Objetivos da lição:
Educacional:
- Crie condições para que os alunos assimilem de forma significativa o significado físico da derivada.
- Promover o desenvolvimento de competências na utilização prática de derivadas na resolução de diversos problemas físicos.
Educacional:
- Promover o desenvolvimento da perspectiva matemática e do interesse cognitivo nos alunos através da divulgação necessidade prática e significado teórico do tema.
- Fornecer condições para melhorar as habilidades de pensamento dos alunos: comparar, analisar, generalizar.
Educacional:
- Promover o interesse pela matemática.
Tipo de aula: Uma lição sobre como dominar novos conhecimentos.
Formas de trabalho: frontal, individual, grupo.
Equipamento: Computador, quadro interativo, apresentação, livro didático.
Estrutura da aula:
- Momento organizacional, definindo uma meta de aula
- Aprendendo novo material
- Consolidação primária de novo material
- Trabalho independente
- Resumo da lição. Reflexão.
Progresso da lição
EU. Momento organizacional, definição do objetivo da aula (2 min.)
II. Aprendendo novo material (10 min.)
Professor: Nas lições anteriores nos familiarizamos com as regras de cálculo de derivadas, aprendemos a encontrar derivadas de lineares, potências, funções trigonométricas. Aprendemos qual é o significado geométrico de uma derivada. Hoje na aula aprenderemos onde esse conceito é usado na física.
Para fazer isso, lembre-se da definição de derivada (Slide 2)
Agora vamos passar para o curso de física (Slide 3)
Os alunos falam e lembram conceitos físicos e fórmulas.
Deixe o corpo se mover de acordo com a lei S(t)= f(t) Considere o caminho percorrido pelo corpo durante o tempo de t 0 a t 0 + Δ t, onde Δt é o incremento do argumento. No momento t 0 o corpo percorreu o caminho S(t 0), no momento t 0 +Δt - o caminho S(t 0 +Δt). Portanto, durante o tempo Δt o corpo percorreu o caminho S(t 0 +Δt) – S(t 0), ou seja, obtivemos o incremento da função. A velocidade média do corpo durante este período de tempo υ==
Quanto menor o intervalo de tempo t, mais precisamente podemos descobrir a que velocidade o corpo está se movendo no momento t. Tendo direcionado t →0, obtemos a velocidade instantânea - o valor numérico da velocidade no momento t deste movimento.
υ= , em Δt→0 
a velocidade é a derivada do caminho em relação ao tempo.
Diapositivo 4
Vamos lembrar a definição de aceleração.
Usando o material apresentado acima, podemos concluir que em t uma(t)= υ’(t) a aceleração é uma derivada da velocidade.
A seguir, fórmulas para intensidade de corrente, velocidade angular, fem, etc. aparecem no quadro interativo. Os alunos somam valores instantâneos de determinadas quantidades físicas por meio do conceito de derivada. (Se não houver quadro interativo usar apresentação)
Diapositivos 5 a 8
Os alunos formulam a conclusão.
Conclusão:(Slide 9) A derivada é a taxa de variação de uma função. (Funções de caminho, coordenadas, velocidade, fluxo magnético, etc.)
υ(x)=f’(x)
Professor: Vemos que a ligação entre as características quantitativas dos mais diversos processos estudados pela física, pelas ciências técnicas e pela química é semelhante à ligação entre caminho e velocidade. Você pode dar muitos problemas, para cuja solução também é necessário encontrar a taxa de variação de uma determinada função, por exemplo: encontrar a concentração de uma solução em um determinado momento, encontrar a vazão de um líquido, o angular velocidade de rotação de um corpo, densidade linear em um ponto, etc. Vamos agora resolver alguns desses problemas.
III. Consolidação dos conhecimentos adquiridos (trabalho em grupo) (15 min.)
Seguido de discussão no conselho
Antes de resolver problemas, esclareça as unidades de medida das grandezas físicas.
