Expressões complexas com frações. Procedimento

Ações com frações.

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Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

Então, o que são frações, tipos de frações, transformações - lembramos. Vamos ao assunto principal.

O que você pode fazer com frações? Sim, tudo é igual aos números comuns. Adicionar, subtrair, multiplicar, dividir.

Todas essas ações com decimal trabalhar com frações não é diferente de trabalhar com números inteiros. Na verdade, é isso que há de bom neles, os decimais. A única coisa é que você precisa colocar a vírgula corretamente.

Números mistos , como já disse, são de pouca utilidade para a maioria das ações. Eles ainda precisam ser convertidos em frações ordinárias.

Mas as ações com frações ordinárias eles serão mais astutos. E muito mais importante! Deixe-me lembrá-lo: todas as ações com expressões fracionárias com letras, senos, incógnitas, etc., etc. não são diferentes das ações com frações ordinárias! As operações com frações ordinárias são a base de toda álgebra. É por esta razão que analisaremos aqui toda essa aritmética detalhadamente.

Adição e subtração de frações.

Todos podem somar (subtrair) frações com os mesmos denominadores (eu realmente espero!). Pois bem, deixe-me lembrar a quem está completamente esquecido: ao somar (subtrair), o denominador não muda. Os numeradores são somados (subtraídos) para dar o numerador do resultado. Tipo:

Em suma, em visão geral:

E se os denominadores forem diferentes? Então, usando a propriedade básica de uma fração (aqui ela é útil novamente!), tornamos os denominadores iguais! Por exemplo:

Aqui tivemos que fazer a fração 4/10 a partir da fração 2/5. Com o único propósito de tornar os denominadores iguais. Deixe-me observar, por precaução, que 2/5 e 4/10 são a mesma fração! Apenas 2/5 são inconvenientes para nós e 4/10 são realmente bons.

A propósito, esta é a essência da resolução de qualquer problema matemático. Quando nós de desconfortável nós fazemos expressões a mesma coisa, mas mais conveniente para resolver.

Outro exemplo:

A situação é semelhante. Aqui fazemos 48 de 16. Por simples multiplicação por 3. Está tudo claro. Mas nos deparamos com algo como:

Como ser?! É difícil fazer nove de sete! Mas somos espertos, conhecemos as regras! Vamos transformar todo fração para que os denominadores sejam iguais. Isso se chama "vamos levar a denominador comum»:

Uau! Como eu sabia sobre 63? Muito simples! 63 é um número divisível por 7 e 9 ao mesmo tempo. Esse número sempre pode ser obtido multiplicando os denominadores. Se multiplicarmos um número por 7, por exemplo, então o resultado certamente será divisível por 7!

Se precisar somar (subtrair) várias frações, não há necessidade de fazê-lo aos pares, passo a passo. Você só precisa encontrar o denominador comum a todas as frações e reduzir cada fração a esse mesmo denominador. Por exemplo:

E qual será o denominador comum? Você pode, é claro, multiplicar 2, 4, 8 e 16. Obtemos 1.024. Pesadelo. É mais fácil estimar que o número 16 é perfeitamente divisível por 2, 4 e 8. Portanto, a partir desses números é fácil obter 16. Este número será o denominador comum. Vamos transformar 1/2 em 16/8, 3/4 em 16/12 e assim por diante.

Aliás, se você tomar 1024 como denominador comum, tudo vai dar certo, no final tudo vai se reduzir. Mas nem todos chegarão a esse fim, por causa dos cálculos...

Complete o exemplo você mesmo. Não é algum tipo de logaritmo... Deveria ser 29/16.

Então, a adição (subtração) de frações é clara, espero? Claro, é mais fácil trabalhar em uma versão abreviada, com multiplicadores adicionais. Mas esse prazer está ao alcance de quem trabalhou honestamente nas séries iniciais... E não esqueci de nada.

E agora faremos as mesmas ações, mas não com frações, mas com expressões fracionárias. Novo rake será revelado aqui, sim...

Então, precisamos adicionar duas expressões fracionárias:

Precisamos tornar os denominadores iguais. E só com a ajuda multiplicação! Isto é o que dita a propriedade principal de uma fração. Portanto, não posso adicionar um a X na primeira fração do denominador. (seria legal!). Mas se você multiplicar os denominadores, você vê, tudo cresce junto! Então escrevemos a linha de fração no topo espaço vazio Vamos deixar, depois somar e escrever o produto dos denominadores abaixo para não esquecer:

E, claro, não multiplicamos nada do lado direito, não abrimos os parênteses! E agora, olhando para o denominador comum do lado direito, percebemos: para obter o denominador x(x+1) na primeira fração, você precisa multiplicar o numerador e o denominador desta fração por (x+1) . E na segunda fração - até x. Isto é o que você obtém:

Prestar atenção! Aqui estão os parênteses! Este é o ancinho em que muitas pessoas pisam. Não os parênteses, é claro, mas a ausência deles. Os parênteses aparecem porque estamos multiplicando todos numerador e todos denominador! E não suas peças individuais...

