As relações entre as funções trigonométricas básicas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são fornecidas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso explica a abundância fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem reduzir o grau, a quarta - expressa todas as funções através da tangente de um meio ângulo, etc.
Neste artigo listaremos em ordem todas as fórmulas trigonométricas básicas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e uso, iremos agrupá-los por finalidade e inseri-los em tabelas.
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Identidades trigonométricas básicas
Básico identidades trigonométricas defina a relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem expressar uma função trigonométrica em termos de qualquer outra.
Para uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.
Fórmulas de redução
Fórmulas de redução decorrem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade funções trigonométricas, a propriedade de simetria, bem como a propriedade de deslocamento em um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.
A justificativa para essas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.
Fórmulas de adição
Fórmulas de adição trigonométrica mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos de funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem de base para derivar as seguintes fórmulas trigonométricas.
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (também são chamadas de fórmulas de ângulos múltiplos) mostram como funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.
Informações mais detalhadas são coletadas no artigo Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo
Fórmulas de meio ângulo
Fórmulas de meio ângulo mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas decorrem das fórmulas de ângulo duplo.
Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.
Fórmulas de redução de grau
Fórmulas trigonométricas para redução de graus destinam-se a facilitar a transição de graus naturais funções trigonométricas para senos e cossenos de primeiro grau, mas vários ângulos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas às primeiras.
Fórmulas para soma e diferença de funções trigonométricas
Objetivo principal fórmulas para a soma e diferença de funções trigonométricasé ir para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são amplamente utilizadas na resolução equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.
Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno
A transição do produto das funções trigonométricas para uma soma ou diferença é realizada por meio das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.
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Continuamos nossa conversa sobre as fórmulas mais utilizadas em trigonometria. O mais importante deles são as fórmulas de adição.
Definição 1
As fórmulas de adição permitem expressar funções da diferença ou soma de dois ângulos usando funções trigonométricas desses ângulos.
Para começar, daremos lista completa fórmulas de adição, então iremos prová-las e analisar vários exemplos ilustrativos.
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Fórmulas básicas de adição em trigonometria
São oito fórmulas básicas: seno da soma e seno da diferença de dois ângulos, cossenos da soma e diferença, tangentes e cotangentes da soma e diferença, respectivamente. Abaixo estão suas formulações e cálculos padrão.
1. O seno da soma de dois ângulos pode ser obtido da seguinte forma:
Calculamos o produto do seno do primeiro ângulo e do cosseno do segundo;
Multiplique o cosseno do primeiro ângulo pelo seno do primeiro;
Some os valores resultantes.
A escrita gráfica da fórmula fica assim: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. O seno da diferença é calculado quase da mesma forma, apenas os produtos resultantes não devem ser somados, mas subtraídos uns dos outros. Assim, calculamos os produtos do seno do primeiro ângulo pelo cosseno do segundo e do cosseno do primeiro ângulo pelo seno do segundo e encontramos a sua diferença. A fórmula é escrita assim: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosseno da soma. Para isso, encontramos os produtos do cosseno do primeiro ângulo pelo cosseno do segundo e do seno do primeiro ângulo pelo seno do segundo, respectivamente, e encontramos sua diferença: cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β
4. Cosseno da diferença: calcule os produtos dos senos e cossenos desses ângulos, como antes, e some-os. Fórmula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangente da soma. Esta fórmula é expressa como uma fração, cujo numerador é a soma das tangentes dos ângulos requeridos, e o denominador é uma unidade da qual é subtraído o produto das tangentes dos ângulos desejados. Tudo fica claro em sua notação gráfica: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangente da diferença. Calculamos os valores da diferença e do produto das tangentes desses ângulos e procedemos com eles de forma semelhante. No denominador somamos a um, e não vice-versa: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangente do valor. Para calcular usando esta fórmula, precisaremos do produto e da soma das cotangentes desses ângulos, que procedemos da seguinte forma: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangente da diferença . A fórmula é semelhante à anterior, mas o numerador e o denominador são menos, não mais c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Você provavelmente notou que essas fórmulas são semelhantes aos pares. Usando os sinais ± (mais-menos) e ∓ (menos-mais), podemos agrupá-los para facilitar o registro:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Assim, temos uma fórmula de registro para a soma e a diferença de cada valor, apenas em um caso prestamos atenção sinal superior, no outro – para o inferior.