Velocidade – [m/s]
Aceleração – [m/s 2 ]
Força – [N]
Energia – [J]
Grupo de tarefa 1
O ponto se move de acordo com a lei s(t)=2t³-3t (s é o caminho em metros, t é o tempo em segundos). Calcule a velocidade do ponto e sua aceleração no tempo 2s
Grupo de tarefa 2
O volante gira em torno de um eixo de acordo com a lei φ(t)= t 4 -5t. Encontre sua velocidade angular ω no tempo 2s (φ é o ângulo de rotação em radianos, ω é a velocidade angular rad/s)
Grupo de tarefa 3
Um corpo pesando 2 kg move-se retilíneamente de acordo com a lei x(t)=2-3t+2t²
Encontre a velocidade do corpo e sua energia cinética 3 s após o início do movimento. Que força está agindo sobre o corpo neste momento? (t é medido em segundos, x é medido em metros)
Tarefa 4
O ponto realiza movimentos oscilatórios de acordo com a lei x(t)=2sin3t. Prove que a aceleração é proporcional à coordenada x.
4. Solução independente dos problemas nº 272, 274, 275, 277
[A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov e outros “Álgebra e início da análise, séries 10-11”] 12 min.
| Dado: | Solução: |
| x(t)=- ______________ t=? υ(t)=? |
υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; uma(t)=υ’(t) uma(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; uma(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18m/s Resposta: t=6c; υ(6)= 18m/s |
Na resolução de diversos problemas de geometria, mecânica, física e outros ramos do conhecimento, surgiu a necessidade de utilizar o mesmo processo analítico desta função y=f(x) obtenha uma nova função chamada função derivada(ou apenas derivada) de uma determinada função f(x) e é designado pelo símbolo
O processo pelo qual a partir de uma determinada função f(x) obter um novo recurso f" (x), chamado diferenciação e consiste nas três etapas a seguir: 1) apresentar o argumento x incremento
x e determine o incremento correspondente da função
y =f(x+
x)-f(x); 
2) criar uma relação x 3) contando
x constante e 
0, encontramos f" (x), que denotamos por x, como se enfatizasse que a função resultante depende apenas do valor , no qual vamos ao limite.:
Definição
Derivada y "=f" (x)
dada função y=f(x) para um dado x 
é chamado de limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento do argumento, desde que o incremento do argumento tenda a zero, se, é claro, esse limite existir, ou seja, finito. Por isso, 
, ou x Observe que se por algum valor , por exemplo quando x=uma 
, atitude
x no f(x)0 não tende ao limite finito, então neste caso dizem que a função , por exemplo quando no , por exemplo quando(ou no ponto , por exemplo quando.
) não tem derivada ou não é diferenciável no ponto
2. Significado geométrico da derivada.
f(x)
Considere o gráfico da função y = f (x), diferenciável nas proximidades do ponto x 0
Vamos considerar uma linha reta arbitrária passando por um ponto no gráfico de uma função - ponto UMA(x 0, f (x 0)) e cruzando o gráfico em algum ponto B(x;f(x)). Tal linha (AB) é chamada de secante. De ∆ABC: AC = ∆x;
Agora vamos reduzir ∆х, ou seja, ∆х→ 0. Neste caso, o ponto B se aproximará do ponto A de acordo com o gráfico, e a secante AB girará. A posição limite da secante AB em ∆x→ 0 será uma reta (a), chamada tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto A.
Se formos ao limite como ∆x → 0 na igualdade tgβ =∆y/∆x, obtemos 
ortg =f "(x 0), uma vez que 
-ângulo de inclinação da tangente à direção positiva do eixo Ox 
, por definição de uma derivada. Mas tg = k é o coeficiente angular da tangente, o que significa k = tg = f "(x 0).
Portanto, o significado geométrico da derivada é o seguinte:
Derivada de uma função no ponto x 0 igual a declive tangente ao gráfico da função desenhada no ponto com abscissa x 0 .
3. Significado físico da derivada.
Considere o movimento de um ponto ao longo de uma linha reta. Seja dada a coordenada de um ponto em qualquer instante x(t). Sabe-se (de um curso de física) que a velocidade média durante um período de tempo é igual à razão entre a distância percorrida durante esse período de tempo e o tempo, ou seja,
Vav = ∆x/∆t. Vamos ao limite na última igualdade como ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - velocidade instantânea no tempo t 0, ∆t → 0.
e lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (por definição de derivada).