No numerador do lado direito escrevemos a soma dos numeradores, tudo fica como em frações numéricas, em seguida, abra os colchetes no numerador do lado direito, ou seja, Multiplicamos tudo e damos outros semelhantes. Não há necessidade de abrir os parênteses nos denominadores ou multiplicar nada! Em geral, em denominadores (qualquer) o produto é sempre mais agradável! Nós obtemos:

Então obtivemos a resposta. O processo parece longo e difícil, mas depende da prática. Depois de resolver os exemplos, acostume-se, tudo ficará simples. Quem domina as frações no devido tempo faz todas essas operações com uma mão esquerda, automaticamente!

E mais uma nota. Muitos lidam de forma inteligente com frações, mas ficam presos em exemplos com todo números. Tipo: 2 + 1/2 + 3/4= ? Onde fixar as duas peças? Você não precisa fixá-lo em lugar nenhum, você precisa fazer uma fração de dois. Não é fácil, mas muito simples! 2=2/1. Assim. Qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração. O numerador é o próprio número, o denominador é um. 7 é 7/1, 3 é 3/1 e assim por diante. O mesmo acontece com as letras. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. E então trabalhamos com essas frações de acordo com todas as regras.

Pois bem, o conhecimento de adição e subtração de frações foi atualizado. A conversão de frações de um tipo para outro foi repetida. Você também pode ser verificado. Vamos resolver isso um pouco?)

Calcular:

Respostas (em desordem):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplicação/divisão de frações – na próxima lição. Existem também tarefas para todas as operações com frações.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Conteúdo da lição

Adicionando frações com denominadores semelhantes

Existem dois tipos de adição de frações:

1. Adicionando frações com denominadores semelhantes
2. Adicionando frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender a somar frações com denominadores semelhantes. Tudo é simples aqui. Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos adicionar as frações e . Some os numeradores e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se lembrarmos da pizza, que é dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza à pizza, você terá pizza:

Exemplo 2. Adicione frações e .

A resposta acabou sendo uma fração imprópria. Quando chega o fim da tarefa, costuma-se livrar-se das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar toda a parte dela. No nosso caso, a parte inteira é facilmente isolada - dois dividido por dois é igual a um:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se nos lembrarmos de uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizza à pizza, obterá uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicione frações e .

Novamente, somamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se nos lembrarmos da pizza, que está dividida em três partes. Se você adicionar mais pizza à pizza, você obtém pizza:

Exemplo 4. Encontre o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma forma que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador deixado inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando um desenho. Se você adicionar pizza a uma pizza e adicionar mais pizza, você ganha 1 pizza inteira e mais uma pizza.

Como você pode ver, não há nada complicado em somar frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para somar frações com o mesmo denominador, é necessário somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;

Adicionando frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores das frações devem ser iguais. Mas nem sempre são iguais.

Por exemplo, as frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas as frações não podem ser somadas imediatamente, uma vez que essas frações denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje veremos apenas um deles, pois os outros métodos podem parecer complicados para um iniciante.

A essência deste método é que primeiro é pesquisado o MMC dos denominadores de ambas as frações. O MMC é então dividido pelo denominador da primeira fração para obter o primeiro fator adicional. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido.

Os numeradores e denominadores das frações são então multiplicados pelos seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações que possuem denominadores diferentes são convertidas em frações que possuem os mesmos denominadores. E já sabemos como adicionar essas frações.

Exemplo 1. Vamos adicionar as frações e

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

MMC (2 e 3) = 6

Agora vamos voltar às frações e . Primeiro, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e obtenha o primeiro fator adicional. MMC é o número 6 e o ​​denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, obtemos 2.

O número resultante 2 é o primeiro multiplicador adicional. Nós escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, faça uma pequena linha oblíqua sobre a fração e anote o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6 e o ​​denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, obtemos 3.

O número resultante 3 é o segundo multiplicador adicional. Nós escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua sobre a segunda fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora temos tudo pronto para adição. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações pelos seus fatores adicionais:

Observe atentamente aonde chegamos. Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores. E já sabemos como adicionar essas frações. Vamos levar este exemplo até o final:

Isso completa o exemplo. Acontece que é para adicionar .

