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Pirâmide. Pirâmide truncada

Pirâmideé um poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( faces laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide for projetado no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular com todas as arestas iguais é chamada tetraedro .

Costela lateral de uma pirâmide é o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância do seu topo ao plano da base. Todas as costelas laterais pirâmide regular iguais entre si, todas as faces laterais são iguais triângulos isósceles. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apótema . Seção diagonal é chamada de seção de uma pirâmide por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Superfície lateral pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais. Área superfície completa é chamada de soma das áreas de todas as faces laterais e da base.

Teoremas

1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

2. Se todas as arestas laterais de uma pirâmide tiverem comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro de um círculo circunscrito próximo à base.

3. Se todas as faces de uma pirâmide estiverem igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide será projetado no centro do círculo inscrito na base.

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula correta é:

Onde V- volume;

base S– área base;

H– altura da pirâmide.

Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas estão corretas:

Onde p– perímetro da base;

ha– apótema;

H- altura;

Está cheio

Lado S

base S– área base;

V– volume de uma pirâmide regular.

Pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada regular é a parte de uma pirâmide regular delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.

Terrenos pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais – trapézios. Altura de uma pirâmide truncada é a distância entre suas bases. Diagonal uma pirâmide truncada é um segmento que conecta seus vértices que não estão na mesma face. Seção diagonal é uma seção de uma pirâmide truncada por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Para uma pirâmide truncada, as seguintes fórmulas são válidas:

(4)

Onde S 1 , S 2 – áreas das bases superior e inferior;

Está cheio– área superficial total;

Lado S– superfície lateral;

H- altura;

V– volume de uma pirâmide truncada.

Para uma pirâmide truncada regular a fórmula está correta:

Onde p 1 , p 2 – perímetros das bases;

ha– apótema de uma pirâmide truncada regular.

Exemplo 1. Em uma pirâmide triangular regular, o ângulo diédrico na base é 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).

A pirâmide está correta, ou seja, na base triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diédrico na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide em relação ao plano da base. O ângulo linear é o ângulo um entre duas perpendiculares: etc. O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e do círculo inscrito do triângulo abc). O ângulo de inclinação da borda lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria aresta e sua projeção no plano da base. Para a costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ENTÃO E O.B.. Deixe o comprimento do segmento BDé igual a 3 UM. Ponto SOBRE segmento BDé dividido em partes: e De encontramos ENTÃO: De encontramos:

Responder:

Exemplo 2. Encontre o volume de uma pirâmide quadrangular truncada regular se as diagonais de suas bases forem iguais a cm e cm e sua altura for 4 cm.

Solução. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar a área das bases, é necessário encontrar os lados dos quadrados da base, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são iguais a 2 cm e 8 cm, respectivamente. Isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:

Responder: 112cm3.

Exemplo 3. Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular, cujos lados das bases são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).

A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer a base e a altura. As bases são dadas de acordo com a condição, apenas a altura permanece desconhecida. Nós a encontraremos de onde UM 1 E perpendicular a um ponto UM 1 no plano da base inferior, UM 1 D– perpendicular a UM 1 por AC. UM 1 E= 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Para encontrar DE Faremos um desenho adicional mostrando a vista superior (Fig. 20). Ponto SOBRE– projeção dos centros das bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) e Por outro lado OK– raio inscrito na circunferência e OM– raio inscrito em um círculo:

MK = DE.

De acordo com o teorema de Pitágoras de

Área da face lateral:

Responder:

Exemplo 4. Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases UM E b (um> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Superfície total da pirâmide SABCD igual à soma das áreas e à área do trapézio ABCD.

Usemos a afirmação de que se todas as faces da pirâmide estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto SOBRE– projeção de vértice S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo CSD ao plano da base. Pelo teorema da área de projeção ortogonal figura plana obtemos:

Da mesma forma significa Assim, o problema foi reduzido a encontrar a área do trapézio ABCD. Vamos desenhar um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto SOBRE– o centro de um círculo inscrito em um trapézio.

Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Do teorema de Pitágoras temos

é um poliedro formado pela base da pirâmide e uma seção paralela a ela. Podemos dizer que uma pirâmide truncada é uma pirâmide com o topo cortado. Esta figura tem muitas propriedades exclusivas:

• As faces laterais da pirâmide são trapézios;
• As arestas laterais de uma pirâmide truncada regular têm o mesmo comprimento e estão inclinadas em relação à base no mesmo ângulo;
• As bases são polígonos semelhantes;
• Em uma pirâmide truncada regular, as faces são idênticas trapézios isósceles, cuja área é igual. Eles também estão inclinados em relação à base em um ângulo.

A fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada é a soma das áreas de seus lados:

Como os lados de uma pirâmide truncada são trapézios, para calcular os parâmetros você terá que usar a fórmula área trapézio. Para uma pirâmide truncada regular, você pode aplicar uma fórmula diferente para calcular a área. Como todos os seus lados, faces e ângulos na base são iguais, é possível aplicar os perímetros da base e do apótema, e também derivar a área através do ângulo na base.

Se, de acordo com as condições de uma pirâmide truncada regular, são dados o apótema (altura do lado) e os comprimentos dos lados da base, então a área pode ser calculada através do meio produto da soma dos perímetros de as bases e o apótema:

Vejamos um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de uma pirâmide truncada.
Dada uma pirâmide pentagonal regular. Apótema eu= 5 cm, o comprimento da borda na base grande é um= 6 cm, e a borda está na base menor b= 4 cm. Calcule a área da pirâmide truncada.

Primeiro, vamos encontrar os perímetros das bases. Como temos uma pirâmide pentagonal, entendemos que as bases são pentágonos. Isto significa que as bases contêm uma figura com cinco lados idênticos. Vamos encontrar o perímetro da base maior:

Da mesma forma encontramos o perímetro da base menor:

Agora podemos calcular a área de uma pirâmide truncada regular. Substitua os dados na fórmula:

Assim, calculamos a área de uma pirâmide truncada regular através dos perímetros e apótemas.

Outra forma de calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide regular é a fórmula através dos ângulos da base e da área dessas mesmas bases.

Vejamos um exemplo de cálculo. Lembre-se de que esta fórmula se aplica apenas a uma pirâmide truncada regular.

Seja dada uma pirâmide quadrangular regular. A borda da base inferior é a = 6 cm, e a borda da base superior é b = 4 cm. O ângulo diédrico na base é β = 60°. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular.

Primeiro vamos calcular a área das bases. Como a pirâmide é regular, todas as arestas das bases são iguais entre si. Considerando que a base é um quadrilátero, entendemos que será necessário calcular área da praça. É o produto da largura pelo comprimento, mas quando elevados ao quadrado esses valores são iguais. Vamos encontrar a área da base maior:


Agora usamos os valores encontrados para calcular a área da superfície lateral.

Conhecendo algumas fórmulas simples, calculamos facilmente a área do trapézio lateral de uma pirâmide truncada usando vários valores.

Um poliedro em que uma de suas faces é um polígono e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum é chamado de pirâmide.

Esses triângulos que compõem a pirâmide são chamados faces laterais, e o polígono restante é base pirâmides.

Na base da pirâmide está uma figura geométrica - um n-gon. Neste caso, a pirâmide também é chamada n-carbono.

Uma pirâmide triangular cujas arestas são todas iguais é chamada tetraedro.

As arestas da pirâmide que não pertencem à base são chamadas lateral, e seu ponto comum é vértice pirâmides. As outras arestas da pirâmide são geralmente chamadas partes na base.

A pirâmide é chamada correto, se tiver um polígono regular em sua base e todas as arestas laterais forem iguais entre si.

A distância do topo da pirâmide ao plano da base é chamada altura pirâmides. Podemos dizer que a altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base, cujas extremidades estão no topo da pirâmide e no plano da base.

Para qualquer pirâmide aplicam-se as seguintes fórmulas:

1) S completo = S lado + S principal, Onde

S total – área total da superfície da pirâmide;

Lado S – área da superfície lateral, ou seja, a soma das áreas de todas as faces laterais da pirâmide;

S principal – área da base da pirâmide.

2) V = 1/3 S base N, Onde

V – volume da pirâmide;

H – altura da pirâmide.

Para pirâmide regular acontece:

Lado S = 1/2 P h principal, Onde

P principal – perímetro da base da pirâmide;

h é o comprimento do apótema, ou seja, o comprimento da altura da face lateral abaixada do topo da pirâmide.

A parte da pirâmide delimitada entre dois planos - o plano da base e o plano de corte paralelo à base é chamada pirâmide truncada.

A base da pirâmide e a seção da pirâmide por um plano paralelo são chamadas razões pirâmide truncada. As faces restantes são chamadas lateral. A distância entre os planos das bases é chamada altura pirâmide truncada. As arestas que não pertencem às bases são chamadas lateral.

