Universidade Estadual de Belgorod

DEPARTAMENTO álgebra, teoria dos números e geometria

Tópico: Equações de potência exponencial e desigualdades.

Tese aluno da Faculdade de Física e Matemática

Supervisor Científico:

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Revisor: _______________________________

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Belgorod. 2006

Introdução			3
Assunto EU.	Análise da literatura sobre o tema da pesquisa.
Assunto II.	Funções e suas propriedades utilizadas na resolução de equações e inequações exponenciais.
	I.1.	Função de potência e suas propriedades.
	I.2.	Função exponencial e suas propriedades.
Assunto III.	Resolução de equações de potência exponencial, algoritmo e exemplos.
Assunto 4.	Resolução de desigualdades exponenciais, plano de solução e exemplos.
Assunto V.	Experiência na condução de aulas com escolares sobre o tema: “Resolução de equações e inequações exponenciais”.
V. 1.	Material educativo.
V. 2.	Problemas para solução independente.
Conclusão.	Conclusões e sugestões.
Lista de literatura usada.
Aplicações

Introdução.

“...a alegria de ver e compreender...”

A. Einstein.

Neste trabalho, tentei transmitir a minha experiência como professor de matemática, para transmitir, pelo menos até certo ponto, a minha atitude em relação ao seu ensino - um empreendimento humano em que a ciência matemática, a pedagogia, a didática, a psicologia e até a filosofia estão surpreendentemente interligadas.

Tive a oportunidade de trabalhar com crianças e graduados, com crianças nos postes desenvolvimento intelectual: aqueles que estavam registrados em um psiquiatra e que realmente se interessavam por matemática

Tive a oportunidade de resolver muitos problemas metodológicos. Vou tentar falar sobre aqueles que consegui resolver. Mas ainda mais fracassaram, e mesmo naquelas que parecem ter sido resolvidas, surgem novas questões.

Mas ainda mais importantes do que a experiência em si são as reflexões e dúvidas do professor: por que é exatamente assim, esta experiência?

E o verão agora é diferente e o desenvolvimento da educação tornou-se mais interessante. “Sob os Júpiteres” hoje não é uma busca por um sistema mítico ideal de ensino de “todos e tudo”, mas a própria criança. Mas então – necessariamente – o professor.

No curso escolar de álgebra e começou a análise, do 10º ao 11º ano, ao passar no Exame Estadual Unificado do curso ensino médio e nos vestibulares há equações e desigualdades contendo uma incógnita na base e expoentes - são equações e desigualdades exponenciais.

Eles recebem pouca atenção na escola; praticamente não há trabalhos sobre esse tema nos livros didáticos. Porém, dominar a técnica de resolvê-los, me parece, é muito útil: aumenta o nível mental e criatividade estudantes, horizontes completamente novos estão se abrindo diante de nós. Ao resolver problemas, os alunos adquirem primeiras habilidades trabalho de pesquisa, sua cultura matemática é enriquecida e suas habilidades de pensamento lógico se desenvolvem. Os alunos desenvolvem qualidades de personalidade como determinação, estabelecimento de metas e independência, que serão úteis para eles mais tarde na vida. E também há repetição, ampliação e assimilação profunda do material didático.

Comecei a trabalhar neste tópico para minha tese escrevendo meu curso. No decorrer do qual estudei e analisei profundamente a literatura matemática sobre este tópico, identifiquei os mais método adequado resolver equações de potência exponencial e desigualdades.

Está no fato de que, além da abordagem geralmente aceita ao resolver equações exponenciais (a base é considerada maior que 0) e ao resolver as mesmas desigualdades (a base é considerada maior que 1 ou maior que 0, mas menor que 1) , também são considerados casos quando as bases são negativas, iguais a 0 e 1.

Uma análise das provas escritas dos alunos mostra que a falta de cobertura da questão do valor negativo do argumento de uma função exponencial nos manuais escolares causa-lhes uma série de dificuldades e conduz a erros. E também têm problemas na fase de sistematização dos resultados obtidos, onde, devido à transição para uma equação - uma consequência ou uma desigualdade - uma consequência, podem surgir raízes estranhas. Para eliminar erros, utilizamos um teste utilizando a equação ou desigualdade original e um algoritmo para resolver equações exponenciais, ou um plano para resolver desigualdades exponenciais.

Para que os alunos sejam aprovados nos exames finais e de ingresso, acredito que seja necessário prestar mais atenção na resolução de equações e inequações exponenciais em sessões de treinamento, ou adicionalmente em disciplinas eletivas e clubes.

Por isso tópico , meu teseé definido da seguinte forma: “Equações e desigualdades de potência exponencial”.

Metas deste trabalho são:

1. Analise a literatura sobre este tema.

2. Dê análise completa resolver equações de potência exponencial e desigualdades.

3. Forneça um número suficiente de exemplos de vários tipos sobre este tópico.

4. Verificar nas aulas presenciais, eletivas e de clube como serão percebidos os métodos propostos para resolução de equações e desigualdades exponenciais. Dê recomendações apropriadas para estudar este tópico.

Assunto Nossa pesquisa consiste em desenvolver uma metodologia para resolução de equações e inequações exponenciais.

O objetivo e o tema do estudo exigiam a resolução dos seguintes problemas:

1. Estude a literatura sobre o tema: “Equações e desigualdades de potência exponencial”.

2. Dominar as técnicas de resolução de equações e inequações exponenciais.

3. Selecione o material de treinamento e desenvolva um sistema de exercícios níveis diferentes sobre o tema: “Resolvendo equações e desigualdades exponenciais”.

Durante a pesquisa da tese, foram analisados ​​mais de 20 trabalhos sobre o uso de vários métodos resolver equações de potência exponencial e desigualdades. A partir daqui nós chegamos.

Plano de tese:

Introdução.

Capítulo I. Análise da literatura sobre o tema de pesquisa.

Capítulo II. Funções e suas propriedades utilizadas na resolução de equações e inequações exponenciais.

II.1. Função de potência e suas propriedades.

II.2. Função exponencial e suas propriedades.

Capítulo III. Resolução de equações de potência exponencial, algoritmo e exemplos.

Capítulo IV. Resolução de desigualdades exponenciais, plano de solução e exemplos.

