Como você sabe, ao multiplicar expressões por potências, seus expoentes sempre somam (a b *a c = a b+c). Esta lei matemática foi derivada por Arquimedes e, mais tarde, no século VIII, o matemático Virasen criou uma tabela de expoentes inteiros. Foram eles que serviram para a descoberta dos logaritmos. Exemplos de uso desta função podem ser encontrados em quase todos os lugares onde é necessário simplificar a multiplicação complicada por meio de uma simples adição. Se você gastar 10 minutos lendo este artigo, explicaremos o que são logaritmos e como trabalhar com eles. Em linguagem simples e acessível.
Definição em matemática
Um logaritmo é uma expressão da seguinte forma: log a b=c, ou seja, o logaritmo de qualquer número não negativo (ou seja, qualquer positivo) “b” em sua base “a” é considerado a potência “c ” para o qual é necessário elevar a base “a” para finalmente obter o valor “b”. Vamos analisar o logaritmo usando exemplos, digamos que exista uma expressão log 2 8. Como encontrar a resposta? É muito simples, você precisa encontrar uma potência tal que de 2 até a potência necessária você obtenha 8. Depois de fazer alguns cálculos de cabeça, obtemos o número 3! E isso é verdade, porque 2 elevado a 3 dá a resposta como 8.
Tipos de logaritmos
Para muitos alunos e estudantes, este tema parece complicado e incompreensível, mas na verdade os logaritmos não são tão assustadores, o principal é compreender o seu significado geral e lembrar as suas propriedades e algumas regras. Existem três tipos separados de expressões logarítmicas:
- Logaritmo natural Em a, onde a base é o número de Euler (e = 2,7).
- Decimal a, onde a base é 10.
- Logaritmo de qualquer número b na base a> 1.
Cada um deles é resolvido de forma padrão, incluindo simplificação, redução e posterior redução a um único logaritmo usando teoremas logarítmicos. Para obter os valores corretos dos logaritmos, deve-se lembrar suas propriedades e a sequência de ações ao resolvê-los.
Regras e algumas restrições
Na matemática, existem diversas regras-restrições que são aceitas como um axioma, ou seja, não são passíveis de discussão e são verdadeiras. Por exemplo, é impossível dividir números por zero e também é impossível extrair a raiz par de números negativos. Os logaritmos também têm suas próprias regras, seguindo as quais você pode aprender facilmente a trabalhar mesmo com expressões logarítmicas longas e amplas:
- A base “a” deve ser sempre maior que zero, e não igual a 1, caso contrário a expressão perderá o sentido, pois “1” e “0” em qualquer grau são sempre iguais aos seus valores;
- se a > 0, então a b >0, verifica-se que “c” também deve ser maior que zero.
Como resolver logaritmos?
Por exemplo, a tarefa é encontrar a resposta para a equação 10 x = 100. Isso é muito fácil, você precisa escolher uma potência elevando o número dez ao qual obtemos 100. Isso, claro, é 10 2 = 100.
Agora vamos representar esta expressão na forma logarítmica. Obtemos log 10 100 = 2. Ao resolver logaritmos, todas as ações praticamente convergem para encontrar a potência à qual é necessário inserir a base do logaritmo para obter um determinado número.
Para determinar com precisão o valor de um grau desconhecido, você precisa aprender a trabalhar com uma tabela de graus. Parece assim:
Como você pode ver, alguns expoentes podem ser adivinhados intuitivamente se você tiver uma mente técnica e conhecimento da tabuada. Porém, para valores maiores você precisará de uma mesa de potência. Pode ser usado até mesmo por aqueles que não sabem nada sobre tópicos matemáticos complexos. A coluna da esquerda contém números (base a), a linha superior de números é o valor da potência c à qual o número a é elevado. Na interseção, as células contêm os valores numéricos que são a resposta (a c =b). Vamos pegar, por exemplo, a primeira célula com o número 10 e elevá-la ao quadrado, obtemos o valor 100, que é indicado na intersecção de nossas duas células. Tudo é tão simples e fácil que até o mais verdadeiro humanista entenderá!
