Ao converter raízes aritméticas, suas propriedades são usadas (ver parágrafo 35).
Vejamos vários exemplos de uso das propriedades das raízes aritméticas para as transformações mais simples de radicais. Neste caso, consideraremos que todas as variáveis assumem apenas valores não negativos.
Exemplo 1. Extraia a raiz do produto Solução. Aplicando a propriedade 1°, obtemos:
Exemplo 2. Remova o multiplicador sob o sinal da raiz
Solução.
Essa transformação é chamada de remoção do fator sob o sinal da raiz. O objetivo da transformação é simplificar a expressão radical.
Exemplo 3: Simplifique
Solução. Pela propriedade 3° temos Normalmente eles tentam simplificar a expressão radical, para a qual retiram os fatores do sinal da raiz. Nós temos
Exemplo 4: Simplifique
Solução. Vamos transformar a expressão introduzindo um fator sob o sinal da raiz: Pela propriedade 4° temos
Exemplo 5: Simplifique
Solução. Pela propriedade de 5°, temos o direito de dividir o expoente da raiz e o expoente da expressão radical na mesma coisa número natural. Se no exemplo em consideração dividirmos os indicadores indicados por 3, obtemos
Exemplo 6. Simplifique expressões: a)
Solução, a) Pela propriedade 1° descobrimos que para multiplicar raízes de mesmo grau, basta multiplicar as expressões radicais e extrair a raiz de mesmo grau do resultado obtido. Significa,
b) Em primeiro lugar, devemos reduzir os radicais a um indicador. De acordo com a propriedade de 5°, podemos multiplicar o expoente da raiz e o expoente da expressão radical pelo mesmo número natural. Portanto, a seguir temos E agora no resultado resultante, dividindo os expoentes da raiz e do grau da expressão radical por 3, obtemos
As propriedades das raízes fundamentam as próximas duas transformações, chamadas trazê-las sob o sinal da raiz e retirá-las do sinal da raiz, às quais nos voltaremos agora.
Inserindo um multiplicador sob o sinal da raiz
A introdução de um fator sob o sinal implica substituir a expressão , onde B e C são alguns números ou expressões, e n é um número natural maior que um, por uma expressão identicamente igual da forma ou .
Por exemplo, uma expressão irracional após a introdução de um fator 2 sob o sinal da raiz assume a forma.
Os fundamentos teóricos desta transformação, as regras para a sua implementação, bem como as soluções para diversos exemplos típicos dado no artigo que introduz um multiplicador sob o sinal da raiz.
Removendo o multiplicador sob o sinal da raiz
Transformação em em certo sentido O inverso de adicionar um multiplicador sob o sinal da raiz é retirar o multiplicador sob o sinal da raiz. Consiste em representar a raiz como produto de n ímpar ou como produto de n par, onde B e C são alguns números ou expressões.
Por exemplo, voltemos ao parágrafo anterior: a expressão irracional, após retirar o fator abaixo do sinal da raiz, assume a forma . Outro exemplo: remover o fator abaixo do sinal da raiz na expressão dá o produto, que pode ser reescrito como.
Em que se baseia essa transformação e por quais regras ela é realizada, examinaremos em um artigo separado a remoção do multiplicador sob o sinal da raiz. Lá também daremos soluções para exemplos e listaremos maneiras de reduzir uma expressão radical a uma forma conveniente para multiplicação.
Convertendo frações contendo raízes
Expressões irracionais podem conter frações que possuem raízes no numerador e no denominador. Com essas frações você pode realizar qualquer uma das operações básicas transformações de identidade de frações.
Em primeiro lugar, nada impede que você trabalhe com expressões no numerador e no denominador. Como exemplo, considere a fração. A expressão irracional no numerador é obviamente igual a e, voltando-se para as propriedades das raízes, a expressão no denominador pode ser substituída pela raiz. Como resultado, a fração original é convertida para a forma .
Segundo, você pode alterar o sinal antes de uma fração alterando o sinal do numerador ou denominador. Por exemplo, ocorrem as seguintes transformações de uma expressão irracional: 
.