Capítulo V. Experiência de ministrar aulas com alunos sobre o tema.

1.Material de treinamento.

2.Tarefas para solução independente.

Conclusão. Conclusões e sugestões.

Lista de literatura usada.

O capítulo I analisa a literatura

Resolvendo equações exponenciais. Exemplos.

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

O que aconteceu equação exponencial? Esta é uma equação na qual as incógnitas (x's) e as expressões com elas estão em indicadores alguns graus. E só lá! Isto é importante.

Aqui você vai exemplos equações exponenciais :

3x2x = 8x+3

Prestar atenção! Nas bases dos graus (abaixo) - apenas números. EM indicadores graus (acima) - uma grande variedade de expressões com um X. Se, de repente, um X aparecer na equação em algum lugar que não seja um indicador, por exemplo:

esta já será uma equação do tipo misto. Tais equações não possuem regras claras para resolvê-las. Não os consideraremos por enquanto. Aqui vamos tratar resolvendo equações exponenciais na sua forma mais pura.

Na verdade, mesmo equações exponenciais puras nem sempre são resolvidas com clareza. Mas existem certos tipos equações exponenciais que podem e devem ser resolvidas. Esses são os tipos que consideraremos.

Resolvendo equações exponenciais simples.

Primeiro, vamos resolver algo muito básico. Por exemplo:

Mesmo sem quaisquer teorias, por simples seleção fica claro que x = 2. Nada mais, certo!? Nenhum outro valor de X funciona. Agora vamos ver a solução para esta complicada equação exponencial:

O que fizemos? Na verdade, simplesmente descartamos as mesmas bases (triplas). Completamente jogado fora. E a boa notícia é que acertamos em cheio!

Na verdade, se numa equação exponencial há esquerda e direita idêntico números em quaisquer potências, esses números podem ser removidos e os expoentes podem ser equalizados. A matemática permite. Resta resolver uma equação muito mais simples. Ótimo, certo?)

No entanto, lembremo-nos com firmeza: Você só pode remover bases quando os números das bases à esquerda e à direita estiverem em esplêndido isolamento! Sem vizinhos e coeficientes. Digamos nas equações:

2 x +2 x+1 = 2 3, ou

dois não podem ser removidos!

Bem, dominamos a coisa mais importante. Como passar de expressões exponenciais malignas para equações mais simples.

"Esses são os tempos!" - você diz. “Quem daria uma lição tão primitiva sobre testes e exames!?”

Eu tenho que concordar. Ninguém o fará. Mas agora você sabe onde mirar ao resolver exemplos complicados. Deve ser trazido para um formulário onde o mesmo número base esteja à esquerda e à direita. Então tudo será mais fácil. Na verdade, este é um clássico da matemática. Pegamos o exemplo original e o transformamos no desejado nós mente. De acordo com as regras da matemática, é claro.

Vejamos exemplos que requerem algum esforço adicional para reduzi-los ao mais simples. Vamos ligar para eles equações exponenciais simples.

Resolvendo equações exponenciais simples. Exemplos.

Ao resolver equações exponenciais, as regras principais são ações com graus. Sem o conhecimento dessas ações nada funcionará.

Às ações com graus, é preciso acrescentar observação pessoal e engenhosidade. Precisamos dos mesmos números básicos? Portanto, procuramos por eles no exemplo de forma explícita ou criptografada.

Vamos ver como isso é feito na prática?

Deixe-nos dar um exemplo:

2 2x - 8 x+1 = 0

O primeiro olhar atento é para motivos. Eles... Eles são diferentes! Dois e oito. Mas é muito cedo para desanimar. É hora de lembrar disso

Dois e oito são parentes em grau.) É bem possível escrever:

8x+1 = (2 3)x+1

Se lembrarmos a fórmula das operações com graus:

(a n) m = a nm ,

isso funciona muito bem:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

O exemplo original começou a ficar assim:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nós transferimos 2 3 (x+1)à direita (ninguém cancelou as operações elementares da matemática!), obtemos:

2 2x = 2 3(x+1)

Isso é praticamente tudo. Removendo as bases:

Nós resolvemos esse monstro e obtemos

Esta é a resposta correta.

Neste exemplo, conhecer as potências de dois nos ajudou. Nós identificado em oito há um dois criptografado. Esta técnica (criptografia de motivos comuns sob números diferentes) é uma técnica muito popular em equações exponenciais! Sim, e em logaritmos também. Você deve ser capaz de reconhecer potências de outros números em números. Isto é extremamente importante para resolver equações exponenciais.

O fato é que elevar qualquer número a qualquer potência não é problema. Multiplique, mesmo no papel, e pronto. Por exemplo, qualquer pessoa pode elevar 3 à quinta potência. 243 funcionará se você conhecer a tabuada.) Mas em equações exponenciais, muito mais frequentemente não é necessário elevar a uma potência, mas vice-versa... Descubra que número em que grau está escondido atrás do número 243, ou, digamos, 343... Nenhuma calculadora irá ajudá-lo aqui.

Você precisa conhecer as potências de alguns números de vista, certo... Vamos praticar?

Determine quais potências e quais números são os números:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Respostas (uma bagunça, é claro!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se você olhar de perto você pode ver fato estranho. Existem significativamente mais respostas do que tarefas! Bem, isso acontece... Por exemplo, 2 6, 4 3, 8 2 - isso é tudo 64.

Suponhamos que você tenha anotado as informações sobre familiaridade com números.) Deixe-me lembrá-lo também de que para resolver equações exponenciais usamos todos estoque de conhecimento matemático. Incluindo aqueles das classes júnior e média. Você não foi direto para o ensino médio, certo?)

Por exemplo, ao resolver equações exponenciais, colocar o fator comum fora dos colchetes geralmente ajuda (olá para a 7ª série!). Vejamos um exemplo:

3 2x+4 -11 9x = 210

E, novamente, o primeiro olhar está nas fundações! As bases dos graus são diferentes... Três e nove. E queremos que eles sejam iguais. Pois bem, neste caso o desejo está totalmente satisfeito!) Porque:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Usando as mesmas regras para lidar com diplomas:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Isso é ótimo, você pode anotar:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Demos um exemplo pelas mesmas razões. E o que vem a seguir!? Você não pode jogar fora três... Beco sem saída?

