Esta é a última e mais importante lição necessária para resolver os problemas B11. Já sabemos como converter ângulos de uma medida de radianos para uma medida de graus (veja a lição “Medida de radianos e graus de um ângulo”), e também sabemos como determinar o sinal de uma função trigonométrica, focando nos quartos de coordenadas ( veja a lição “Sinais de funções trigonométricas”).
A única coisa que resta a fazer é calcular o valor da própria função - o mesmo número que está escrito na resposta. É aqui que a identidade trigonométrica básica vem em socorro.
Identidade trigonométrica básica. Para qualquer ângulo α a seguinte afirmação é verdadeira:
sen 2 α + cos 2 α = 1.
Esta fórmula relaciona o seno e o cosseno de um ângulo. Agora, conhecendo o seno, podemos facilmente encontrar o cosseno – e vice-versa. Basta tirar a raiz quadrada:
Observe o sinal “±” na frente das raízes. O fato é que a partir da identidade trigonométrica básica não fica claro quais eram o seno e o cosseno originais: positivo ou negativo. Afinal, a quadratura é uma função par que “queima” todos os pontos negativos (se houver).
É por isso que em todos os problemas B11, que se encontram no Exame Estadual Unificado em matemática, existem necessariamente condições adicionais que ajudam a eliminar a incerteza com sinais. Normalmente esta é uma indicação do quarto coordenado, pelo qual o sinal pode ser determinado.
Um leitor atento provavelmente perguntará: “E a tangente e a cotangente?” É impossível calcular diretamente essas funções a partir das fórmulas acima. No entanto, existem consequências importantes da identidade trigonométrica básica, que já contém tangentes e cotangentes. Nomeadamente:
Um corolário importante: para qualquer ângulo α, a identidade trigonométrica básica pode ser reescrita da seguinte forma:
Essas equações são facilmente derivadas da identidade principal - basta dividir ambos os lados por cos 2 α (para obter a tangente) ou por sin 2 α (para obter a cotangente).
Vejamos tudo isso em exemplos específicos. Abaixo estão os problemas reais do B11, retirados dos simulados Opções do Exame Estadual Unificado em matemática 2012.
Conhecemos o cosseno, mas não conhecemos o seno. A identidade trigonométrica principal (em sua forma “pura”) conecta apenas essas funções, então trabalharemos com ela. Nós temos:
sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sen 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sen 2 α = 1/100 ⇒ sen α = ±1/10 = ±0,1.
Para resolver o problema, resta encontrar o sinal do seno. Como o ângulo α ∈ (π /2; π ), então em medida de graus é escrito da seguinte forma: α ∈ (90°; 180°).
Conseqüentemente, o ângulo α está no segundo quarto de coordenadas - todos os senos são positivos. Portanto sen α = 0,1.
Então, conhecemos o seno, mas precisamos de determinar o cosseno. Ambas as funções estão na identidade trigonométrica básica. Vamos substituir:
sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Resta lidar com o sinal antes da fração. O que escolher: mais ou menos? Por condição, o ângulo α pertence ao intervalo (π 3π /2). Vamos converter os ângulos das medidas em radianos para graus - obtemos: α ∈ (180°; 270°).
Obviamente, este é o quarto de coordenadas III, onde todos os cossenos são negativos. Portanto cos α = −0,5.
Tarefa. Encontre tan α se o seguinte for conhecido:
Tangente e cosseno estão relacionados pela equação seguinte da identidade trigonométrica básica:
Obtemos: tan α = ±3. O sinal da tangente é determinado pelo ângulo α. Sabe-se que α ∈ (3π /2; 2π ). Vamos converter os ângulos das medidas em radianos para graus - obtemos α ∈ (270°; 360°).
Obviamente, este é o quarto da coordenada IV, onde todas as tangentes são negativas. Portanto tan α = −3.
Tarefa. Encontre cos α se o seguinte for conhecido:
Novamente o seno é conhecido e o cosseno é desconhecido. Vamos anotar a principal identidade trigonométrica:
sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
O sinal é determinado pelo ângulo. Temos: α ∈ (3π /2; 2π ). Vamos converter os ângulos de graus para radianos: α ∈ (270°; 360°) é o quarto da coordenada IV, os cossenos ali são positivos. Portanto, cos α = 0,6.