Vamos tentar representar nossa solução usando um desenho. Se você adicionar pizza a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada por meio de uma imagem. Reduzindo as frações e a um denominador comum, obtivemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelos mesmos pedaços de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).

O primeiro desenho representa uma fração (quatro peças em seis) e o segundo desenho representa uma fração (três peças em seis). Somando essas peças obtemos (sete peças em seis). Esta fração é imprópria, por isso destacamos toda a sua parte. Como resultado, obtivemos (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que descrevemos este exemplo com muitos detalhes. EM instituições educacionais Não é costume escrever com tantos detalhes. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais para eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Se estivéssemos na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:

Mas também há verso medalhas. Se você não fizer anotações detalhadas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então questões desse tipo começarão a aparecer. “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

1. Encontre o MMC dos denominadores das frações;
2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um fator adicional para cada fração;
3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações pelos seus fatores adicionais;
4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira;

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão .

Vamos usar as instruções fornecidas acima.

Passo 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações

Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4

Passo 2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um fator adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Dividimos 12 por 2, obtemos 6. Obtivemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos acima da primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Dividimos 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos acima da segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Dividimos 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos acima da terceira fração:

Passo 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações pelos seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos seus fatores adicionais:

Passo 4. Adicione frações com os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformaram em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta apenas somar essas frações. Some:

A adição não cabia em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é movida para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início da nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, destaque toda a parte dela

A nossa resposta revelou-se uma fração imprópria. Temos que destacar toda uma parte disso. Destacamos:

Recebemos uma resposta

Subtraindo frações com denominadores semelhantes

Existem dois tipos de subtração de frações:

1. Subtraindo frações com denominadores semelhantes
2. Subtraindo frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender como subtrair frações com denominadores semelhantes. Tudo é simples aqui. Para subtrair outro de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração, mas deixar o denominador igual.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão. Para resolver este exemplo, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se lembrarmos da pizza, que é dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, obterá pizzas:

Exemplo 2. Encontre o valor da expressão.

Novamente, subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente compreendido se nos lembrarmos da pizza, que está dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, obterá pizzas:

Exemplo 3. Encontre o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma forma que os anteriores. Do numerador da primeira fração você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para subtrair outro de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
2. Se a resposta for uma fração imprópria, será necessário destacar a parte inteira dela.

Subtraindo frações com denominadores diferentes

Por exemplo, você pode subtrair uma fração de uma fração porque as frações têm os mesmos denominadores. Mas é impossível subtrair uma fração de uma fração, pois essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado usando o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Em seguida, o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e obtém-se o primeiro fator adicional, que está escrito acima da primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e obtém-se um segundo fator adicional, que é escrito acima da segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações que possuem denominadores diferentes são convertidas em frações que possuem os mesmos denominadores. E já sabemos como subtrair essas frações.

Exemplo 1. Encontre o significado da expressão:

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa reduzi-las ao mesmo denominador (comum).

Primeiro encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

MMC (3 e 4) = 12

Agora vamos voltar às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12 e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escreva um quatro acima da primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12 e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Escreva um três sobre a segunda fração:

Agora estamos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações pelos seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores. E já sabemos como subtrair essas frações. Vamos levar este exemplo até o final:

Recebemos uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando um desenho. Se você cortar pizza de uma pizza, você ganha pizza

Esta é a versão detalhada da solução. Se estivéssemos na escola, teríamos que resolver este exemplo em menos tempo. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações a um denominador comum também pode ser representada por meio de uma imagem. Reduzindo essas frações a um denominador comum, obtivemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador):

A primeira imagem mostra uma fração (oito peças em doze) e a segunda imagem mostra uma fração (três peças em doze). Cortando três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa reduzi-las ao mesmo denominador (comum).

Vamos encontrar o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

MMC(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, divida o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Dividindo 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos acima da primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Dividindo 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos acima da segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. O MMC é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Dividimos 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos acima da terceira fração:

Agora tudo está pronto para subtração. Resta multiplicar as frações pelos seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformaram em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair essas frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração regular, e tudo parece nos servir, mas é muito complicado e feio. Deveríamos tornar isso mais simples. O que pode ser feito? Você pode encurtar essa fração.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (MDC) dos números 20 e 30.

Então, encontramos o mdc dos números 20 e 30:

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e o denominador da fração pelo mdc encontrado, ou seja, por 10

Recebemos uma resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração por esse número e deixar o denominador igual.