De jeito nenhum. Lembre-se da regra de decisão mais universal e poderosa todos tarefas de matemática:

Se você não sabe o que precisa, faça o que puder!

Olha, tudo vai dar certo).

O que há nesta equação exponencial Pode fazer? Sim, no lado esquerdo implora para ser retirado dos colchetes! O multiplicador geral de 3 2x indica claramente isso. Vamos tentar e então veremos:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

O exemplo está cada vez melhor!

Lembramos que para eliminar motivos precisamos de um grau puro, sem quaisquer coeficientes. O número 70 nos incomoda. Então dividimos ambos os lados da equação por 70, obtemos:

Ops! Tudo melhorou!

Esta é a resposta final.

Acontece, porém, que se consegue taxiar na mesma base, mas a sua eliminação não é possível. Isso acontece em outros tipos de equações exponenciais. Vamos dominar esse tipo.

Substituindo uma variável na resolução de equações exponenciais. Exemplos.

Vamos resolver a equação:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primeiro - como sempre. Vamos passar para uma base. Para um empate.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtemos a equação:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

E é aqui que ficamos. As técnicas anteriores não funcionarão, não importa como você olhe para as coisas. Teremos que retirar outro método poderoso e universal de nosso arsenal. Chama-se substituição variável.

A essência do método é surpreendentemente simples. Em vez de um ícone complexo (no nosso caso - 2 x) escrevemos outro, mais simples (por exemplo - t). Uma substituição aparentemente sem sentido leva a resultados surpreendentes!) Tudo fica claro e compreensível!

Então deixe

Então 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Em nossa equação, substituímos todas as potências por x por t:

Bem, você já percebeu?) Você já esqueceu as equações quadráticas? Resolvendo através do discriminante, obtemos:

O principal aqui é não parar, como acontece... Essa ainda não é a resposta, precisamos de x, não de t. Voltemos aos X, ou seja, fazemos uma substituição reversa. Primeiro para t 1:

Portanto,

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo de t 2:

Hm... 2 x à esquerda, 1 à direita... Problema? De jeito nenhum! Basta lembrar (das operações com potências, sim...) que uma unidade é qualquer número elevado à potência zero. Qualquer. O que for necessário, nós instalaremos. Precisamos de um dois. Significa:

É isso agora. Temos 2 raízes:

Esta é a resposta.

No resolvendo equações exponenciais no final, às vezes você acaba com algum tipo de expressão estranha. Tipo:

Sete não pode ser convertido em dois através de uma simples potência. Eles não são parentes... Como podemos ser? Alguém pode estar confuso... Mas quem leu neste site o tópico “O que é um logaritmo?” , apenas sorri moderadamente e escreve com mão firme a resposta absolutamente correta:

Não pode haver tal resposta nas tarefas “B” do Exame de Estado Unificado. Lá é necessário um número específico. Mas nas tarefas “C” é fácil.

Esta lição fornece exemplos de resolução das equações exponenciais mais comuns. Vamos destacar os pontos principais.

Conselhos práticos:

1. Em primeiro lugar, analisamos motivos graus. Estamos nos perguntando se é possível fazê-los idêntico. Vamos tentar fazer isso usando ativamente ações com graus. Não se esqueça de que números sem x também podem ser convertidos em potências!

2. Tentamos trazer a equação exponencial para a forma quando à esquerda e à direita estão idêntico números em quaisquer potências. Nós usamos ações com graus E fatoração. O que pode ser contado em números, nós contamos.

3. Se a segunda dica não funcionar, tente usar a substituição de variáveis. O resultado pode ser uma equação que pode ser facilmente resolvida. Na maioria das vezes - quadrado. Ou fracionário, que também se reduz ao quadrado.

4. Para solução de sucesso Para equações exponenciais, você precisa conhecer as potências de alguns números “de vista”.

Como de costume, no final da aula você será convidado a decidir um pouco.) Por conta própria. Do simples ao complexo.

Resolva equações exponenciais:

Mais difícil:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Encontre o produto das raízes:

2 3 + 2 x = 9

Funcionou?

Bem, então o exemplo mais complicado(decidido, porém, na mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

O que é mais interessante? Então aqui está um mau exemplo para você. Bastante tentador para maior dificuldade. Deixe-me sugerir que, neste exemplo, o que o salva é a engenhosidade e a regra mais universal para resolver todos os problemas matemáticos.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Um exemplo mais simples, para relaxar):

9 2 x - 4 3 x = 0

E para sobremesa. Encontre a soma das raízes da equação:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Sim, sim! Esta é uma equação de tipo misto! O que não consideramos nesta lição. Por que considerá-los, eles precisam ser resolvidos!) Esta lição é suficiente para resolver a equação. Bem, você precisa de engenhosidade... E que a sétima série te ajude (isso é uma dica!).

Respostas (desordenadas, separadas por ponto e vírgula):

1; 2; 3; 4; não há soluções; 2; -2; -5; 4; 0.

Tudo deu certo? Ótimo.

Algum problema? Sem dúvida! Na Seção Especial 555, todas essas equações exponenciais são resolvidas com explicações detalhadas. O que, por que e por quê. E, claro, há informações adicionais valiosas sobre como trabalhar com todos os tipos de equações exponenciais. Não apenas estes.)

Uma última questão divertida a considerar. Nesta lição trabalhamos com equações exponenciais. Por que não disse uma palavra sobre ODZ aqui? Em equações, isso é uma coisa muito importante, aliás...

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Na fase de preparação para a prova final, os alunos do ensino médio precisam aprimorar seus conhecimentos sobre o tema “Equações Exponenciais”. A experiência dos últimos anos indica que tais tarefas causam certas dificuldades aos alunos. Portanto, os alunos do ensino médio, independente do nível de preparação, precisam dominar a fundo a teoria, lembrar as fórmulas e compreender o princípio de resolução de tais equações. Tendo aprendido a lidar com esse tipo de problema, os graduados podem contar com notas altas ao passar no Exame Estadual Unificado de matemática.

Prepare-se para o teste do exame com Shkolkovo!

Ao revisar os materiais abordados, muitos alunos se deparam com o problema de encontrar as fórmulas necessárias para resolver equações. O livro escolar nem sempre está à mão, e a seleção informações necessárias sobre o assunto na Internet leva muito tempo.

