Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :) Bem, amigos, se vocês estão lendo este texto, então a evidência interna me diz que vocês ainda não sabem o que é uma progressão aritmética, mas vocês realmente (não, assim: MUUUUITO!) querem saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e irei direto ao ponto.
Primeiro, alguns exemplos. Vejamos vários conjuntos de números:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.
Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto consiste simplesmente em números consecutivos, cada um deles sendo um a mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes completamente. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, e $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, e neste caso, cada elemento seguinte simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não tenha medo de que este número seja irracional).
Então: todas essas sequências são chamadas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:
Definição. Uma sequência de números em que cada um deles difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. O próprio valor pelo qual os números diferem é chamado de diferença de progressão e é mais frequentemente denotado pela letra $d$.
Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a progressão em si, $d$ é sua diferença.
E um casal de uma vez comentários importantes. Em primeiro lugar, a progressão só é considerada encomendado sequência de números: podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Os números não podem ser reorganizados ou trocados.
Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo no espírito (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é uma progressão infinita. As reticências após os quatro parecem sugerir que ainda há mais alguns números por vir. Infinitamente muitos, por exemplo :)
Gostaria também de observar que as progressões podem ser crescentes ou decrescentes. Já vimos os crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Ok, ok: o último exemplo pode parecer muito complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:
Definição. Uma progressão aritmética é chamada:
- aumentando se cada elemento seguinte for maior que o anterior;
- diminuindo se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.
Além disso, existem as chamadas sequências “estacionárias” - elas consistem no mesmo número repetido. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).
Resta apenas uma questão: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:
- Se $d \gt 0$, então a progressão aumenta;
- Se $d \lt 0$, então a progressão é obviamente decrescente;
- Finalmente, há o caso $d=0$ - neste caso toda a progressão é reduzida a uma sequência estacionária de números idênticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes fornecidas acima. Para fazer isso, basta pegar dois elementos adjacentes quaisquer (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair o número da esquerda do número da direita. Será assim:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Como podemos ver, nos três casos a diferença acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas possuem.
Termos de progressão e fórmula de recorrência
Como os elementos das nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:
\[\esquerda(((a)_(n)) \direita)=\esquerda\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \certo\)\]
Os elementos individuais deste conjunto são chamados de membros de uma progressão. Eles são indicados por um número: primeiro membro, segundo membro, etc.
Além disso, como já sabemos, os termos vizinhos da progressão estão relacionados pela fórmula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Resumindo, para encontrar o $n$ésimo termo de uma progressão, você precisa saber o $n-1$ésimo termo e a diferença $d$. Esta fórmula é chamada de recorrente, porque com sua ajuda você só pode encontrar qualquer número conhecendo o anterior (e de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz quaisquer cálculos ao primeiro termo e à diferença:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\esquerda(n-1 \direita)d\]
Você provavelmente já se deparou com esta fórmula. Eles gostam de incluí-lo em todos os tipos de livros de referência e livros de problemas. E em qualquer livro didático de matemática sensato é um dos primeiros.
No entanto, sugiro que você pratique um pouco.
Tarefa nº 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ se $((a)_(1))=8,d=-5$.
Solução. Então, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença da progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula dada e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\esquerda(2-1 \direita)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\esquerda(3-1 \direita)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fim(alinhar)\]
Resposta: (8; 3; −2)
É isso! Atenção: nossa progressão está diminuindo.
É claro que $n=1$ não poderia ser substituído - o primeiro termo já é conhecido por nós. No entanto, ao substituir a unidade, ficámos convencidos de que mesmo para o primeiro termo a nossa fórmula funciona. Em outros casos, tudo se resumia à aritmética banal.
Tarefa nº 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se o seu sétimo termo for igual a −40 e o seu décimo sétimo termo for igual a −50.
Solução. Vamos escrever a condição do problema em termos familiares:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \certo.\]
Coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. Agora observemos que se subtrairmos a primeira da segunda equação (temos o direito de fazer isso, já que temos um sistema), obtemos isto:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \fim(alinhar)\]
É tão fácil encontrar a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:
\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fim(matriz)\]
Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fim(alinhar)\]
Preparar! O problema está resolvido.