Equações e desigualdades
Acontece que sob certas condições o expoente é o logaritmo. Portanto, quaisquer expressões numéricas matemáticas podem ser escritas como uma igualdade logarítmica. Por exemplo, 3 4 =81 pode ser escrito como o logaritmo de base 3 de 81 igual a quatro (log 3 81 = 4). Para poderes negativos as regras são as mesmas: 2 -5 = 1/32 escrevemos como um logaritmo, obtemos log 2 (1/32) = -5. Uma das seções mais fascinantes da matemática é o tópico dos “logaritmos”. Veremos exemplos e soluções de equações a seguir, imediatamente após estudar suas propriedades. Agora vamos ver como são as desigualdades e como distingui-las das equações.
Dada uma expressão da seguinte forma: log 2 (x-1) > 3 - é desigualdade logarítmica, já que o valor desconhecido "x" está sob o sinal do logaritmo. E também na expressão duas quantidades são comparadas: o logaritmo do número desejado na base dois é maior que o número três.
A diferença mais importante entre equações logarítmicas e desigualdades é que equações com logaritmos (por exemplo, o logaritmo 2 x = √9) implicam um ou mais valores numéricos específicos na resposta, enquanto ao resolver uma desigualdade, tanto a faixa de aceitável valorese os pontos são determinados quebrando esta função. Como consequência, a resposta não é um simples conjunto de números individuais, como na resposta a uma equação, mas uma série contínua ou conjunto de números.
Teoremas básicos sobre logaritmos
Ao resolver problemas primitivos de encontrar os valores do logaritmo, suas propriedades podem não ser conhecidas. Porém, quando se trata de equações ou desigualdades logarítmicas, antes de tudo, é necessário compreender claramente e aplicar na prática todas as propriedades básicas dos logaritmos. Veremos exemplos de equações mais tarde. Vamos primeiro examinar cada propriedade com mais detalhes.
- A identidade principal fica assim: a logaB =B. Aplica-se apenas quando a é maior que 0, diferente de um, e B é maior que zero.
- O logaritmo do produto pode ser representado na seguinte fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Neste caso, a condição obrigatória é: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Você pode fornecer uma prova para esta fórmula logarítmica, com exemplos e solução. Seja log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, então a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriedades de graus), e então por definição: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que é o que precisava ser provado.
- O logaritmo do quociente é assim: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- O teorema na forma de uma fórmula assume próxima visualização: log a q b n = n/q log a b.
Esta fórmula é chamada de “propriedade do grau do logaritmo”. Assemelha-se às propriedades dos graus comuns, e não é surpreendente, porque toda a matemática é baseada em postulados naturais. Vejamos a prova.
Seja log a b = t, resulta a t =b. Se elevarmos ambas as partes à potência m: a tn = b n ;
mas como a tn = (a q) nt/q = b n, portanto log a q b n = (n*t)/t, então log a q b n = n/q log a b. O teorema foi provado.
Exemplos de problemas e desigualdades
Os tipos mais comuns de problemas sobre logaritmos são exemplos de equações e desigualdades. Eles são encontrados em quase todos os livros de problemas e também são parte obrigatória dos exames de matemática. Para admissão na universidade ou aprovação exames de admissão em matemática você precisa saber como resolver esses problemas corretamente.
Infelizmente, não existe um plano ou esquema único para resolver e determinar o valor desconhecido do logaritmo, mas certas regras podem ser aplicadas a cada desigualdade matemática ou equação logarítmica. Em primeiro lugar, deve-se descobrir se a expressão pode ser simplificada ou reduzida a uma forma geral. Simplifique os longos expressões logarítmicas possível se você usar suas propriedades corretamente. Vamos conhecê-los rapidamente.
Ao resolver equações logarítmicas, devemos determinar que tipo de logaritmo temos: uma expressão de exemplo pode conter um logaritmo natural ou decimal.
Aqui estão os exemplos ln100, ln1026. A solução deles se resume ao fato de que eles precisam determinar a potência à qual a base 10 será igual a 100 e 1026, respectivamente. Para soluções de logaritmos naturais, você precisa aplicar identidades logarítmicas ou suas propriedades. Vejamos exemplos de resolução de problemas logarítmicos de vários tipos.
Como usar fórmulas logarítmicas: com exemplos e soluções
Então, vejamos exemplos de uso dos teoremas básicos sobre logaritmos.
- A propriedade do logaritmo de um produto pode ser utilizada em tarefas onde é necessário expandir ótimo valor números b em fatores mais simples. Por exemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A resposta é 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como você pode ver, usando a quarta propriedade da potência do logaritmo, conseguimos resolver uma expressão aparentemente complexa e insolúvel. Você só precisa fatorar a base e depois retirar os valores do expoente do sinal do logaritmo.