O portal educacional Shkolkovo convida os alunos a utilizar nossa base de conhecimento. Implementamos completamente novo método preparação para o teste final. Ao estudar em nosso site, você poderá identificar lacunas de conhecimento e ficar atento às tarefas que causam mais dificuldade.

Os professores de Shkolkovo coletaram, sistematizaram e apresentaram tudo o que é necessário para o sucesso passando no Exame Estadual Unificado material da forma mais simples e acessível.

As definições e fórmulas básicas são apresentadas na seção “Fundamentos teóricos”.

Para entender melhor o material, recomendamos que você pratique a conclusão das tarefas. Revise cuidadosamente os exemplos de equações exponenciais com soluções apresentadas nesta página para compreender o algoritmo de cálculo. Depois disso, prossiga para a execução das tarefas na seção “Diretórios”. Você pode começar com as tarefas mais fáceis ou ir direto para a resolução de equações exponenciais complexas com várias incógnitas ou. A base de dados de exercícios do nosso site é constantemente complementada e atualizada.

Aqueles exemplos com indicadores que lhe causaram dificuldades podem ser adicionados aos “Favoritos”. Desta forma você poderá encontrá-los rapidamente e discutir a solução com seu professor.

Para passar com sucesso no Exame Estadual Unificado, estude no portal Shkolkovo todos os dias!

Exemplos:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Como resolver equações exponenciais

Ao resolver qualquer equação exponencial, nos esforçamos para trazê-la para a forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), e então fazemos a transição para a igualdade de expoentes, ou seja:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Por exemplo:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Importante! Da mesma lógica, decorrem dois requisitos para tal transição:
- número em esquerda e direita devem ser iguais;
- os graus à esquerda e à direita devem ser “puros”, ou seja, não deve haver multiplicação, divisão, etc.

Por exemplo:

Para reduzir a equação à forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) e são usados.

Exemplo . Resolva a equação exponencial \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solução:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Sabemos que \(27 = 3^3\). Levando isso em consideração, transformamos a equação.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Pela propriedade da raiz \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obtemos que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). A seguir, usando a propriedade de grau \((a^b)^c=a^(bc)\), obtemos \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3\cdot\frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Também sabemos que \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplicando isso ao lado esquerdo, obtemos: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Agora lembre-se disso: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Esta fórmula também pode ser usada em verso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Então \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplicando a propriedade \((a^b)^c=a^(bc)\) ao lado direito, obtemos: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		E agora nossas bases são iguais e não há coeficientes interferentes, etc. Então podemos fazer a transição.
		Exemplo . Resolva a equação exponencial \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Solução: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Novamente usamos a propriedade de potência \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) na direção oposta. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Agora lembre-se disso \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Usando as propriedades dos graus, transformamos: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Observamos cuidadosamente a equação e vemos que a substituição \(t=2^x\) se sugere. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) No entanto, encontramos os valores de \(t\) e precisamos de \(x\). Voltamos aos X, fazendo uma substituição inversa. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformamos a segunda equação usando a propriedade grau negativo… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...e decidimos até a resposta. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Responder : \(-1; 1\). A questão permanece: como entender quando usar qual método? Isso vem com a experiência. Até você conseguir, use-o recomendação geral para resolver problemas complexos - “se você não sabe o que fazer, faça o que puder”. Ou seja, procure como você pode transformar a equação em princípio e tente fazer isso - e se acontecer? O principal é fazer apenas transformações baseadas em matemática. Equações exponenciais sem soluções Vejamos mais duas situações que muitas vezes confundem os alunos: - um número positivo elevado à potência é igual a zero, por exemplo, \(2^x=0\); - um número positivo elevado à potência é igual a número negativo, por exemplo, \(2^x=-4\). Vamos tentar resolver pela força bruta. Se x for um número positivo, então à medida que x cresce, toda a potência \(2^x\) só aumentará: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Também por. Os X negativos permanecem. Lembrando da propriedade \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificamos: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Apesar de o número diminuir a cada passo, ele nunca chegará a zero. Portanto, o grau negativo não nos salvou. Chegamos a uma conclusão lógica: Um número positivo em qualquer grau permanecerá um número positivo. Assim, ambas as equações acima não têm soluções. Equações exponenciais com bases diferentes Na prática, às vezes encontramos equações exponenciais com bases diferentes que não são redutíveis entre si e, ao mesmo tempo, com os mesmos expoentes. Eles se parecem com isto: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), onde \(a\) e \(b\) são números positivos. Por exemplo: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Essas equações podem ser facilmente resolvidas dividindo-se por qualquer um dos lados da equação (geralmente dividido pelo lado direito, ou seja, por \(b^(f(x))\). Você pode dividir desta forma porque um número positivo é positivo para qualquer potência (ou seja, não dividimos por zero). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemplo . Resolva a equação exponencial \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Solução: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Aqui não conseguiremos transformar um cinco em três, ou vice-versa (pelo menos sem usar ). Isso significa que não podemos chegar à forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). No entanto, os indicadores são os mesmos. Vamos dividir a equação pelo lado direito, ou seja, por \(3^(x+7)\) (podemos fazer isso porque sabemos que três não será zero em nenhum grau). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Agora lembre-se da propriedade \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) e use-a da esquerda na direção oposta. À direita, simplesmente reduzimos a fração. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Parece que as coisas não melhoraram. Mas lembre-se de mais uma propriedade da potência: \(a^0=1\), em outras palavras: “qualquer número elevado à potência zero é igual a \(1\).” O inverso também é verdadeiro: “um pode ser representado como qualquer número elevado a zero”. Vamos aproveitar isso fazendo com que a base da direita seja igual à da esquerda. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voilá! Vamos nos livrar das bases. Estamos escrevendo uma resposta. Responder : \(-7\). Às vezes, a “mesmice” dos expoentes não é óbvia, mas o uso hábil das propriedades dos expoentes resolve esse problema. Exemplo . Resolva a equação exponencial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Solução: \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) A equação parece muito triste... Não só as bases não podem ser reduzidas ao mesmo número (sete não será de forma alguma igual a \(\frac(1)(3)\)), mas também os expoentes são diferentes. .. Porém, vamos usar o expoente esquerdo dois. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lembrando da propriedade \((a^b)^c=a^(b·c)\) , transformamos da esquerda: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Agora, lembrando da propriedade de grau negativo \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformamos da direita: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluia! Os indicadores são os mesmos! Agindo de acordo com o esquema que já nos é familiar, resolvemos antes da resposta. Responder : \(2\).