Resposta: (−34; −35; −36)
Observe a propriedade interessante da progressão que descobrimos: se pegarmos os $n$ésimo e $m$ésimo termos e subtraí-los um do outro, obteremos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Simples, mas muito propriedade útil, que você definitivamente precisa saber - com sua ajuda você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas de progressão. Aqui está um exemplo claro disso:
Tarefa nº 3. O quinto termo de uma progressão aritmética é 8,4 e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo desta progressão.
Solução. Como $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, notamos o seguinte:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fim(alinhar)\]
Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, portanto $5d=6$, da qual temos:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fim(alinhar)\]
Resposta: 20,4
É isso! Não precisamos criar nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi resolvido em apenas algumas linhas.
Agora vamos examinar outro tipo de problema – a busca de termos negativos e positivos de uma progressão. Não é nenhum segredo que se uma progressão aumenta e seu primeiro termo é negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão nela termos positivos. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente tornar-se-ão, mais cedo ou mais tarde, negativos.
Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “de frente” percorrendo sequencialmente os elementos. Muitas vezes, os problemas são escritos de tal forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas de papel – simplesmente adormeceríamos enquanto encontrávamos a resposta. Portanto, vamos tentar resolver esses problemas de forma mais rápida.
Tarefa nº 4. Quantos termos negativos existem na progressão aritmética −38,5; −35,8; ...?
Solução. Então, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, de onde encontramos imediatamente a diferença:
Observe que a diferença é positiva, então a progressão aumenta. O primeiro termo é negativo, então, de fato, em algum momento nos depararemos com números positivos. A única questão é quando isso acontecerá.
Vamos tentar descobrir por quanto tempo (ou seja, até qual número natural $n$) a negatividade dos termos permanece:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\esquerda(n-1 \direita)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \esquerda| \cdot 10 \certo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fim(alinhar)\]
A última linha requer alguma explicação. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, estamos satisfeitos apenas com valores inteiros do número (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16 .
Tarefa nº 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo desta progressão.
Este seria exatamente o mesmo problema do anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos facilmente encontrar a diferença da progressão:
Além disso, tentaremos expressar o quinto termo através do primeiro e da diferença usando a fórmula padrão:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cponto 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fim(alinhar)\]
Agora procedemos por analogia com a tarefa anterior. Vamos descobrir em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fim(alinhar)\]
A solução inteira mínima para esta desigualdade é o número 56.
Atenção: em última tarefa tudo se resumiu a uma desigualdade estrita, então a opção $n=55$ não nos servirá.
Agora que aprendemos como resolver problemas simples, vamos passar para os mais complexos. Mas primeiro, vamos estudar outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro :).
Média aritmética e recuos iguais
Vamos considerar vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los na reta numérica:
Termos de uma progressão aritmética na reta numéricaMarquei especificamente termos arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não alguns $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Porque a regra que vou falar agora funciona da mesma forma para qualquer “segmento”.
E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recorrente e escrevê-la para todos os termos marcados:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fim(alinhar)\]
No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de forma diferente:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fim(alinhar)\]
E daí? E o fato de que os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estão à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também são removidos de $((a)_(n) )$ na mesma distância igual a $2d$. Podemos continuar ad infinitum, mas o significado é bem ilustrado pela imagem
Os termos da progressão estão à mesma distância do centro O que isso significa para nós? Isso significa que $((a)_(n))$ pode ser encontrado se os números vizinhos forem conhecidos:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Derivamos uma excelente afirmação: cada termo de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos termos vizinhos! Além disso: podemos recuar de $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não um passo, mas $k$ passos - e a fórmula ainda estará correta:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Aqueles. podemos facilmente encontrar alguns $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que este facto não nos traz nada de útil. Entretanto, na prática, muitos problemas são especialmente adaptados para usar a média aritmética. Dê uma olhada:
Tarefa nº 6. Encontre todos os valores de $x$ para os quais os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética (na ordem indicada).
Solução. Como esses números são membros de uma progressão, a condição da média aritmética é satisfeita para eles: o elemento central $x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fim(alinhar)\]
Acabou clássico equação quadrática. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.
Resposta: −3; 2.
Tarefa nº 7. Encontre os valores de $$ para os quais os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formam uma progressão aritmética (nessa ordem).