Definição 2
Podemos tomar quaisquer ângulos α e β, e as fórmulas de adição de cosseno e seno funcionarão para eles. Se pudermos determinar corretamente os valores das tangentes e cotangentes desses ângulos, então as fórmulas de adição de tangente e cotangente também serão válidas para eles.
Como a maioria dos conceitos de álgebra, as fórmulas de adição podem ser comprovadas. A primeira fórmula que provaremos é a fórmula da diferença do cosseno. O resto da evidência pode então ser facilmente deduzido dela.
Vamos esclarecer os conceitos básicos. Precisaremos de um círculo unitário. Funcionará se pegarmos um certo ponto A e girarmos os ângulos α e β em torno do centro (ponto O). Então o ângulo entre os vetores O A 1 → e O A → 2 será igual a (α - β) + 2 π · z ou 2 π - (α - β) + 2 π · z (z é qualquer número inteiro). Os vetores resultantes formam um ângulo igual a α - β ou 2 π - (α - β), ou podem diferir desses valores em um número inteiro de revoluções completas. Dê uma olhada na foto:
Usamos as fórmulas de redução e obtivemos os seguintes resultados:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Resultado: o cosseno do ângulo entre os vetores O A 1 → e O A 2 → é igual ao cosseno do ângulo α - β, portanto, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Lembremos as definições de seno e cosseno: o seno é uma função do ângulo, igual à razão entre o cateto do ângulo oposto e a hipotenusa, o cosseno é o seno do ângulo complementar. Portanto, os pontos Um 1 E Um 2 têm coordenadas (cos α, sin α) e (cos β, sin β).
Obtemos o seguinte:
O A 1 → = (cos α, sen α) e O A 2 → = (cos β, sen β)
Se não estiver claro, observe as coordenadas dos pontos localizados no início e no final dos vetores.
Os comprimentos dos vetores são iguais a 1, porque Temos um círculo unitário.
Analisemos agora o produto escalar dos vetores O A 1 → e O A 2 → . Em coordenadas fica assim:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sen α · sen β
Disto podemos derivar a igualdade:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Assim, a fórmula da diferença do cosseno está comprovada.
Agora provaremos a seguinte fórmula - o cosseno da soma. Isto é mais fácil porque podemos usar os cálculos anteriores. Tomemos a representação α + β = α - (- β) . Nós temos:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Esta é a prova da fórmula da soma dos cossenos. A última linha usa a propriedade do seno e cosseno de ângulos opostos.
A fórmula do seno de uma soma pode ser derivada da fórmula do cosseno de uma diferença. Vamos pegar a fórmula de redução para isso:
da forma sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Então
pecado (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + pecado (π 2 - α) pecado β = = sen α cos β + cos α sin β
E aqui está a prova da fórmula do seno da diferença:
pecado (α - β) = pecado (α + (- β)) = pecado α cos (- β) + cos α pecado (- β) = = pecado α cos β - cos α pecado β
Observe o uso das propriedades seno e cosseno de ângulos opostos no último cálculo.
A seguir, precisamos de provas de fórmulas de adição para tangente e cotangente. Vamos lembrar as definições básicas (tangente é a razão entre seno e cosseno, e cotangente é vice-versa) e pegar as fórmulas já derivadas antecipadamente. Nós conseguimos isso:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Nós fizemos isso fração complexa. A seguir, precisamos dividir seu numerador e denominador por cos α · cos β, dado que cos α ≠ 0 e cos β ≠ 0, obtemos:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Agora reduzimos as frações e obtemos a fórmula o seguinte tipo: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · sin β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Temos t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Esta é a prova da fórmula de adição tangente.