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Equações exponenciais. Guia abrangente (2019)

Olá! Hoje discutiremos com você como resolver equações que podem ser tanto elementares (e espero que depois de ler este artigo, quase todas sejam assim para você), quanto aquelas que normalmente são dadas “para preenchimento”. Aparentemente para finalmente adormecer. Mas tentarei fazer todo o possível para que agora você não tenha problemas ao se deparar com esse tipo de equação. Não vou mais rodeios, mas vou abri-lo imediatamente pequeno segredo: hoje vamos estudar equações exponenciais.

Antes de passar a analisar formas de resolvê-los, vou imediatamente delinear para você uma série de questões (bem pequenas) que você deve repetir antes de se apressar em atacar este tópico. Então, para conseguir melhor resultado, Por favor, repita:

1. Propriedades e
2. Solução e equações

Repetido? Incrível! Então não será difícil perceber que a raiz da equação é um número. Você entende exatamente como eu fiz isso? É verdade? Então vamos continuar. Agora responda à minha pergunta: o que é igual à terceira potência? Você está absolutamente certo: . Qual potência de dois é oito? Isso mesmo - o terceiro! Porque. Bem, agora vamos tentar resolver o seguinte problema: Deixe-me multiplicar o número por ele mesmo uma vez e obter o resultado. A questão é: quantas vezes eu multipliquei por mim mesmo? É claro que você pode verificar isso diretamente:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinhar)

Então você pode concluir que multipliquei por mim mesmo vezes. De que outra forma você pode verificar isso? Veja como: diretamente por definição de grau: . Mas, você deve admitir, se eu perguntasse quantas vezes dois precisa ser multiplicado por si mesmo para obter, digamos, você me diria: não vou me enganar e multiplicar por si mesmo até ficar com a cara azul. E ele estaria absolutamente certo. Porque como você pode anote todas as etapas brevemente(e a brevidade é irmã do talento)

onde - estes são os mesmos "tempos", quando você multiplica por si mesmo.

Acho que você sabe (e se não sabe, repita os graus com urgência, com muita urgência!) que então meu problema ficará escrito na forma:

Como você pode razoavelmente concluir que:

Então, despercebido, anotei o mais simples equação exponencial:

E eu até o encontrei raiz. Você não acha que tudo é completamente trivial? Eu penso exatamente o mesmo. Aqui está outro exemplo para você:

Mas o que fazer? Afinal, não pode ser escrito como uma potência de um número (razoável). Não vamos nos desesperar e observar que esses dois números são perfeitamente expressos pela potência do mesmo número. Qual deles? Certo: . Então a equação original é transformada na forma:

Onde, como você já entendeu, . Não vamos demorar mais e anotar definição:

No nosso caso: .

Essas equações são resolvidas reduzindo-as à forma:

seguido pela resolução da equação

Na verdade, fizemos isso no exemplo anterior: obtivemos o seguinte: E resolvemos a equação mais simples.

Parece nada complicado, certo? Vamos praticar primeiro os mais simples exemplos:

Vemos novamente que os lados direito e esquerdo da equação precisam ser representados como potências de um número. É verdade que isso já foi feito à esquerda, mas à direita há um número. Mas está tudo bem, porque minha equação se transformará milagrosamente nisso:

O que eu tive que usar aqui? Que regra? Regra de "graus dentro de graus" que diz:

E se:

Antes de responder a esta pergunta, vamos preencher a seguinte tabela:

É fácil percebermos que quanto menor, menor é o valor, mas mesmo assim todos esses valores são maiores que zero. E SEMPRE SERÁ ASSIM!!! A mesma propriedade é verdadeira PARA QUALQUER BASE COM QUALQUER INDICADOR!! (para qualquer e). Então o que podemos concluir sobre a equação? Aqui está o que é: é não tem raízes! Assim como qualquer equação não tem raízes. Agora vamos praticar e Vamos resolver exemplos simples:

Vamos verificar:

1. Aqui nada será exigido de você, exceto o conhecimento das propriedades dos graus (que, aliás, pedi que você repetisse!) Via de regra, tudo leva à menor base: , . Então a equação original será equivalente ao seguinte: Tudo que preciso é usar as propriedades das potências: Na multiplicação de números com as mesmas bases, as potências são somadas e, na divisão, são subtraídas. Então eu vou conseguir: Bom, agora com a consciência tranquila passarei da equação exponencial para a linear: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\fim(alinhar)

2. No segundo exemplo, precisamos de ter mais cuidado: o problema é que no primeiro membro não podemos representar o mesmo número que uma potência. Neste caso, às vezes é útil representam números como produtos de potências com bases diferentes, mas com os mesmos expoentes:

O lado esquerdo da equação ficará assim: O que isso nos deu? Aqui está o que: Números com bases diferentes, mas com os mesmos expoentes, podem ser multiplicados.Neste caso, as bases são multiplicadas, mas o indicador não muda:

Na minha situação isso dará:

\begin(alinhar)
& 4\cponto ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cponto (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\fim(alinhar)

Nada mal, certo?

3. Não gosto quando, desnecessariamente, tenho dois termos de um lado da equação e nenhum do outro (às vezes, claro, isso se justifica, mas agora não é o caso). Vou mover o termo negativo para a direita:

Agora, como antes, escreverei tudo em termos de potências de três:

Eu adiciono os graus à esquerda e obtenho uma equação equivalente

Você pode encontrar facilmente sua raiz:

4. Como no exemplo três, o termo negativo ocupa um lugar no lado direito!

À minha esquerda está quase tudo bem, exceto o quê? Sim, o “grau errado” dos dois está me incomodando. Mas posso consertar isso facilmente escrevendo: . Eureka - à esquerda todas as bases são diferentes, mas todos os graus são iguais! Vamos multiplicar imediatamente!