Além disso, a base da pirâmide truncada n-gons semelhantes. Se as bases de uma pirâmide truncada são polígonos regulares e todas as arestas laterais são iguais entre si, então essa pirâmide truncada é chamada correto.

Para pirâmide truncada arbitrária aplicam-se as seguintes fórmulas:

1) S completo = lado S + S 1 + S 2, Onde

S total – área superficial total;

Lado S – área da superfície lateral, ou seja, a soma das áreas de todas as faces laterais de uma pirâmide truncada, que são trapézios;

S 1, S 2 – áreas de base;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Onde

V – volume da pirâmide truncada;

H – altura da pirâmide truncada.

Para pirâmide truncada regular também temos:

Lado S = 1/2(P 1 + P 2) h, Onde

P 1, P 2 – perímetros das bases;

h – apótema (altura da face lateral, que é um trapézio).

Consideremos vários problemas envolvendo uma pirâmide truncada.

Tarefa 1.

Em uma pirâmide truncada triangular com altura igual a 10, os lados de uma das bases são 27, 29 e 52. Determine o volume da pirâmide truncada se o perímetro da outra base for 72.

Solução.

Considere a pirâmide truncada ABCA 1 B 1 C 1 mostrada em Figura 1.

1. O volume de uma pirâmide truncada pode ser encontrado usando a fórmula

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), onde S 1 é a área de uma das bases, pode ser encontrado usando a fórmula de Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

porque O problema fornece os comprimentos dos três lados de um triângulo.

Temos: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. A pirâmide está truncada, o que significa que polígonos semelhantes estão nas bases. No nosso caso triângulo ABC semelhante ao triângulo A 1 B 1 C 1. Além disso, o coeficiente de similaridade pode ser encontrado como a razão dos perímetros dos triângulos em consideração, e a razão de suas áreas será igual ao quadrado do coeficiente de similaridade. Assim temos:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2/72 2 = 9/4. Portanto, S 2 = 4S 1/9 = 4 270/9 = 120.

Então, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Resposta: 1900.

Tarefa 2.

Em uma pirâmide triangular truncada pela lateral base superior um plano é traçado paralelo à aresta lateral oposta. Em que proporção o volume de uma pirâmide truncada é dividido se os lados correspondentes das bases estão na proporção de 1:2?

Solução.

Considere ABCA 1 B 1 C 1 - uma pirâmide truncada mostrada em arroz. 2.

Como os lados das bases estão na proporção de 1:2, as áreas das bases estão na proporção de 1:4 (o triângulo ABC é semelhante ao triângulo A 1 B 1 C 1).

Então o volume da pirâmide truncada é:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, onde S 2 – área da base superior, h – altura.

Mas o volume do prisma ADEA 1 B 1 C 1 é V 1 = S 2 h e, portanto,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Então, V 2: V 1 = 3: 4.

Resposta: 3:4.

Tarefa 3.

Os lados das bases de uma pirâmide quadrangular regular truncada são iguais a 2 e 1, e a altura é 3. Um plano é traçado através do ponto de intersecção das diagonais da pirâmide, paralelo às bases da pirâmide, dividindo a pirâmide em duas partes. Encontre o volume de cada um deles.

Solução.

Considere a pirâmide truncada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 mostrada em arroz. 3.

Vamos denotar O 1 O 2 = x, então OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Considere o triângulo B 1 O 2 D 1 e o triângulo BO 2 D:

o ângulo B 1 O 2 D 1 é igual ao ângulo BO 2 D como vertical;

o ângulo BDO 2 é igual ao ângulo D 1 B 1 O 2 e o ângulo O 2 ВD é igual ao ângulo B 1 D 1 O 2 transversalmente em B 1 D 1 || BD e secantes B₁D e BD₁, respectivamente.

Portanto, o triângulo B 1 O 2 D 1 é semelhante ao triângulo BO 2 D e a razão dos lados é:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 ou 1/2 = x/(x – 3), de onde x = 1.

Considere o triângulo B 1 D 1 B e o triângulo LO 2 B: o ângulo B é comum e também há um par de ângulos unilaterais em B 1 D 1 || LM, o que significa que o triângulo B 1 D 1 B é semelhante ao triângulo LO 2 B, do qual B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, ou seja,

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Então S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Então, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Resposta: 152/27; 37/27.

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