muitas vezes pega um número e = 2,718281828 . Logaritmos baseados nesta base são chamados natural. Ao realizar cálculos com logaritmos naturais, é comum operar com o sinal eun, não registro; enquanto o número 2,718281828 , definindo a base, não são indicados.
Em outras palavras, a formulação ficará assim: logaritmo natural números X- este é um expoente ao qual um número deve ser elevado e obter x.
Então, Em(7.389...)= 2, já que e 2 =7,389... . Logaritmo natural do próprio número e= 1 porque e 1 =e, e o logaritmo natural da unidade é zero, uma vez que e 0 = 1.
O próprio número e define o limite de uma sequência limitada monótona
calcula-se que e = 2,7182818284... .
Muitas vezes, para fixar um número na memória, os dígitos do número desejado são associados a alguma data pendente. Velocidade de memorização dos primeiros nove dígitos de um número e após a vírgula aumentará se você notar que 1828 é o ano de nascimento de Leão Tolstói!
Hoje existem tabelas bastante completas de logaritmos naturais.
Agendar logaritmo natural (funções e =Em x) é uma consequência do gráfico exponencial como uma imagem espelhada da linha reta y = x e tem o formato:
O logaritmo natural pode ser encontrado para cada número real positivo um como a área sob a curva sim = 1/x de 1 para um.
O caráter elementar desta formulação, que é consistente com muitas outras fórmulas nas quais o logaritmo natural está envolvido, foi o motivo da formação do nome “natural”.
Se você analisar logaritmo natural, como uma função real de uma variável real, então ela atua função inversa a uma função exponencial, que se reduz às identidades:
eln(uma) =uma (uma>0)
ln(e a) =uma
Por analogia com todos os logaritmos, o logaritmo natural converte a multiplicação em adição, a divisão em subtração:
Em(xy) = Em(x) + Em(sim)
Em(x/y)= lnx - lny
O logaritmo pode ser encontrado para toda base positiva que não seja igual a um, não apenas para e, mas os logaritmos para outras bases diferem do logaritmo natural apenas por um fator constante e geralmente são definidos em termos do logaritmo natural.
Tendo analisado gráfico de logaritmo natural, descobrimos que existe para valores positivos da variável x. Aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.
No x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito ( -∞ ).No x → +∞ o limite do logaritmo natural é mais infinito ( + ∞ ). Em geral x O logaritmo aumenta lentamente. Qualquer função de energia xá com um expoente positivo um aumenta mais rápido que o logaritmo. O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não possui extremos.
Uso logaritmos naturais muito racional ao passar matemática superior. Assim, usar o logaritmo é conveniente para encontrar a resposta para equações nas quais as incógnitas aparecem como expoentes. O uso de logaritmos naturais nos cálculos permite simplificar bastante grande número fórmulas matemáticas. Logaritmos na base e estão presentes na resolução de um número significativo de problemas físicos e são naturalmente incluídos na descrição matemática de processos químicos, biológicos e outros individuais. Assim, os logaritmos são usados para calcular a constante de decaimento para uma meia-vida conhecida, ou para calcular o tempo de decaimento na resolução de problemas de radioatividade. Eles desempenham um papel de liderança em muitas áreas da matemática e ciências práticas, são utilizados no campo das finanças para resolver grande número tarefas, incluindo o cálculo de juros compostos.
1.1. Determinando o expoente para um expoente inteiro
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X *… * X - N vezes
1.2. Grau zero.
Por definição, é geralmente aceito que a potência zero de qualquer número é 1:1.3. Grau negativo.
X-N = 1/XN1.4. Potência fracionária, raiz.
X 1/N = N raiz de X.Por exemplo: X 1/2 = √X.
1.5. Fórmula para adicionar poderes.
X(N+M) = XN *XM1.6.Fórmula de subtração de potências.
X (NM) = X N /X M1.7. Fórmula para multiplicar potências.