Em terceiro lugar, por vezes é possível e aconselhável reduzir uma fracção. Por exemplo, como negar a si mesmo o prazer de reduzir uma fração 
para a expressão irracional, como resultado obtemos 
.
É claro que em muitos casos, antes de reduzir uma fração, é necessário fatorar as expressões em seu numerador e denominador, o que em casos simples pode ser conseguido por fórmulas de multiplicação abreviadas. E às vezes ajuda reduzir uma fração substituindo uma variável, o que permite passar da fração original com irracionalidade para uma fração racional, que é mais confortável e familiar para trabalhar.
Por exemplo, tomemos a expressão . Vamos introduzir novas variáveis e, nessas variáveis, a expressão original tem a forma. Tendo realizado no numerador
O artigo revela o significado expressões irracionais e transformações com eles. Consideremos o próprio conceito de expressões irracionais, transformações e expressões características.
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O que são expressões irracionais?
Ao introduzir raízes na escola, estudamos o conceito de expressões irracionais. Tais expressões estão intimamente relacionadas às raízes.
Definição 1
Expressões irracionais são expressões que possuem raiz. Ou seja, são expressões que possuem radicais.
Baseado em esta definição, temos que x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 são todas expressões do tipo irracional.
Ao considerar a expressão x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 descobrimos que a expressão é racional. Expressões racionais incluem polinômios e frações algébricas. Os irracionais incluem trabalhar com expressões logarítmicas ou expressões radicais.
Principais tipos de transformações de expressões irracionais
Ao calcular tais expressões, é necessário estar atento ao DZ. Muitas vezes eles exigem transformações adicionais na forma de abertura de parênteses, trazendo membros semelhantes, agrupamentos e assim por diante. A base de tais transformações são as operações com números. As transformações de expressões irracionais seguem uma ordem estrita.
Exemplo 1
Transforme a expressão 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Solução
É necessário substituir o número 9 por uma expressão contendo a raiz. Então nós entendemos isso
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
A expressão resultante possui termos semelhantes, então vamos realizar a redução e o agrupamento. Nós conseguimos
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Responder: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Exemplo 2
Apresente a expressão x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 como um produto de dois irracionais usando fórmulas de multiplicação abreviadas.
Soluções
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Representamos 9 na forma de 3 2 e aplicamos a fórmula para a diferença de quadrados:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
O resultado de transformações idênticas levou ao produto de duas expressões racionais que precisavam ser encontradas.
Responder:
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Você pode realizar diversas outras transformações que se aplicam a expressões irracionais.
Convertendo uma Expressão Radical
O importante é que a expressão sob o sinal da raiz possa ser substituída por outra que lhe seja identicamente igual. Esta afirmação permite trabalhar com uma expressão radical. Por exemplo, 1 + 6 pode ser substituído por 7 ou 2 · a 5 4 - 6 por 2 · a 4 · a 4 - 6 . Eles são identicamente iguais, então a substituição faz sentido.
Quando não há a 1 diferente de a, onde uma desigualdade da forma a n = a 1 n é válida, então tal igualdade só é possível para a = a 1. Os valores de tais expressões são iguais a quaisquer valores das variáveis.
Usando propriedades raiz
As propriedades das raízes são usadas para simplificar expressões. Para aplicar a propriedade a · b = a · b, onde a ≥ 0, b ≥ 0, então da forma irracional 1 + 3 · 12 pode se tornar identicamente igual a 1 + 3 · 12. Propriedade. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , onde a ≥ 0 significa que x 2 + 4 4 3 pode ser escrito na forma x 2 + 4 24 .
Existem algumas nuances ao converter expressões radicais. Se houver uma expressão, então - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 não podemos escrevê-la, pois a fórmula a b n = a n b n serve apenas para a não negativo e b positivo. Se a propriedade for aplicada corretamente, o resultado será uma expressão no formato 7 4 81 4 .
Para a transformação correta, são utilizadas transformações de expressões irracionais usando as propriedades das raízes.
Inserindo um multiplicador sob o sinal da raiz
Definição 3Coloque sob o sinal da raiz- significa substituir a expressão B · C n, e B e C são alguns números ou expressões, onde n é um número natural maior que 1, por uma expressão igual que se parece com B n · C n ou - B n · C n.
Se simplificarmos a expressão na forma 2 x 3, depois de adicioná-la à raiz, obteremos 2 3 x 3. Tais transformações só são possíveis após um estudo detalhado das regras para a introdução de um multiplicador sob o sinal da raiz.
Removendo o multiplicador sob o sinal da raiz
Se houver uma expressão da forma B n · C n , então ela é reduzida à forma B · C n , onde existem n ímpares , que assumem a forma B · C n com n par , sendo B e C alguns números e expressões.
Ou seja, se tomarmos uma expressão irracional da forma 2 3 x 3, removermos o fator da raiz, obteremos a expressão 2 x 3. Ou x + 1 2 · 7 resultará em uma expressão da forma x + 1 · 7, que possui outra notação da forma x + 1 · 7.
Remover o multiplicador da raiz é necessário para simplificar a expressão e convertê-la rapidamente.
Convertendo frações contendo raízes
Uma expressão irracional pode ser um número natural ou uma fração. Para converter expressões fracionárias, preste muita atenção ao seu denominador. Se tomarmos uma fração da forma (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, então o numerador assumirá a forma 5 x 4 e, usando as propriedades das raízes, descobrimos que o denominador se tornará x 2 + 5 6. A fração original pode ser escrita como 5 x 4 x 2 + 5 6.
É preciso atentar para o fato de que é necessário alterar o sinal apenas do numerador ou apenas do denominador. Nós entendemos isso
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
A redução de uma fração é mais frequentemente usada na simplificação. Nós entendemos isso
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 reduza em x + 4 3 - 1 . Obtemos a expressão 3 x x + 4 3 - 1 2.
Antes da redução é necessário realizar transformações que simplifiquem a expressão e possibilitem fatorar expressão complexa. Fórmulas de multiplicação abreviadas são usadas com mais frequência.
Se tomarmos uma fração da forma 2 · x - y x + y, então é necessário introduzir novas variáveis u = x e v = x, então a expressão dada mudará de forma e se tornará 2 · u 2 - v 2 u + v. O numerador deve ser decomposto em polinômios de acordo com a fórmula, então obtemos que
2 · você 2 - v 2 você + v = 2 · (u - v) · você + v você + v = 2 · você - v . Após realizar a substituição inversa, chegamos à forma 2 x - y, que é igual à original.
É permitida a redução para um novo denominador, então é necessário multiplicar o numerador por um fator adicional. Se pegarmos uma fração da forma x 3 - 1 0, 5 · x, então a reduzimos ao denominador x. para fazer isso, você precisa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão 2 x, então obtemos a expressão x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .
A redução de frações ou a redução de frações semelhantes é necessária apenas na ODZ da fração especificada. Quando multiplicamos o numerador e o denominador por uma expressão irracional, descobrimos que nos livramos da irracionalidade no denominador.
Livrar-se da irracionalidade no denominador
Quando uma expressão se livra da raiz do denominador por transformação, isso é chamado de se livrar da irracionalidade. Vejamos o exemplo de uma fração da forma x 3 3. Depois de nos livrarmos da irracionalidade, obtemos uma nova fração da forma 9 3 x 3.
Transição das raízes para os poderes
As transições das raízes para as potências são necessárias para transformar rapidamente as expressões irracionais. Se considerarmos a igualdade a m n = a m n , podemos ver que seu uso é possível quando a é um número positivo, m é um número inteiro e n é um número natural. Se considerarmos a expressão 5 - 2 3, caso contrário, temos o direito de escrevê-la como 5 - 2 3. Essas expressões são equivalentes.
Quando a raiz contém um número negativo ou um número com variáveis, a fórmula a m n = a m n nem sempre é aplicável. Se você precisar substituir essas raízes (- 8) 3 5 e (- 16) 2 4 por potências, então obtemos que - 8 3 5 e - 16 2 4 pela fórmula a m n = a m n não trabalhamos com a negativo. Para analisar detalhadamente o tema das expressões radicais e suas simplificações, é necessário estudar o artigo sobre a transição das raízes às potências e vice-versa. Deve-se lembrar que a fórmula a m n = a m n não é aplicável a todas as expressões deste tipo. Livrar-se da irracionalidade contribui para uma maior simplificação da expressão, sua transformação e solução.
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Expressões contendo um sinal radical (raiz) são chamadas de irracionais.
Raiz aritmética grau natural$n$ de um número não negativo a é chamado de certo número não negativo, quando elevado à potência $n$, o número $a$ é obtido.
$(√^n(a))^n=a$
Na notação $√^n(a)$, “a” é chamado de número radical, $n$ é o expoente da raiz ou radical.
Propriedades das $n$ésimas raízes para $a≥0$ e $b≥0$:
1. A raiz do produto é igual ao produto das raízes
$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$
Calcule $√^5(5)∙√^5(625)$
A raiz de um produto é igual ao produto das raízes e vice-versa: o produto das raízes com o mesmo expoente da raiz é igual à raiz do produto das expressões radicais
$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. A raiz de uma fração é uma raiz separada do numerador e uma raiz separada do denominador
$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, para $b≠0$
3. Quando uma raiz é elevada a uma potência, a expressão radical é elevada a esta potência
$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$
4. Se $a≥0$ e $n,k$ são números naturais maiores que $1$, então a igualdade é verdadeira.
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
5. Se os expoentes da raiz e da expressão radical forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, o valor da raiz não mudará.
$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$
6. A raiz de uma potência ímpar pode ser extraída de positivo e números negativos, e a raiz de um grau par é apenas positiva.
7. Qualquer raiz pode ser representada como uma potência com um expoente fracionário (racional).
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Encontre o valor da expressão $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ para $s>0$
A raiz do produto é igual ao produto das raízes
$(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$
Podemos extrair raízes de números imediatamente
$(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(s)))/(2∙ √^11(√с))$
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
$(3∙√(√^11(s)))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(s))/(2∙√^22(s))$
Reduzimos as raízes $22$ de $с$ e obtemos $(3)/(2)=1,5$
Resposta: $ 1,5 $
Se para um radical com expoente par não conhecemos o sinal da expressão radical, então ao extrair a raiz sai o módulo da expressão radical.
Encontre o valor da expressão $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ em $7< c < 9$
Se não houver nenhum indicador acima da raiz, isso significa que estamos trabalhando com raiz quadrada. Seu indicador é dois, ou seja, honesto. Se para um radical com expoente par não conhecemos o sinal da expressão radical, então ao extrair a raiz sai o módulo da expressão radical.
$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$
Vamos determinar o sinal da expressão sob o sinal do módulo com base na condição $7< c < 9$
Para verificar, pegue qualquer número de um determinado intervalo, por exemplo, $8$
Vamos verificar o sinal de cada módulo
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$
Propriedades de potências com expoente racional:
1. Ao multiplicar potências com as mesmas bases, a base permanece a mesma e os expoentes são somados.
$a^n∙a^m=a^(n+m)$
2. Ao elevar um grau a uma potência, a base permanece a mesma, mas os expoentes são multiplicados
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
3. Ao elevar um produto a uma potência, cada fator é elevado a esta potência
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. Ao elevar uma fração a uma potência, o numerador e o denominador são elevados a esta potência
As transformações idênticas de expressões são uma das linhas de conteúdo do curso de matemática escolar. Transformações idênticas são amplamente utilizadas na resolução de equações, inequações, sistemas de equações e inequações. Além disso, transformações idênticas de expressões contribuem para o desenvolvimento da inteligência, flexibilidade e racionalidade de pensamento.
