro riscado eles
Agora você pode multiplicar os pequenos fatores resultantes. Nesse caso, são poucos e você pode multiplicá-los mentalmente:
Com o tempo, você poderá descobrir que, ao resolver um determinado problema, as expressões começam a “engordar”, por isso é aconselhável se acostumar com cálculos rápidos. O que pode ser calculado na mente deve ser calculado na mente. O que pode ser reduzido rapidamente deve ser reduzido rapidamente.
Exemplo 4. Simplifique uma expressão 
Então a expressão simplificado para
Exemplo 5. Simplifique uma expressão 
Vamos multiplicar os números separadamente e as letras separadamente:
Então a expressão simplificado para homem.
Exemplo 6. Simplifique uma expressão 
Vamos escrever esta expressão com mais detalhes para ver claramente onde estão os números e onde estão as letras:
Agora vamos multiplicar os números separadamente e as letras separadamente. Para facilitar o cálculo, a fração decimal −6,4 e número misto pode ser convertido em frações ordinárias:
Então a expressão simplificado para
A solução para este exemplo pode ser escrita de forma muito mais curta. Será assim:
Exemplo 7. Simplifique uma expressão 
Vamos multiplicar os números separadamente e as letras separadamente. Para facilitar o cálculo, um número misto e decimais 0,1 e 0,6 podem ser convertidos em frações ordinárias:
Então a expressão simplificado para abcd. Se você pular os detalhes, esta solução pode ser escrita de forma muito mais curta:
Observe como a fração foi reduzida. Novos fatores obtidos como resultado da redução de fatores anteriores também podem ser reduzidos.
Agora vamos falar sobre o que não fazer. Ao simplificar expressões, é estritamente proibido multiplicar números e letras se a expressão for uma soma e não um produto.
Por exemplo, se você quiser simplificar a expressão 5a+4b, então você não pode escrever assim:
É o mesmo que se nos pedissem para adicionar dois números e os multiplicássemos em vez de adicioná-los.
Ao substituir quaisquer valores de variáveis um E b expressão 5a +4b se transforma em uma expressão numérica comum. Suponhamos que as variáveis um E b têm os seguintes significados:
uma = 2, b = 3
Então o valor da expressão será igual a 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Primeiro, a multiplicação é realizada e depois os resultados são somados. E se tentássemos simplificar esta expressão multiplicando números e letras, obteríamos o seguinte:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Acontece um significado completamente diferente da expressão. No primeiro caso funcionou 22 , no segundo caso 120 . Isso significa que simplificando a expressão 5a+4b foi realizado incorretamente.
Após simplificar a expressão, seu valor não deve mudar com os mesmos valores das variáveis. Se, ao substituir quaisquer valores de variáveis na expressão original, for obtido um valor, então após a simplificação da expressão, deverá ser obtido o mesmo valor de antes da simplificação.
Com expressão 5a+4b não há realmente nada que você possa fazer. Isso não simplifica.
Se uma expressão contiver termos semelhantes, eles poderão ser adicionados se nosso objetivo for simplificar a expressão.
Exemplo 8. Simplifique uma expressão 0,3a−0,4a+a
0,3a - 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
ou mais curto: 0,3a - 0,4a + uma = 0,9a
Então a expressão 0,3a−0,4a+a simplificado para 0,9a
Exemplo 9. Simplifique uma expressão −7,5a − 2,5b + 4a
Para simplificar esta expressão, podemos adicionar termos semelhantes:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
ou mais curto −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Prazo (-2,5b) permaneceu inalterado porque não havia nada para colocá-lo.
Exemplo 10. Simplifique uma expressão 
Para simplificar esta expressão, podemos adicionar termos semelhantes:
O coeficiente foi para facilitar o cálculo.
Então a expressão simplificado para
Exemplo 11. Simplifique uma expressão 
Para simplificar esta expressão, podemos adicionar termos semelhantes:
Então a expressão simplificado para .
Neste exemplo, seria mais apropriado somar primeiro o primeiro e o último coeficientes. Neste caso teríamos uma solução curta. Ficaria assim:
Exemplo 12. Simplifique uma expressão 
Para simplificar esta expressão, podemos adicionar termos semelhantes:
Então a expressão simplificado para 
.
O termo permaneceu inalterado, pois não havia nada a acrescentar.
