Nível intermediário
Desigualdades quadráticas. Guia abrangente (2019)
Para descobrir como resolver equações quadráticas, precisamos entender o que é função quadrática e quais propriedades ele possui.
Você provavelmente já se perguntou por que uma função quadrática é necessária? Onde seu gráfico (parábola) é aplicável? Sim, basta olhar em volta e perceberá que todos os dias em vida cotidiana você a encontra. Você já percebeu como uma bola lançada voa na educação física? "Ao longo do arco"? A resposta mais correta seria “parábola”! E ao longo de qual trajetória o jato se move na fonte? Sim, também em uma parábola! Como uma bala ou projétil voa? Isso mesmo, também em parábola! Assim, conhecendo as propriedades de uma função quadrática, será possível resolver muitos problemas práticos. Por exemplo, em que ângulo uma bola deve ser lançada para garantir a maior distância? Ou onde o projétil irá parar se você o lançar em um determinado ângulo? etc.
Função quadrática
Então, vamos descobrir.
Por exemplo, . Quais são os iguais aqui e? Bem, é claro!
E se, ou seja, menos que zero? Bem, é claro que estamos “tristes”, o que significa que os galhos ficarão direcionados para baixo! Vejamos o gráfico.
Esta figura mostra o gráfico de uma função. Desde então, ou seja, menor que zero, os ramos da parábola são direcionados para baixo. Além disso, você provavelmente já percebeu que os ramos desta parábola cruzam o eixo, o que significa que a equação tem 2 raízes e a função assume valores positivos e negativos!
Logo no início, quando demos a definição de função quadrática, foi dito que e são alguns números. Eles podem ser iguais a zero? Bem, é claro que podem! Vou até revelar um segredo ainda maior (que não é segredo nenhum, mas vale a pena mencionar): não há restrições impostas a esses números (e) de jeito nenhum!
Bem, vamos ver o que acontece com os gráficos se e forem iguais a zero.
Como você pode ver, os gráficos das funções (e) em consideração mudaram de forma que seus vértices estão agora no ponto com coordenadas, ou seja, na intersecção dos eixos e, isso não tem efeito na direção dos ramos . Assim, podemos concluir que eles são responsáveis pelo “movimento” do gráfico da parábola ao longo do sistema de coordenadas.
O gráfico de uma função toca o eixo em um ponto. Isso significa que a equação tem uma raiz. Assim, a função assume valores maiores ou iguais a zero.
Seguimos a mesma lógica com o gráfico da função. Ele toca o eixo x em um ponto. Isso significa que a equação tem uma raiz. Assim, a função assume valores menores ou iguais a zero, ou seja.
Assim, para determinar o sinal de uma expressão, a primeira coisa que você precisa fazer é encontrar as raízes da equação. Isto será muito útil para nós.
Desigualdade quadrática
Ao resolver tais desigualdades, precisaremos da capacidade de determinar onde uma função quadrática é maior, menor ou igual a zero. Aquilo é:
- se tivermos uma desigualdade da forma, então na verdade a tarefa se resume a determinar o intervalo numérico de valores para os quais a parábola está acima do eixo.
- se tivermos uma desigualdade da forma, então na verdade a tarefa se resume a determinar o intervalo numérico de valores de x para o qual a parábola está abaixo do eixo.
Se as desigualdades não forem estritas, então as raízes (as coordenadas de intersecção da parábola com o eixo) são incluídas no intervalo numérico desejado; no caso de desigualdades estritas, são excluídas;
Tudo isso é bastante formalizado, mas não se desespere nem se assuste! Agora vamos dar uma olhada nos exemplos e tudo se encaixará.
Ao resolver desigualdades quadráticas, aderiremos ao algoritmo fornecido e o sucesso inevitável nos espera!
| Algoritmo | Exemplo: |
| 1) Vamos escrever a desigualdade correspondente equação quadrática(basta mudar o sinal de desigualdade para o sinal de igual “=”). | |
| 2) Vamos encontrar as raízes desta equação. | |
| 3) Marque as raízes no eixo e mostre esquematicamente a orientação dos ramos da parábola (“para cima” ou “para baixo”) |  |
| 4) Vamos colocar sinais no eixo correspondente ao sinal da função quadrática: onde a parábola está acima do eixo colocamos “ ”, e onde abaixo - “ “. |  |
| 5) Escreva o(s) intervalo(s) correspondente(s) a “ ” ou “ ”, dependendo do sinal de desigualdade. Se a desigualdade não for estrita, as raízes serão incluídas no intervalo; se for estrita, não o serão; |
Entendi? Então vá em frente e fixe-o!
Exemplo:
Bem, funcionou? Se tiver alguma dificuldade, procure soluções.
Solução:
Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". A desigualdade não é estrita, então as raízes estão incluídas nos intervalos:
Vamos escrever a equação quadrática correspondente:
Vamos encontrar as raízes desta equação quadrática:
Marquemos esquematicamente as raízes obtidas no eixo e organizemos os sinais:
Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". A desigualdade é estrita, portanto as raízes não estão incluídas nos intervalos:
Vamos escrever a equação quadrática correspondente:
Vamos encontrar as raízes desta equação quadrática:
esta equação tem uma raiz
Marquemos esquematicamente as raízes obtidas no eixo e organizemos os sinais:
Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". Para qualquer um, a função assume valores não negativos. Como a desigualdade não é estrita, a resposta será.
Vamos escrever a equação quadrática correspondente:
Vamos encontrar as raízes desta equação quadrática:
Vamos desenhar esquematicamente um gráfico de uma parábola e organizar os sinais:
Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". Para qualquer uma, a função assume valores positivos, portanto, a solução para a inequação será o intervalo:
DESIGUALDADES QUADRADAS. NÍVEL MÉDIO
Função quadrática.
Antes de falar sobre o tema “desigualdades quadráticas”, vamos lembrar o que é uma função quadrática e qual é o seu gráfico.
| Uma função quadrática é uma função da forma, |
Em outras palavras, isso polinômio do segundo grau.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola (lembra o que é?). Seus ramos são direcionados para cima se "a) a função assume apenas valores positivos para todos, e no segundo () - apenas valores negativos:
No caso em que a equação () tem exatamente uma raiz (por exemplo, se o discriminante for zero), isso significa que o gráfico toca o eixo:
Então, semelhante ao caso anterior, para " .
Então, aprendemos recentemente como determinar onde uma função quadrática é maior que zero e onde é menor:
Se a desigualdade quadrática não for estrita, então as raízes estão incluídas no intervalo numérico; se for estrita, não o são;
Se houver apenas uma raiz, tudo bem, o mesmo sinal estará em todos os lugares. Se não houver raízes, tudo depende apenas do coeficiente: se "25((x)^(2))-30x+9
Respostas:
2) 25((x)^(2))-30x+9>
Não há raízes, então toda a expressão do lado esquerdo recebe o sinal do coeficiente antes:
- Se você quiser encontrar um intervalo numérico no qual o trinômio quadrático seja maior que zero, então este é o intervalo numérico onde a parábola fica acima do eixo.
- Se você quiser encontrar um intervalo numérico no qual o trinômio quadrático seja menor que zero, então este é o intervalo numérico onde a parábola fica abaixo do eixo.
DESIGUALDADES QUADRADAS. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS
Função quadráticaé uma função da forma: ,
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Seus ramos são direcionados para cima se e para baixo se:
Tipos de desigualdades quadráticas:
Todas as desigualdades quadráticas são reduzidas aos quatro tipos a seguir:
Algoritmo de solução:
| Algoritmo | Exemplo: |
| 1) Vamos escrever a equação quadrática correspondente à desigualdade (basta mudar o sinal da desigualdade para o sinal de igual " "). | |
| 2) Vamos encontrar as raízes desta equação. | |
| 3) Marque as raízes no eixo e mostre esquematicamente a orientação dos ramos da parábola (“para cima” ou “para baixo”) | |
| 4) Vamos colocar sinais no eixo correspondente ao sinal da função quadrática: onde a parábola está acima do eixo colocamos “ ”, e onde abaixo - “ “. | |
| 5) Escreva o(s) intervalo(s) correspondente(s) a “ ” ou “ ”, dependendo do sinal de desigualdade. Se a desigualdade não for estrita, as raízes serão incluídas no intervalo; se for estrita, não o serão; |
Aula e apresentação sobre o tema: “Desigualdades quadráticas, exemplos de soluções”
Materiais adicionais
Caros usuários, não se esqueçam de deixar seus comentários, críticas, desejos! Todos os materiais foram verificados por um programa antivírus.
Material didático e simuladores na loja online Integral para o 9º ano
Livro eletrônico "Geometria compreensível" para as séries 7 a 9
Complexo educacional 1C: "Geometria, 9ª série"
Pessoal, já sabemos resolver equações quadráticas. Agora vamos aprender como resolver desigualdades quadráticas.