Exemplo 1. Multiplique uma fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A gravação pode ser entendida como demorando metade do tempo. Por exemplo, se você levar pizzas 1 vez, você ganha pizzas

Pelas leis da multiplicação sabemos que se o multiplicando e o fator forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como, então o produto ainda será igual a. Novamente, a regra para multiplicar um número inteiro e uma fração funciona:

Esta notação pode ser entendida como metade de um. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e pegarmos metade, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A resposta foi uma fração imprópria. Vamos destacar toda a parte:

A expressão pode ser entendida como dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você levar 4 pizzas, receberá duas pizzas inteiras

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador, obteremos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Multiplicando frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará destacar a parte inteira dela.

Exemplo 1. Encontre o valor da expressão.

Recebemos uma resposta. É aconselhável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir esta metade em três partes iguais:

E pegue duas dessas três peças:

Faremos pizza. Lembre-se de como fica a pizza quando dividida em três partes:

Um pedaço desta pizza e os dois pedaços que pegamos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, estamos falando sobre aproximadamente o mesmo tamanho de pizza. Portanto o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta foi uma fração imprópria. Vamos destacar toda a parte:

Exemplo 3. Encontre o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta acabou sendo uma fração regular, mas seria bom se fosse abreviada. Para reduzir esta fração, você precisa dividir o numerador e o denominador desta fração pelo maior divisor comum(GCD) números 105 e 450.

Então, vamos encontrar o mdc dos números 105 e 450:

Agora dividimos o numerador e o denominador da nossa resposta pelo mdc que encontramos agora, ou seja, por 15

Representando um número inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como. Isto não mudará o significado de cinco, uma vez que a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isto, como sabemos, é igual a cinco:

Números recíprocos

Agora vamos conhecer muito tópico interessante em matemática. É chamado de "números reversos".

Definição. Reverter para númeroum é um número que, quando multiplicado porum dá um.

Vamos substituir nesta definição em vez da variável um número 5 e tente ler a definição:

Reverter para número 5 é um número que, quando multiplicado por 5 dá um.

É possível encontrar um número que, multiplicado por 5, dê um? Acontece que é possível. Vamos imaginar cinco como uma fração:

Depois multiplique essa fração por ela mesma, basta trocar o numerador e o denominador. Em outras palavras, vamos multiplicar a fração por ela mesma, só que de cabeça para baixo:

O que acontecerá como resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obteremos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número , pois ao multiplicar 5 por você obtém um.

O recíproco de um número também pode ser encontrado para qualquer outro número inteiro.

Você também pode encontrar o inverso de qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.

Dividindo uma fração por um número

Digamos que temos meia pizza:

Vamos dividir igualmente entre dois. Quanta pizza cada pessoa receberá?

Percebe-se que após dividir metade da pizza, obtiveram-se dois pedaços iguais, cada um deles constituindo uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.

A divisão de frações é feita usando recíprocos. Os números recíprocos permitem substituir a divisão pela multiplicação.

Para dividir uma fração por um número, você precisa multiplicar a fração pelo inverso do divisor.

Usando esta regra, anotaremos a divisão da nossa metade da pizza em duas partes.

Então, você precisa dividir a fração pelo número 2. Aqui o dividendo é a fração e o divisor é o número 2.

Para dividir uma fração pelo número 2, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor 2. O inverso do divisor 2 é a fração. Então você precisa multiplicar por

O numerador e o que é dividido por é o denominador.

Para escrever uma fração, primeiro escreva o numerador, depois desenhe uma linha horizontal abaixo do número e escreva o denominador abaixo da linha. A linha horizontal que separa o numerador e o denominador é chamada de linha fracionária. Às vezes é descrito como um "/" ou "∕" oblíquo. Neste caso, o numerador é escrito à esquerda da linha e o denominador à direita. Assim, por exemplo, a fração “dois terços” será escrita como 2/3. Para maior clareza, o numerador geralmente é escrito no topo da linha e o denominador na parte inferior, ou seja, em vez de 2/3 você pode encontrar: ⅔.

Para calcular o produto de frações, primeiro multiplique o numerador de um frações para o numerador é diferente. Escreva o resultado no numerador do novo frações. Depois disso, multiplique os denominadores. Insira o valor total no novo frações. Por exemplo, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir uma fração por outra, primeiro multiplique o numerador da primeira pelo denominador da segunda. Faça o mesmo com a segunda fração (divisor). Ou, antes de realizar todas as ações, primeiro “inverta” o divisor, se for mais conveniente para você: o denominador deve aparecer no lugar do numerador. Em seguida, multiplique o denominador do dividendo pelo novo denominador do divisor e multiplique os numeradores. Por exemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1? 5 = 5; 3? 1 = 3).