Esta solução pode ser escrita de forma muito mais curta. Será assim:
A solução curta pulou as etapas de substituir a subtração pela adição e detalhar como as frações foram reduzidas a um denominador comum.
Outra diferença é que em solução detalhada a resposta parece , mas resumidamente como . Na verdade, são a mesma expressão. A diferença é que no primeiro caso a subtração é substituída pela adição, pois no início quando escrevemos a solução em em detalhes, substituímos a subtração pela adição sempre que possível, e essa substituição foi preservada para a resposta.
Identidades. Expressões idênticas
Depois de simplificarmos qualquer expressão, ela se tornará mais simples e curta. Para verificar se a expressão simplificada está correta, basta substituir os valores de qualquer variável primeiro na expressão anterior que precisava ser simplificada e depois na nova que foi simplificada. Se o valor em ambas as expressões for o mesmo, então a expressão simplificada é verdadeira.
Vamos considerar exemplo mais simples. Seja necessário simplificar a expressão 2a×7b. Para simplificar esta expressão, você pode multiplicar números e letras separadamente:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Vamos verificar se simplificamos a expressão corretamente. Para fazer isso, vamos substituir quaisquer valores das variáveis um E b primeiro na primeira expressão que precisava ser simplificada e depois na segunda, que foi simplificada.
Deixe os valores das variáveis um , b será o seguinte:
uma = 4, b = 5
Vamos substituí-los na primeira expressão 2a×7b
Agora vamos substituir os mesmos valores das variáveis na expressão que resultou da simplificação 2a×7b, nomeadamente na expressão 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Vemos isso quando uma=4 E b=5 valor da primeira expressão 2a×7b e o significado da segunda expressão 14ab igual
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
O mesmo acontecerá com quaisquer outros valores. Por exemplo, deixe uma=1 E b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Assim, para quaisquer valores das variáveis de expressão 2a×7b E 14ab são iguais ao mesmo valor. Tais expressões são chamadas identicamente igual.
Concluímos que entre as expressões 2a×7b E 14ab você pode colocar um sinal de igual porque eles são iguais ao mesmo valor.
2a × 7b = 14ab
Uma igualdade é qualquer expressão conectada por um sinal de igual (=).
E igualdade da forma 2a×7b = 14ab chamado identidade.
Uma identidade é uma igualdade verdadeira para quaisquer valores das variáveis.
Outros exemplos de identidades:
uma + b = b + uma
uma(b+c) = ab + ac
uma(bc) = (ab)c
Sim, as leis da matemática que estudamos são identidades.
As verdadeiras igualdades numéricas também são identidades. Por exemplo:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Ao resolver um problema complexo para facilitar o cálculo para você, expressão complexa substituída por uma expressão mais simples idêntica à anterior. Essa substituição é chamada transformação idêntica da expressão ou apenas transformando a expressão.
Por exemplo, simplificamos a expressão 2a×7b, e obtive uma expressão mais simples 14ab. Essa simplificação pode ser chamada de transformação de identidade.
Muitas vezes você pode encontrar uma tarefa que diz "provar que a igualdade é uma identidade" e então é dada a igualdade que precisa ser provada. Normalmente esta igualdade consiste em duas partes: os lados esquerdo e direito da igualdade. Nossa tarefa é realizar transformações de identidade com uma das partes da igualdade e obter a outra parte. Ou execute transformações idênticas com ambos os lados da igualdade e certifique-se de que ambos os lados da igualdade contenham as mesmas expressões.
Por exemplo, vamos provar que a igualdade 0,5a × 5b = 2,5abé uma identidade.
Vamos simplificar o lado esquerdo desta igualdade. Para fazer isso, multiplique os números e letras separadamente:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Como resultado de uma pequena transformação de identidade, o lado esquerdo da igualdade tornou-se igual ao lado direito da igualdade. Então provamos que a igualdade 0,5a × 5b = 2,5abé uma identidade.
A partir de transformações idênticas aprendemos a somar, subtrair, multiplicar e dividir números, reduzir frações, somar termos semelhantes e também simplificar algumas expressões.
Mas nem todas essas transformações são idênticas às que existem na matemática. Existem muitas outras transformações idênticas. Veremos isso mais de uma vez no futuro.