A próxima fórmula que provaremos é a tangente da fórmula da diferença. Tudo fica claramente mostrado nos cálculos:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
As fórmulas para cotangente são provadas de maneira semelhante:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - pecado α · pecado β pecado α · pecado β pecado α · cos β + cos α · pecado β pecado α · pecado β = cos α · cos β pecado α · pecado β - 1 pecado α · cos β pecado α · pecado β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Próximo:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
– certamente haverá tarefas de trigonometria. A trigonometria muitas vezes não é apreciada porque requer estudo quantidade enorme fórmulas difíceis, repletas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes. O site já deu conselhos sobre como lembrar uma fórmula esquecida, usando o exemplo das fórmulas de Euler e Peel.
E neste artigo tentaremos mostrar que é suficiente conhecer com firmeza apenas cinco fórmulas trigonométricas simples, ter uma compreensão geral do resto e derivá-las à medida que avança. É como acontece com o DNA: a molécula não armazena os projetos completos de uma criatura viva acabada. Em vez disso, contém instruções para montá-lo a partir de aminoácidos disponíveis. Então, em trigonometria, conhecendo alguns princípios gerais, obteremos todas as fórmulas necessárias a partir de um pequeno conjunto daquelas que devemos ter em mente.
Contaremos com as seguintes fórmulas:
A partir das fórmulas para somas de senos e cossenos, sabendo da paridade da função cosseno e da estranheza da função seno, substituindo -b em vez de b, obtemos fórmulas para diferenças:
- Seno da diferença: pecado(ab) = pecadoumporque(-b)+porqueumpecado(-b) = pecadoumporqueb-porqueumpecadob
- Cosseno da diferença: porque(ab) = porqueumporque(-b)-pecadoumpecado(-b) = porqueumporqueb+pecadoumpecadob
Colocando a = b nas mesmas fórmulas, obtemos as fórmulas para o seno e o cosseno dos ângulos duplos:
- Seno de ângulo duplo: pecado2a = pecado(um + um) = pecadoumporqueum+porqueumpecadoum = 2pecadoumporqueum
- Cosseno de ângulo duplo: porque2a = porque(um + um) = porqueumporqueum-pecadoumpecadoum = porque2 uma-pecado2 uma
As fórmulas para outros ângulos múltiplos são obtidas de forma semelhante:
- Seno de um ângulo triplo: pecado3a = pecado(2a+a) = pecado2aporqueum+porque2apecadoum = (2pecadoumporqueum)porqueum+(porque2 uma-pecado2 uma)pecadoum = 2pecadoumporque2 uma+pecadoumporque2 uma-pecado 3uma = 3 pecadoumporque2 uma-pecado 3uma = 3 pecadoum(1-pecado2 uma)-pecado 3uma = 3 pecadoum-4pecado 3a
- Cosseno do ângulo triplo: porque3a = porque(2a+a) = porque2aporqueum-pecado2apecadoum = (porque2 uma-pecado2 uma)porqueum-(2pecadoumporqueum)pecadoum = porque 3 a- pecado2 umaporqueum-2pecado2 umaporqueum = porque 3a-3 pecado2 umaporqueum = porque 3a-3(1- porque2 uma)porqueum = 4porque 3a-3 porqueum
Antes de prosseguirmos, vejamos um problema.
Dado: o ângulo é agudo.
Encontre seu cosseno se
Solução dada por um aluno:
Porque , Que pecadoum= 3,uma porqueum = 4.
(Do humor matemático)
Portanto, a definição de tangente relaciona esta função ao seno e ao cosseno. Mas você pode obter uma fórmula que relacione a tangente apenas ao cosseno. Para derivá-lo, tomamos a identidade trigonométrica principal: pecado 2 um+porque 2 um= 1 e divida por porque 2 um. Nós obtemos:
Então a solução para esse problema seria:
(Como o ângulo é agudo, ao extrair a raiz é obtido o sinal +)
A fórmula da tangente de uma soma é outra difícil de lembrar. Vamos produzir assim:
Imediatamente exibido e
A partir da fórmula do cosseno para um ângulo duplo, você pode obter as fórmulas do seno e do cosseno para um meio ângulo. Para fazer isso, no lado esquerdo da fórmula do cosseno de ângulo duplo:
porque2
um = porque 2
um-pecado 2
um
adicionamos um e à direita - uma unidade trigonométrica, ou seja, a soma dos quadrados do seno e do cosseno.
porque2a+1 = porque2 uma-pecado2 uma+porque2 uma+pecado2 uma
2porque 2
um = porque2
um+1
Expressando porqueum através porque2
um e realizando uma mudança de variáveis, obtemos:
O sinal é obtido dependendo do quadrante.