Aqui, novamente, tudo está claro: (se você não entende como consegui magicamente a última igualdade, faça uma pausa por um minuto, respire fundo e leia novamente as propriedades do grau com muita atenção. Quem disse que você pode pular um grau com um expoente negativo Bem, aqui sou quase a mesma coisa que ninguém). Agora vou conseguir:

\begin(alinhar)
& ((2)^(4\esquerda((x) -9 \direita)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\fim(alinhar)

Aqui estão alguns problemas para você praticar, aos quais darei apenas as respostas (mas de forma “mista”). Resolva-os, verifique-os e você e eu continuaremos nossa pesquisa!

Preparar? Respostas assim:

1. qualquer número

Ok, ok, eu estava brincando! Aqui estão alguns esboços de soluções (alguns muito breves!)

Você não acha que não é por acaso que uma fração da esquerda é a outra “invertida”? Seria um pecado não aproveitar isso:

Esta regra é muito usada na resolução de equações exponenciais, lembre-se bem dela!

Então a equação original ficará assim:

Tendo decidido isso equação quadrática, você obterá estas raízes:

2. Outra solução: dividir os dois lados da equação pela expressão à esquerda (ou à direita). Dividindo pelo que está à direita, obtenho:

Onde (por quê?!)

3. Não quero nem me repetir, já foi tudo “mastigado” tanto.

4. equivalente a uma equação quadrática, raízes

5. Você precisa usar a fórmula dada no primeiro problema, então você obterá isso:

A equação se transformou em uma identidade trivial que é verdadeira para qualquer um. Então a resposta é qualquer número real.

Bem, agora você praticou a resolução equações exponenciais simples. Agora quero dar alguns exemplos da vida real que o ajudarão a entender por que eles são necessários em princípio. Aqui darei dois exemplos. Um deles é bastante cotidiano, mas o outro tem mais probabilidade de ser de interesse científico do que prático.

Exemplo 1 (mercantil) Deixe você ter rublos, mas deseja transformá-los em rublos. O banco oferece para você retirar esse dinheiro a uma taxa anual com capitalização mensal de juros (acumulação mensal). A questão é: quantos meses você precisa abrir um depósito para atingir o valor final exigido? Uma tarefa bastante mundana, não é? No entanto, a sua solução está associada à construção da equação exponencial correspondente: Seja - o valor inicial, - o valor final, - taxa de juro por período, - o número de períodos. Então:

No nosso caso (se a taxa for anual, então é calculada por mês). Por que é dividido por? Se você não sabe a resposta para essa pergunta, lembre-se do tópico “”! Então obtemos esta equação:

Esta equação exponencial só pode ser resolvida usando uma calculadora (seu aparência sugere isso, e isso requer conhecimento de logaritmos, que conheceremos um pouco mais tarde), o que farei: ... Assim, para receber um milhão, precisaremos fazer um depósito de um mês ( não muito rapidamente, certo?).

Exemplo 2 (bastante científico). Apesar de seu certo “isolamento”, recomendo que você preste atenção nele: ele regularmente “escorrega no Exame de Estado Unificado!! (o problema é retirado da versão “real”) Durante o decaimento de um isótopo radioativo, sua massa diminui de acordo com a lei, onde (mg) é a massa inicial do isótopo, (min.) é o tempo decorrido desde o momento inicial, (min.) é a meia-vida. No momento inicial, a massa do isótopo é mg. Sua meia-vida é mínima. Depois de quantos minutos a massa do isótopo será igual a mg? Está tudo bem: apenas pegamos e substituímos todos os dados na fórmula que nos foi proposta:

Vamos dividir as duas partes por, "na esperança" de que à esquerda obtenhamos algo digerível:

Bem, temos muita sorte! Está à esquerda, então vamos passar para a equação equivalente:

Onde está o mínimo.

Como você pode ver, as equações exponenciais têm aplicações muito reais na prática. Agora quero mostrar outra maneira (simples) de resolver equações exponenciais, que se baseia em retirar o fator comum dos colchetes e depois agrupar os termos. Não se assuste com minhas palavras, você já conheceu esse método na 7ª série, quando estudava polinômios. Por exemplo, se você precisasse fatorar a expressão:

Vamos agrupar: o primeiro e o terceiro termos, bem como o segundo e o quarto. É claro que o primeiro e o terceiro são a diferença de quadrados:

e o segundo e o quarto têm um fator comum de três:

Então a expressão original é equivalente a isto:

Onde derivar o fator comum não é mais difícil:

Por isso,

Isso é aproximadamente o que faremos ao resolver equações exponenciais: procurar por “comunalidades” entre os termos e retirá-los dos colchetes, e então - aconteça o que acontecer, acredito que teremos sorte =)) Por exemplo:

À direita está longe de ser uma potência de sete (eu verifiquei!) E à esquerda - é um pouco melhor, você pode, é claro, “cortar” o fator a do segundo do primeiro termo, e então negociar com o que você tem, mas sejamos mais prudentes com você. Não quero lidar com as frações que inevitavelmente se formam ao "selecionar" , então não deveria retirá-las? Então não terei frações: como dizem, os lobos estão alimentados e as ovelhas estão seguras:

Calcule a expressão entre colchetes. Magicamente, magicamente, acontece isso (surpreendentemente, mas o que mais deveríamos esperar?).

Então reduzimos ambos os lados da equação por este fator. Obtemos: , de.

Aqui está um exemplo mais complicado (um pouco, na verdade):

Que problema! Não temos um ponto em comum aqui! Não está totalmente claro o que fazer agora. Vamos fazer o que pudermos: primeiro, mova os “quatros” para um lado e os “cincos” para o outro:

Agora vamos retirar o "geral" à esquerda e à direita:

E agora? Qual é a vantagem de um grupo tão estúpido? À primeira vista, não é nada visível, mas vamos olhar mais a fundo:

Bem, agora vamos ter certeza de que à esquerda temos apenas a expressão c, e à direita - todo o resto. Como fazemos isso? Veja como: Divida ambos os lados da equação primeiro por (para nos livrarmos do expoente à direita) e depois divida ambos os lados por (para nos livrarmos do fator numérico à esquerda). Finalmente obtemos:

Incrível! À esquerda temos uma expressão e à direita temos uma expressão simples. Então concluímos imediatamente que

Aqui está outro exemplo para você reforçar:

Darei sua breve solução (sem me preocupar com explicações), tentarei entender você mesmo todas as “sutilezas” da solução.

