O problema de encontrar uma função antiderivada nem sempre tem solução, embora possamos derivar qualquer função. Isto explica a falta de um método de integração universal.

Neste artigo veremos exemplos com soluções detalhadas métodos básicos para encontrar a integral indefinida. Também agruparemos os tipos de funções integrandos característicos de cada método de integração.

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Integração direta.

Sem dúvida, o principal método para encontrar uma função antiderivada é a integração direta usando uma tabela de antiderivadas e as propriedades da integral indefinida. Todos os outros métodos são usados ​​apenas para reduzir a integral original à forma tabular.

Exemplo.

Encontre o conjunto funções antiderivadas.

Solução.

Vamos escrever a função na forma .

Como a integral da soma das funções igual à soma integrais, então

O coeficiente numérico pode ser retirado do sinal integral:

A primeira das integrais é reduzida à forma tabular, portanto, da tabela de antiderivadas para a função exponencial temos .

Para encontrar a segunda integral, usamos a tabela de primitivas para a função potência e a regra . Aquilo é, .

Por isso,

Onde

Método de integração por substituição.

A essência do método é que introduzimos uma nova variável, expressamos o integrando através desta variável e, como resultado, chegamos a uma forma tabular (ou mais simples) da integral.

Muitas vezes, o método de substituição ajuda na integração funções trigonométricas e funções com radicais.

Exemplo.

Encontre a integral indefinida .

Solução.

Vamos introduzir uma nova variável. Vamos expressar x através de z:

Substituímos as expressões resultantes na integral original:

Da tabela de antiderivadas temos .

Resta retornar à variável original x:

Responder:

Muitas vezes, o método de substituição é usado na integração de funções trigonométricas. Por exemplo, usando um universal substituição trigonométrica permite transformar o integrando em uma forma fracionária racional.

O método de substituição permite explicar a regra de integração .

Introduzimos uma nova variável, então

Substituímos as expressões resultantes na integral original:

Se aceitarmos e retornarmos à variável original x, obteremos

Enviando o sinal diferencial.

O método de subsunção do sinal diferencial baseia-se na redução do integrando à forma . A seguir, é utilizado o método de substituição: uma nova variável é introduzida e após encontrar a antiderivada para a nova variável, retornamos à variável original, ou seja

Por conveniência, coloque-o diante de seus olhos na forma de diferenciais para facilitar a conversão do integrando, bem como uma tabela de antiderivadas para ver em que forma converter o integrando.

Por exemplo, vamos encontrar o conjunto de antiderivadas da função cotangente.

Exemplo.

Encontre a integral indefinida.

Solução.

O integrando pode ser transformado usando fórmulas de trigonometria:

Olhando a tabela de derivadas, concluímos que a expressão no numerador pode ser subsumida ao sinal diferencial , É por isso

Aquilo é .

Deixe ser então . Da tabela de antiderivadas vemos que . Voltando à variável original .

Sem explicação, a solução é escrita da seguinte forma:

Integração por partes.

A integração por partes baseia-se na representação do integrando como um produto e na aplicação da fórmula. Este método é uma ferramenta de integração muito poderosa. Dependendo do integrando, o método de integração por partes às vezes tem que ser aplicado várias vezes seguidas antes de obter o resultado. Por exemplo, vamos encontrar o conjunto de primitivas da função arco tangente.

Exemplo.

Calcule a integral indefinida.

Solução.

Deixe ser então

Deve-se notar que ao encontrar a função v(x) não adicione uma constante arbitrária C.

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:

Calculamos a última integral usando o método de subsunção do sinal diferencial.

Desde então . É por isso

Por isso,

Onde .

Responder:

As principais dificuldades na integração por partes surgem da escolha: qual parte do integrando tomar como função u(x) e qual como diferencial d(v(x)). No entanto, existem várias recomendações padrão, com as quais recomendamos que você se familiarize na seção integração por partes.

Ao integrar expressões de poder, por exemplo ou , use fórmulas recorrentes que permitem reduzir o grau passo a passo. Essas fórmulas são obtidas por integrações repetidas e sucessivas por partes. Recomendamos que você se familiarize com a integração de seções usando fórmulas de recorrência.