Da mesma forma, subtraindo um do lado esquerdo da igualdade e a soma dos quadrados do seno e do cosseno do lado direito, obtemos:
porque2a-1 = porque2 uma-pecado2 uma-porque2 uma-pecado2 uma
2pecado 2
um = 1-porque2
um
E, finalmente, para converter a soma das funções trigonométricas num produto, utilizamos a seguinte técnica. Digamos que precisamos representar a soma dos senos como um produto pecadoum+pecadob. Vamos introduzir as variáveis x e y tais que a = x+y, b+x-y. Então
pecadoum+pecadob = pecado(x+y)+ pecado(xy) = pecado x porque sim + porque x pecado sim + pecado x porque você- porque x pecado y=2 pecado x porque você. Vamos agora expressar x e y em termos de a e b.
Como a = x + y, b = x-y, então. É por isso
Você pode retirar imediatamente
- Fórmula para particionamento produtos de seno e cosseno V quantia: pecadoumporqueb = 0.5(pecado(a+b)+pecado(ab))
Recomendamos que você pratique e deduza você mesmo fórmulas para converter a diferença de senos e a soma e diferença de cossenos em um produto, bem como para dividir os produtos de senos e cossenos em uma soma. Depois de concluir esses exercícios, você dominará completamente a habilidade de derivar fórmulas trigonométricas e não se perderá nem mesmo nos testes, olimpíadas ou testes mais difíceis.
Perguntas mais frequentes
É possível carimbar um documento conforme modelo fornecido? Responder Sim, é possível. Envie uma cópia digitalizada ou foto para nosso endereço de e-mail boa qualidade, e faremos a duplicata necessária.
Que tipos de pagamento você aceita?
Responder O pagamento do documento poderá ser efetuado no ato do recebimento pelo transportador, após verificação da regularidade do preenchimento e qualidade de execução do diploma. Isso também pode ser feito nos escritórios das empresas postais que oferecem serviços de pagamento na entrega.
Todas as condições de entrega e pagamento dos documentos estão descritas na seção “Pagamento e Entrega”. Também estamos prontos para ouvir suas sugestões quanto às condições de entrega e pagamento do documento.
Posso ter certeza de que depois de fazer um pedido você não desaparecerá com meu dinheiro? Responder Temos uma longa experiência na área de produção de diplomas. Temos vários sites que são constantemente atualizados. Nossos especialistas atuam em diversos pontos do país, produzindo mais de 10 documentos por dia. Ao longo dos anos, os nossos documentos ajudaram muitas pessoas a resolver problemas de emprego ou a mudar para empregos com salários mais elevados. Conquistamos confiança e reconhecimento entre os clientes, portanto não há absolutamente nenhuma razão para fazermos isso. Além disso, isso é simplesmente impossível de fazer fisicamente: você paga o seu pedido no momento em que o recebe em mãos, não há pré-pagamento.
Posso solicitar um diploma de qualquer universidade? Responder Em geral, sim. Trabalhamos nesta área há quase 12 anos. Nesse período, formou-se um banco de dados quase completo de documentos emitidos por quase todas as universidades do país e de outros países. anos diferentes emissão. Tudo que você precisa é selecionar uma universidade, especialidade, documento e preencher o formulário de pedido.
O que fazer se você encontrar erros de digitação e erros em um documento?
Responder Ao receber um documento do nosso transportador ou empresa postal, recomendamos que verifique cuidadosamente todos os detalhes. Se for constatado erro de digitação, erro ou imprecisão, você tem o direito de não retirar o diploma, mas deverá indicar pessoalmente os defeitos detectados ao transportador ou ao por escrito enviando uma carta para e-mail.
Corrigiremos o documento o mais rápido possível e o reenviaremos para o endereço especificado. Claro, o frete será pago pela nossa empresa.
Para evitar tais mal-entendidos, antes de preencher o formulário original, enviamos por e-mail ao cliente uma maquete do futuro documento para verificação e aprovação da versão final. Antes de enviar um documento por correio ou correio, também fazemos foto adicional e vídeo (inclusive em luz ultravioleta) para que você tenha uma ideia clara do que vai conseguir no final.
O que devo fazer para solicitar um diploma da sua empresa?
Responder Para solicitar um documento (certificado, diploma, certificado acadêmico etc.) você precisa preencher o formulário de pedido on-line em nosso site ou fornecer seu e-mail para que possamos enviar um formulário de inscrição que você precisa preencher e enviar de volta para nós.
Caso não saiba o que indicar em algum campo do formulário de pedido/questionário, deixe-os em branco. Portanto, esclareceremos todas as informações faltantes por telefone.
Últimas avaliações
Alexei:
Eu precisava adquirir um diploma para conseguir um emprego como gerente. E o mais importante é que tenho experiência e habilidades, mas não consigo emprego sem documento. Assim que encontrei seu site, finalmente decidi comprar um diploma. O diploma foi concluído em 2 dias!! Agora tenho um emprego que nunca sonhei antes!! Obrigado!
Os conceitos de seno (), cosseno (), tangente (), cotangente () estão inextricavelmente ligados ao conceito de ângulo. Para compreender bem estes conceitos, à primeira vista, complexos (que causam um estado de horror em muitos alunos), e para ter a certeza de que “o diabo não é tão terrível como é pintado”, comecemos pelo desde o começo e entender o conceito de ângulo.
Conceito de ângulo: radiano, grau
Vejamos a foto. O vetor “girou” em relação ao ponto em uma certa quantidade. Portanto, a medida desta rotação em relação à posição inicial será canto.
O que mais você precisa saber sobre o conceito de ângulo? Bem, é claro, unidades angulares!
O ângulo, tanto na geometria quanto na trigonometria, pode ser medido em graus e radianos.
Ângulo (um grau) é o ângulo central em um círculo subentendido por um arco circular igual a parte do círculo. Assim, todo o círculo consiste em “pedaços” de arcos circulares, ou seja, o ângulo descrito pelo círculo é igual.
Ou seja, a figura acima mostra um ângulo igual a, ou seja, esse ângulo repousa sobre um arco circular do tamanho da circunferência.
Um ângulo em radianos é o ângulo central de um círculo subentendido por um arco circular cujo comprimento é igual ao raio do círculo. Bem, você descobriu? Se não, vamos descobrir no desenho.
Assim, a figura mostra um ângulo igual a um radiano, ou seja, esse ângulo repousa sobre um arco circular, cujo comprimento é igual ao raio do círculo (o comprimento é igual ao comprimento ou o raio é igual ao comprimento do arco). Assim, o comprimento do arco é calculado pela fórmula:
Onde está o ângulo central em radianos.
Bem, sabendo disso, você consegue responder quantos radianos estão contidos no ângulo descrito pelo círculo? Sim, para isso você precisa se lembrar da fórmula da circunferência. Aqui está:
Bem, agora vamos correlacionar estas duas fórmulas e descobrir que o ângulo descrito pela circunferência é igual. Ou seja, correlacionando o valor em graus e radianos, obtemos isso. Respectivamente, . Como você pode ver, ao contrário de “graus”, a palavra “radiano” é omitida, uma vez que a unidade de medida geralmente fica clara no contexto.
Quantos radianos existem? Isso mesmo!
Entendi? Então vá em frente e corrija:
Está com dificuldades? Então olhe respostas:
Triângulo retângulo: seno, cosseno, tangente, cotangente do ângulo
Então, descobrimos o conceito de ângulo. Mas o que é seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo? Vamos descobrir. Para fazer isso, um triângulo retângulo nos ajudará.
Como são chamados os lados de um triângulo retângulo? Isso mesmo, hipotenusa e pernas: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (no nosso exemplo é o lado); pernas são os dois lados restantes e (aqueles adjacentes a ângulo reto), e, se considerarmos os catetos em relação ao ângulo, então o cateto é o cateto adjacente e o cateto é o oposto. Então, agora vamos responder à pergunta: o que são seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo?