Tarefa. Encontre sin α se o seguinte for conhecido:
Vamos escrever uma fórmula que segue da identidade trigonométrica básica e conecta diretamente o seno e a cotangente:
A partir daqui obtemos que sen 2 α = 1/25, ou seja, sen α = ±1/5 = ±0,2. Sabe-se que o ângulo α ∈ (0; π /2). Em medida de grau, isso é escrito da seguinte forma: α ∈ (0°; 90°) - I quarto de coordenadas.
Então, o ângulo está no quadrante da coordenada I - é isso funções trigonométricas existem positivos, então sen α = 0,2.
A solicitação "sin" é redirecionada aqui; veja também outros significados. A solicitação "sec" é redirecionada aqui; veja também outros significados. A solicitação "Sine" é redirecionada aqui; veja também outros significados... Wikipedia
Arroz. 1 Gráficos de funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, cotangente As funções trigonométricas são um tipo de funções elementares. Normalmente incluem seno (sin x), cosseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia
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Medições geodésicas (século XVII) ... Wikipedia
Em trigonometria, a fórmula do meio ângulo tan relaciona o meio ângulo tan com as funções trigonométricas do ângulo completo: As variações desta fórmula são as seguintes... Wikipedia
- (do grego τρίγονο (triângulo) e do grego μετρειν (medida), ou seja, medição de triângulos) um ramo da matemática em que se estudam funções trigonométricas e suas aplicações à geometria. Este termo apareceu pela primeira vez em 1595 como... ... Wikipedia
- (lat. solutio triangulorum) um termo histórico que significa a decisão do principal problema trigonométrico: usando dados conhecidos sobre o triângulo (lados, ângulos, etc.), encontre suas características restantes. O triângulo pode ser localizado em... ... Wikipedia
Livros
- Conjunto de mesas. Álgebra e os primórdios da análise. 10ª série. 17 tabelas + metodologia, . As tabelas são impressas em cartolina grossa impressa nas dimensões 680 x 980 mm. O kit inclui um folheto com recomendações metodológicas
- para o professor. Álbum educativo de 17 folhas.… Tabelas de Integrais e Outras Fórmulas Matemáticas, Dwight G.B. A décima edição do famoso livro de referência contém tabelas muito detalhadas de integrais indefinidas e definidas, bem como
Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo que Aquiles leva para percorrer essa distância, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Quando Aquiles dá cem passos, a tartaruga rasteja mais dez passos e assim por diante. O processo continuará ad infinitum, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.
Esse raciocínio tornou-se um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos consideraram a aporia de Zenão de uma forma ou de outra. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam até hoje; a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo da questão; ; nenhum deles se tornou uma solução geralmente aceita para o problema..."[Wikipedia, "Aporia de Zenão". Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende em que consiste o engano.
Do ponto de vista matemático, Zenão, em sua aporia, demonstrou claramente a transição da quantidade para. Esta transição implica aplicação em vez de permanente. Pelo que entendi, o aparato matemático de aplicação unidades variáveis a medida ainda não foi desenvolvida ou não foi aplicada à aporia de Zenão. Aplicar nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, devido à inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao valor recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo está desacelerando até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não poderá mais fugir da tartaruga.
Se invertermos a nossa lógica habitual, tudo se encaixará. Aquiles corre com velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de “infinito” nesta situação, então seria correto dizer “Aquiles alcançará a tartaruga infinitamente rápido”.
Como evitar esta armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para unidades recíprocas. Na linguagem de Zenão é assim:
No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.
Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas não é solução completa problemas. A afirmação de Einstein sobre a irresistibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão “Aquiles e a Tartaruga”. Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução não deve ser procurada em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.
Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:
Uma flecha voadora está imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.
Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento uma flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Outro ponto precisa ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar se um carro está se movendo, você precisa de duas fotografias tiradas do mesmo ponto em momentos diferentes, mas não pode determinar a distância delas. Para determinar a distância até um carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos do espaço em um momento, mas a partir delas você não pode determinar o fato do movimento (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria irá ajudá-lo ). O que quero destacar atenção especial, é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, porque proporcionam diferentes oportunidades de investigação.
Quarta-feira, 4 de julho de 2018
As diferenças entre conjunto e multiset estão muito bem descritas na Wikipedia. Vamos ver.
Como você pode ver, “não pode haver dois elementos idênticos em um conjunto”, mas se houver elementos idênticos em um conjunto, tal conjunto é chamado de “multiconjunto”. Seres razoáveis nunca compreenderão uma lógica tão absurda. Este é o nível dos papagaios falantes e dos macacos treinados, que não têm inteligência para a palavra “completamente”. Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando-nos as suas ideias absurdas.
Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte enquanto testavam a ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morreria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.
Não importa como os matemáticos se escondam atrás da frase “veja bem, estou em casa”, ou melhor, “a matemática estuda conceitos abstratos”, existe um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente à realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Apliquemos a teoria matemática dos conjuntos aos próprios matemáticos.
Estudamos muito bem matemática e agora estamos sentados na caixa registradora distribuindo salários. Então, um matemático vem até nós em busca de dinheiro. Contamos para ele o valor total e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Depois pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu “conjunto matemático de salário”. Expliquemos ao matemático que ele só receberá as notas restantes quando provar que um conjunto sem elementos idênticos não é igual a um conjunto com elementos idênticos. É aqui que a diversão começa.
Em primeiro lugar, funcionará a lógica dos deputados: “Isso pode ser aplicado aos outros, mas não a mim!” Então começarão a nos garantir que notas do mesmo valor têm números de notas diferentes, o que significa que não podem ser consideradas os mesmos elementos. Ok, vamos contar os salários em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático começará a se lembrar freneticamente da física: em moedas diferentes existe quantidades diferentes sujeira, estrutura cristalina e arranjo atômico de cada moeda são únicos...
E agora eu tenho o máximo pergunta interessante: onde está a linha além da qual os elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Essa linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência não está nem perto de mentir aqui.
Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. As áreas dos campos são iguais - o que significa que temos um multiset. Mas se olharmos os nomes desses mesmos estádios, temos muitos, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto. O que está correto? E aqui o matemático-xamã-aficionado tira um ás de trunfo da manga e começa a nos contar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que tem razão.
Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, vinculando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou mostrar a você sem qualquer "concebível como não um todo" ou "não concebível como um todo".
Domingo, 18 de março de 2018
A soma dos dígitos de um número é uma dança dos xamãs com pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas é por isso que eles são xamãs, para ensinar aos seus descendentes as suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.
Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma dos dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula matemática que possa ser usada para encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos, com a ajuda do qual escrevemos números e na linguagem da matemática a tarefa soa assim: “Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número”. Os matemáticos não conseguem resolver este problema, mas os xamãs conseguem fazê-lo facilmente.
Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, teremos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.
1. Anote o número em um pedaço de papel. O que fizemos? Convertemos o número em um símbolo numérico gráfico. Esta não é uma operação matemática.
2. Recortamos uma imagem resultante em várias imagens contendo números individuais. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.
3. Converta símbolos gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.
4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.
A soma dos algarismos do número 12345 é 15. São os “cursos de corte e costura” ministrados por xamãs que os matemáticos utilizam. Mas isso não é tudo.
Do ponto de vista matemático, não importa em qual sistema numérico escrevemos um número. Então, em sistemas diferentes No cálculo, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. COM um grande número 12345 Não quero enganar minha cabeça, vamos dar uma olhada no número 26 do artigo sobre . Vamos escrever esse número em sistemas numéricos binário, octal, decimal e hexadecimal. Não examinaremos cada etapa ao microscópio, pois já fizemos isso. Vejamos o resultado.
Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É a mesma coisa que se você determinasse a área de um retângulo em metros e centímetros, obteria resultados completamente diferentes.
Zero parece igual em todos os sistemas numéricos e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que. Pergunta para os matemáticos: como algo que não é um número é designado em matemática? O que, para os matemáticos, nada existe exceto números? Posso permitir isso para os xamãs, mas não para os cientistas. A realidade não se trata apenas de números.
O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levarem a resultados diferentes depois de compará-los, significa que não tem nada a ver com matemática.
O que é matemática real? É quando o resultado de uma operação matemática não depende do tamanho do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.
Oh! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para o estudo da santidade indefílica das almas durante a sua ascensão ao céu! Halo no topo e seta para cima. Que outro banheiro?
Fêmea... O halo acima e a seta para baixo são masculinos.
Se algo assim passar diante de seus olhos várias vezes ao dia arte de design,
Então não é surpreendente que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:
Pessoalmente, faço um esforço para ver quatro graus negativos em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (uma composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de grau). E eu não acho que essa garota seja estúpida, não conhecedor de física. Ela apenas tem um forte estereótipo de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.
1A não é “menos quatro graus” ou “um a”. Este é "homem fazendo cocô" ou o número "vinte e seis" em notação hexadecimal. Aquelas pessoas que trabalham constantemente neste sistema numérico percebem automaticamente um número e uma letra como um símbolo gráfico.
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- O kit inclui um folheto com orientações pedagógicas para professores.
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