Concluindo, gostaria de resumir todo o material deste artigo. A base dos fundamentos é o método de integração direta. Os métodos de substituição, substituição sob sinal diferencial e método de integração por partes permitem reduzir a integral original a uma integral tabular.

Como agora falaremos apenas sobre a integral indefinida, por uma questão de brevidade omitiremos o termo “indefinido”.

Para aprender a calcular integrais (ou, como dizem, integrar funções), primeiro você precisa aprender a tabela de integrais:

Tabela1. Tabela de integrais

2. ( ), você>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7h.

8. 9. 10. 10h. 11. 11h. 12. 13. 13a.

Além disso, você precisará calcular a derivada de uma determinada função, o que significa que você precisa se lembrar das regras de diferenciação e da tabela de derivadas das funções elementares básicas:

Tabela 2. Tabela de derivadas e regras de diferenciação:

6.a .

(pecado E) = cos E  E (porque você) = – pecado E E

Também precisamos da capacidade de determinar a diferencial de uma função. Lembre-se que o diferencial da função
encontrar por fórmula
, ou seja o diferencial de uma função é igual ao produto da derivada desta função e o diferencial de seu argumento. É útil ter em mente as seguintes relações conhecidas:

Tabela 3. Tabela diferencial

1. (b= Const.) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const.) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Além disso, essas fórmulas podem ser usadas lendo-as da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda.

Consideremos sequencialmente os três métodos principais de cálculo da integral. O primeiro deles é chamado pelo método de integração direta. Baseia-se no uso das propriedades da integral indefinida e inclui duas técnicas principais: expansão de uma integral em uma soma algébrica mais simples e subscrevendo o sinal diferencial, e essas técnicas podem ser usadas de forma independente e em combinação.

UM) Vamos considerar expansão da soma algébrica– esta técnica envolve o uso de transformações idênticas do integrando e das propriedades de linearidade da integral indefinida:
E .

Exemplo 1. Encontre as integrais:

UM)
; b)
;

V)
G)

e)
.

Solução.

UM)Vamos transformar o integrando dividindo o numerador pelo denominador termo por termo:

A propriedade dos poderes é usada aqui:
.

b) Primeiro transformamos o numerador da fração, depois dividimos o numerador termo a termo pelo denominador:

A propriedade dos graus também é usada aqui:
.

A propriedade usada aqui é:
,
.

.

As fórmulas 2 e 5 da Tabela 1 são usadas aqui.

Exemplo 2. Encontre as integrais:

UM)
; b)
;

V)
G)

e)
.

Solução.

UM)Vamos transformar o integrando usando a identidade trigonométrica:

.

Aqui usamos novamente a divisão termo a termo do numerador pelo denominador e as fórmulas 8 e 9 da Tabela 1.

b) Transformamos de forma semelhante, usando a identidade
:

.

c) Primeiro, divida o numerador termo a termo pelo denominador e retire as constantes do sinal integral, depois use a identidade trigonométrica
:

d) Aplicar a fórmula de redução do grau:

,

e) Usando identidades trigonométricas, transformamos:

B) Vamos considerar a técnica de integração, chamada n colocando-o sob o sinal diferencial. Esta técnica é baseada na propriedade de invariância da integral indefinida:

Se
, então para qualquer função diferenciável E = E(X) ocorre:
.

Esta propriedade permite expandir significativamente a tabela de integrais simples, pois devido a esta propriedade as fórmulas da Tabela 1 são válidas não apenas para a variável independente E, mas também no caso em que E– uma função diferenciável de alguma outra variável.

Por exemplo,
, mas também
, E
, E
.

Ou
E
, E
.

A essência do método é isolar o diferencial de uma determinada função em um determinado integrando para que esse diferencial isolado, juntamente com o restante da expressão, forme uma fórmula tabular para esta função. Se necessário, durante essa conversão, constantes podem ser adicionadas de acordo. Por exemplo:

(no último exemplo escrito ln(3 + x 2) em vez de ln|3 + x 2 | , já que a expressão é 3 + x 2 é sempre positivo).

