Comparação de números complexos online. Módulo e argumento de um número complexo

Vamos relembrar as informações necessárias sobre números complexos.

Número complexoé uma expressão da forma um + bi, Onde um, b são números reais e eu- o chamado unidade imaginária, um símbolo cujo quadrado é igual a –1, ou seja eu 2 = –1. Número um chamado parte real, e o número b - parte imaginária número complexo z = um + bi. Se b= 0, então em vez disso um + 0eu eles simplesmente escrevem um. Pode-se ver que os números reais são caso especial números complexos.

As operações aritméticas com números complexos são iguais às dos números reais: podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas entre si. Adição e subtração ocorrem de acordo com a regra ( um + bi) ± ( c + di) = (um ± c) + (b ± d)eu, e a multiplicação segue a regra ( um + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (anúncio + a.C.)eu(aqui é usado que eu 2 = –1). Número = um – bi chamado conjugado complexo Para z = um + bi. Igualdade z · = um 2 + b 2 permite que você entenda como dividir um número complexo por outro número complexo (diferente de zero):

(Por exemplo, .)

Os números complexos têm uma representação geométrica visual e conveniente: número z = um + bi pode ser representado por um vetor com coordenadas ( um; b) no plano cartesiano (ou, o que é quase a mesma coisa, um ponto - o fim de um vetor com essas coordenadas). Neste caso, a soma de dois números complexos é representada como a soma dos vetores correspondentes (que podem ser encontrados usando a regra do paralelogramo). De acordo com o teorema de Pitágoras, o comprimento do vetor com coordenadas ( um; b) é igual a . Essa quantidade é chamada módulo número complexo z = um + bi e é denotado por | z|. O ângulo que este vetor faz com o sentido positivo do eixo x (contado no sentido anti-horário) é chamado argumento número complexo z e é denotado por Arg z. O argumento não é definido exclusivamente, mas apenas até a adição de um múltiplo de 2 π radianos (ou 360°, se contados em graus) - afinal, é claro que uma rotação nesse ângulo em torno da origem não alterará o vetor. Mas se o vetor de comprimento R forma um ângulo φ com a direção positiva do eixo x, então suas coordenadas são iguais a ( R porque φ ; R pecado φ ). A partir daqui acontece notação trigonométrica número complexo: z = |z| · (cos(Arg z) + eu pecado (Arg z)). Muitas vezes é conveniente escrever números complexos nesta forma, porque simplifica muito os cálculos. Multiplicar números complexos na forma trigonométrica é muito simples: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + argumento z 2) + eu pecado (Arg z 1 + argumento z 2)) (ao multiplicar dois números complexos, seus módulos são multiplicados e seus argumentos são somados). A partir daqui siga Fórmulas de Moivre: z n = |z|n· (porque( n· (Arg z)) + eu pecado( n· (Arg z))). Usando essas fórmulas, é fácil aprender como extrair raízes de qualquer grau de números complexos. Raiz enésimo grau do número z- este é um número complexo c, O que e n = z. É claro que , e , onde k pode assumir qualquer valor do conjunto (0, 1, ..., n– 1). Isto significa que há sempre exatamente n raízes nº grau de um número complexo (no plano eles estão localizados nos vértices do regular n-gon).

Usando a calculadora

Para avaliar uma expressão, você deve inserir uma string a ser avaliada. Ao inserir números, o separador entre as partes inteiras e fracionárias é um ponto. Você pode usar parênteses. As operações em números complexos são multiplicação (*), divisão (/), adição (+), subtração (-), exponenciação (^) e outras. Você pode usar formas exponenciais e algébricas para escrever números complexos. Insira a unidade imaginária eué possível sem o sinal de multiplicação; em outros casos, é necessário o sinal de multiplicação, por exemplo, entre parênteses ou entre um número e uma constante. Constantes também podem ser usadas: o número π é inserido como pi, expoente e, quaisquer expressões no indicador devem estar entre parênteses.

Linha de exemplo para cálculo: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), que corresponde à expressão \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

A calculadora permite usar constantes, funções matemáticas, operações adicionais e muito mais. expressões complexas, você pode se familiarizar com essas possibilidades na página de regras gerais para uso de calculadoras neste site.

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Notícias

07.07.2016
Adicionada uma calculadora para resolver sistemas de equações algébricas não lineares: .

30.06.2016
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Aula 12 . Números complexos.

12.1. Definição de números complexos na forma algébrica. Comparação e representação de números complexos no plano complexo. Emparelhamento complexo. Adição, multiplicação, divisão de números complexos.

12.2. Módulo, argumento de um número complexo.

12.3. Formas trigonométricas e exponenciais de escrever um número complexo.

12.4. Elevando a uma potência inteira e extraindo a raiz de um número complexo.

Definição de números complexos na forma algébrica. Comparação e representação de números complexos no plano complexo. Emparelhamento complexo. Adição, multiplicação, divisão de números complexos.

Um número complexo na forma algébrica é o número

Onde
chamado unidade imaginária E
- números reais:
chamado parte real (real);
- parte imaginária número complexo . Números complexos da forma
são chamados números puramente imaginários. O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra .

Por definição,

O conjunto de todos os números reais faz parte do conjunto
: . Por outro lado, existem números complexos que não pertencem ao conjunto
.
Por exemplo,
.

E , porque Os números complexos na forma algébrica surgem naturalmente ao resolver

equações quadráticas com um discriminante negativo.
.

Exemplo 1

. Resolva a equação

,
.

Solução. , Portanto, a equação quadrática dada tem raízes complexas

,

,
.

Exemplo 2 ,

. Encontre as partes reais e imaginárias de números complexos
Assim, as partes reais e imaginárias do número Qualquer número complexo
representado por um vetor no plano complexo , representando um plano com sistema de coordenadas cartesianas
. O início do vetor está no ponto
, e o final está no ponto com coordenadas
(Figura 1.) Eixo .

é chamado de eixo real, e o eixo
- eixo imaginário do plano complexo
Os números complexos são comparados entre si apenas por sinais
. . .
Se pelo menos uma das igualdades:.

é violado, então Registros do tipo
não faz sentido
Por definição, complexo
número
chamado de conjugado complexo de um número

.

Neste caso eles escrevem

. É óbvio que.

Em todos os lugares abaixo, uma barra superior acima de um número complexo significará conjugação complexa.

Por exemplo, .

Você pode realizar operações com números complexos, como adição (subtração), multiplicação e divisão.

1. Adição de números complexos
feito assim: vetores de acordo com a regra do paralelogramo.

Operação de subtração de números dentre feito assim:

2. Multiplicação de números complexos feito assim:

Propriedades da operação de multiplicação:

Por exemplo, .

- propriedade de associatividade;

- a lei da distributividade.

3. Divisão de números complexos viável apenas com
e é feito assim:

.

Exemplo 3. Encontrar
, Se .

Exemplo 4. Calcular
, Se .

z, porque
.

.(ai!)

Não é difícil verificar (sugere-se que você mesmo faça isso) a validade das seguintes afirmações:

Módulo, argumento de um número complexo.

Módulo de um número complexo
(módulo denotado por ) é um número não negativo
, ou seja
.

Significado geométrico - comprimento do vetor que representa o número no plano complexo .
Equação define o conjunto de todos os números (vetores por
.

), cujas extremidades estão no círculo unitário
Argumento de número complexo denotado por
(argumento ) este é um ângulo
em radianos entre o eixo real no plano complexo e número , e
positivo se for contado a partir de para sentido anti-horário, e negativo se
positivo se for contado a partir de medido a partir do eixo.

sentido horário Então o argumento numérico
é determinado de forma ambígua, até um prazo
, Onde . Definitivamente um argumento numérico
determinado dentro de uma volta do círculo unitário . no avião
Geralmente você precisa encontrar
,dentro do intervalo este valor é chamado de valor principal do argumento numérico
.

e é designado
E números
pode ser encontrado a partir da equação , enquanto Necessariamente precisa ser levado em conta , em qual quarto do avião está o fim do vetor
:

- apontar
Se (1º quarto do avião

- apontar
), Que ; (2º quarto do avião

- apontar
), Que; (1º quarto do avião

- apontar
(3º quarto do avião (4º quarto do plano

), Que .
Na verdade, o módulo e o argumento do número
, estas são coordenadas polares
pontos determinado dentro de uma volta do círculo unitário .

- fim do vetor Exemplo 5

.

. Encontre o módulo e o valor principal do argumento dos números:
Argumentos de números sobre eixos , separando os quartos 1,2,3,4 do plano complexo .

, pode ser encontrado imediatamente nas representações gráficas desses números no plano

Formas trigonométricas e exponenciais de escrever um número complexo. Multiplicação e divisão de números complexos em notação trigonométrica e exponencial. Notação trigonométrica
número complexo

, (2)

Onde tem o formato: - módulo, - argumento de número complexo

. Esta representação de números complexos decorre das igualdades.(Indicativo exponencial
número complexo

, (3)

Onde tem o formato: ) forma de escrever um número complexo - argumento numérico

. (4)

. A possibilidade de representar números complexos na forma exponencial (3) decorre da forma trigonométrica (2) e da fórmula de Euler:

Esta fórmula é comprovada no curso TFKP (Teoria das Funções de uma Variável Complexa).. Encontre formas trigonométricas e exponenciais para números complexos: do exemplo 5.

Solução. Vamos utilizar os resultados do Exemplo 5, no qual são encontrados os módulos e argumentos de todos os números indicados.

,

.

- forma trigonométrica de escrever um número ,

- forma exponencial de escrever um número .

3)

- forma trigonométrica de escrever um número ,

- forma exponencial de escrever um número .

Forma trigonométrica de escrever um número ,

- forma exponencial de escrever um número .

5)

- forma trigonométrica de escrever um número ,

- forma exponencial de escrever um número .

Forma trigonométrica de um número ,

.

7)

- forma trigonométrica de escrever um número ,

- forma exponencial de um número .

- forma trigonométrica de escrever um número ,

- forma exponencial de escrever um número .

A forma exponencial de escrever números complexos leva à seguinte interpretação geométrica das operações de multiplicação e divisão de números complexos. Deixar
- formas exponenciais de números
.

1. Ao multiplicar números complexos, seus módulos são multiplicados e seus argumentos são somados.

2. Ao dividir um número complexo por número acaba sendo um número complexo , módulo que é igual à proporção de módulos , e o argumento - diferenças
argumentos numéricos
.

Elevando a uma potência inteira e extraindo a raiz de um número complexo.

Por definição,

Quando elevado a todo um poder número complexo
, você deve proceder assim: primeiro encontre o módulo e argumento este número; introduzir em forma demonstrativa
;
encontrar

executando a seguinte sequência de ações

Onde . (5) Comentário.
Argumento
números
pode não pertencer ao intervalo . Neste caso, de acordo com o valor obtido

encontre o significado principal
argumento
números
, adicionando (ou subtraindo) um número

com esse significado
, para pertencia ao intervalo .

.. Encontrar .
Depois disso, você precisa substituir nas fórmulas (5)
.

1)
=
sobre Exemplo 7

2)
, Se
.
.
.

(ver número do exemplo 6).

, Onde
.

3)
, Se
.
.

Por isso, pode ser substituído por e, o que significa

Onde Nós iremos substituir
sobre . Por isso,
Extração de raiz