XN*M = (XN)M1.8. Fórmula para elevar uma fração a uma potência.
(X/Y) N = X N /Y N2. Número e.
O valor do número e é igual ao seguinte limite:E = lim(1+1/N), como N → ∞.
Com uma precisão de 17 dígitos, o número e é 2,71828182845904512.
3. Igualdade de Euler.
Esta igualdade conecta cinco números que desempenham um papel especial na matemática: 0, 1, e, pi, unidade imaginária.E (i*pi) + 1 = 0
4. Função exponencial exp(x)
exp(x) = e x5. Derivada da função exponencial
A função exponencial tem uma propriedade notável: a derivada da função é igual à própria função exponencial:(exp(x))" = exp(x)
6. Logaritmo.
6.1. Definição da função logaritmo
Se x = b y, então o logaritmo é a funçãoY = Log b(x).
O logaritmo mostra a que potência um número - a base do logaritmo (b) - deve ser elevado para obter um determinado número (X). A função logaritmo é definida para X maior que zero.
Por exemplo: Log 10 (100) = 2.
6.2. Logaritmo decimal
Este é o logaritmo na base 10:Y = Log 10 (x) .
Denotado por Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Um exemplo do uso do logaritmo decimal é o decibel.
6.3. Decibel
O item é destacado em uma página separada Decibel6.4. Logaritmo binário
Este é o logaritmo de base 2:Y = Log 2 (x).
Denotado por Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Logaritmo natural
Este é o logaritmo na base e:Y = Log e (x) .
Denotado por Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
O logaritmo natural é a função inversa da função exponencial exp(X).
6.6. Pontos característicos
Log(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Fórmula do logaritmo do produto
Log a (x * y) = Log a (x) + Log a (y)6.8. Fórmula para logaritmo de quociente
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Logaritmo da fórmula de potência
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Fórmula para converter para um logaritmo com base diferente
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Exemplo:
Registro 2 (8) = Registro 10 (8)/Registro 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Fórmulas úteis na vida
Muitas vezes há problemas de conversão de volume em área ou comprimento e o problema inverso – conversão de área em volume. Por exemplo, as tábuas são vendidas em cubos (metros cúbicos), e precisamos calcular quanta área da parede pode ser coberta com tábuas contidas em um determinado volume, veja cálculo das tábuas, quantas tábuas tem um cubo. Ou, se as dimensões da parede forem conhecidas, é necessário calcular a quantidade de tijolos, consulte cálculo de tijolos.
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Logaritmo natural
Gráfico da função logaritmo natural. A função se aproxima lentamente do infinito positivo à medida que aumenta x e rapidamente se aproxima do infinito negativo quando x tende a 0 (“lento” e “rápido” em comparação com qualquer função de potência de x).
Logaritmo naturalé o logaritmo da base , Onde e- uma constante irracional igual a aproximadamente 2,718281 828. O logaritmo natural geralmente é escrito como ln( x), registro e (x) ou às vezes apenas log( x), se a base e implícito.
Logaritmo natural de um número x(escrito como ln(x)) é o expoente ao qual o número deve ser elevado e obter x. Por exemplo, Em(7.389...)é igual a 2 porque e 2 =7,389... . Logaritmo natural do próprio número e (Em(e)) é igual a 1 porque e 1 = e, e o logaritmo natural é 1 ( Em(1)) é igual a 0 porque e 0 = 1.
O logaritmo natural pode ser definido para qualquer número real positivo um como a área sob a curva sim = 1/x de 1 a um. A simplicidade desta definição, que é consistente com muitas outras fórmulas que utilizam o logaritmo natural, deu origem ao nome “natural”. Esta definição pode ser estendida a números complexos, conforme discutido abaixo.