Tarefas para solução independente:
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§ 1º O conceito de simplificação de uma expressão literal
Nesta lição conheceremos o conceito de “termos semelhantes” e, a partir de exemplos, aprenderemos como realizar a redução de termos semelhantes, simplificando assim expressões literais.
Vamos descobrir o significado do conceito “simplificação”. A palavra “simplificação” é derivada da palavra “simplificar”. Simplificar significa tornar simples, mais simples. Portanto, simplificar uma expressão literal é torná-la mais curta, com quantidade mínima ações.
Considere a expressão 9x + 4x. Esta é uma expressão literal que é uma soma. Os termos aqui são apresentados como produtos de um número e uma letra. O fator numérico de tais termos é chamado de coeficiente. Nesta expressão, os coeficientes serão os números 9 e 4. Observe que o fator representado pela letra é o mesmo nos dois termos desta soma.
Vamos relembrar a lei distributiva da multiplicação:
Para multiplicar uma soma por um número, você pode multiplicar cada termo por esse número e adicionar os produtos resultantes.
EM visão geral escrito da seguinte forma: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Esta lei é verdadeira em ambas as direções ac + bc = (a + b) ∙ c
Vamos aplicá-lo à nossa expressão literal: a soma dos produtos de 9x e 4x é igual ao produto cujo primeiro fator é igual à soma 9 e 4, o segundo fator é x.
9 + 4 = 13, isso é 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Em vez de três ações na expressão, resta apenas uma ação - multiplicação. Isso significa que tornamos nossa expressão literal mais simples, ou seja, simplificou.
§ 2º Redução de prazos similares
Os termos 9x e 4x diferem apenas em seus coeficientes - tais termos são chamados de semelhantes. A parte da letra de termos semelhantes é a mesma. Termos semelhantes também incluem números e termos iguais.
Por exemplo, na expressão 9a + 12 - 15 termos semelhantes serão os números 12 e -15, e na soma do produto de 12 e 6a, o número 14 e o produto de 12 e 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) os termos iguais representados pelo produto de 12 e 6a.
É importante notar que termos cujos coeficientes são iguais, mas cujos fatores alfabéticos são diferentes, não são semelhantes, embora às vezes seja útil aplicar-lhes a lei distributiva da multiplicação, por exemplo, a soma dos produtos 5x e 5y é igual ao produto do número 5 e a soma de x e y
5x + 5y = 5(x + y).
Vamos simplificar a expressão -9a + 15a - 4 + 10.
Termos semelhantes neste caso são os termos -9a e 15a, uma vez que diferem apenas em seus coeficientes. O multiplicador de letras deles é o mesmo, e os termos -4 e 10 também são semelhantes, pois são números. Some termos semelhantes:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Obtemos: 6a + 6.
Ao simplificar a expressão, encontramos as somas de termos semelhantes em matemática, isso é chamado de redução de termos semelhantes;
Se for difícil adicionar esses termos, você pode criar palavras para eles e adicionar objetos.
Por exemplo, considere a expressão:
Para cada letra pegamos nosso próprio objeto: b-apple, c-pear, então obtemos: 2 maçãs menos 5 peras mais 8 peras.
Podemos subtrair peras de maçãs? Claro que não. Mas podemos adicionar 8 peras a menos 5 peras.
Apresentamos termos semelhantes -5 peras + 8 peras. Termos semelhantes possuem a mesma parte alfabética, portanto ao trazer termos semelhantes basta somar os coeficientes e adicionar a parte alfabética ao resultado:
(-5 + 8) peras - você ganha 3 peras.
Voltando à nossa expressão literal, temos -5 s + 8 s = 3 s. Assim, após trazer termos semelhantes, obtemos a expressão 2b + 3c.
Portanto, nesta lição você conheceu o conceito de “termos semelhantes” e aprendeu como simplificar expressões de letras reduzindo termos semelhantes.
Lista de literatura usada:
- Matemática. 6ª série: planos de aula para o livro didático de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilador L.A. Topilina. Mnemósine 2009.
- Matemática. 6ª série: livro didático para alunos de instituições de ensino geral. I.I. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov e outros/editado por G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Russa de Ciências, Academia Russa de Educação. M.: “Iluminismo”, 2010.
- Matemática. 6ª série: estudo para instituições de ensino geral/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
- Matemática. 6ª série: livro didático/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Abetarda, 2014.
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