Desigualdade quadrática Este tipo de desigualdade é chamado:
$ax^2+bx+c>0$.
O sinal de desigualdade pode ser qualquer um, os coeficientes a, b, c podem ser quaisquer números ($a≠0$).
Todas as regras que definimos para desigualdades lineares também funcionam aqui. Repita essas regras você mesmo!
Vamos apresentar outra regra importante:
Se o trinômio $ax^2+bx+c$ tem um discriminante negativo, então se você substituir qualquer valor de x, o sinal do trinômio será igual ao sinal do coeficiente a.
Exemplos de resolução de desigualdades quadráticas
pode ser resolvido traçando gráficos ou traçando intervalos. Vejamos exemplos de soluções para desigualdades.Exemplos.
1. Resolva a desigualdade: $x^2-2x-8
Solução:
Vamos encontrar as raízes da equação $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ e $x_2=-2$.
Vamos representar graficamente a equação quadrática. O eixo x cruza nos pontos 4 e -2. 2. Resolva a desigualdade: $5x-6 Solução: Vamos construir um gráfico de uma equação quadrática, o eixo x se cruza nos pontos 2 e 3. 3. Resolva a desigualdade: $2^2+2x+1≥0$. Solução: 4. Resolva a desigualdade: $x^2+x-2 Definição de desigualdade quadrática Nota 1 A desigualdade é chamada quadrática porque a variável é elevada ao quadrado. As desigualdades quadráticas também são chamadas desigualdades de segundo grau. Exemplo 1 Exemplo. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – desigualdades quadráticas. Como pode ser visto no exemplo, nem todos os elementos da desigualdade da forma $ax^2+bx+c > 0$ estão presentes. Por exemplo, na desigualdade $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ não há termo livre (termo $с$), e na desigualdade $11z^2+8 \le 0$ não existe termo com coeficiente $b$. Essas desigualdades também são quadráticas, mas também são chamadas desigualdades quadráticas incompletas. Significa apenas que os coeficientes $b$ ou $c$ são iguais a zero. Ao resolver desigualdades quadráticas, são utilizados os seguintes métodos básicos: Nota 2 Método gráfico para resolver desigualdades quadráticas $ax^2+bx+c > 0$ (ou com o sinal $ Esses intervalos são resolvendo a desigualdade quadrática. Nota 3 Método intervalar para resolver desigualdades quadráticas da forma $ax^2+bx+c > 0$ (o sinal de desigualdade também pode ser $ Soluções para desigualdades quadráticas com o sinal $""$ - intervalos positivos, com os sinais $"≤"$ e $"≥"$ - intervalos negativos e positivos (respectivamente), incluindo pontos que correspondem aos zeros do trinômio. O método para resolver uma desigualdade quadrática isolando o quadrado do binômio é passar para uma desigualdade equivalente da forma $(x-n)^2 > m$ (ou com o sinal $ Nota 4 Muitas vezes, ao resolver desigualdades, elas precisam ser reduzidas a desigualdades quadráticas da forma $ax^2+bx+c > 0$ (o sinal de desigualdade também pode ser $ desigualdades que se reduzem a quadráticas. Nota 5 A maneira mais simples de reduzir as desigualdades a quadráticas é reorganizar os termos da desigualdade original ou transferi-los, por exemplo, do lado direito para o esquerdo. Por exemplo, ao transferir todos os termos da desigualdade $7x > 6-3x^2$ do lado direito para o esquerdo, obtemos uma desigualdade quadrática da forma $3x^2+7x-6 > 0$. Se reorganizarmos os termos do lado esquerdo da desigualdade $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ em ordem decrescente do grau da variável $y$, então isso levará a uma desigualdade quadrática equivalente da forma $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$. Ao resolver desigualdades racionais, elas são frequentemente reduzidas a desigualdades quadráticas. Neste caso, é necessário transferir todos os termos para o lado esquerdo e transformar a expressão resultante na forma de um trinômio quadrático. Exemplo 2 Exemplo. Reduza a desigualdade $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ para uma quadrática. Solução. Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade: $7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. Usando fórmulas de multiplicação abreviadas e abrindo parênteses, simplificamos a expressão no lado esquerdo da inequação: $7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21,5x-19 > 0$. Responder: $x^2-21,5x-19 > 0$. O método dos intervalos é legitimamente considerado um método universal para resolver desigualdades. É o mais fácil de usar para resolver desigualdades quadráticas em uma variável. Neste material consideraremos todos os aspectos do uso do método intervalar para resolver desigualdades quadráticas. Para facilitar a assimilação do material, consideraremos um grande número de exemplos de diversos graus de complexidade. Yandex.RTB RA-339285-1 Consideremos um algoritmo para utilização do método intervalar em uma versão adaptada, adequado para resolver desigualdades quadráticas. É esta versão do método intervalar que os alunos são apresentados nas aulas de álgebra. Não vamos complicar a tarefa também. Vamos passar para o algoritmo em si. Temos o trinômio quadrático a · x 2 + b · x + c do lado esquerdo da desigualdade quadrática. Encontramos os zeros deste trinômio. No sistema de coordenadas, representamos uma linha de coordenadas. Marcamos as raízes nele. Por conveniência, podemos introduzir diferentes formas de notar pontos para desigualdades estritas e não estritas. Vamos combinar que usaremos pontos “vazios” para marcar as coordenadas ao resolver uma desigualdade estrita, e pontos comuns para marcar uma não estrita. Ao marcar os pontos, obtemos vários intervalos no eixo de coordenadas. Se na primeira etapa encontramos zeros, então determinamos os sinais dos valores do trinômio para cada um dos intervalos resultantes. Se não recebermos zeros, realizamos esta ação para toda a reta numérica. Marcamos as lacunas com os sinais “+” ou “-”. Adicionalmente, introduziremos sombreamento nos casos em que resolvermos inequações com sinais > ou ≥ e< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ». Observando os sinais dos valores do trinômio e aplicando sombreamento sobre os segmentos, obtemos uma imagem geométrica de um determinado conjunto numérico, que na verdade é uma solução para a desigualdade. Tudo o que precisamos fazer é anotar a resposta. Detenhamo-nos mais detalhadamente na terceira etapa do algoritmo, que envolve a determinação do sinal da lacuna. Existem várias abordagens para definir sinais. Vamos analisá-los em ordem, começando pelos mais precisos, embora não os mais rápidos. Este método envolve o cálculo dos valores do trinômio em vários pontos dos intervalos resultantes. Exemplo 1 Por exemplo, vamos pegar o trinômio x 2 + 4 · x − 5 . As raízes deste trinômio 1 e - 5 dividem o eixo de coordenadas em três intervalos (− ∞, − 5), (− 5, 1) e (1, + ∞). Vamos começar com o intervalo (1, + ∞). Para simplificar nossa tarefa, consideremos x = 2. Obtemos 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7. 7 é um número positivo. Isso significa que os valores deste trinômio quadrático no intervalo (1, + ∞) são positivos e podem ser denotados pelo sinal “+”. Para determinar o sinal do intervalo (− 5, 1) tomamos x = 0. Temos 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Coloque um sinal “-” acima do intervalo. Para o intervalo (− ∞, − 5) tomamos x = − 6, obtemos (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Marcamos este intervalo com um sinal “+”. Você pode identificar os sinais com muito mais rapidez levando em consideração os seguintes fatos. Com um discriminante positivo, um trinômio quadrado com duas raízes dá uma alternância de sinais de seus valores nos intervalos em que a reta numérica é dividida pelas raízes desse trinômio. Isto significa que não precisamos necessariamente definir sinais para cada um dos intervalos. Basta fazer cálculos para um e colocar sinais para os restantes, tendo em conta o princípio da alternância. Se desejar, você pode prescindir totalmente dos cálculos, tirando conclusões sobre os sinais com base no valor do coeficiente líder. Se a > 0, então obtemos uma sequência de sinais +, −, +, e se a< 0 – то − , + , − . Para trinômios quadráticos com uma raiz, quando o discriminante é zero, obtemos dois intervalos no eixo de coordenadas com os mesmos sinais. Isso significa que determinamos o sinal para um dos intervalos e definimos o mesmo para o segundo. Aqui também aplicamos o método de determinação do sinal com base no valor do coeficiente a: se a > 0, então será +, +, e se a< 0 , то − , − . Se um trinômio quadrado não tem raízes, então os sinais de seus valores para toda a linha de coordenadas coincidem tanto com o sinal do coeficiente líder a quanto com o sinal do termo livre c. Por exemplo, se tomarmos o trinômio quadrático − 4 x 2 − 7, ele não tem raízes (seu discriminante é negativo). O coeficiente de x 2 é negativo − 4, e o intercepto − 7 também é negativo. Isso significa que no intervalo (− ∞, + ∞) seus valores são negativos. Vejamos exemplos de resolução de desigualdades quadráticas usando o algoritmo discutido acima. Exemplo 2 Resolva a desigualdade 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0. Solução