Se considerarmos o logaritmo natural como uma função real de uma variável real, então é a função inversa da função exponencial, que leva às identidades:
Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapeia a multiplicação para a adição:
Assim, a função logarítmica é um isomorfismo do grupo de positivos números reais a respeito da multiplicação por um grupo de números reais por adição, que pode ser representada como uma função:
O logaritmo pode ser definido para qualquer base positiva diferente de 1, não apenas e, mas os logaritmos para outras bases diferem do logaritmo natural apenas por um fator constante e geralmente são definidos em termos do logaritmo natural. Os logaritmos são úteis para resolver equações que envolvem incógnitas como expoentes. Por exemplo, logaritmos são usados para encontrar a constante de decaimento para uma meia-vida conhecida ou para encontrar o tempo de decaimento na resolução de problemas de radioatividade. Desempenham um papel importante em muitas áreas da matemática e das ciências aplicadas, e são utilizados em finanças para resolver muitos problemas, incluindo a determinação de juros compostos.
História
A primeira menção ao logaritmo natural foi feita por Nicholas Mercator em sua obra Logaritmotécnia, publicado em 1668, embora o professor de matemática John Spidell tenha compilado uma tabela de logaritmos naturais em 1619. Anteriormente era chamado de logaritmo hiperbólico porque corresponde à área sob a hipérbole. Às vezes é chamado de logaritmo de Napier, embora o significado original deste termo fosse um pouco diferente.
Convenções de designação
O logaritmo natural é geralmente denotado por “ln( x)", logaritmo na base 10 - via "lg( x)", e outros motivos são geralmente indicados explicitamente com o símbolo "log".
Em muitos trabalhos sobre matemática discreta, cibernética e ciência da computação, os autores usam a notação “log( x)" para logaritmos de base 2, mas esta convenção não é geralmente aceita e requer esclarecimento na lista de notações usadas ou (na ausência de tal lista) por uma nota de rodapé ou comentário quando usada pela primeira vez.
Os parênteses em torno do argumento dos logaritmos (se isso não levar a uma leitura errônea da fórmula) são geralmente omitidos e, ao elevar um logaritmo a uma potência, o expoente é atribuído diretamente ao sinal do logaritmo: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ Em ( 3 )] 2 .
Sistema anglo-americano
Matemáticos, estatísticos e alguns engenheiros costumam usar o termo “logaritmo natural” ou “log( x)" ou "ln( x)", e para denotar o logaritmo de base 10 - "log 10 ( x)».
Alguns engenheiros, biólogos e outros especialistas sempre escrevem “ln( x)" (ou ocasionalmente "log e ( x)") quando significam o logaritmo natural, e a notação "log( x)" eles significam log 10 ( x).
registro eé um logaritmo "natural" porque ocorre automaticamente e aparece com muita frequência na matemática. Por exemplo, considere o problema da derivada de uma função logarítmica:
Se a base bé igual e, então a derivada é simplesmente 1/ x, e quando x= 1 esta derivada é igual a 1. Outra razão pela qual a base e A coisa mais natural sobre o logaritmo é que ele pode ser definido simplesmente em termos de uma integral simples ou de uma série de Taylor, o que não pode ser dito sobre outros logaritmos.
Outras justificativas para a naturalidade não estão relacionadas à notação. Então, por exemplo, existem vários linhas simples com logaritmos naturais. Pietro Mengoli e Nicholas Mercator os chamaram logaritmo natural várias décadas até que Newton e Leibniz desenvolveram cálculo diferencial e integral.
Definição
Formalmente ln( um) pode ser definido como a área sob a curva do gráfico 1/ x de 1 a um, ou seja, como integral:
É verdadeiramente um logaritmo porque satisfaz a propriedade fundamental do logaritmo:
Isso pode ser demonstrado assumindo o seguinte:
Valor numérico
Para cálculo valor numérico logaritmo natural de um número, você pode usar sua expansão em série de Taylor na forma:
Obter melhor velocidade convergência, podemos usar a seguinte identidade:
Para ln( x), Onde x> 1, quanto mais próximo o valor x para 1, então velocidade mais rápida convergência. As identidades associadas ao logaritmo podem ser usadas para atingir o objetivo:
Esses métodos foram utilizados antes mesmo do advento das calculadoras, para as quais foram utilizadas tabelas numéricas e realizadas manipulações semelhantes às descritas acima.