Então, (t) =x"(t).
O significado físico da derivada é o seguinte: derivada da funçãosim = f(x) no pontox 0 é a taxa de variação da funçãof(x) no pontox 0
A derivada é usada em física para encontrar a velocidade a partir de uma função conhecida de coordenadas versus tempo, e a aceleração a partir de uma função conhecida de velocidade versus tempo.
(t) = x"(t) - velocidade,
a(f) = "(t) - aceleração, ou
Se a lei do movimento de um ponto material em um círculo for conhecida, então pode-se encontrar a velocidade angular e a aceleração angular durante o movimento rotacional:
φ = φ(t) - mudança no ângulo ao longo do tempo,
ω = φ"(t) - velocidade angular,
ε = φ"(t) - aceleração angular, ou ε = φ"(t).
Se a lei da distribuição de massa de uma barra não homogênea for conhecida, então a densidade linear da barra não homogênea pode ser encontrada:
m = m(x) - massa,
x , eu - comprimento da haste,
p = m"(x) - densidade linear.
Usando a derivada, são resolvidos problemas da teoria da elasticidade e das vibrações harmônicas. Então, de acordo com a lei de Hooke
F = -kx, x – coordenada variável, k – coeficiente de elasticidade da mola. Colocando ω 2 =k/m, obtemos a equação diferencial do pêndulo de mola x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
onde ω = √k/√m frequência de oscilação (l/c), k - rigidez da mola (H/m).
Uma equação da forma y" + ω 2 y = 0 é chamada de equação de oscilações harmônicas (mecânicas, elétricas, eletromagnéticas). A solução para tais equações é a função
y = Asin(ωt + φ 0) ou y = Acos(ωt + φ 0), onde
A - amplitude das oscilações, ω - frequência cíclica,
φ 0 - fase inicial.
Os problemas matemáticos encontram sua aplicação em muitas ciências. Estas incluem não apenas física, química, tecnologia e economia, mas também medicina, ecologia e outras disciplinas. Um conceito importante a ser dominado para encontrar soluções para dilemas importantes é a derivada de uma função. O seu significado físico não é tão difícil de explicar como pode parecer aos não iniciados na essência da questão. Você só precisa encontrar exemplos adequados isso em vida real e situações cotidianas comuns. Na verdade, qualquer motorista enfrenta uma tarefa semelhante todos os dias quando olha para o velocímetro, determinando a velocidade de seu carro em um determinado instante de tempo fixo. Afinal, é justamente esse parâmetro que contém a essência do significado físico da derivada.
Como encontrar velocidade
Qualquer aluno da quinta série pode determinar facilmente a velocidade de uma pessoa se movendo na estrada, conhecendo a distância percorrida e o tempo de viagem. Para fazer isso, divida o primeiro dos valores fornecidos pelo segundo. Mas nem todo jovem matemático sabe que atualmente está encontrando a razão entre os incrementos de uma função e de um argumento. Na verdade, se você imaginar o movimento na forma de um gráfico, traçando o caminho ao longo do eixo das ordenadas e o tempo ao longo da abcissa, será exatamente assim.
Porém, a velocidade de um pedestre ou de qualquer outro objeto, que determinamos em um grande trecho do caminho, considerando o movimento uniforme, pode muito bem mudar. Existem muitas formas de movimento conhecidas na física. Pode ocorrer não apenas com aceleração constante, mas também desacelerar e aumentar de forma arbitrária. Deve-se notar que neste caso a linha que descreve o movimento não será mais uma linha reta. Graficamente, pode assumir as configurações mais complexas. Mas para qualquer um dos pontos do gráfico, podemos sempre desenhar uma tangente, representada por uma função linear.
Para esclarecer o parâmetro de variação do deslocamento em função do tempo, é necessário encurtar os segmentos medidos. Quando se tornarem infinitesimais, a velocidade calculada será instantânea. Essa experiência nos ajuda a definir uma derivada. Seu significado físico também decorre logicamente de tal raciocínio.