Seno do ângulo- esta é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.
Em nosso triângulo.
Cosseno do ângulo- esta é a razão entre a perna adjacente (próxima) e a hipotenusa.
Em nosso triângulo.
Tangente do ângulo- esta é a razão entre o lado oposto (distante) e o adjacente (próximo).
Em nosso triângulo.
Cotangente do ângulo- esta é a proporção entre a perna adjacente (próxima) e a oposta (distante).
Em nosso triângulo.
Essas definições são necessárias lembrar! Para tornar mais fácil lembrar qual perna dividir em quê, você precisa entender claramente que em tangente E co-tangente apenas as pernas ficam sentadas, e a hipotenusa aparece apenas em seio E cosseno. E então você pode criar uma cadeia de associações. Por exemplo, este:
Cosseno→toque→toque→adjacente;
Cotangente→toque→toque→adjacente.
Em primeiro lugar, é preciso lembrar que seno, cosseno, tangente e cotangente como as proporções dos lados de um triângulo não dependem dos comprimentos desses lados (no mesmo ângulo). Não acredite em mim? Então certifique-se olhando a foto:
Considere, por exemplo, o cosseno de um ângulo. Por definição, de um triângulo: , mas podemos calcular o cosseno de um ângulo de um triângulo: . Veja, os comprimentos dos lados são diferentes, mas o valor do cosseno de um ângulo é o mesmo. Assim, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dependem unicamente da magnitude do ângulo.
Se você entende as definições, vá em frente e consolide-as!
Para o triângulo mostrado na figura abaixo, encontramos.
Bem, você entendeu? Então tente você mesmo: calcule o mesmo para o ângulo.
Círculo unitário (trigonométrico)
Compreendendo os conceitos de graus e radianos, consideramos um círculo com raio igual a. Tal círculo é chamado solteiro. Será muito útil ao estudar trigonometria. Portanto, vamos examinar isso com um pouco mais de detalhes.
Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem das coordenadas, a posição inicial do vetor raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo (no nosso exemplo, este é o raio).
Cada ponto do círculo corresponde a dois números: a coordenada do eixo e a coordenada do eixo. Quais são esses números de coordenadas? E em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, precisamos nos lembrar do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere um triângulo. É retangular porque é perpendicular ao eixo.
A que é igual o triângulo? Isso mesmo. Além disso, sabemos que é o raio do círculo unitário, o que significa. Vamos substituir esse valor em nossa fórmula para cosseno. Aqui está o que acontece:
A que é igual o triângulo? Bem, é claro! Substitua o valor do raio nesta fórmula e obtenha:
Então, você pode dizer quais são as coordenadas de um ponto pertencente a um círculo? Bem, de jeito nenhum? E se você perceber isso e for apenas números? A que coordenada corresponde? Bem, claro, as coordenadas! E a que coordenada corresponde? Isso mesmo, coordenadas! Assim, ponto final.
O que então são e iguais? Isso mesmo, vamos usar as definições correspondentes de tangente e cotangente e obter isso, a.
E se o ângulo for maior? Por exemplo, como nesta imagem:
O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, vamos voltar novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo: ângulo (como adjacente a um ângulo). Quais são os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo? É isso mesmo, seguimos as definições correspondentes de funções trigonométricas:
Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, estas relações aplicam-se a qualquer rotação do vetor raio.
Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio está ao longo da direção positiva do eixo. Até agora giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado valor, mas só será negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.
Então, sabemos que uma revolução completa do vetor raio em torno de um círculo é ou. É possível girar o vetor raio para ou para? Bem, é claro que você pode! No primeiro caso, portanto, o vetor raio fará uma revolução completa e parará na posição ou.
No segundo caso, ou seja, o vetor raio dará três voltas completas e parará na posição ou.
Assim, a partir dos exemplos acima podemos concluir que ângulos que diferem em ou (onde é qualquer número inteiro) correspondem à mesma posição do vetor raio.