Alta precisão
Para calcular o logaritmo natural com um grande número de dígitos de precisão, a série de Taylor não é eficiente porque sua convergência é lenta. Uma alternativa é usar o método de Newton para inverter em uma função exponencial cuja série converge mais rapidamente.
Uma alternativa para uma precisão de cálculo muito alta é a fórmula:
Onde M denota a média aritmético-geométrica de 1 e 4/s, e
eu escolhido para que p marcas de precisão são alcançadas. (Na maioria dos casos, um valor de 8 para m é suficiente.) Na verdade, se este método for usado, o inverso do logaritmo natural de Newton pode ser aplicado para calcular eficientemente a função exponencial. (As constantes ln 2 e pi podem ser pré-calculadas com a precisão desejada usando qualquer uma das séries rapidamente convergentes conhecidas.)
Complexidade computacional
A complexidade computacional dos logaritmos naturais (usando a média aritmética-geométrica) é O( M(n)ln n). Aqui né o número de dígitos de precisão para os quais o logaritmo natural deve ser avaliado, e M(n) é a complexidade computacional de multiplicar dois n números de dígitos.
Frações contínuas
Embora não existam frações contínuas simples para representar um logaritmo, várias frações contínuas generalizadas podem ser usadas, incluindo:
Logaritmos complexos
A função exponencial pode ser estendida para uma função que fornece um número complexo da forma e x para qualquer número complexo arbitrário x, neste caso uma série infinita com complexo x. Esta função exponencial pode ser invertida para formar um logaritmo complexo, que terá majoritariamente propriedades de logaritmos comuns. Existem, no entanto, duas dificuldades: não há x, para o qual e x= 0, e acontece que e 2πi = 1 = e 0. Como a propriedade da multiplicatividade é válida para uma função exponencial complexa, então e z = e z+2nπi para todos os complexos z e inteiro n.
O logaritmo não pode ser definido em todo o plano complexo e, mesmo assim, é multivalorado - qualquer logaritmo complexo pode ser substituído por um logaritmo "equivalente" adicionando qualquer múltiplo inteiro de 2 πi. O logaritmo complexo só pode ter valor único em uma fatia do plano complexo. Por exemplo, ln eu = 1/2 πi ou 5/2 πi ou -3/2 πi, etc., e embora eu 4 = 1,4 log eu pode ser definido como 2 πi ou 10 πi ou -6 πi, e assim por diante.
Veja também
- John Napier - inventor dos logaritmos
Notas
- Matemática para físico-química. - 3º. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Extrato da página 9
- JJO"Connor e EF Robertson O número e. Arquivo MacTutor History of Mathematics (setembro de 2001). Arquivado
- Cajori Florian Uma História da Matemática, 5ª ed. - Livraria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Estimando Integrais usando Polinômios. Arquivado do original em 12 de fevereiro de 2012.
Gráfico da função logaritmo natural. A função se aproxima lentamente do infinito positivo à medida que aumenta x e rapidamente se aproxima do infinito negativo quando x tende a 0 (“lento” e “rápido” em comparação com qualquer função de potência de x).
