Este é o nome das equações da forma em que a incógnita está tanto no expoente quanto na base da potência.

Você pode especificar um algoritmo completamente claro para resolver uma equação da forma. Para fazer isso, você precisa prestar atenção ao fato de que quando Oh) diferente de zero, um e menos um igualdade de potências com pelos mesmos motivos(seja positivo ou negativo) só é possível se os expoentes forem iguais. Ou seja, todas as raízes da equação serão as raízes da equação. f(x) = g(x) A afirmação inversa não é verdadeira, quando Oh)< 0 e valores fracionários f(x) E g(x) expressões Oh) f(x) E

Oh) g(x) perder o significado. Ou seja, ao passar de para f(x) = g(x)(para e raízes estranhas podem aparecer, que precisam ser excluídas comparando-se com a equação original. E casos uma = 0, uma = 1, uma = -1 precisam ser considerados separadamente.

Então, para solução completa equações consideramos os casos:

uma(x) = O f(x) E g(x) serão números positivos, então esta é a solução. Caso contrário, não

uma(x) = 1. As raízes desta equação também são as raízes da equação original.

uma(x) = -1. Se, para um valor de x que satisfaça esta equação, f(x) E g(x) são números inteiros da mesma paridade (ambos pares ou ímpares), então esta é a solução. Caso contrário, não

Quando e resolvemos a equação f(x)= g(x) e substituindo os resultados obtidos na equação original cortamos as raízes estranhas.

Exemplos de resolução de equações de potência exponencial.

Exemplo nº 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. porque 3 > 0 e 3 2 > 0, então x 1 = 3 é a solução.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Ambos os indicadores são pares. Esta solução é x 3 = 1.

4)x - 3? 0 e x? ± 1. x = x 2, x = 0 ou x = 1. Para x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - esta solução está correta: x 4 = 0. Para x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - esta solução está correta x 5 = 1.

Resposta: 0, 1, 2, 3, 4.

Exemplo nº 2.

Por definição de aritmética raiz quadrada: x - 1 ? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 ou x = 1, = 0, 0 0 não é uma solução.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 não cabe em ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - não há raízes.

1º. Equações exponenciais são chamadas equações que contêm uma variável em um expoente.

A resolução de equações exponenciais baseia-se na propriedade das potências: duas potências com a mesma base são iguais se e somente se seus expoentes forem iguais.

2º. Métodos básicos para resolver equações exponenciais:

1) a equação mais simples tem solução;

2) uma equação da forma logarítmica à base um reduzir para formar;

3) uma equação da forma é equivalente à equação ;

4) equação da forma é equivalente à equação.

5) uma equação da forma é reduzida por substituição a uma equação, e então um conjunto de equações exponenciais simples é resolvido;

6) equação com recíprocos por substituição, reduzem-se a uma equação e depois resolvem um conjunto de equações;

7) equações homogêneas em relação a umg(x) E bg(x) dado que tipo por meio da substituição, eles se reduzem a uma equação e depois resolvem um conjunto de equações.

Classificação de equações exponenciais.

1. Equações resolvidas indo para uma base.

Exemplo 18. Resolva a equação .

Solução: Vamos aproveitar que todas as bases de potências são potências do número 5: .

2. Equações resolvidas passando para um expoente.

Essas equações são resolvidas transformando a equação original na forma , que é reduzido ao mais simples usando a propriedade da proporção.

Exemplo 19. Resolva a equação:

3. Equações resolvidas retirando o fator comum dos colchetes.

Se cada expoente em uma equação difere do outro por um certo número, então as equações são resolvidas colocando o expoente com o menor expoente entre colchetes.

Exemplo 20. Resolva a equação.

Solução: vamos pegar o grau com o menor expoente entre colchetes no lado esquerdo da equação:

Exemplo 21. Resolva a equação

Solução: Vamos agrupar separadamente no lado esquerdo da equação os termos contendo potências com base 4, no lado direito - com base 3, depois colocar as potências com menor expoente entre colchetes:

4. Equações que se reduzem a equações quadráticas (ou cúbicas).

PARA equação quadrática em relação à nova variável y as seguintes equações são reduzidas:

a) o tipo de substituição, neste caso;

b) o tipo de substituição e .