Exemplo 3. Encontre as integrais:

UM)
; b)
;
;

V)
G)
;
;

e)
;
.

Solução.

UM) .

e)

e)
;

.

h)

Aqui são utilizadas as fórmulas 2a, 5a e 7a da Tabela 1, sendo as duas últimas obtidas justamente pela subsunção do sinal diferencial:

.

Integrar funções de visualização

V)

.

ocorre muitas vezes no âmbito do cálculo de integrais de funções mais complexas. Para não repetir todas as vezes as etapas descritas acima, recomendamos que você se lembre das fórmulas correspondentes fornecidas na Tabela 1.

A Fórmula 3 da Tabela 1 é usada aqui.

.

c) Da mesma forma, levando em conta que , transformamos:

A Fórmula 2c na Tabela 1 é usada aqui.

.

e); Encontre as integrais:

e)
e) ;

V)
.

Solução.

h)

Exemplo 4.

UM)
:

b)

Aqui, juntamente com as fórmulas 2 e 8 da Tabela 1, também são utilizadas as fórmulas da Tabela 3:
,
.

Exemplo 5. Encontre as integrais:

UM)
; b)

V)
;
.

Solução.

G)
a) Trabalho
pode ser complementado (ver fórmulas 4 e 5 da Tabela 3) ao diferencial da função , Onde UM b E
– quaisquer constantes,
.

. Na verdade, de onde

.

Então temos:
b) Usando a fórmula 6 da tabela 3, temos
, e também
, o que significa a presença no integrando do produto
significa uma dica: sob o sinal diferencial você precisa inserir a expressão

. Portanto obtemos
c) Igual à alínea b), o produto
pode ser estendido para funções diferenciais

.

. Então obtemos:

d) Primeiro usamos as propriedades de linearidade da integral: Encontre as integrais:

UM)
; Exemplo 6.
;

b)
V)
.

Solução.

UM); G)
Considerando que

(fórmula 9 da tabela 3), transformamos:

b) Usando a fórmula 12 da tabela 3, obtemos

c) Levando em consideração a fórmula 11 da tabela 3, transformamos

.

d) Utilizando a fórmula 16 da Tabela 3, obtemos: Encontre as integrais:

UM)
; b)
;

V)
; V)
.

Solução.

UM)Exemplo 7. Todas as integrais apresentadas neste exemplo têm uma característica comum

.

b)

.

: O integrando contém um trinômio quadrático. Portanto, o método de cálculo dessas integrais será baseado na mesma transformação – isolando o quadrado completo neste trinômio quadrático.

V)

G) E O método de substituição de um sinal diferencial é uma implementação oral de um método mais geral de cálculo de uma integral, denominado método de substituição ou mudança de variável. Na verdade, cada vez, selecionando uma fórmula adequada na Tabela 1 para aquela obtida como resultado da subsunção do sinal diferencial da função, substituímos mentalmente a letra

função introduzida sob o sinal diferencial. Portanto, se a integração pela subsunção do sinal diferencial não funcionar muito bem, você poderá alterar diretamente a variável. Mais detalhes sobre isso no próximo parágrafo. Este método se resume a integrar a equação diferencial do eixo curvo da viga (9.1) com a conhecida lei da variação dos momentos fletores M (X). Supondo que a rigidez à flexão da viga seja constante(EJ z

= const) e integrando sequencialmente a equação (9.1), obtemos

Nas expressões (9.5) e abaixo, para simplificar a notação, os índices dos momentos de inércia e momentos fletores são omitidos. As expressões (9.5) permitem obter leis analíticas para mudanças nas deflexões e ângulos de rotação de uma viga. Constantes de integração incluídas em (9.5) C1

As condições de contorno cinemáticas refletem a natureza da fixação (apoio) da viga e são definidas em relação às deflexões e ângulos de rotação. Por exemplo, para uma viga simplesmente apoiada (Fig. 9.4), as condições de contorno caracterizam a ausência de deflexões nos apoios: x = 0, x = /, v = 0. Para uma viga cantilever (Fig. 9.5), as condições de contorno caracterizam a igualdade da deflexão e do ângulo de rotação no embutimento rígido a zero: x = 0, v= 0; av = 0.

