Fórmulas ou regras de multiplicação abreviada são usadas em aritmética, ou mais precisamente em álgebra, para um processo mais rápido de cálculo de grandes quantidades. expressões algébricas. As próprias fórmulas são derivadas de regras existentes em álgebra para multiplicar vários polinômios.
O uso dessas fórmulas fornece uma solução bastante rápida para vários problemas matemáticos e também ajuda a simplificar expressões. As regras das transformações algébricas permitem realizar algumas manipulações com expressões, a partir das quais você pode obter no lado esquerdo da igualdade a expressão do lado direito, ou transformar o lado direito da igualdade (para obter a expressão no lado esquerdo depois do sinal de igual).
É conveniente conhecer de memória as fórmulas utilizadas para multiplicação abreviada, pois são frequentemente utilizadas na resolução de problemas e equações. Abaixo estão as principais fórmulas incluídas nesta lista e seus nomes.
Quadrado da soma
Para calcular o quadrado da soma, você precisa encontrar a soma que consiste no quadrado do primeiro termo, duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo e o quadrado do segundo. Na forma de expressão, esta regra é escrita da seguinte forma: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Diferença quadrada
Para calcular o quadrado da diferença, é necessário calcular a soma que consiste no quadrado do primeiro número, duas vezes o produto do primeiro número pelo segundo (tomado com o sinal oposto) e o quadrado do segundo número. Na forma de expressão, esta regra fica assim: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Diferença de quadrados
A fórmula para a diferença de dois números ao quadrado é igual ao produto da soma desses números pela sua diferença. Na forma de expressão, esta regra fica assim: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Cubo de soma
Para calcular o cubo da soma de dois termos, é necessário calcular a soma que consiste no cubo do primeiro termo, triplicar o produto do quadrado do primeiro termo e do segundo, triplicar o produto do primeiro termo e do segundo ao quadrado e o cubo do segundo termo. Na forma de expressão, esta regra fica assim: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Soma dos cubos
De acordo com a fórmula, é igual ao produto da soma desses termos e sua diferença quadrática incompleta. Na forma de expressão, esta regra fica assim: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Exemplo.É necessário calcular o volume de uma figura formada pela soma de dois cubos. Apenas os tamanhos dos seus lados são conhecidos.
Se os valores laterais forem pequenos, os cálculos serão simples.
Se os comprimentos dos lados forem expressos em números complicados, neste caso é mais fácil usar a fórmula “Soma dos Cubos”, o que simplificará bastante os cálculos.
Cubo de diferença
A expressão para a diferença cúbica soa assim: como a soma da terceira potência do primeiro termo, triplique o produto negativo do quadrado do primeiro termo pelo segundo, triplique o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo e o cubo negativo do segundo termo. Na forma de uma expressão matemática, o cubo da diferença fica assim: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Diferença de cubos
A fórmula da diferença dos cubos difere da soma dos cubos em apenas um sinal. Assim, a diferença dos cubos é uma fórmula igual ao produto da diferença desses números pelo seu quadrado incompleto da soma. Na forma de uma expressão matemática, a diferença de cubos fica assim: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Exemplo.É necessário calcular o volume da figura que restará após subtrair a figura volumétrica do volume do cubo azul amarelo, que também é um cubo. Apenas o tamanho lateral do cubo pequeno e grande é conhecido.
Se os valores laterais forem pequenos, os cálculos serão bastante simples. E se os comprimentos dos lados são expressos em números significativos, então vale a pena aplicar a fórmula intitulada “Diferença de cubos” (ou “Cubo de diferença”), que simplificará bastante os cálculos.
Um dos primeiros tópicos estudados em um curso de álgebra são as fórmulas abreviadas de multiplicação. Na 7ª série, eles são usados nas situações mais simples, onde é necessário reconhecer uma das fórmulas de uma expressão e fatorar um polinômio ou, inversamente, elevar ao quadrado ou ao cubo rapidamente uma soma ou diferença. No futuro, a FSU será usada para solução rápida desigualdades e equações e até mesmo para calcular alguns expressões numéricas sem calculadora.
Qual é a aparência de uma lista de fórmulas?
Existem 7 fórmulas básicas que permitem multiplicar rapidamente polinômios entre colchetes.