Usamos o método do intervalo para resolver a inequação. Para fazer isso, vamos encontrar as raízes do trinômio quadrado 8 x 2 − 4 x − 1 . Devido ao fato de o coeficiente de x ser par, será mais conveniente calcularmos não o discriminante, mas a quarta parte do discriminante: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 . O discriminante é maior que zero. Isso nos permite encontrar as duas raízes do trinômio quadrado: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 e x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Vamos marcar esses valores na reta numérica. Como a equação não é estrita, usamos pontos ordinários no gráfico. Agora, utilizando o método dos intervalos, determinamos os sinais dos três intervalos resultantes. O coeficiente de x 2 é igual a 8, ou seja, positivo, portanto, a sequência de sinais será +, −, +. Como estamos resolvendo uma inequação com sinal ≥, desenhamos sombreamento sobre os intervalos com sinais de mais: Vamos escrever o conjunto numérico analiticamente a partir da imagem gráfica resultante. Podemos fazer isso de duas maneiras: Responder:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ou x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . Exemplo 3 Resolva a desigualdade quadrática - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Solução
Primeiro, vamos encontrar as raízes do trinômio quadrático do lado esquerdo da desigualdade: D" = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Esta é uma desigualdade estrita, por isso usamos um ponto “vazio” no gráfico. Com coordenada 7. Agora precisamos determinar os sinais nos intervalos resultantes (− ∞, 7) e (7, + ∞). Como o discriminante de um trinômio quadrático é zero e o coeficiente líder é negativo, colocamos os sinais −, −: Como estamos resolvendo uma inequação com sinal< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: Neste caso, as soluções são ambos intervalos (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) . Responder:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ou em outra notação x ≠ 7 . Exemplo 4 A desigualdade quadrática x 2 + x + 7< 0 решения? Solução
Vamos encontrar as raízes do trinômio quadrático do lado esquerdo da desigualdade. Para fazer isso, encontramos o discriminante: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . O discriminante é menor que zero, o que significa que não existem raízes reais. A imagem gráfica se parecerá com uma reta numérica sem pontos marcados nela. Vamos determinar o sinal dos valores do trinômio quadrático. Em D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : Neste caso, poderíamos aplicar sombreamento sobre os espaços com o sinal “-”. Mas não temos essas lacunas. Portanto, o desenho fica assim: Como resultado dos cálculos, obtivemos um conjunto vazio. Isto significa que esta desigualdade quadrática não tem soluções. Responder: Não. Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter
Nosso trinômio quadrático assume valores menores que zero onde o gráfico da função está localizado abaixo do eixo x.
Olhando para o gráfico da função, obtemos a resposta: $x^2-2x-8 Resposta: $-2
Vamos transformar a desigualdade: $-x^2+5x-6 Vamos dividir a desigualdade por menos um. Não vamos esquecer de mudar o sinal: $x^2-5x+6>0$.
Vamos encontrar as raízes do trinômio: $x_1=2$ e $x_2=3$.
Nosso trinômio quadrático assume valores maiores que zero onde o gráfico da função está localizado acima do eixo x. Olhando para o gráfico da função, obtemos a resposta: $5x-6
Vamos encontrar as raízes do nosso trinômio, para isso calculamos o discriminante: $D=2^2-4*2=-4 O discriminante é menor que zero. Vamos usar a regra que introduzimos no início. O sinal da desigualdade será igual ao sinal do coeficiente do quadrado. No nosso caso, o coeficiente é positivo, o que significa que a nossa equação será positiva para qualquer valor de x.
Resposta: Para todo x, a desigualdade é maior que zero.
Solução:
Vamos encontrar as raízes do trinômio e colocá-las na linha de coordenadas: $x_1=-2$ e $x_2=1$. 
Se $x>1$ e $x Se $x>-2$ e $x Resposta: $x>-2$ e $xProblemas para resolver desigualdades quadráticas
Resolva desigualdades:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Métodos para resolver desigualdades quadráticas
Método gráfico
Método de intervalo
Isolando o quadrado de um binômio
Desigualdades que se reduzem a quadráticas
Algoritmo para aplicação do método intervalar
Carregando...