Solução. Expressemos novamente o termo médio através da média aritmética dos termos vizinhos:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \certo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fim(alinhar)\]
Equação quadrática novamente. E novamente existem duas raízes: $x=6$ e $x=1$.
Resposta: 1; 6.
Se no processo de resolução de um problema você encontrar alguns números brutais ou não tiver certeza da exatidão das respostas encontradas, então existe uma técnica maravilhosa que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?
Digamos que no problema nº 6 recebemos as respostas −3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas conectá-los à condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo de que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Vamos substituir $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fim(alinhar)\]
Obtivemos os números −54; −2; 50 que diferem por 52 é sem dúvida uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fim(alinhar)\]
Novamente uma progressão, mas com diferença de 27. Assim, o problema foi resolvido corretamente. Quem quiser pode verificar o segundo problema por conta própria, mas direi desde já: está tudo correto aí também.
Em geral, ao resolver os últimos problemas, nos deparamos com outro fato interessante, que também precisa ser lembrado:
Se três números são tais que o segundo é o do meio aritmética primeiro e por último, esses números formam uma progressão aritmética.
No futuro, a compreensão desta afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base nas condições do problema. Mas antes de nos empenharmos em tal “construção”, devemos prestar atenção a mais um facto, que decorre directamente do que já foi discutido.
Agrupando e somando elementos
Voltemos ao eixo dos números novamente. Notemos aí vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale muitos outros membros:
Existem 6 elementos marcados na reta numéricaVamos tentar expressar a “cauda esquerda” através de $((a)_(n))$ e $d$, e a “cauda direita” através de $((a)_(k))$ e $d$. É muito simples:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fim(alinhar)\]
Agora observe que os seguintes valores são iguais:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fim(alinhar)\]
Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e então começarmos a dar um passo a partir desses elementos em direções opostas (um em direção ao outro ou vice-versa para se afastar), então as somas dos elementos que encontraremos também serão iguais$S$. Isso pode ser representado mais claramente graficamente:
Recuos iguais fornecem quantidades iguais Entendimento este fato nos permitirá resolver problemas de uma forma fundamentalmente mais alto nível dificuldades do que aquelas que consideramos acima. Por exemplo, estes:
Tarefa nº 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 66 e o produto do segundo e décimo segundo termos é o menor possível.
Solução. Vamos anotar tudo o que sabemos:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fim(alinhar)\]
Portanto, não sabemos a diferença de progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, já que o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fim(alinhar)\]
Para quem está no tanque: tirei o multiplicador total de 11 da segunda chave. Assim, o produto requerido é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, porque se expandirmos os colchetes, obtemos:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Como você pode ver, o coeficiente do termo mais alto é 11 - este é um número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramos ascendentes:
agendar função quadrática- parábola
Atenção: esta parábola assume seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular esta abscissa usando o esquema padrão (existe a fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável notar que o vértice desejado está no eixo de simetria da parábola, portanto o ponto $((d)_(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fim(alinhar)\]
É por isso que não tive muita pressa em abrir os colchetes: em sua forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abscissa é igual à média números aritméticos−66 e −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
O que o número descoberto nos dá? Com ele, o produto requerido assume o menor valor (aliás, nunca calculamos $((y)_(\min ))$ - isso não é exigido de nós). Ao mesmo tempo, este número é a diferença da progressão original, ou seja, encontramos a resposta. :)
Resposta: −36
Tarefa nº 9. Entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ insira três números para que juntos com esses números formem uma progressão aritmética.
Solução. Essencialmente, precisamos fazer uma sequência de cinco números, sendo o primeiro e o último número já conhecidos. Vamos denotar os números faltantes pelas variáveis $x$, $y$ e $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Observe que o número $y$ é o “meio” da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se atualmente não podemos obter $y$ dos números $x$ e $z$, então a situação é diferente com os finais da progressão. Vamos lembrar a média aritmética:
Agora, conhecendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre os números $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ que acabamos de encontrar. É por isso
Usando um raciocínio semelhante, encontramos o número restante:
Preparar! Encontramos todos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.
Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tarefa nº 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, junto com esses números, formem uma progressão aritmética, se você souber que a soma do primeiro, do segundo e do último dos números inseridos é 56.
Solução. Um problema ainda mais complexo, que, no entanto, se resolve segundo o mesmo esquema dos anteriores - através da média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números precisam ser inseridos. Portanto, vamos supor para maior certeza que depois de inserir tudo haverá exatamente $n$ números, sendo o primeiro deles 2 e o último 42. Neste caso, a progressão aritmética necessária pode ser representada na forma:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \direita\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Observe, entretanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos a partir dos números 2 e 42 nas bordas um passo em direção um ao outro, ou seja. para o centro da sequência. E isso significa que
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Mas então a expressão escrita acima pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \esquerda(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \direita)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fim(alinhar)\]
Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos facilmente encontrar a diferença da progressão:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\esquerda(3-1 \direita)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fim(alinhar)\]
Resta apenas encontrar os termos restantes:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cponto 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cponto 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cponto 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cponto 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cponto 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cponto 5=42; \\ \fim(alinhar)\]
Assim, já no 9º passo chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, foram necessários apenas 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Problemas de palavras com progressões
Para concluir, gostaria de considerar alguns aspectos relativamente tarefas simples. Bom, simples assim: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, esses problemas podem parecer difíceis. No entanto, estes são os tipos de problemas que aparecem no OGE e no Exame Estadual Unificado de matemática, por isso recomendo que você se familiarize com eles.
Tarefa nº 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, em cada mês subsequente, produziu 14 peças a mais que no mês anterior. Quantas peças a equipe produziu em novembro?
Solução. Obviamente, o número de peças listadas por mês representará uma progressão aritmética crescente. Além disso:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cponto 14=202\]
Portanto, serão produzidas 202 peças em novembro.
Tarefa nº 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro, e em cada mês subsequente encadernou mais 4 livros que no anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?
Solução. Tudo é igual:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cponto 4=260\]
Esta é a resposta: 260 livros serão encadernados em dezembro.
Bem, se você leu até aqui, apresso-me em parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso do jovem lutador” em progressões aritméticas. Você pode passar com segurança para a próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como suas consequências importantes e muito úteis.
Antes de começarmos a decidir problemas de progressão aritmética, vamos considerar o que é uma sequência numérica, já que uma progressão aritmética é caso especial sequência numérica.
Uma sequência numérica é um conjunto de números, cada elemento possui seu próprio número de série. Os elementos deste conjunto são chamados de membros da sequência. O número de série de um elemento de sequência é indicado por um índice:
O primeiro elemento da sequência;
Quinto elemento da sequência;
- o “enésimo” elemento da sequência, ou seja, elemento "em pé na fila" no número n.
Existe uma relação entre o valor de um elemento de sequência e seu número de sequência. Portanto, podemos considerar uma sequência como uma função cujo argumento é o número ordinal do elemento da sequência. Em outras palavras, podemos dizer que a sequência é uma função do argumento natural:
A sequência pode ser definida de três maneiras:
1 . A sequência pode ser especificada usando uma tabela. Neste caso, simplesmente definimos o valor de cada membro da sequência.
Por exemplo, alguém decidiu fazer o gerenciamento do tempo pessoal e, para começar, contar quanto tempo passa no VKontakte durante a semana. Ao registrar o tempo na tabela, ele receberá uma sequência composta por sete elementos:
A primeira linha da tabela indica o número do dia da semana, a segunda - o tempo em minutos. Vemos isso, ou seja, na segunda-feira alguém passou 125 minutos no VKontakte, ou seja, na quinta - 248 minutos, e, ou seja, na sexta-feira apenas 15.
2 . A sequência pode ser especificada usando a fórmula do enésimo termo.
Neste caso, a dependência do valor de um elemento de sequência em seu número é expressa diretamente na forma de uma fórmula.
Por exemplo, se , então
Para encontrar o valor de um elemento de sequência com um determinado número, substituímos o número do elemento na fórmula do enésimo termo.
Fazemos a mesma coisa se precisarmos encontrar o valor de uma função se o valor do argumento for conhecido. Substituímos o valor do argumento na equação da função:
Se, por exemplo, 
, Que
Deixe-me observar mais uma vez que numa sequência, ao contrário de uma função numérica arbitrária, o argumento só pode ser um número natural.