As condições de correspondência são definidas nos limites das seções com diferentes leis de mudança nos momentos fletores. Na ausência de dobradiças intermediárias e dos chamados mecanismos de paralelogramo (controles deslizantes), as condições de acoplamento consistem na igualdade das deflexões e ângulos de rotação nas seções à esquerda e à direita do limite das seções, ou seja, caracterizam a continuidade e suavidade do eixo curvo da viga. Por exemplo, para a viga da Fig. 9.4 pode ser escrito: X = UM, e = e

Sujeito a disponibilidade n seções com diferentes leis de mudança nos momentos fletores, a expressão para deflexão conterá 2 n constantes de integração. Usando condições de contorno e condições para conectar seções, podemos obter o sistema 2 n equações algébricas lineares em relação a essas constantes. Após determinar todas as constantes de integração, serão estabelecidas as leis de mudança u(x) e ср(х) dentro de cada seção da viga. Vejamos exemplos de determinação de deflexões e ângulos de rotação em vigas usando o método de integração direta.

Exemplo 9.1. Vamos definir expressões analíticas para u(lc) e cp(x) em uma viga cantilever carregada uniformemente carga distribuída(Fig. 9.6), e calcule os valores dessas quantidades na extremidade livre.

O momento fletor na viga ao longo de todo o seu comprimento varia de acordo com a lei de uma parábola quadrada:

Vamos substituir esta expressão na solução (9.5) e integrá-la:

Usando as condições de contorno, determinamos as constantes de integração:

Vamos anotar as expressões finais para deflexões e ângulos de rotação na viga e determinar os valores dessas grandezas na extremidade livre:

Exemplo 9.2. Para uma viga simplesmente apoiada carregada na extremidade com uma força concentrada (Fig. 9.7), definimos expressões para y(x) e (p(x) e calculamos os valores dessas grandezas em seções características.

Diagrama Este método se resume a integrar a equação diferencial do eixo curvo da viga (9.1) com a conhecida lei da variação dos momentos fletores mostrado na Fig. 9.7. Os momentos fletores têm diferentes leis de mudança na primeira e na segunda seções da viga. Integramos a equação diferencial do eixo curvo dentro de cada seção.

Primeira seção (0 2a):

Segunda seção (2 , Onde

Para determinar as quatro constantes de integração C, C 2, Dx E D2 definimos condições de limite e condições para conectar seções:

Da condição de conjugação das seções, obtemos a igualdade das constantes de integração na primeira e segunda seções: C ( = D v C 2 = D T Usando condições de contorno, encontramos os valores das constantes:

Vamos escrever as expressões finais para u(x) e cp(x) dentro de cada seção:

Nestas expressões, uma barra vertical com um número na parte inferior corresponde ao limite de cada área. Dentro da primeira seção v e cp são determinados pelas funções até a linha vertical com o número 1, e dentro da segunda seção - até a linha vertical com o número 2, ou seja, por todas as funções.

Vamos calcular v e (p em seções características da viga:

Na primeira seção, o sinal do ângulo de rotação muda para o oposto. Vamos definir a posição da seção onde o ângulo de rotação se torna zero:

Na seção x =x Q a deflexão da viga tem um extremo. Calculamos seu valor:

Para efeito de comparação, determinamos a quantidade de deflexão da viga no meio do vão:

Pode-se notar que a flecha extrema difere muito ligeiramente (em 2,6%) da flecha no meio do vão.

Vamos realizar um cálculo numérico em P = 20kN e , Onde= 1,6 m Selecione a seção da viga em forma de viga I de aço laminado, considerando o fator de confiabilidade da carga. você ^ = 1.2, coeficiente de condições operacionais y c = 1, resistência de projeto do material R = 210 MPa = = 21 kN/cm 2 e módulo de elasticidade do aço E- 2,1 10 4 kN/cm 2 .

Aceitamos 120, W z = 184cm3, J = 1840cm4.

Vamos calcular valores mais altosângulo de rotação e deflexão da viga. De acordo com o SNiP, realizamos cálculos com base no efeito de cargas padrão.

A partir do exemplo considerado, fica claro que se houver várias seções na viga com diferentes leis de mudança nos momentos fletores, o método de integração direta torna-se complicado e inconveniente.

Uma visão geral dos métodos de cálculo é apresentada integrais indefinidas. São considerados os principais métodos de integração, que incluem integrar a soma e a diferença, colocar uma constante fora do sinal integral, substituir uma variável e integrar por partes. Também considerado métodos especiais e técnicas de integração de frações, raízes, funções trigonométricas e exponenciais.

Contente

Regra para integração de somas (diferenças)

Movendo a constante para fora do sinal integral

Seja c uma constante independente de x.

Então pode ser retirado do sinal integral:

Substituição de variável
.
Seja x uma função da variável t, x = φ(t), então
.

Ou vice-versa, t = φ(x) ,

Usando uma mudança de variável, você pode não apenas calcular integrais simples, mas também simplificar o cálculo de integrais mais complexas.

Regra de integração por partes

Vamos apresentar a notação. Sejam P k (x), Q m (x), R n (x) denotam polinômios de graus k, m, n, respectivamente, em relação à variável x.

Considere uma integral que consiste em uma fração de polinômios (a chamada função racional):

Se k ≥ n, primeiro você precisa selecionar toda a parte da fração:
.
A integral do polinômio S k-n (x) é calculada usando a tabela de integrais.

A integral permanece:
, onde m< n .
Para calculá-lo, o integrando deve ser decomposto em frações simples.

Para fazer isso você precisa encontrar as raízes da equação:
Q n (x) = 0 .
Usando as raízes obtidas, é necessário representar o denominador como um produto de fatores:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Aqui s é o coeficiente para x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Depois disso, divida a fração em sua forma mais simples:

Integrando, obtemos uma expressão que consiste em integrais mais simples.
Integrais da forma

são reduzidos à substituição tabular t = x - a.

Considere a integral:

Vamos transformar o numerador:
.
Substituindo no integrando, obtemos uma expressão que inclui duas integrais:
,
.
O primeiro, por substituição t = x 2 + ex + f, é reduzido a tabular.
Em segundo lugar, de acordo com a fórmula de redução:

é reduzido à integral

Vamos reduzir seu denominador à soma dos quadrados:
.
Então, por substituição, a integral

também é tabulado.

Integração de funções irracionais

Vamos apresentar a notação. Deixei R(u 1, u 2, ..., u n) significar uma função racional das variáveis ​​u 1, u 2, ..., u n.
,
Aquilo é

onde P, Q são polinômios nas variáveis ​​você 1, você 2, ..., você n.

Irracionalidade linear fracionária
,
Vamos considerar integrais da forma:
onde estão os números racionais, m 1, n 1, ..., m s, n s são inteiros. Deixe n - denominador comum
números r 1, ..., r s.
.

Então a integral é reduzida à integral de funções racionais por substituição:

Considere a integral:
,
Integrais de binômios diferenciais
onde m, n, p são números racionais, a, b são números reais.

Tais integrais reduzem-se a integrais de funções racionais em três casos.
1) Se p for um número inteiro. Substituição x = t N, onde N é o denominador comum das frações m e n.
2) Se - um número inteiro. Substituição a x n + b = t M, onde M é o denominador do número p.

3) Se - um número inteiro. Substituição a + b x - n = t M, onde M é o denominador do número p.

Em alguns casos, é útil primeiro reduzir a integral para valores m e p mais convenientes.
;
.

Isso pode ser feito usando fórmulas de redução:

Integrais contendo a raiz quadrada de um trinômio quadrado
,

Aqui consideramos integrais da forma:

Substituições de Euler
Tais integrais podem ser reduzidas a integrais de funções racionais de uma das três substituições de Euler:
, para a > 0;
, para c > 0 ;

, onde x 1 é a raiz da equação a x 2 + b x + c = 0.

Se esta equação tiver raízes reais.

Substituições trigonométricas e hiperbólicas

Métodos diretos

Na maioria dos casos, as substituições de Euler resultam em cálculos mais longos do que os métodos diretos. Usando métodos diretos, a integral é reduzida a uma das formas listadas abaixo.
,
Tipo I

Integral do formulário:

onde P n (x) é um polinômio de grau n.

Tais integrais são encontradas pelo método dos coeficientes indefinidos usando a identidade:

Na maioria dos casos, as substituições de Euler resultam em cálculos mais longos do que os métodos diretos. Usando métodos diretos, a integral é reduzida a uma das formas listadas abaixo.
,
Diferenciando esta equação e igualando os lados esquerdo e direito, encontramos os coeficientes A i.

Tipo II onde P m (x) é um polinômio de grau m. Substituição t =

(x - α) -1

esta integral é reduzida ao tipo anterior. Se m ≥ n, então a fração deverá ter uma parte inteira.
.

Tipo III
.
O terceiro e mais complexo tipo:
.
Aqui você precisa fazer uma substituição:
Após o qual a integral assumirá a forma:
A seguir, as constantes α, β devem ser escolhidas de modo que os coeficientes para t se tornem zero:
;
,
B = 0, B 1 = 0.
Então a integral se decompõe na soma de integrais de dois tipos:
que são integrados, respectivamente, por substituições:

z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;

y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Caso geral

Integração de funções transcendentais (trigonométricas e exponenciais)

Observemos de antemão que os métodos aplicáveis ​​às funções trigonométricas também são aplicáveis ​​às funções hiperbólicas. Por esta razão, não consideraremos a integração de funções hiperbólicas separadamente.
,
Integração de funções trigonométricas racionais de cos x e sin x

Consideremos integrais de funções trigonométricas da forma:
onde R é uma função racional. Isto também pode incluir tangentes e cotangentes, que devem ser convertidas usando senos e cossenos. Ao integrar tais funções, é útil ter em mente três regras: 1) se R( cos x, sen x) multiplicado por -1 da mudança de sinal antes de uma das quantidades porque x ou
pecado x Ao integrar tais funções, é útil ter em mente três regras:, então é útil denotar o outro por t. cos x, sen x) E porque x 2) se R( não muda devido a uma mudança de sinal ao mesmo tempo antes multiplicado por -1 da mudança de sinal antes de uma das quantidades , então é útil colocar.
3) a substituição em todos os casos leva à integral da fração racional. Infelizmente, esta substituição resulta em cálculos mais longos que os anteriores, se aplicável.

Produto de funções de potência de cos x e sin x

Irracionalidade linear fracionária

Se m e n são números racionais, então uma das substituições t = porque x ou t = cos x, sen x) a integral é reduzida à integral do binômio diferencial.

Se m e n são inteiros, então as integrais são calculadas por integração por partes. Isso produz as seguintes fórmulas de redução:

;
;
;
.

Integração por partes

Aplicação da fórmula de Euler

Se o integrando for linear em relação a uma das funções
porque machado multiplicado por -1 da mudança de sinal antes de uma das quantidades sinax, então é conveniente aplicar a fórmula de Euler:
eiax = machado cos + machado isin(onde eu 2 = - 1 ),
substituindo esta função por e iax e destacando o real (ao substituir porque machado) ou parte imaginária (ao substituir sinax) do resultado obtido.

Literatura usada:
N. M. Gunther, R. O. Kuzmin, Coleção de problemas em matemática superior, "Lan", 2003.

Veja também:

Integração direta

O cálculo de integrais indefinidas usando uma tabela de integrais e suas propriedades básicas é chamado integração direta.

Exemplo 1. Vamos encontrar a integral

.

Aplicando a segunda e quinta propriedades da integral indefinida, obtemos

.(*)

A seguir, usando as fórmulasII, Sh,4, VIIItabelas e a terceira propriedade das integrais, encontramos cada um dos termos das integrais separadamente:

= ,

,

Vamos substituir esses resultados em (*) e, denotando a soma de todas as constantes(3 COM 1 +7COM 2 +4COM 3 +2COM 4 +COM 5) carta COM, finalmente obtemos:

Vamos verificar o resultado por diferenciação. Vamos encontrar a derivada da expressão resultante:

Obtivemos o integrando, isso prova que a integração foi realizada corretamente.

Exemplo 2 . Nós vamos encontrar

.

A tabela de integrais mostra o corolárioIIIUM da fórmula III:

Para usar este corolário, encontramos o diferencial de uma função no expoente:

Para criar esse diferencial, basta multiplicar o denominador da fração da integral pelo número 2 (obviamente, para que a fração não mude, é necessário multiplicar por 2 e numerador). Depois de colocar o fator constante fora do sinal integral, ele fica pronto para aplicar a fórmula tabularIIIUM:

.

Exame:

portanto, a integração é feita corretamente.

Exemplo 3 . Nós vamos encontrar

Como o diferencial de uma função quadrática pode ser construído a partir da expressão no numerador, a seguinte função deve ser distinguida no denominador:

.

Para criar seu diferencial basta multiplicar o numerador por 4 (também multiplicamos o denominador por 4 e retire este fator do denominador da integral). Como resultado, poderemos usar a fórmula tabularX:

Exame:

,

aqueles. a integração foi realizada corretamente.

Exemplo 4 . Nós vamos encontrar

Observe que agora a função quadrática cujo diferencial pode ser criado no numerador, é uma expressão radical. Portanto, seria razoável escrever o integrando como uma função potência para usar a fórmulaEUtabelas de integrais:

Exame:

Conclusão: a integral foi encontrada corretamente.

Exemplo 5. Nós vamos encontrar

Notemos que o integrando contém

função ; e seu diferencial. Mas a fração também é o diferencial de toda a expressão radical (até o sinal):

Portanto, é razoável representar a fração na forma graus:

Então, depois de multiplicar o numerador e o denominador por (-1), obtemos uma integral de potência (fórmula tabularEU):

Ao diferenciar o resultado, garantimos que a integração seja realizada corretamente.

Exemplo 6. Nós vamos encontrar

É fácil perceber que nesta integral da expressão o diferencial da função radical não pode ser obtido por meio de coeficientes numéricos. Realmente,

,

Onde k -constante. Mas, por experiência exemplo 3 , é possível construir uma integral de forma idêntica à fórmulaXda tabela de integrais:

Exemplo 7. Nós vamos encontrar

Prestemos atenção ao fato de que o diferencial de uma função cúbica pode ser facilmente criado no numeradord(x 3 ) = 3 x 2 dx. Depois disso, temos a oportunidade de usar a fórmula tabularVI:

Exemplo 8. Nós vamos encontrar

Sabe-se que a derivada da função arco seno xé uma fração

Então

.

Isso nos leva à conclusão de que a integral necessária tem a forma de uma integral de potência: , em quee = arco seno x, o que significa

Exemplo 9 . Para encontrar

vamos usar a mesma tabela fórmula EU e o fato de que

Nós conseguimos

Exemplo 10 . Nós vamos encontrar

Como a expressão é a diferencial da função, então, usando a fórmula EU tabelas de integrais, obtemos

Exemplo 11. Para encontrar a integral

Vamos usá-lo sequencialmente: fórmula trigonométrica

,

pelo fato de que

e fórmula IItabelas de integrais:

Exemplo 12 . Nós vamos encontrar

.

Desde a expressão

é o diferencial da função , então usando a mesma fórmulaII, obtemos

Exemplo 13 . Vamos encontrar a integral

Observe que o grau da variável no numerador é um a menos que no denominador. Isso nos permite criar um diferencial no numeradordenominador. Nós vamos encontrar

.

Depois de retirar o fator constante do sinal integral, multiplicamos o numerador e o denominador do integrando por (-7), obtemos:

(A mesma fórmula foi usada aquiIIda tabela de integrais).

Exemplo 14. Vamos encontrar a integral

.

Vamos imaginar o numerador de uma forma diferente: 1 + 2 X 2 = (1 + X 2 )+x 2 e realizamos a divisão termo a termo, após a qual usamos a quinta propriedade de integrais e fórmulasEU E VIII tabelas:

Exemplo 15. Nós vamos encontrar

Vamos pegar o fator constante além do sinal da integral, subtrair e adicionar 5 ao numerador, depois dividir o numerador termo a termo pelo denominador e usar a quinta propriedade da integral:

Para calcular a primeira integral, usamos a terceira propriedade das integrais e apresentamos a segunda integral de uma forma conveniente para a aplicação da fórmulaIX:

Exemplo 16. Nós vamos encontrar

Observe que o expoente da variável no numerador é um a menos que no denominador (o que é típico de uma derivada), o que significa que o diferencial do denominador pode ser construído no numerador. Vamos encontrar o diferencial da expressão no denominador:

d(x 2- 5)=(X 2 - 5)" dx = 2 xdx.

Para obter um fator constante de 2 no numerador do denominador diferencial, precisamos multiplicar e dividir o integrando por 2 e retirar o fator constante -

para o sinal integral

Aqui estamos nós usadoIIintegrante da tabela.

Vamos considerar uma situação semelhante no exemplo a seguir.

Exemplo 17. Nós vamos encontrar

.

Vamos calcular o diferencial do denominador:

.

Vamos criá-lo no numerador usando a quarta propriedade das integrais:

=

Uma situação semelhante mais complexa será considerada em exemplo 19.

Exemplo 18 Nós vamos encontrar

.

Vamos selecionar um quadrado completo no denominador:

Nós conseguimos

.

Após isolar o quadrado perfeito no denominador, obtivemos uma integral próxima da forma das fórmulasVIII E IXtabelas de integrais, mas no denominador da fórmulaVIIIos termos dos quadrados completos têm os mesmos sinais, e no denominador da nossa integral os sinais dos termos são diferentes, embora não coincidam com os sinais da nona fórmula. Obtenha a coincidência completa dos sinais dos termos no denominador com os sinais da fórmulaIXé possível adicionando um coeficiente (-1) à integral. Então, para aplicar a fórmulaIXtabelas de integrais, realizaremos as seguintes atividades:

1) coloque (-1) fora dos colchetes no denominador e depois fora da integral;

2) encontre o diferencial da expressão

3) crie o diferencial encontrado no numerador;

4) imagine o número 2 em uma forma conveniente para aplicar a fórmulaIX tabelas:

Então

Usando IXfórmula da tabela de integrais, obtemos

Exemplo 19. Nós vamos encontrar

.

Usando a experiência adquirida na determinação de integrais nos dois exemplos anteriores e os resultados obtidos neles, teremos

.

Vamos resumir um pouco da experiência adquirida como resultado da solução exemplos 17,18,19.

Então, se tivermos uma integral da forma

(exemplo 18 ), Que, isolando o quadrado completo no denominador, você pode chegar a uma das fórmulas tabularesVIII ou IX.

A integral é da forma

(exemplo 19 ) depois de criar a derivada do denominador no numerador, ela se divide em duas integrais: a primeira tem a forma

( exemplo 17 ), retirado da fórmulaP, e o segundo tipo

(exemplo 18 ), retirado de uma das fórmulasVIII ou IX.

Exemplo 20 . Nós vamos encontrar

.

Integral da forma

pode ser reduzido à forma de fórmulas tabularesX ou XI, destacando um quadrado completo na expressão radical. EM no nosso caso

= .

A expressão radical tem a forma

O mesmo é sempre feito ao calcular integrais da forma

,

se um dos expoentes for um número ímpar positivo e o segundo for um número arbitrário número real (exemplo 23 ).

Exemplo 23 . Nós vamos encontrar

Usando a experiência do exemplo anterior e a identidade

2 sen 2 φ = l - cos 2 φ ,2 cos 2 φ = l + cos 2 φ

Substituindo a soma resultante na integral, obtemos