Do ponto de vista da geometria
Sabe-se que quanto maior a velocidade do corpo, mais íngreme é o gráfico da dependência do deslocamento com o tempo e, portanto, o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico em um determinado ponto. Um indicador de tais mudanças pode ser a tangente do ângulo entre o eixo das abcissas e a linha tangente. É justamente isso que determina o valor da derivada e é calculado pela razão entre os comprimentos do cateto oposto ao adjacente em um triângulo retângulo formado por uma perpendicular largada de um determinado ponto sobre o eixo das abcissas.
Este é o significado geométrico da primeira derivada. A física se revela no fato de que o valor do lado oposto no nosso caso representa a distância percorrida, e o lado adjacente representa o tempo. Neste caso, a proporção deles é a velocidade. E novamente chegamos à conclusão de que a velocidade instantânea, determinada quando ambos os intervalos tendem ao infinitesimal, é a essência, indicando seu significado físico. A segunda derivada neste exemplo será a aceleração do corpo, que por sua vez demonstra o grau de mudança na velocidade.
Exemplos de como encontrar derivadas em física
A derivada é um indicador da taxa de variação de qualquer função, mesmo quando não estamos falando de movimento no sentido literal da palavra. Para demonstrar isso claramente, aqui estão alguns exemplos específicos. Suponha que a intensidade da corrente, dependendo do tempo, mude de acordo com próxima lei: EU= 0,4t2.É necessário encontrar o valor da velocidade com que este parâmetro muda ao final do 8º segundo do processo. Observe que o próprio valor desejado, como pode ser avaliado pela equação, está aumentando constantemente.
Para resolver, é necessário encontrar a primeira derivada, cujo significado físico foi discutido anteriormente. Aqui eu/ dt = 0,8 t. A seguir vamos encontrá-lo em t=8 , descobrimos que a taxa na qual as mudanças atuais ocorrem é igual a 6,4 UM/ c. Aqui considera-se que a intensidade da corrente é medida em amperes e o tempo, respectivamente, em segundos.
Tudo é mutável
O mundo visível circundante, constituído por matéria, está em constante mudança, estando em movimento de vários processos que nele ocorrem. Uma variedade de parâmetros pode ser usada para descrevê-los. Se eles estão unidos por uma dependência, então são escritos matematicamente na forma de uma função que mostra claramente suas mudanças. E onde há movimento (seja qual for a forma em que seja expresso), também existe uma derivada, cujo significado físico estamos considerando no momento.
O exemplo a seguir é sobre isso. Digamos que a temperatura corporal mude de acordo com a lei T=0,2 t 2 . Você deve encontrar a taxa de aquecimento no final do 10º segundo. O problema é resolvido de maneira semelhante à descrita no caso anterior. Ou seja, encontramos a derivada e substituímos o valor por t= 10 , obtemos T= 0,4 t= 4. Isso significa que a resposta final é 4 graus por segundo, ou seja, o processo de aquecimento e a mudança de temperatura, medida em graus, ocorrem exatamente nesta velocidade.
Resolvendo problemas práticos
Claro que na vida real tudo pode ser muito mais complicado do que nos problemas teóricos. Na prática, o valor das quantidades é geralmente determinado durante um experimento. Neste caso, são utilizados instrumentos que fornecem leituras durante medições com certo erro. Portanto, no cálculo, é preciso lidar com valores aproximados dos parâmetros e recorrer ao arredondamento de números inconvenientes, além de outras simplificações. Tendo isto em conta, passemos novamente aos problemas sobre o significado físico da derivada, tendo em conta que são apenas uma espécie de modelo matemático dos processos mais complexos que ocorrem na natureza.
Erupção vulcânica
Vamos imaginar que um vulcão está em erupção. Quão perigoso ele pode ser? Para esclarecer esta questão, muitos fatores precisam ser considerados. Tentaremos levar em consideração um deles.