Agora vamos à consolidação final do material abordado. Tente resolver você mesmo os seguintes problemas. Darei apenas breves recomendações e dicas para resolvê-los:

1. Vamos tirar o fator comum dos colchetes: Onde:
2. Vamos apresentar a primeira expressão na forma: , divida ambos os lados por e obtenha isso
3. , então a equação original é transformada na forma: Bem, agora uma dica - procure onde você e eu já resolvemos essa equação!
4. Imagine como, como, ah, bem, então divida ambos os lados por, para obter a equação exponencial mais simples.
5. Tire-o dos colchetes.
6. Tire-o dos colchetes.

EQUAÇÕES EXPONENTÁRIAS. NÍVEL MÉDIO

Presumo que depois de ler o primeiro artigo, que falava sobre o que são equações exponenciais e como resolvê-las, você dominou o mínimo necessário conhecimento necessário para resolver exemplos simples.

Agora examinarei outro método para resolver equações exponenciais, este é

“método de introdução de uma nova variável” (ou substituição). Ele resolve a maioria dos problemas “difíceis” no tópico de equações exponenciais (e não apenas equações). Este método é um dos mais utilizados na prática. Primeiramente, recomendo que você se familiarize com o tema.

Como você já entendeu pelo nome, a essência deste método é introduzir uma mudança de variável tal que sua equação exponencial se transforme milagrosamente em uma que você possa resolver facilmente. Tudo o que resta para você depois de resolver essa “equação simplificada” é fazer uma “substituição reversa”: ou seja, retornar do substituído para o substituído. Vamos ilustrar o que acabamos de dizer com um exemplo muito simples:

Exemplo 1:

Esta equação é resolvida usando uma “substituição simples”, como os matemáticos a chamam depreciativamente. Na verdade, a substituição aqui é a mais óbvia. Basta ver isso

Então a equação original ficará assim:

Se imaginarmos adicionalmente como, então fica absolutamente claro o que precisa ser substituído: claro, . O que então se torna a equação original? Aqui está o que:

Você pode facilmente encontrar suas raízes por conta própria: . O que devemos fazer agora? É hora de retornar à variável original. O que esqueci de mencionar? A saber: ao substituir um determinado grau por uma nova variável (ou seja, ao substituir um tipo), estarei interessado em apenas raízes positivas! Você mesmo pode responder facilmente por quê. Assim, você e eu não estamos interessados, mas a segunda raiz é bastante adequada para nós:

Então de onde.

Responder:

Como você pode ver, no exemplo anterior, um substituto estava apenas pedindo a nossa mão. Infelizmente, nem sempre é esse o caso. No entanto, não vamos direto às coisas tristes, mas vamos praticar com mais um exemplo com uma substituição bastante simples

Exemplo 2.

É claro que muito provavelmente teremos que fazer uma substituição (esta é a menor das potências incluídas em nossa equação), mas antes de introduzir uma substituição, nossa equação precisa estar “preparada” para isso, a saber: , . Então você pode substituir, como resultado obtenho a seguinte expressão:

Oh, horror: uma equação cúbica com fórmulas absolutamente terríveis para resolvê-la (bem, falando em visão geral). Mas não vamos nos desesperar imediatamente, mas vamos pensar no que devemos fazer. Vou sugerir trapaça: sabemos que para obter uma resposta “bonita”, precisamos obtê-la na forma de uma potência de três (por que seria isso, hein?). Vamos tentar adivinhar pelo menos uma raiz da nossa equação (começarei a adivinhar com potências de três).

Primeiro palpite. Não é uma raiz. Infelizmente e ah...

.
O lado esquerdo é igual.
Lado direito: !
Comer! Adivinhei a primeira raiz. Agora as coisas vão ficar mais fáceis!

Você conhece o esquema de divisão de “cantos”? Claro que sim, você o usa quando divide um número por outro. Mas poucas pessoas sabem que o mesmo pode ser feito com polinômios. Existe um teorema maravilhoso:

Aplicando à minha situação, isto diz-me que é divisível sem resto por. Como é feita a divisão? Veja como:

Eu vejo por qual monômio devo multiplicar para obter Claramente, então:

Subtraio a expressão resultante e obtenho:

Agora, pelo que preciso multiplicar para obter? É claro que, então, obterei:

e subtraia novamente a expressão resultante da restante:

Bem última etapa, multiplique por e subtraia da expressão restante:

Viva, a divisão acabou! O que acumulamos em particular? Claro: .

Então obtivemos a seguinte expansão do polinômio original:

Vamos resolver a segunda equação:

Tem raízes:

Então a equação original:

tem três raízes:

É claro que descartaremos a última raiz, pois é menor que zero. E os dois primeiros após a substituição reversa nos darão duas raízes:

Responder: ..

Eu não queria de forma alguma assustá-los com este exemplo, meu objetivo era mostrar que, embora tivéssemos uma substituição bastante simples, ela ainda assim resultou em bastante; equação complexa, cuja solução exigiu de nós algumas habilidades especiais. Bem, ninguém está imune a isso. Mas a substituição neste caso era bastante óbvia.

Aqui está um exemplo com uma substituição um pouco menos óbvia:

Não está nada claro o que devemos fazer: o problema é que na nossa equação existem dois bases diferentes e um fundamento não pode ser obtido de outro elevando-o a qualquer grau (razoável, naturalmente). Porém, o que vemos? Ambas as bases diferem apenas no sinal, e seu produto é a diferença de quadrados igual a um:

Definição:

Assim, os números que são bases no nosso exemplo são conjugados.

Neste caso, o passo inteligente seria Multiplique ambos os lados da equação pelo número conjugado.

Por exemplo, em, então o lado esquerdo da equação se tornará igual e o lado direito. Se fizermos uma substituição, nossa equação original ficará assim:

suas raízes, então, e lembrando disso, nós entendemos isso.

Responder: , .

Via de regra, o método de substituição é suficiente para resolver a maioria das equações exponenciais “escolares”. As seguintes tarefas são retiradas do Exame de Estado Unificado C1 (nível de dificuldade aumentado). Você já é alfabetizado o suficiente para resolver esses exemplos sozinho. Darei apenas a substituição necessária.