3 . A sequência pode ser especificada usando uma fórmula que expressa a dependência do valor do membro da sequência número n dos valores dos membros anteriores.
Neste caso, não basta sabermos apenas o número do membro da sequência para encontrar o seu valor. Precisamos especificar o primeiro membro ou os primeiros membros da sequência. 
, 
Por exemplo, considere a sequência Podemos encontrar os valores dos membros da sequência um por um
, a partir do terceiro: Ou seja, toda vez que, para encontrar o valor do enésimo termo da sequência, voltamos aos dois anteriores. Este método de especificar uma sequência é chamado recorrente , da palavra latina recorrência
- voltar.
Agora podemos definir uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é um caso especial simples de uma sequência numérica. Progressão aritmética
é uma sequência numérica, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior somado ao mesmo número. O número é chamado diferença de progressão aritmética
. A diferença de uma progressão aritmética pode ser positiva, negativa ou igual a zero.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Se título="d>0.
aumentando
Por exemplo, 2; 5; 8; 11;... Se , então cada termo de uma progressão aritmética é menor que o anterior, e a progressão é.
diminuindo
Por exemplo, 2; -1; -4; -7;... Se , então todos os termos da progressão são iguais ao mesmo número, e a progressão é.
estacionário
Por exemplo, 2;2;2;2;...
A principal propriedade de uma progressão aritmética:
Vejamos a foto.
Nós vemos isso
, e ao mesmo tempo
.
Somando essas duas igualdades, obtemos:
Vamos dividir ambos os lados da igualdade por 2:
Assim, cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos dois vizinhos:
Nós vemos isso
Além disso, desde
, Que
, e portanto">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Cada termo de uma progressão aritmética, começando com title="k>l
Fórmula do décimo termo.
e finalmente
Nós temos fórmula do enésimo termo.
IMPORTANTE! Qualquer membro de uma progressão aritmética pode ser expresso por meio de e. Conhecendo o primeiro termo e a diferença de uma progressão aritmética, você pode encontrar qualquer um dos seus termos.
A soma de n termos de uma progressão aritmética.
Em uma progressão aritmética arbitrária, as somas dos termos equidistantes dos extremos são iguais entre si:
Considere uma progressão aritmética com n termos. Deixe a soma de n termos desta progressão ser igual a.
Vamos organizar os termos da progressão primeiro em ordem crescente de números e depois em ordem decrescente:
Vamos adicionar aos pares:
A soma em cada colchete é , o número de pares é n.
Nós obtemos:
Então, a soma de n termos de uma progressão aritmética pode ser encontrada usando as fórmulas:
Vamos considerar resolvendo problemas de progressão aritmética.
1 . A sequência é dada pela fórmula do enésimo termo: . Prove que esta sequência é uma progressão aritmética.
Vamos provar que a diferença entre dois termos adjacentes da sequência é igual ao mesmo número.
Descobrimos que a diferença entre dois membros adjacentes da sequência não depende do seu número e é uma constante. Portanto, por definição, esta sequência é uma progressão aritmética.
2 . Dada uma progressão aritmética -31; -27;...
a) Encontre 31 termos da progressão.
b) Determine se o número 41 está incluído nesta progressão.
UM) Nós vemos isso;
Vamos escrever a fórmula do enésimo termo da nossa progressão.
Em geral 
No nosso caso 
, É por isso 
Progressões aritméticas e geométricas
Informação teórica
Informação teórica
Progressão aritmética |
Progressão geométrica |
|
Definição |
Progressão aritmética umé uma sequência em que cada membro, a partir do segundo, é igual ao membro anterior somado ao mesmo número d (d- diferença de progressão) |
Progressão geométrica b né uma sequência de números diferentes de zero, cada termo dos quais, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número q (q- denominador de progressão) |
Fórmula de recorrência |
Para qualquer natureza n |
Para qualquer natureza n |
Fórmula enésimo termo |
uma n = uma 1 + d (n-1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Propriedade característica |  |
|
| Soma dos primeiros n termos |  |
 |
Exemplos de tarefas com comentários
Tarefa 1
Na progressão aritmética ( um) um 1 = -6, um 2
De acordo com a fórmula do enésimo termo:
um 22 = um 1+ d (22 - 1) = um 1+ 21 dias
De acordo com a condição:
um 1= -6, então um 22= -6 + 21d .