A figura abaixo mostra um ângulo. A mesma imagem corresponde ao canto, etc. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos pela fórmula geral ou (onde é qualquer número inteiro)
Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e utilizando o círculo unitário, tente responder quais são os valores:
Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:
Está com dificuldades? Então vamos descobrir. Então sabemos que:
A partir daqui determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a determinadas medidas de ângulos. Bom, vamos começar pela ordem: o ângulo em corresponde a um ponto com coordenadas, portanto:
Não existe;
Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos B correspondem a pontos com coordenadas, respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Experimente primeiro e depois verifique as respostas.
Respostas:
Não existe
Não existe
Não existe
Não existe
Assim, podemos fazer a seguinte tabela:
Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos do círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:
Mas os valores das funções trigonométricas dos ângulos em e, dados na tabela abaixo, deve ser lembrado:
Não tenha medo, agora vamos mostrar um exemplo bastante simples de lembrar os valores correspondentes:
Para utilizar este método, é vital lembrar os valores do seno para todas as três medidas do ângulo (), bem como o valor da tangente do ângulo. Conhecendo esses valores, é bastante simples restaurar toda a tabela - os valores do cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:
Sabendo disso, você pode restaurar os valores de. O numerador " " corresponderá e o denominador " " corresponderá. Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas indicadas na figura. Se você entender isso e se lembrar do diagrama com as setas, será suficiente lembrar todos os valores da tabela.
Coordenadas de um ponto em um círculo
É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecer as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação?
Bem, é claro que você pode! Vamos tirar isso fórmula geral encontrar as coordenadas de um ponto.
Por exemplo, aqui está um círculo à nossa frente:
Sabemos que o ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas de um ponto obtido girando o ponto em graus.
Como pode ser visto na figura, a coordenada do ponto corresponde ao comprimento do segmento. O comprimento do segmento corresponde à coordenada do centro do círculo, ou seja, é igual. O comprimento de um segmento pode ser expresso usando a definição de cosseno:
Então temos isso para a coordenada do ponto.
Usando a mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto. Por isso,
Então, em visão geral as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:
Coordenadas do centro do círculo,
Raio do círculo,
O ângulo de rotação do raio do vetor.
Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são iguais a zero e o raio é igual a um:
Bem, vamos experimentar essas fórmulas praticando a localização de pontos em um círculo?
1. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.
2. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.
3. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.
4. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.
5. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.
Está tendo problemas para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo?
Resolva estes cinco exemplos (ou seja bom em resolvê-los) e você aprenderá a encontrá-los!
1.
Você pode notar isso. Mas sabemos o que corresponde a uma revolução completa do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:
2. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Você pode notar isso. Sabemos o que corresponde a duas revoluções completas do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:
Seno e cosseno são valores da tabela. Lembramos seus significados e obtemos:
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
3. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Você pode notar isso. Vamos representar o exemplo em questão na figura:
O raio forma ângulos iguais e com o eixo. Sabendo que os valores tabulares de cosseno e seno são iguais, e tendo determinado que o cosseno aqui assume um valor negativo e o seno assume um valor positivo, temos:
Tais exemplos são discutidos com mais detalhes ao estudar as fórmulas para redução de funções trigonométricas no tópico.
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
4.
Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição)
Para determinar os sinais correspondentes de seno e cosseno, construímos um círculo unitário e um ângulo:
Como você pode ver, o valor, isto é, é positivo, e o valor, isto é, é negativo. Conhecendo os valores tabulares das funções trigonométricas correspondentes, obtemos que:
Vamos substituir os valores obtidos em nossa fórmula e encontrar as coordenadas:
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
5. Para resolver este problema, usamos fórmulas de forma geral, onde
Coordenadas do centro do círculo (no nosso exemplo,
Raio do círculo (por condição)
Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição).
Substitua todos os valores na fórmula e obtenha:
e - valores da tabela. Vamos lembrar e substituí-los na fórmula:
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.
O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente (próximo) e a hipotenusa.
A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto (distante) e o lado adjacente (próximo).
A cotangente de um ângulo é a razão entre o lado adjacente (próximo) e o lado oposto (distante).
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