1. Resolva a equação:
2. Encontre as raízes da equação:
3. Resolva a equação: . Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao segmento:

E agora algumas breves explicações e respostas:

1. Aqui basta observarmos que... Então a equação original será equivalente a esta: Esta equação pode ser resolvida substituindo Faça você mesmo os cálculos adicionais. No final, sua tarefa se reduzirá a resolver problemas trigonométricos simples (dependendo do seno ou cosseno). Veremos soluções para exemplos semelhantes em outras seções.
2. Aqui você pode até fazer sem substituição: basta mover o subtraendo para a direita e representar as duas bases através de potências de dois: e depois ir direto para a equação quadrática.
3. A terceira equação também é resolvida de forma bastante padronizada: vamos imaginar como. Então, substituindo, obtemos uma equação quadrática: então,

   Você já sabe o que é um logaritmo, certo? Não? Então leia o tópico com urgência!

   A primeira raiz obviamente não pertence ao segmento, mas a segunda não é clara! Mas descobriremos muito em breve! Desde então (esta é uma propriedade do logaritmo!) Vamos comparar:

   Subtraindo de ambos os lados, obtemos:

   O lado esquerdo pode ser representado como:

   multiplique ambos os lados por:

   pode ser multiplicado por, então

   Então compare:

   desde então:

   Então a segunda raiz pertence ao intervalo requerido

   Responder:

Como você pode ver, a seleção de raízes de equações exponenciais requer um conhecimento bastante profundo das propriedades dos logaritmos, então aconselho você a ter o máximo de cuidado possível ao resolver equações exponenciais. Como você entende, na matemática tudo está interligado! Como disse meu professor de matemática: “a matemática, assim como a história, não pode ser lida da noite para o dia”.

Via de regra, todos A dificuldade em resolver os problemas C1 está justamente na seleção das raízes da equação. Vamos praticar com mais um exemplo:

É claro que a equação em si é resolvida de forma bastante simples. Ao fazer uma substituição, reduzimos nossa equação original ao seguinte:

Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira raiz. Vamos comparar e: desde então. (propriedade de uma função logarítmica, em). Então fica claro que a primeira raiz não pertence ao nosso intervalo. Agora a segunda raiz: . É claro que (já que a função em está aumentando). Resta comparar e...

desde então, ao mesmo tempo. Dessa forma, posso “cravar uma estaca” entre o e. Este pino é um número. A primeira expressão é menor e a segunda é maior. Então a segunda expressão é maior que a primeira e a raiz pertence ao intervalo.

Responder: .

Finalmente, vejamos outro exemplo de equação em que a substituição é bastante fora do padrão:

Vamos começar imediatamente com o que pode ser feito e o que - em princípio, pode ser feito, mas é melhor não fazer. Você pode imaginar tudo através das potências de três, dois e seis. A que isso levará? Não levará a nada: uma confusão de graus, alguns dos quais serão bastante difíceis de eliminar. O que então é necessário? Observemos que a E o que isso nos dará? E o facto de podermos reduzir a solução deste exemplo à solução de uma equação exponencial bastante simples! Primeiro, vamos reescrever nossa equação como:

Agora vamos dividir ambos os lados da equação resultante por:

Eureca! Agora podemos substituir, obtemos:

Bem, agora é sua vez de resolver problemas de demonstração, e farei apenas breves comentários sobre eles para que você não se perca! Boa sorte!

1. O mais difícil! É tão difícil ver um substituto aqui! Mesmo assim, este exemplo pode ser completamente resolvido usando destacando um quadrado completo. Para resolvê-lo, basta observar que:

Então aqui está o seu substituto:

(Observe que aqui durante nossa substituição não podemos descartar a raiz negativa!!! Por que você acha?)

Agora para resolver o exemplo você só precisa resolver duas equações:

Ambos podem ser resolvidos com uma “substituição padrão” (mas a segunda em um exemplo!)

2. Observe isso e faça uma substituição.

3. Decomponha o número em fatores primos e simplifique a expressão resultante.

4. Divida o numerador e o denominador da fração por (ou, se preferir) e faça a substituição ou.

5. Observe que os números e são conjugados.

EQUAÇÕES EXPONENTÁRIAS. NÍVEL AVANÇADO

Além disso, vejamos de outra maneira - resolvendo equações exponenciais usando o método do logaritmo. Não posso dizer que resolver equações exponenciais usando este método seja muito popular, mas em alguns casos só ele pode nos levar a a decisão certa nossa equação. É especialmente usado para resolver os chamados “ equações mistas": isto é, aqueles onde ocorrem funções de diferentes tipos.

Por exemplo, uma equação da forma:

no caso geral, só pode ser resolvido tomando logaritmos de ambos os lados (por exemplo, para a base), em que a equação original se transformará na seguinte:

Vejamos o seguinte exemplo:

É claro que de acordo com o ODZ da função logarítmica, estamos apenas interessados. No entanto, isso decorre não apenas do ODZ do logaritmo, mas por mais uma razão. Acho que não será difícil para você adivinhar qual é.

Vamos levar o logaritmo de ambos os lados da nossa equação para a base:

Como você pode ver, calcular o logaritmo da nossa equação original rapidamente nos levou à resposta correta (e bonita!). Vamos praticar com mais um exemplo:

Também não há nada de errado aqui: vamos levar o logaritmo de ambos os lados da equação para a base, então obtemos:

Vamos fazer uma substituição:

No entanto, perdemos alguma coisa! Você notou onde cometi um erro? Afinal, então:

que não satisfaz o requisito (pense de onde veio!)

Responder:

Tente escrever a solução para as equações exponenciais abaixo:

Agora compare sua decisão com esta:

1. Vamos logaritmar ambos os lados até a base, levando em consideração que:

(a segunda raiz não é adequada para nós devido à substituição)

2. Logaritmo na base:

Vamos transformar a expressão resultante na seguinte forma:

EQUAÇÕES EXPONENTÁRIAS. BREVE DESCRIÇÃO E FÓRMULAS BÁSICAS

Equação exponencial

Equação da forma:

chamado a equação exponencial mais simples.

Propriedades dos graus

Abordagens para solução

• Levando a mesma base
• Redução ao mesmo expoente
• Substituição de variável
• Simplificando a expressão e aplicando uma das opções acima.