Exemplo 22. Resolva a equação .

Solução: vamos fazer uma mudança de variável e resolver a equação quadrática:

.

Resposta: 0; 1.

5. Equações homogêneas em relação às funções exponenciais.

Uma equação da forma é uma equação homogênea de segundo grau em relação às incógnitas um x E b x. Essas equações são reduzidas dividindo primeiro ambos os lados por e depois substituindo-os em equações quadráticas.

Exemplo 23. Resolva a equação.

Solução: Divida ambos os lados da equação por:

Colocando, obtemos uma equação quadrática com raízes.

Agora o problema se resume a resolver um conjunto de equações . Da primeira equação encontramos isso. A segunda equação não tem raízes, pois para qualquer valor x.

Resposta: -1/2.

6. Equações racionais em relação a funções exponenciais.

Exemplo 24. Resolva a equação.

Solução: Divida o numerador e o denominador da fração por 3x e em vez de dois obtemos uma função exponencial:

7. Equações da forma .

Tais equações com um conjunto de valores admissíveis (APV), determinados pela condição, tomando o logaritmo de ambos os lados da equação são reduzidas a uma equação equivalente, que por sua vez é equivalente a um conjunto de duas equações ou.

Exemplo 25. Resolva a equação: .

.

Material didático.

Resolva as equações:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Encontre o produto das raízes da equação .

27. Encontre a soma das raízes da equação .

Encontre o significado da expressão:

28. , onde x0– raiz da equação;

29. , onde x0– raiz inteira da equação .

Resolva a equação:

31. ; 32. .

Respostas: 1.0; 2. -2/9; 3.1/36; 4,0, 0,5; 5,0; 6,0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10.8; 11,5; 12.1; 13.¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31.; 32. .

Tópico nº 8.

Desigualdades exponenciais.

1º. Uma desigualdade contendo uma variável no expoente é chamada desigualdade exponencial.

2º. Solução desigualdades exponenciais type é baseado nas seguintes declarações:

se, então a desigualdade é equivalente a;

se, então a desigualdade é equivalente a.

Ao resolver desigualdades exponenciais, use as mesmas técnicas usadas para resolver equações exponenciais.

Exemplo 26. Resolva a desigualdade (método de mover para uma base).

Solução: Desde , então a desigualdade dada pode ser escrita como: . Desde então, esta desigualdade é equivalente à desigualdade .

Resolvendo a última desigualdade, obtemos .

Exemplo 27. Resolva a desigualdade: ( tirando o fator comum dos colchetes).

Solução: Vamos tirar os colchetes do lado esquerdo da desigualdade, do lado direito da desigualdade e dividir os dois lados da desigualdade por (-2), mudando o sinal da desigualdade para o oposto:

Desde então, ao passar para a desigualdade de indicadores, o sinal da desigualdade muda novamente para o oposto. Nós entendemos. Assim, o conjunto de todas as soluções para esta desigualdade é o intervalo.

Exemplo 28. Resolva a desigualdade ( introduzindo uma nova variável).

Solução: Deixe. Então esta desigualdade assumirá a forma: ou , cuja solução é o intervalo .

Daqui. Como a função aumenta, então .

Material didático.

Especifique o conjunto de soluções para a desigualdade:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Em que valores x Os pontos no gráfico da função estão abaixo da linha reta?

7. Em que valores x Os pontos no gráfico da função estão pelo menos na mesma distância da linha reta?

Resolva a desigualdade:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Especifique a maior solução inteira para a desigualdade .

14. Encontre o produto do maior inteiro e do menor inteiro soluções para a desigualdade .

Resolva a desigualdade:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Encontre o domínio da função:

27. ; 28. .