Fontes:

• Problemas básicos de frações

Os números fracionários podem ser expressos em em diferentes formas valor exato da quantidade. Você pode fazer com frações as mesmas operações matemáticas que faz com números inteiros: subtração, adição, multiplicação e divisão. Para aprender a decidir frações, devemos lembrar algumas de suas características. Eles dependem do tipo frações, a presença de uma parte inteira, um denominador comum. Algumas operações aritméticas exigem que a parte fracionária do resultado seja reduzida após a execução.

Você vai precisar

• - calculadora

Instruções

Observe atentamente os números. Se entre as frações existem decimais e irregulares, às vezes é mais conveniente realizar primeiro as operações com decimais e depois convertê-las para a forma irregular. Você pode traduzir frações nesta forma inicialmente, escrevendo o valor após a vírgula no numerador e colocando 10 no denominador. Se necessário, reduza a fração dividindo os números acima e abaixo por um divisor. As frações nas quais uma parte inteira é isolada devem ser convertidas para a forma errada multiplicando-a pelo denominador e adicionando o numerador ao resultado. Este valor se tornará o novo numerador frações. Para selecionar uma parte inteira de uma inicialmente incorreta frações, você precisa dividir o numerador pelo denominador. Escreva o resultado completo de frações. E o restante da divisão se tornará o novo numerador, denominador frações isso não muda. Para frações com parte inteira, é possível realizar ações separadamente, primeiro para o inteiro e depois para as partes fracionárias. Por exemplo, a soma de 1 2/3 e 2 ¾ pode ser calculada:
- Convertendo frações para a forma errada:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Soma de partes inteiras e fracionárias de termos separadamente:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Reescreva-os usando o separador “:” e continue com a divisão normal.

Para obter o resultado final, reduza a fração resultante dividindo o numerador e o denominador por um número inteiro, o maior possível neste caso. Neste caso, deve haver números inteiros acima e abaixo da linha.

Observe

Não faça aritmética com frações cujos denominadores sejam diferentes. Escolha um número tal que ao multiplicar o numerador e o denominador de cada fração por ele, o resultado seja que os denominadores de ambas as frações sejam iguais.

Conselhos úteis

Ao escrever números fracionários, o dividendo é escrito acima da linha. Essa quantidade é designada como numerador da fração. O divisor, ou denominador, da fração é escrito abaixo da linha. Por exemplo, um quilo e meio de arroz como fração será escrito da seguinte forma: 1 ½ kg de arroz. Se o denominador de uma fração for 10, a fração é chamada de decimal. Neste caso, o numerador (dividendo) é escrito à direita da parte inteira, separado por vírgula: 1,5 kg de arroz. Para facilitar o cálculo, essa fração sempre pode ser escrita na forma errada: 1 2/10 kg de batatas. Para simplificar, você pode reduzir os valores do numerador e do denominador dividindo-os por um número inteiro. Neste exemplo, você pode dividir por 2. O resultado será 1 1/5 kg de batatas. Certifique-se de que os números com os quais você fará a aritmética sejam apresentados da mesma forma.

Fração- uma forma de representar um número em matemática. A barra de fração denota a operação de divisão. Numerador fração é chamada de dividendo, e denominador- divisor. Por exemplo, numa fração o numerador é 5 e o denominador é 7.

Correto Uma fração cujo numerador é maior que seu denominador é chamada de fração. Se uma fração for própria, então o módulo do seu valor é sempre menor que 1. Todas as outras frações são errado.

A fração é chamada misturado, se for escrito como um número inteiro e uma fração. Isso é o mesmo que a soma deste número e da fração:

A principal propriedade de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número, o valor da fração não mudará, ou seja, por exemplo,

Reduzindo frações a um denominador comum

Para trazer duas frações para um denominador comum, você precisa:

1. Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda
2. Multiplique o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira
3. Substitua os denominadores de ambas as frações pelo seu produto

Operações com frações

Adição. Para adicionar duas frações você precisa

1. Adicione os novos numeradores de ambas as frações e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Subtração. Para subtrair uma fração de outra, você precisa

1. Reduza as frações a um denominador comum
2. Subtraia o numerador da segunda do numerador da primeira fração e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Multiplicação. Para multiplicar uma fração por outra, multiplique seus numeradores e denominadores:

Divisão. Para dividir uma fração por outra, multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e multiplique o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda: