No início deste artigo, examinamos o conceito de funções trigonométricas. Seu principal objetivo é estudar os fundamentos da trigonometria e estudar processos periódicos. E não foi em vão que desenhamos o círculo trigonométrico, porque na maioria dos casos as funções trigonométricas são definidas como a razão entre os lados de um triângulo ou seus determinados segmentos em um círculo unitário. Também mencionei a importância inegavelmente enorme da trigonometria na vida moderna. Mas a ciência não fica parada, como resultado podemos expandir significativamente o escopo da trigonometria e transferir suas disposições para números reais e às vezes complexos.
Fórmulas trigonométricas Existem vários tipos. Vamos examiná-los em ordem.
Razões de funções trigonométricas do mesmo ângulo
Expressando funções trigonométricas entre si
(a escolha do sinal na frente da raiz é determinada por qual dos quartos do círculo o canto está localizado?)
A seguir estão as fórmulas para adicionar e subtrair ângulos:
Fórmulas para ângulos duplos, triplos e meios.
Noto que todos eles derivam das fórmulas anteriores.
Fórmulas para converter expressões trigonométricas:
Aqui chegamos a considerar um conceito como básico identidades trigonométricas .
Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que consiste em relações trigonométricas e que é satisfeita para todos os valores dos ângulos nela incluídos.
Vejamos as identidades trigonométricas mais importantes e suas provas:
A primeira identidade decorre da própria definição de tangente.
Pegue um triângulo retângulo que tem um ângulo agudo x no vértice A.
Para provar as identidades, você precisa usar o teorema de Pitágoras:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Agora dividimos ambos os lados da igualdade por (AB) 2 e lembrando as definições do ângulo sen e cos, obtemos a segunda identidade:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sen x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
sen 2 x + cos 2 x = 1
Para provar a terceira e quarta identidades, utilizamos a prova anterior.
Para fazer isso, divida ambos os lados da segunda identidade por cos 2 x:
sen 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sen 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Com base na primeira identidade tg x = sin x /cos x obtemos a terceira:
1 + bronzeado 2 x = 1/cos 2 x
Agora vamos dividir a segunda identidade por sen 2 x:
sen 2 x/ sen 2 x + cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x
1+ cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x
cos 2 x/ sen 2 x nada mais é do que 1/tg 2 x, então obtemos a quarta identidade:
1 + 1/tg 2 x = 1/sen 2 x
É hora de lembrar o teorema da soma cantos internos triângulo, que afirma que a soma dos ângulos de um triângulo = 180 0. Acontece que no vértice B do triângulo existe um ângulo cujo valor é 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.
Vamos relembrar novamente as definições de sen e cos e obter a quinta e a sexta identidades:
sen x = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = sen x
Agora vamos fazer o seguinte:
cos x = (AC)/(AB)
sen(90 0 – x) = (AC)/(AB)
pecado(90 0 – x) = cos x
Como você pode ver, tudo é elementar aqui.
Existem outras identidades que são usadas na resolução de identidades matemáticas, vou fornecê-las simplesmente na forma informações de referência, porque todos eles decorrem do acima.
sen 2x = 2 sen x*cos x
cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1
tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sen3x =3 sen x - 4 sen 3 x
cos3х =4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)
As relações entre as funções trigonométricas básicas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são fornecidas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem reduzir o grau, a quarta - expressa todas as funções através da tangente de um meio ângulo, etc.
Neste artigo listaremos em ordem todos os principais fórmulas trigonométricas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e uso, iremos agrupá-los por finalidade e inseri-los em tabelas.
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Identidades trigonométricas básicas
Identidades trigonométricas básicas defina a relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem expressar uma função trigonométrica em termos de qualquer outra.
Para uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.
Fórmulas de redução
Fórmulas de redução decorrem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria, bem como a propriedade de deslocamento em um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.
A justificativa para essas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.
Fórmulas de adição
Fórmulas de adição trigonométrica mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos de funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem de base para derivar as seguintes fórmulas trigonométricas.
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (também são chamadas de fórmulas de ângulos múltiplos) mostram como funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.
Informações mais detalhadas são coletadas no artigo Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo
Fórmulas de meio ângulo
Fórmulas de meio ângulo mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas decorrem das fórmulas de ângulo duplo.
Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.
Fórmulas de redução de grau
Fórmulas trigonométricas para redução de graus destinam-se a facilitar a transição de graus naturais funções trigonométricas para senos e cossenos de primeiro grau, mas vários ângulos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas às primeiras.
Fórmulas para soma e diferença de funções trigonométricas
Objetivo principal fórmulas para a soma e diferença de funções trigonométricasé ir para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são amplamente utilizadas na resolução de equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.
Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno
A transição do produto das funções trigonométricas para uma soma ou diferença é realizada por meio das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.
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Neste artigo daremos uma olhada abrangente. Identidades trigonométricas básicas são igualdades que estabelecem uma conexão entre o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente de um ângulo e permitem encontrar qualquer uma dessas funções trigonométricas através de outra conhecida.
Listemos imediatamente as principais identidades trigonométricas que analisaremos neste artigo. Vamos anotá-los em uma tabela, e a seguir daremos o resultado dessas fórmulas e daremos as explicações necessárias.
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Relação entre seno e cosseno de um ângulo
Às vezes eles não falam sobre as principais identidades trigonométricas listadas na tabela acima, mas sobre uma única identidade trigonométrica básica tipo 
. A explicação para este fato é bastante simples: as igualdades são obtidas a partir da identidade trigonométrica principal após a divisão de ambas as suas partes por e respectivamente, e as igualdades 
E 
siga as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Falaremos sobre isso com mais detalhes nos parágrafos seguintes.
Ou seja, é de particular interesse a igualdade, que recebeu o nome de identidade trigonométrica principal.
Antes de provar a identidade trigonométrica básica, damos a sua formulação: a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é identicamente igual a um. Agora vamos provar isso.
A identidade trigonométrica básica é frequentemente usada quando convertendo expressões trigonométricas. Permite que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo seja substituída por um. Não menos frequentemente, a identidade trigonométrica básica é usada na ordem inversa: a unidade é substituída pela soma dos quadrados do seno e do cosseno de qualquer ângulo.
Tangente e cotangente através de seno e cosseno
Identidades conectando tangente e cotangente com seno e cosseno de um ângulo de visão e 
siga imediatamente das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Na verdade, por definição, seno é a ordenada de y, cosseno é a abscissa de x, tangente é a razão entre a ordenada e a abscissa, ou seja, 
, e a cotangente é a razão entre a abscissa e a ordenada, ou seja, 
.
Graças a tanta obviedade das identidades e A tangente e a cotangente são frequentemente definidas não através da razão entre abcissa e ordenada, mas através da razão entre seno e cosseno. Portanto, a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo, e a cotangente é a razão entre o cosseno e o seno.
Na conclusão deste parágrafo, deve-se notar que as identidades e ocorrem para todos os ângulos nos quais as funções trigonométricas incluídas neles fazem sentido. Portanto a fórmula é válida para qualquer , diferente de (caso contrário o denominador terá zero, e não definimos a divisão por zero), e a fórmula - para todos, diferente de, onde z é qualquer.
Relação entre tangente e cotangente
Uma identidade trigonométrica ainda mais óbvia do que as duas anteriores é a identidade que conecta a tangente e a cotangente de um ângulo da forma . É claro que vale para quaisquer ângulos diferentes de , caso contrário, a tangente ou a cotangente não serão definidas.
Prova da fórmula muito simples. Por definição e de onde 
. A prova poderia ter sido realizada de forma um pouco diferente. Desde , Que 
.
Portanto, a tangente e a cotangente do mesmo ângulo em que fazem sentido são.
Funções trigonométricas- A solicitação “sin” é redirecionada aqui; veja também outros significados. A solicitação "sec" é redirecionada aqui; veja também outros significados. A solicitação "Sine" é redirecionada aqui; veja também outros significados... Wikipedia
Bronzeado
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Resolvendo triângulos- (lat. solutio triangularum) um termo histórico que significa a decisão do principal problema trigonométrico: usando dados conhecidos sobre o triângulo (lados, ângulos, etc.), encontre suas características restantes. O triângulo pode ser localizado em... ... Wikipedia
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função trigonométrica
(`sin x, cos x, tan x` ou `ctg x`) é chamada de equação trigonométrica, e são suas fórmulas que consideraremos mais adiante.
As equações mais simples são `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, onde `x` é o ângulo a ser encontrado, `a` é qualquer número. Vamos escrever as fórmulas raiz de cada um deles.
1. Equação `sen x=a`.
Para `|a|>1` não tem soluções.
2. Equação `cos x=a`
Para `|a|>1` - como no caso do seno, não possui soluções entre números reais.
Quando `|a| \leq 1` tem um número infinito de soluções.
Fórmula raiz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Casos especiais para seno e cosseno em gráficos. 
3. Equação `tg x=a`
Possui um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.
Fórmula raiz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Equação `ctg x=a`
Também possui um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.