29. Encontre o conjunto de valores de argumentos para os quais os valores de cada uma das funções são maiores que 3:

E .

Respostas: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16.; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Adicionamos à equação original:

Vamos tirar isso dos colchetes \

Vamos expressar \

Como os graus são iguais, nós os descartamos:

Responder: \

Onde posso resolver uma equação exponencial usando um solucionador online?

Você pode resolver a equação em nosso site https://site. O solucionador online gratuito permitirá que você resolva equações online de qualquer complexidade em questão de segundos. Tudo que você precisa fazer é simplesmente inserir seus dados no solucionador. Você também pode assistir às instruções em vídeo e aprender como resolver a equação em nosso site. E se ainda tiver dúvidas, você pode perguntar em nosso grupo VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Junte-se ao nosso grupo, ficaremos sempre felizes em ajudá-lo.

Palestra: “Métodos para resolver equações exponenciais.”

1 . Equações exponenciais.

Equações contendo incógnitas em expoentes são chamadas de equações exponenciais. A mais simples delas é a equação ax = b, onde a > 0, a ≠ 1.

1) Em b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para b > 0, usando a monotonicidade da função e o teorema da raiz, a equação possui uma raiz única. Para encontrá-lo, b deve ser representado na forma b = aс, аx = bс ó x = c ou x = logab.

Equações exponenciais por transformações algébricas levam a equações padrão, que são resolvidas usando os seguintes métodos:

1) método de redução a uma base;

2) método de avaliação;

3) método gráfico;

4) método de introdução de novas variáveis;

5) método de fatoração;

6) indicativo – equações de potência;

7) demonstrativo com parâmetro.

2 . Método de redução a uma base.

O método é baseado em seguinte propriedade graus: se dois graus são iguais e suas bases são iguais, então seus expoentes são iguais, ou seja, devemos tentar reduzir a equação à forma

Exemplos. Resolva a equação:

1 . 3x = 81;

Vamos representar o lado direito da equação na forma 81 = 34 e escrever a equação equivalente ao original 3 x = 34; x = 4. Resposta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">e vamos passar para a equação dos expoentes 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4;x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" largura="105" altura="47">

Observe que os números 0,2, 0,04, √5 e 25 representam potências de 5. Vamos aproveitar isso e transformar a equação original da seguinte forma:

, daí 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, a partir do qual encontramos a solução x = -1. Resposta: -1.

5. 3x = 5. Por definição de logaritmo, x = log35. Resposta: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Vamos reescrever a equação na forma 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, ou seja,png" width="181" height="49 src="> Portanto x – 4 =0, x = 4. Resposta: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando as propriedades das potências, escrevemos a equação na forma 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 então 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, ou seja, x+1 = 2, x =1. Resposta: 1.

Banco de problemas nº 1.

Resolva a equação:

Teste nº 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) sem raízes
	1) 7;1 2) sem raízes 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Teste nº 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) sem raízes 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Método de avaliação.

Teorema da raiz: se a função f(x) aumenta (diminui) no intervalo I, o número a é qualquer valor tomado por f neste intervalo, então a equação f(x) = a tem uma única raiz no intervalo I.

Ao resolver equações usando o método de estimativa, este teorema e as propriedades de monotonicidade da função são utilizados.

Exemplos. Resolva equações: 1. 4x = 5 – x.

Solução. Vamos reescrever a equação como 4x +x = 5.

1. se x = 1, então 41+1 = 5, 5 = 5 é verdadeiro, o que significa que 1 é a raiz da equação.

Função f(x) = 4x – aumenta em R, e g(x) = x – aumenta em R => h(x)= f(x)+g(x) aumenta em R, conforme a soma das funções crescentes, então x = 1 é a única raiz da equação 4x = 5 – x. Resposta: 1.

2.

Solução. Vamos reescrever a equação na forma .

1. se x = -1, então , 3 = 3 é verdadeiro, o que significa que x = -1 é a raiz da equação.

2. provar que ele é o único.