É necessário encontrar a diferença de progressões:
d = um 2 – um 1 = -8 – (-6) = -2
um 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Responder : um 22 = -48.
Tarefa 2
Encontre o quinto termo da progressão geométrica: -3; 6;....
1º método (usando a fórmula de n termos)
De acordo com a fórmula do enésimo termo de uma progressão geométrica:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Porque b1 = -3,
2º método (usando fórmula recorrente)
Como o denominador da progressão é -2 (q = -2), então:
b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Responder : b5 = -48.
Tarefa 3
Na progressão aritmética ( uma) uma 74 = 34; um 76= 156. Encontre o septuagésimo quinto termo desta progressão.
Para uma progressão aritmética, a propriedade característica tem a forma 
.
Disto segue:
.
Vamos substituir os dados na fórmula:
Resposta: 95.
Tarefa 4
Na progressão aritmética ( um) um= 3n - 4. Encontre a soma dos primeiros dezessete termos.
Para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética, duas fórmulas são usadas:
.
Qual deles é mais conveniente de usar neste caso?
Por condição, a fórmula para o enésimo termo da progressão original é conhecida ( um) um= 3n - 4. Você pode encontrar imediatamente e um 1, E um 16 sem encontrar d. Portanto, usaremos a primeira fórmula.
Resposta: 368.
Tarefa 5
Na progressão aritmética ( um) um 1 = -6; um 2= -8. Encontre o vigésimo segundo termo da progressão.
De acordo com a fórmula do enésimo termo:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = um 1+ 21d.
Por condição, se um 1= -6, então um 22= -6 + 21d. É necessário encontrar a diferença de progressões:
d = um 2 – um 1 = -8 – (-6) = -2
um 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Responder : um 22 = -48.
Tarefa 6
Vários termos consecutivos da progressão geométrica são escritos:
Encontre o termo da progressão rotulada como x.
Ao resolver, usaremos a fórmula para o enésimo termo b n = b 1 ∙ q n - 1 Para progressões geométricas. O primeiro termo da progressão. Para encontrar o denominador da progressão q, você precisa pegar qualquer um dos termos dados da progressão e dividir pelo anterior. No nosso exemplo, podemos pegar e dividir por. Obtemos que q = 3. Em vez de n, substituímos 3 na fórmula, pois é necessário encontrar o terceiro termo de uma determinada progressão geométrica.
Substituindo os valores encontrados na fórmula, obtemos:
.
Responder : .
Tarefa 7
Das progressões aritméticas dadas pela fórmula do enésimo termo, selecione aquela para a qual a condição é satisfeita um 27 > 9:
Como a condição dada deve ser satisfeita para o 27º termo da progressão, substituímos 27 em vez de n em cada uma das quatro progressões. Na 4ª progressão obtemos:
.
Resposta: 4.
Tarefa 8
Em progressão aritmética um 1= 3, d = -1,5. Especificar valor mais alto n para o qual a desigualdade é válida um > -6.
Problemas de progressão aritmética já existiam na antiguidade. Eles apareceram e exigiram uma solução porque tinham necessidade prática.
Então, em um dos papiros Antigo Egito", que tem conteúdo matemático - o papiro Rhind (século XIX aC) - contém a seguinte tarefa: dividir dez medidas de pão entre dez pessoas, desde que a diferença entre cada uma delas seja um oitavo da medida."
E nos trabalhos matemáticos dos antigos gregos existem teoremas elegantes relacionados à progressão aritmética. Assim, Hipscles de Alexandria (século II, que compilou muitos problemas interessantes e acrescentou o décimo quarto livro aos Elementos de Euclides), formulou a ideia: “Numa progressão aritmética que possui um número par de termos, a soma dos termos da 2ª metade é maior que a soma dos termos do primeiro no quadrado 1/2 número de membros."
A sequência é denotada por um. Os números de uma sequência são chamados de seus membros e geralmente são designados por letras com índices que indicam o número de série desse membro (a1, a2, a3... leia-se: “um 1º”, “um 2º”, “um 3º” e assim por diante).