Às vezes, esta lista também inclui uma expansão para o quarto grau, que decorre das identidades apresentadas e tem a forma:
a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Todas as igualdades possuem um par (soma - diferença), exceto a diferença de quadrados. A fórmula para a soma dos quadrados não é dada.
As igualdades restantes são fáceis de lembrar:
Deve-se lembrar que as FSUs funcionam em qualquer caso e para quaisquer valores um E b: podem ser números arbitrários ou expressões inteiras.
Em uma situação em que de repente você não consegue lembrar qual sinal está na frente de um termo específico na fórmula, você pode abrir os colchetes e obter o mesmo resultado de depois de usar a fórmula. Por exemplo, se surgir um problema ao aplicar o cubo de diferença FSU, você precisará anotar a expressão original e faça a multiplicação um por um:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Como resultado, após trazer todos os termos semelhantes, obteve-se o mesmo polinômio da tabela. As mesmas manipulações podem ser realizadas com todas as outras FSUs.
Aplicação de FSU para resolver equações
Por exemplo, você precisa resolver uma equação contendo polinômio de grau 3:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
O currículo escolar não cobre técnicas universais para resolver equações cúbicas, e tais problemas são geralmente resolvidos de forma mais detalhada. métodos simples(por exemplo, por fatoração). Se notarmos que o lado esquerdo da identidade se assemelha ao cubo de uma soma, então a equação pode ser escrita de uma forma mais simples:
(x + 1)³ = 0.
A raiz de tal equação é calculada oralmente: x = -1.
As desigualdades são resolvidas de maneira semelhante. Por exemplo, você pode resolver a desigualdade x³ – 6x² + 9x > 0.
Primeiro de tudo, você precisa fatorar a expressão. Primeiro você precisa colocar colchetes x. Depois disso, observe que a expressão entre parênteses pode ser convertida no quadrado da diferença.
Então você precisa encontrar os pontos em que a expressão assume valores zero e marcá-los na reta numérica. Em um caso particular, serão 0 e 3. Em seguida, usando o método do intervalo, determine em quais intervalos x corresponderá à condição de desigualdade.
As FSUs podem ser úteis ao realizar alguns cálculos sem a ajuda de uma calculadora:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Além disso, ao fatorar expressões, você pode facilmente reduzir frações e simplificar várias expressões algébricas.
Exemplos de problemas para as séries 7 a 8
Concluindo, analisaremos e resolveremos dois problemas sobre o uso de fórmulas abreviadas de multiplicação em álgebra.
Tarefa 1. Simplifique a expressão:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Solução. A condição do problema requer simplificar a expressão, ou seja, abrir os parênteses, realizar as operações de multiplicação e exponenciação, e também trazer todos os termos semelhantes. Vamos dividir condicionalmente a expressão em três partes (de acordo com o número de termos) e abrir os colchetes um por um, usando FSU sempre que possível.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(soma quadrada);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(diferença de quadrados);
- No último termo você precisa multiplicar: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Vamos substituir os resultados obtidos na expressão original:
(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).
Levando em consideração os sinais, abriremos os colchetes e apresentaremos termos semelhantes:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.
Problema 2. Resolva uma equação contendo a incógnita k elevada à 5ª potência:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.
Solução. Neste caso, é necessário utilizar o FSU e o método de agrupamento. É necessário mover o último e o penúltimo termos para o lado direito da identidade.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
O fator comum é derivado dos lados direito e esquerdo (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).
Tudo é transferido para o lado esquerdo da equação para que 0 permaneça à direita:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.
Novamente é necessário retirar o fator comum:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Do primeiro fator obtido podemos derivar k. De acordo com a fórmula curta de multiplicação, o segundo fator será identicamente igual a (k+2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
Usando a fórmula da diferença de quadrados:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Como um produto é igual a 0 se pelo menos um de seus fatores for zero, não é difícil encontrar todas as raízes da equação:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Com base em exemplos ilustrativos, você poderá entender como lembrar fórmulas, suas diferenças, e também resolver diversos problemas práticos utilizando o FSU. As tarefas são simples e não deverá haver dificuldades em concluí-las.
Eles são usados para simplificar cálculos, bem como fatorar polinômios e multiplicar polinômios rapidamente. A maioria das fórmulas de multiplicação abreviadas podem ser obtidas a partir do binômio de Newton - você verá isso em breve.