3. Função f(x) = - diminui em R, e g(x) = - x – diminui em R=> h(x) = f(x)+g(x) – diminui em R, como a soma de funções decrescentes. Isso significa que, de acordo com o teorema da raiz, x = -1 é a única raiz da equação. Resposta: -1.

Banco de problemas nº 2. Resolva a equação

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Método de introdução de novas variáveis.

O método é descrito no parágrafo 2.1. A introdução de uma nova variável (substituição) geralmente é realizada após transformações (simplificação) dos termos da equação. Vejamos exemplos.

Exemplos. R Resolva a equação: 1. .

Vamos reescrever a equação de forma diferente: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solução. Vamos reescrever a equação de forma diferente:

Vamos designar https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - não adequado.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - equação irracional. Notamos que

A solução da equação é x = 2,5 ≤ 4, o que significa que 2,5 é a raiz da equação. Resposta: 2.5.

Solução. Vamos reescrever a equação na forma e dividir ambos os lados por 56x+6 ≠ 0. Obtemos a equação

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" largura="118" altura="56">

As raízes da equação quadrática são t1 = 1 e t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solução . Vamos reescrever a equação na forma

e observe que é uma equação homogênea de segundo grau.

Dividindo a equação por 42x, obtemos

Vamos substituir https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Resposta: 0; 0,5.

Banco de problemas nº 3. Resolva a equação

b)

G)

Teste nº 3 com uma escolha de respostas. Nível mínimo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) sem raízes 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) sem raízes 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Teste nº 4 com uma escolha de respostas. Nível geral.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) sem raízes

5. Método de fatoração.

1. Resolva a equação: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , de onde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solução. Vamos colocar 6x entre colchetes no lado esquerdo da equação e 2x no lado direito. Obtemos a equação 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Como 2x >0 para todo x, podemos dividir ambos os lados desta equação por 2x sem medo de perder soluções. Obtemos 3x = 1ó x = 0.

3.

Solução. Vamos resolver a equação usando o método de fatoração.

Vamos selecionar o quadrado do binômio

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" largura="500" altura="181">

x = -2 é a raiz da equação.

Equação x + 1 = 0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Teste nº 6 Nível geral.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponencial – equações de potência.

Adjacentes às equações exponenciais estão as chamadas equações de potência exponencial, ou seja, equações da forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Se for conhecido que f(x)>0 e f(x) ≠ 1, então a equação, assim como a exponencial, é resolvida igualando os expoentes g(x) = f(x).

Se a condição não exclui a possibilidade de f(x)=0 e f(x)=1, então temos que considerar estes casos ao resolver uma equação exponencial.

1..png" largura="182" altura="116 src=">

2.

Solução. x2 +2x-8 – faz sentido para qualquer x, pois é um polinômio, o que significa que a equação é equivalente à totalidade

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" largura="137" altura="35">

b)

7. Equações exponenciais com parâmetros.

1. Para quais valores do parâmetro p a equação 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tem uma solução única?

Solução. Vamos introduzir a substituição 2x = t, t > 0, então a equação (1) assumirá a forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminante da equação (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

A equação (1) tem uma solução única se a equação (2) tiver uma raiz positiva. Isso é possível nos seguintes casos.

1. Se D = 0, ou seja, p = 1, então a equação (2) assumirá a forma t2 – 2t + 1 = 0, portanto t = 1, portanto, a equação (1) tem uma solução única x = 0.

2. Se p1, então 9(p – 1)2 > 0, então a equação (2) tem duas raízes diferentes t1 = p, t2 = 4p – 3. As condições do problema são satisfeitas por um conjunto de sistemas

Substituindo t1 e t2 nos sistemas, temos

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solução. Deixar então a equação (3) assumirá a forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Vamos encontrar os valores do parâmetro a para os quais pelo menos uma raiz da equação (4) satisfaz a condição t > 0.