A sequência pode ser infinita ou finita.
O que é uma progressão aritmética? Com isso entendemos aquele obtido pela soma do termo anterior (n) com o mesmo número d, que é a diferença da progressão.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, então esta progressão é considerada crescente.
Uma progressão aritmética é chamada finita se apenas seus primeiros termos forem levados em consideração. Muito grandes quantidades membros já é uma progressão sem fim.
Qualquer progressão aritmética é definida pela seguinte fórmula:
an =kn+b, enquanto b e k são alguns números.
A afirmação oposta é absolutamente verdadeira: se uma sequência é dada por uma fórmula semelhante, então é exatamente uma progressão aritmética que possui as propriedades:
- Cada termo da progressão é a média aritmética do termo anterior e do subsequente.
- Inverso: se, a partir do 2º, cada termo for a média aritmética do termo anterior e do subsequente, ou seja, se a condição for atendida, então esta sequência é uma progressão aritmética. Essa igualdade é ao mesmo tempo um sinal de progressão, por isso costuma ser chamada de propriedade característica da progressão.
Da mesma forma, o teorema que reflete esta propriedade é verdadeiro: uma sequência é uma progressão aritmética somente se esta igualdade for verdadeira para qualquer um dos termos da sequência, começando pelo 2º.
A propriedade característica para quaisquer quatro números de uma progressão aritmética pode ser expressa pela fórmula an + am = ak + al, se n + m = k + l (m, n, k são números de progressão).
Em uma progressão aritmética, qualquer (enésimo) termo necessário pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Por exemplo: o primeiro termo (a1) em uma progressão aritmética é dado e igual a três, e a diferença (d) é igual a quatro. Você precisa encontrar o quadragésimo quinto termo dessa progressão. a45 = 1+4(45-1)=177
A fórmula an = ak + d(n - k) nos permite determinar enésimo termo uma progressão aritmética através de qualquer um de seus k-ésimos termos, desde que seja conhecido.
A soma dos termos de uma progressão aritmética (ou seja, os primeiros n termos de uma progressão finita) é calculada da seguinte forma:
Sn = (a1+an)n/2.
Se o primeiro termo também for conhecido, outra fórmula será conveniente para cálculo:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
A soma de uma progressão aritmética que contém n termos é calculada da seguinte forma:
A escolha das fórmulas de cálculo depende das condições dos problemas e dos dados iniciais.
Série natural de quaisquer números, como 1,2,3,...,n,...- exemplo mais simples progressão aritmética.
Além da progressão aritmética, existe também uma progressão geométrica, que possui propriedades e características próprias.
Calculadora on-line.
Resolvendo uma progressão aritmética.
Dado: a n , d, n
Encontre: um 1
Este programa matemático encontra \(a_1\) de uma progressão aritmética baseada em números especificados pelo usuário \(a_n, d\) e \(n\).
Os números \(a_n\) e \(d\) podem ser especificados não apenas como inteiros, mas também como frações. Além disso, o número fracionário pode ser inserido na forma de uma fração decimal (\(2,5\)) e na forma fração comum(\(-5\frac(2)(7)\)).
O programa não só dá a resposta ao problema, mas também mostra o processo de busca de uma solução.
Esta calculadora online pode ser útil para alunos do ensino médio em escolas secundárias na preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado e para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro contratar um tutor ou comprar novos livros? Ou você apenas quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa
em matemática ou álgebra? Neste caso, você também pode utilizar nossos programas com soluções detalhadas.
Desta forma, você pode realizar sua própria formação e/ou formação de seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de escolaridade na área de resolução de problemas.
Se você não está familiarizado com as regras de inserção de números, recomendamos que se familiarize com elas.
Regras para inserir números
Os números \(a_n\) e \(d\) podem ser especificados não apenas como inteiros, mas também como frações.
O número \(n\) só pode ser um número inteiro positivo.
Regras para inserir frações decimais.