Da boca do “monstro de fogo” as pedras são lançadas verticalmente para cima, tendo uma velocidade inicial a partir do momento em que saem. É necessário calcular qual a altura máxima que podem atingir.
Para encontrar o valor desejado, traçaremos uma equação para a dependência da altura H, medida em metros, de outros valores. Isso inclui velocidade inicial e tempo. Consideramos que o valor da aceleração é conhecido e aproximadamente igual a 10 m/s 2 .
Derivada parcial
Consideremos agora o significado físico da derivada de uma função de um ângulo ligeiramente diferente, porque a própria equação pode conter não uma, mas várias variáveis. Por exemplo, no problema anterior, a dependência da altura de subida das pedras atiradas da boca de um vulcão foi determinada não apenas por uma mudança nas características do tempo, mas também pelo valor da velocidade inicial. Este último foi considerado um valor constante e fixo. Mas em outros problemas com condições completamente diferentes, tudo poderia ser diferente. Se as quantidades das quais depende função complexa, vários cálculos são feitos de acordo com as fórmulas abaixo.
O significado físico da derivada frequente deve ser determinado como no caso usual. Esta é a taxa de variação de uma função em um determinado ponto à medida que o parâmetro da variável aumenta. É calculado de forma que todos os outros componentes sejam considerados constantes, apenas um é considerado variável. Então tudo acontece de acordo com as regras habituais.
Compreender o significado físico da derivada, exemplos de resolução de problemas confusos e problemas complexos, a resposta para a qual tal conhecimento pode ser encontrado não é difícil de dar. Se tivermos uma função que descreve o consumo de combustível em função da velocidade do carro, podemos calcular em quais parâmetros deste último o consumo de gasolina será menor.
Na medicina, é possível prever como uma pessoa reagirá corpo humano com um medicamento prescrito por um médico. Tomar o medicamento afeta vários indicadores fisiológicos. Isso inclui mudanças pressão arterial, pulso, temperatura corporal e muito mais. Todos dependem da dose tomada medicamento. Esses cálculos ajudam a prever o curso do tratamento, tanto nas manifestações favoráveis quanto nos eventos indesejáveis que podem afetar fatalmente as alterações no organismo do paciente.
Sem dúvida, é importante compreender o significado físico da derivada em questões técnicas, em particular em engenharia elétrica, eletrônica, design e construção.
Distância de frenagem
Vamos considerar o próximo problema. Movendo-se em velocidade constante, o carro, ao se aproximar da ponte, foi forçado a frear 10 segundos antes da entrada, quando o motorista percebeu uma placa de sinalização proibindo a circulação em velocidades superiores a 36 km/h. O motorista violou as regras se sua distância de frenagem puder ser descrita pela fórmula S = 26t - t 2?
Tendo calculado a primeira derivada, encontramos uma fórmula para a velocidade, obtemos v = 28 - 2t. A seguir, substituímos o valor t=10 na expressão indicada.
Como esse valor foi expresso em segundos, a velocidade acaba sendo de 8 m/s, o que significa 28,8 km/h. Isso permite entender que o motorista começou a frear na hora certa e não violou as regras de trânsito e, portanto, o limite de velocidade indicado na placa.
Isso prova a importância do significado físico da derivada. Um exemplo de solução deste problema demonstra a amplitude de utilização deste conceito na maioria áreas diferentes vida. Inclusive em situações cotidianas.
Derivada em economia
Até ao século XIX, os economistas operavam principalmente com médias, quer se tratasse da produtividade do trabalho ou do preço dos produtos manufaturados. Mas a certa altura, os valores-limite tornaram-se mais necessários para fazer previsões eficazes nesta área. Estes podem incluir utilidade marginal, rendimento ou custos. A compreensão disto deu impulso à criação de uma ferramenta completamente nova na investigação económica, que existe e se desenvolve há mais de cem anos.
Para fazer tais cálculos, onde dominam conceitos como mínimo e máximo, basta compreender o significado geométrico e físico da derivada. Entre os criadores da base teórica dessas disciplinas pode-se citar economistas ingleses e austríacos proeminentes como W. S. Jevons, K. Menger e outros. É claro que nem sempre é conveniente usar valores-limite em cálculos econômicos. E, por exemplo, os relatórios trimestrais não se enquadram necessariamente no esquema existente, mas ainda assim a aplicação de tal teoria em muitos casos é útil e eficaz.