Os materiais propostos destinam-se a alunos do 8º ano e incluem os fundamentos teóricos das transformações idênticas de expressões racionais e irracionais, tipos de tarefas para a transformação de tais expressões e o texto da prova.
1. Fundamentos teóricos das transformações identitárias
Expressões em álgebra são registros que consistem em números e letras conectados por sinais de ação.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – expressões algébricas.
Dependendo das operações, as expressões racionais e irracionais são diferenciadas.
Expressões algébricas são chamadas de racionais se forem relativas às letras nelas incluídas UM, b, Com, ... nenhuma outra operação é executada exceto adição, multiplicação, subtração, divisão e exponenciação.
Expressões algébricas contendo operações para extrair a raiz de uma variável ou elevar uma variável a uma potência racional que não seja um número inteiro são chamadas de irracionais em relação a esta variável.
Uma transformação de identidade de uma determinada expressão é a substituição de uma expressão por outra que seja identicamente igual a ela em um determinado conjunto.
Os seguintes fatos teóricos fundamentam transformações idênticas de expressões racionais e irracionais.
1. Propriedades de graus com expoente inteiro:
, n SOBRE; UM 1=UM;
, n SOBRE, UM¹0; UM 0=1, UM¹0;
, UM¹0;
, UM¹0;
, UM¹0;
, UM¹0, b¹0;
, UM¹0, b¹0.
2. Fórmulas de multiplicação abreviadas:
Onde UM, b, Com– quaisquer números reais;
Onde UM¹0, X 1 e X 2 – raízes da equação 
.
3. A principal propriedade das frações e ações sobre frações:
, Onde b¹0, Com¹0;
; 
;
4. Definição de raiz aritmética e suas propriedades:
; , b#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
Onde UM, b– números não negativos, n SOBRE, n³2, eu SOBRE, eu³2.
1. Tipos de exercícios de conversão de expressões
Há vários tipos exercícios sobre transformações idênticas de expressões. Primeiro tipo: a conversão que precisa ser executada é especificada explicitamente.
Por exemplo.
1. Represente-o como um polinômio.
Ao realizar esta transformação, utilizamos as regras de multiplicação e subtração de polinômios, a fórmula de multiplicação abreviada e a redução de termos semelhantes.
2. Fatore em: 
.
Ao realizar a transformação, utilizamos a regra de colocar o fator comum fora dos colchetes e 2 fórmulas de multiplicação abreviadas.
3. Reduza a fração:
.
Ao realizar a transformação, utilizamos a retirada do fator comum dos colchetes, leis comutativas e contráteis, 2 fórmulas abreviadas de multiplicação e operações sobre potências.
4. Remova o fator sob o sinal da raiz se UM³0, b³0, Com³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Usamos as regras para ações nas raízes e a definição do módulo de um número.
5. Elimine a irracionalidade no denominador de uma fração. 
.
Segundo tipo exercícios são exercícios nos quais está claramente indicada a principal transformação que precisa ser realizada. Nesses exercícios, o requisito geralmente é formulado em uma das seguintes formas: simplificar a expressão, calcular. Ao realizar tais exercícios, é necessário antes de tudo identificar quais e em que ordem as transformações precisam ser realizadas para que a expressão assuma uma forma mais compacta que a dada, ou seja obtido um resultado numérico.
Por exemplo
6. Simplifique a expressão:
Solução:
.
Regras de ação usadas frações algébricas e fórmulas de multiplicação abreviadas.
7. Simplifique a expressão:
.
Se UM³0, b³0, UM¹ b.
Usamos fórmulas de multiplicação abreviadas, regras para somar frações e multiplicar expressões irracionais, a identidade https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Usamos a operação de seleção de um quadrado completo, a identidade https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, se .
Prova:
Desde , então e ou ou ou , ou seja .
Usamos a condição e a fórmula para a soma dos cubos.
Deve-se ter em mente que as condições que conectam as variáveis também podem ser especificadas nos exercícios dos dois primeiros tipos.
Por exemplo.
10. Descubra se.
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