As partes inteiras e fracionárias em frações decimais podem ser separadas por ponto ou vírgula. Por exemplo, você pode inserir decimais
então 2,5 ou mais 2,5
Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo. Ao entrar O numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
Entrada:
Resultado: \(-\frac(2)(3)\)
A parte inteira é separada da fração pelo sinal e comercial: &
Entrada:
Resultado: \(-1\frac(2)(3)\)
Foi descoberto que alguns scripts necessários para resolver este problema não foram carregados e o programa pode não funcionar.
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Neste caso, desative-o e atualize a página.
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Porque Tem muita gente disposta a resolver o problema, seu pedido ficou na fila.
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Não se esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.
Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:
Um pouco de teoria.
Sequência numérica
Na prática cotidiana, a numeração de vários objetos é frequentemente usada para indicar a ordem em que estão organizados. Por exemplo, as casas de cada rua são numeradas. Na biblioteca, as assinaturas dos leitores são numeradas e depois organizadas na ordem dos números atribuídos em arquivos especiais.
Em uma caixa econômica, usando o número da conta pessoal do depositante, você pode facilmente encontrar essa conta e ver qual depósito está nela. Deixe a conta nº 1 conter um depósito de a1 rublos, a conta nº 2 conter um depósito de a2 rublos, etc. sequência numérica
uma 1 , uma 2 , uma 3 , ..., uma N
onde N é o número de todas as contas. Aqui, cada número natural n de 1 a N está associado a um número a n.
Também estudou matemática sequências numéricas infinitas:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
O número a 1 é chamado primeiro termo da sequência, número a 2 - segundo termo da sequência, número a 3 - terceiro termo da sequência etc.
O número a n é chamado enésimo (enésimo) membro da sequência, e o número natural n é seu número.
Por exemplo, em uma sequência de quadrados números naturais 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... e 1 = 1 é o primeiro termo da sequência; e n = n 2 é o enésimo termo da sequência; a n+1 = (n + 1) 2 é o (n + 1)-ésimo (n mais o primeiro) termo da sequência. Freqüentemente, uma sequência pode ser especificada pela fórmula de seu enésimo termo. Por exemplo, a fórmula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) define a sequência \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pontos,\frac(1)(n) , \pontos \)
Progressão aritmética
A duração do ano é de aproximadamente 365 dias. Um valor mais preciso é \(365\frac(1)(4)\) dias, então a cada quatro anos acumula-se um erro de um dia.
Para compensar esse erro, um dia é adicionado a cada quarto ano, e o ano estendido é chamado de ano bissexto.
Por exemplo, no terceiro milénio anos bissextos são os anos de 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Nesta sequência, cada membro, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado ao mesmo número 4. Tais sequências são chamadas progressões aritméticas.
Definição.
A sequência numérica a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... é chamada progressão aritmética, se para todo natural n a igualdade
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
onde d é algum número.
Desta fórmula segue-se que a n+1 - a n = d. O número d é chamado de diferença progressão aritmética.
Por definição de progressão aritmética temos:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
onde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), onde \(n>1 \)
Assim, cada termo de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética de seus dois termos adjacentes. Isso explica o nome progressão "aritmética".
Observe que se a 1 e d forem dados, então os termos restantes da progressão aritmética podem ser calculados usando a fórmula recorrente a n+1 = a n + d. Desta forma não é difícil calcular os primeiros termos da progressão, porém, por exemplo, um 100 já exigirá muitos cálculos. Normalmente, a fórmula do enésimo termo é usada para isso. Por definição de progressão aritmética
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
De forma alguma,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
já que o enésimo termo de uma progressão aritmética é obtido a partir do primeiro termo adicionando (n-1) vezes o número d.
Esta fórmula é chamada fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética.
Soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética
Encontre a soma de todos os números naturais de 1 a 100.
Vamos escrever esse valor de duas maneiras:
S = eu + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Vamos adicionar essas igualdades termo por termo:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Esta soma tem 100 termos
Portanto, 2S = 101 * 100, portanto S = 101 * 50 = 5050.
Consideremos agora uma progressão aritmética arbitrária
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Seja S n a soma dos primeiros n termos desta progressão:
S n = uma 1 , uma 2 , uma 3 , ..., uma n
Então a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética é igual a
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Como \(a_n=a_1+(n-1)d\), substituindo a n nesta fórmula, obtemos outra fórmula para encontrar soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
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