Fórmulas para quadrados usado em cálculos com mais frequência. Eles começam a ser estudados no currículo escolar a partir da 7ª série e até o final dos estudos os escolares devem saber de cor as fórmulas dos quadrados e dos cubos.
Fórmulas para cubos não é muito complicado e você precisa conhecê-los ao reduzir polinômios a visualização padrão, para simplificar o aumento da soma ou diferença de uma variável e um número ao cubo.
As fórmulas indicadas em vermelho são obtidas das anteriores agrupando termos semelhantes.
Fórmulas para o quarto e quinto graus em um curso escolar serão de pouca utilidade para ninguém, mas há problemas na hora de estudar matemática superior onde você precisa calcular os coeficientes de potências.
Fórmulas para graduação n são escritos através de coeficientes binomiais usando os seguintes fatoriais 
Exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas
Exemplo 1. Calcule 51^2.
Solução. Se você tiver uma calculadora, poderá encontrá-la sem problemas.
Eu estava brincando - todo mundo fica esperto com calculadora, sem ela... (não vamos falar de coisas tristes).
Sem calculadora e conhecendo as regras acima, encontramos o quadrado de um número usando a regra
Exemplo 2. Encontre 99 ^ 2.
Solução. Vamos aplicar a segunda fórmula
Exemplo 3: Eleve a expressão ao quadrado
(x+y-3).
Solução. Consideramos mentalmente que a soma dos dois primeiros termos é um termo e, usando a segunda fórmula para multiplicação abreviada, temos
Exemplo 4. Encontre a diferença dos quadrados
11^2-9^2.
Solução. Como os números são pequenos, você pode simplesmente substituir os valores dos quadrados
Mas nosso objetivo é completamente diferente - aprender como usar fórmulas de multiplicação abreviadas para simplificar os cálculos. Para este exemplo, aplicamos a terceira fórmula
Exemplo 5. Encontre a diferença dos quadrados
17^2-3^2
.
Solução. Neste exemplo você já vai querer estudar as regras para reduzir os cálculos a uma linha
Como você pode ver, não fizemos nada de surpreendente.
Exemplo 6: Simplifique uma expressão
(x-y)^2-(x+y)^2.
Solução. Você pode organizar os quadrados e posteriormente agrupar termos semelhantes. No entanto, pode-se aplicar diretamente a diferença de quadrados 
Simples e sem soluções longas.
Exemplo 7. Cube um polinômio
x^3-4.
Solução. Vamos aplicar a fórmula de multiplicação abreviada de 5 
Exemplo 8. Escreva como a diferença de quadrados ou sua soma
a)x^2-8x+7
b)x^2+4x+29
Solução. a) Reorganize os termos
b) Simplifique com base em argumentos anteriores 
Exemplo 9. Expanda uma fração racional
Solução. Vamos aplicar a fórmula da diferença de quadrados 
Vamos criar um sistema de equações para determinar as constantes
Vamos adicionar a segunda à primeira equação triplicada. Substituímos o valor encontrado na primeira equação 
A decomposição finalmente assumirá a forma 
Muitas vezes é necessário expandir uma fração racional antes de integrá-la para reduzir o poder do denominador.
Exemplo 10. Usando o binômio de Newton, escreva
expressão (xa)^7.
Solução. Você provavelmente já sabe o que é um binômio de Newton. Caso contrário, abaixo estão os coeficientes binomiais
Eles são formados da seguinte forma: as unidades vão ao longo da borda, os coeficientes entre elas na linha inferior são formados pela soma dos superiores adjacentes. Se procurarmos uma diferença até certo ponto, os sinais no gráfico alternam de mais para menos. Assim, para a sétima ordem obtemos o seguinte layout
Observe também com atenção como os indicadores mudam - para a primeira variável eles diminuem em um em cada termo subsequente, respectivamente, para o segundo aumentam em um. No total, os indicadores devem ser sempre iguais ao grau de decomposição (=7).
Acho que com base no material acima você conseguirá resolver problemas usando o binômio de Newton. Aprenda fórmulas de multiplicação abreviadas e aplique-as sempre que puderem, simplificando os cálculos e economizando tempo na conclusão de uma tarefa.
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