Fórmula raiz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Fórmulas para as raízes das equações trigonométricas na tabela
Para seno: 
Para cosseno: 
Para tangente e cotangente: 
Fórmulas para resolver equações contendo funções trigonométricas inversas:
Métodos para resolver equações trigonométricas
A resolução de qualquer equação trigonométrica consiste em duas etapas:
- com a ajuda de transformá-lo no mais simples;
- resolva a equação mais simples obtida usando as fórmulas de raiz e tabelas escritas acima.
Vejamos os principais métodos de solução usando exemplos.
Método algébrico.
Este método envolve substituir uma variável e substituí-la em uma igualdade.
Exemplo. Resolva a equação: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
faça uma substituição: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, então `2y^2-3y+1=0`,
encontramos as raízes: `y_1=1, y_2=1/2`, das quais seguem dois casos:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.
Resposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Fatoração.
Exemplo. Resolva a equação: `sen x+cos x=1`.
Solução. Vamos mover todos os termos da igualdade para a esquerda: `sen x+cos x-1=0`. Usando , transformamos e fatoramos o lado esquerdo:
`sen x — 2sen^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,
- `sen x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Resposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redução a uma equação homogênea
Primeiro, você precisa reduzir esta equação trigonométrica a uma das duas formas:
`a sen x+b cos x=0` (equação homogênea de primeiro grau) ou `a sen^2 x + b sen x cos x +c cos^2 x=0` (equação homogênea de segundo grau).
Em seguida, divida ambas as partes por `cos x \ne 0` - para o primeiro caso, e por `cos^2 x \ne 0` - para o segundo. Obtemos equações para `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que precisam ser resolvidas usando métodos conhecidos.
Exemplo. Resolva a equação: `2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1`.
Solução. Vamos escrever o lado direito como `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sen^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `sen^2 x+cos^2 x`,
`2 sen ^ 2 x + sen x cos x - cos ^ 2 x -` ` sen ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`
`sen^2 x+sen x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Esta é uma equação trigonométrica homogênea de segundo grau, dividimos seus lados esquerdo e direito por `cos^2 x \ne 0`, obtemos:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Vamos introduzir a substituição `tg x=t`, resultando em `t^2 + t - 2=0`. As raízes desta equação são `t_1=-2` e `t_2=1`. Então:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Responder. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Vá para meio canto
Exemplo. Resolva a equação: `11 sen x - 2 cos x = 10`.
Solução. Vamos aplicar as fórmulas de ângulo duplo, resultando em: `22 sen (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sen^2 x/2=` `10 sen^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Aplicando o método algébrico descrito acima, obtemos:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Responder. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Introdução do ângulo auxiliar
Na equação trigonométrica `a sin x + b cos x =c`, onde a,b,c são coeficientes e x é uma variável, divida ambos os lados por `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2)) ) +b^2))`.
Os coeficientes do lado esquerdo têm as propriedades de seno e cosseno, ou seja, a soma dos seus quadrados é igual a 1 e os seus módulos não são maiores que 1. Vamos denotá-los da seguinte forma: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, então:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Vamos dar uma olhada mais de perto no seguinte exemplo:
Exemplo. Resolva a equação: `3 sen x+4 cos x=2`.
Solução. Divida ambos os lados da igualdade por `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, obtemos:
`\frac (3 sen x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2))`
`3/5 sen x+4/5 cos x=2/5`.
Vamos denotar `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Como `\varphi=arcsin 4/5`, `cos \varphi>0`, então tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como um ângulo auxiliar. Então escrevemos nossa igualdade na forma:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Aplicando a fórmula da soma dos ângulos do seno, escrevemos nossa igualdade na seguinte forma:
`pecado (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arco seno 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arco seno 2/5-` `arco seno 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Responder. `x=(-1)^n arco seno 2/5-` `arco seno 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Equações trigonométricas racionais fracionárias
Estas são igualdades com frações cujos numeradores e denominadores contêm funções trigonométricas.
Exemplo. Resolva a equação. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Solução. Multiplique e divida o lado direito da igualdade por `(1+cos x)`. Como resultado obtemos:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sen x)(1+cos x)-` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Considerando que o denominador não pode ser igual a zero, obtemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Vamos igualar o numerador da fração a zero: `sen x-sin^2 x=0`, `sen x(1-sin x)=0`. Então `sen x=0` ou `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, as soluções são `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n\em Z`.
Responder. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
A trigonometria, e as equações trigonométricas em particular, são usadas em quase todas as áreas da geometria, física e engenharia. O estudo começa no 10º ano, sempre há tarefas para o Exame Estadual Unificado, então tente se lembrar de todas as fórmulas das equações trigonométricas - elas com certeza serão úteis para você!
Porém, você nem precisa memorizá-los, o principal é entender a essência e poder derivá-la. Não é tão difícil quanto parece. Veja você mesmo assistindo ao vídeo.
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