Tarefas do Exame Estadual Unificado
Logaritmos são frequentemente encontrados em vestibulares, especialmente muitos problemas logarítmicos no Exame Estadual Unificado (exame estadual para todos os graduados). Normalmente, essas tarefas estão presentes não apenas na parte A (a parte de teste mais fácil do exame), mas também na parte C (as tarefas mais complexas e volumosas). O exame exige conhecimento preciso e perfeito do tema “Logaritmos naturais”.
Exemplos e soluções para problemas são retirados de documentos oficiais Opções do Exame Estadual Unificado. Vamos ver como essas tarefas são resolvidas.
Dado log 2 (2x-1) = 4. Solução:
vamos reescrever a expressão, simplificando um pouco log 2 (2x-1) = 2 2, pela definição do logaritmo obtemos que 2x-1 = 2 4, portanto 2x = 17; x = 8,5.
- É melhor reduzir todos os logaritmos à mesma base para que a solução não seja complicada e confusa.
- Todas as expressões sob o sinal do logaritmo são indicadas como positivas, portanto, quando o expoente de uma expressão que está sob o sinal do logaritmo e como sua base é retirado como multiplicador, a expressão restante sob o logaritmo deve ser positiva.
O que é um logaritmo?
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Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)
O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas questões confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Principalmente equações com logaritmos.
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O que é logaritmo natural
Pessoal, na última lição aprendemos um número novo e especial - e. Hoje continuaremos trabalhando com esse número.Estudamos logaritmos e sabemos que a base de um logaritmo pode ser muitos números maiores que 0. Hoje também veremos um logaritmo cuja base é o número e. Esse logaritmo é geralmente chamado de logaritmo natural. Tem sua própria notação: $\ln(n)$ é o logaritmo natural. Esta entrada é equivalente à entrada: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Funções exponenciais e logarítmicas são inversas, então o logaritmo natural é o inverso da função: $y=e^x$.
As funções inversas são simétricas em relação à reta $y=x$.
Vamos traçar o logaritmo natural traçando a função exponencial em relação à reta $y=x$.
É importante notar que o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função $y=e^x$ no ponto (0;1) é 45°. Então o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico do logaritmo natural no ponto (1;0) também será igual a 45°. Ambas as tangentes serão paralelas à reta $y=x$. Vamos diagramar as tangentes: 
Propriedades da função $y=\ln(x)$
1.$D(f)=(0;+∞)$.2. Não é par nem ímpar.
3. Aumentos em todo o domínio de definição.
4. Não limitado por cima, não limitado por baixo.
5. Não existe valor máximo nem valor mínimo.
6. Contínuo.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convexo para cima.
9. Diferenciável em todos os lugares.
Por dentro matemática superior está provado que a derivada de uma função inversa é a inversa da derivada de uma determinada função.
Não faz muito sentido nos aprofundarmos na prova, vamos apenas escrever a fórmula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Exemplo.
Calcule o valor da derivada da função: $y=\ln(2x-7)$ no ponto $x=4$.
Solução.
EM visão geral nossa função é representada pela função $y=f(kx+m)$, podemos calcular as derivadas de tais funções.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Vamos calcular o valor da derivada no ponto requerido: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Resposta: 2.
Exemplo.
Desenhe uma tangente ao gráfico da função $y=ln(x)$ no ponto $х=е$.
Solução.
Lembramos bem a equação da tangente ao gráfico de uma função no ponto $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Calculamos sequencialmente os valores necessários.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
A equação tangente no ponto $x=e$ é a função $y=\frac(x)(e)$.
Vamos traçar o logaritmo natural e a reta tangente. 
Exemplo.
Examine a função para monotonicidade e extremos: $y=x^6-6*ln(x)$.
Solução.
O domínio de definição da função $D(y)=(0;+∞)$.
Vamos encontrar a derivada da função dada:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
A derivada existe para todo x do domínio de definição, então não há pontos críticos. Vamos encontrar pontos estacionários:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
O ponto $x=-1$ não pertence ao domínio de definição. Então temos um ponto estacionário $x=1$. Vamos encontrar os intervalos de aumento e diminuição: 
O ponto $x=1$ é o ponto mínimo, então $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Resposta: A função diminui no segmento (0;1], a função aumenta no raio $)
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