Logaritmo naturalé o logaritmo da base , Onde e (\estilo de exibição e)- uma constante irracional igual a aproximadamente 2,72. É denotado como ln x (\estilo de exibição \ln x), log e x (\ displaystyle \ log _(e)x) ou às vezes apenas log x (\ displaystyle \ log x), se a base e (\estilo de exibição e) implícito. Em outras palavras, o logaritmo natural de um número x- este é um expoente ao qual um número deve ser elevado e obter x. Esta definição pode ser estendida a números complexos.
ln e = 1 (\estilo de exibição \ln e=1), porque e 1 = e (\estilo de exibição e^(1)=e); ln 1 = 0 (\estilo de exibição \ln 1=0), porque e 0 = 1 (\estilo de exibição e^(0)=1).O logaritmo natural também pode ser definido geometricamente para qualquer número real positivo um como a área sob a curva y = 1 x (\estilo de exibição y=(\frac (1)(x))) entre [1; uma] (\estilo de exibição). A simplicidade desta definição, que é consistente com muitas outras fórmulas que utilizam este logaritmo, explica a origem do nome “natural”.
Se considerarmos o logaritmo natural como uma função real de uma variável real, então é a função inversa da função exponencial, que leva às identidades:
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapeia a multiplicação para a adição:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)O logaritmo de um número positivo b na base a (a> 0, a não é igual a 1) é um número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Observe que o logaritmo de um número não positivo é indefinido. Além disso, a base do logaritmo deve ser um número positivo que não seja igual a 1. Por exemplo, se elevarmos -2 ao quadrado, obteremos o número 4, mas isso não significa que o logaritmo de base -2 de 4 seja igual para 2.
Identidade logarítmica básica
um log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)É importante que o âmbito de definição dos lados direito e esquerdo desta fórmula seja diferente. O lado esquerdo é definido apenas para b>0, a>0 e a ≠ 1. O lado direito é definido para qualquer b e não depende de a. Assim, a aplicação da “identidade” logarítmica básica na resolução de equações e desigualdades pode levar a uma mudança no DO.
Duas consequências óbvias da definição de logaritmo
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Na verdade, ao elevar o número a à primeira potência, obtemos o mesmo número, e ao elevá-lo à potência zero, obtemos um.
Logaritmo do produto e logaritmo do quociente
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Gostaria de alertar os alunos contra a aplicação impensada destas fórmulas ao resolver equações logarítmicas e desigualdades. Ao usá-los “da esquerda para a direita”, o ODZ se estreita, e ao passar da soma ou diferença dos logaritmos para o logaritmo do produto ou quociente, o ODZ se expande.
Na verdade, a expressão log a (f (x) g (x)) é definida em dois casos: quando ambas as funções são estritamente positivas ou quando f(x) e g(x) são ambas menores que zero.
Transformando esta expressão na soma log a f (x) + log a g (x), somos obrigados a nos limitar apenas ao caso em que f(x)>0 e g(x)>0. Há um estreitamento da faixa de valores aceitáveis, o que é categoricamente inaceitável, pois pode levar à perda de soluções. Um problema semelhante existe para a fórmula (6).
O grau pode ser retirado do sinal do logaritmo
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)E mais uma vez gostaria de apelar à precisão. Considere o seguinte exemplo:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
O lado esquerdo da igualdade é obviamente definido para todos os valores de f(x), exceto zero. O lado direito é apenas para f(x)>0! Ao retirar o grau do logaritmo, estreitamos novamente a ODZ. O procedimento inverso leva a uma expansão da faixa de valores aceitáveis. Todas estas observações aplicam-se não apenas à potência 2, mas também a qualquer potência par.
Fórmula para mudar para uma nova fundação
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Aquele raro caso em que o ODZ não muda durante a transformação. Se você escolheu a base c com sabedoria (positiva e diferente de 1), a fórmula para mudar para uma nova base é completamente segura.
Se escolhermos o número b como a nova base c, obteremos um importante caso especial fórmulas (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Alguns exemplos simples com logaritmos
Exemplo 1. Calcule: log2 + log50.
Solução. log2 + log50 = log100 = 2. Utilizamos a fórmula da soma dos logaritmos (5) e a definição do logaritmo decimal.
Exemplo 2. Calcule: lg125/lg5.
Solução. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos a fórmula para passar para uma nova base (8).
Tabela de fórmulas relacionadas a logaritmos
| um log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
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