Vamos apresentar a função f(t) = t2 – 6t – a. Os seguintes casos são possíveis.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinômio quadrático f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. A equação (4) tem uma solução positiva única se

D = 0, se a = – 9, então a equação (4) assumirá a forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Caso 3. A equação (4) tem duas raízes, mas uma delas não satisfaz a desigualdade t > 0. Isso é possível se

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Assim, para a 0, a equação (4) tem uma única raiz positiva . Então a equação (3) tem uma solução única

Quando um< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

se um< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
se a = – 9, então x = – 1;

se  0, então

Vamos comparar os métodos de resolução das equações (1) e (3). Observe que ao resolver a equação (1) foi reduzida a uma equação quadrática, cujo discriminante é um quadrado perfeito; Assim, as raízes da equação (2) foram imediatamente calculadas utilizando a fórmula das raízes de uma equação quadrática, e então foram tiradas conclusões a respeito dessas raízes. A equação (3) foi reduzida a uma equação quadrática (4), cujo discriminante não é um quadrado perfeito, portanto, ao resolver a equação (3), é aconselhável utilizar teoremas sobre a localização das raízes de um trinômio quadrático e um modelo gráfico. Observe que a equação (4) pode ser resolvida usando o teorema de Vieta.

Vamos resolver equações mais complexas.

Problema 3: Resolva a equação

Solução. ODZ: x1, x2.

Vamos apresentar um substituto. Seja 2x = t, t > 0, então como resultado das transformações a equação assumirá a forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Vamos encontrar os valores de a para os quais pelo menos uma raiz de a equação (*) satisfaz a condição t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Resposta: se a > – 13, a  11, a  5, então se a – 13,

a = 11, a = 5, então não há raízes.

Lista de literatura usada.

1. Fundamentos de tecnologia educacional de Guzeev.

2. Tecnologia Guzeev: da recepção à filosofia.

M. “Diretor da Escola” nº 4, 1996

3. Guzeev e formas organizacionais de formação.

4. Guzeev e a prática da tecnologia educacional integral.

M. “Educação Pública”, 2001

5. Guzeev das formas de aula - seminário.

Matemática na escola nº 2, 1987 pp.

6. Tecnologias educacionais Seleuko.

M. “Educação Pública”, 1998

7. Alunos de Episheva para estudar matemática.

M. "Iluminismo", 1990

8. Ivanova prepara aulas - workshops.

Matemática na escola nº 6, 1990 p. 37-40.

9. O modelo de ensino da matemática de Smirnov.

Matemática na escola nº 1, 1997 p. 32-36.

10. Tarasenko formas de organizar o trabalho prático.

Matemática na escola nº 1, 1993 p. 27-28.

11. Sobre um dos tipos de trabalho individual.

Matemática na escola nº 2, 1994, pp.

12. Khazankin criatividade escolares.

Matemática na escola nº 2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Editora, 1997

14. e outros. Álgebra e os primórdios da análise. Materiais didáticos Para

15. Tarefas de Krivonogov em matemática.

M. “Primeiro de Setembro”, 2002

16. Tcherkasov. Manual para estudantes do ensino médio e

ingressar nas universidades. “A S T - escola de imprensa”, 2002

17. Zhevnyak para quem ingressa nas universidades.

“Revisão” de Minsk e da Federação Russa, 1996

18. Escrito D. Estamos nos preparando para o exame de matemática. M.Rolf, 1999

19. etc. Aprendendo a resolver equações e desigualdades.

M. "Intelecto - Centro", 2003

20. etc. Materiais educativos e de treinamento para preparação para o USE.

M. "Inteligência - Centro", 2003 e 2004.

21 e outras opções de CMM. Centro de testes do Ministério da Defesa da Federação Russa, 2002, 2003.

22. Equações de Goldberg. "Quantum" nº 3, 1971

23. Volovich M. Como ensinar matemática com sucesso.

Matemática, 1997 nº 3.

24 Okunev para a aula, crianças! M. Educação, 1988

25. Yakimanskaia – aprendizagem orientada na escola.

26. Liimets trabalha em sala de aula. M. Conhecimento, 1975