Às vezes, no problema B9 do Exame de Estado Unificado em matemática, em vez dos gráficos favoritos de uma função ou derivada, é simplesmente dada a equação da distância de um ponto à origem. O que fazer neste caso? Como encontrar velocidade ou aceleração à distância.
Na verdade é simples. A velocidade é a derivada da distância e a aceleração é a derivada da velocidade (ou, equivalentemente, a segunda derivada da distância). Neste pequeno vídeo você verá que tais problemas não são mais difíceis de resolver do que o “clássico” B9.
Hoje analisaremos dois problemas sobre o significado físico das derivadas do Exame Estadual Unificado em matemática. Essas tarefas são encontradas na parte B e são significativamente diferentes daquelas que a maioria dos alunos está acostumada a ver em amostras e exames. O problema é que eles exigem a compreensão do significado físico da derivada de uma função. Nestes problemas falaremos sobre funções que expressam distâncias.
Se $S=x\left(t \right)$, então podemos calcular $v$ da seguinte forma:
Essas três fórmulas são tudo que você precisa para resolver esses exemplos sobre o significado físico da derivada. Basta lembrar que $v$ é a derivada da distância e a aceleração é a derivada da velocidade.
Vamos ver como isso funciona na resolução de problemas reais.
Exemplo #1
onde $x$ é a distância do ponto de referência em metros, $t$ é o tempo em segundos decorrido desde o início do movimento. Encontre a velocidade do ponto (em m/s) no instante $t=2c$.
Isso significa que temos uma função que especifica a distância, mas precisamos calcular a velocidade no tempo $t=2c$. Em outras palavras, precisamos encontrar $v$, ou seja,
Isso é tudo o que precisávamos para descobrir a partir da condição: em primeiro lugar, como é a função e, em segundo lugar, o que devemos determinar.
Vamos decidir. Primeiro de tudo, vamos calcular a derivada:
\[(x)"\left(t \right)=-\frac(1)(5)\cdot 5((t)^(4))+4((t)^(3))-3(( t)^(2))+5\]
\[(x)"\esquerda(t \direita)=-((t)^(4))+4((t)^(3))-3((t)^(2))+5\]
Precisamos encontrar a derivada no ponto 2. Vamos substituir:
\[(x)"\esquerda(2 \direita)=-((2)^(4))+4\cdot ((2)^(3))-3\cdot ((2)^(2)) +5=\]
\[=-16+32-12+5=9\]
É isso, encontramos a resposta final. No total, a velocidade do nosso ponto material no tempo $t=2c$ será de 9 m/s.
Exemplo nº 2
Um ponto material se move de acordo com a lei:
onde $x$ é a distância do ponto de referência em metros, $t$ é o tempo em segundos, medido desde o início do movimento. Em que momento sua velocidade era igual a 3 m/s?
Veja, da última vez fomos obrigados a determinar $v$ no tempo de 2 s, e desta vez fomos obrigados a determinar o exato momento em que esta velocidade é igual a 3 m/s. Podemos dizer que conhecemos o valor final, e a partir deste valor final precisamos encontrar o inicial.
Em primeiro lugar, procuramos novamente a derivada:
\[(x)"\esquerda(t \direita)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]
\[(x)"\esquerda(t \direita)=((t)^(2))-8t+19\]
Somos solicitados a descobrir em que momento a velocidade será de 3 m/s. Compomos e resolvemos uma equação para encontrar o significado físico da derivada:
\[((t)^(2))-8t+19=3\]
\[((t)^(2))-8t+16=0\]
\[((\esquerda(t-4 \direita))^(2))=0\]
O número resultante significa que no tempo 4 s $v$ de um ponto material movendo-se de acordo com a lei descrita acima será exatamente 3 m/s.
Pontos-chave
Concluindo, repassemos mais uma vez o ponto mais importante da tarefa de hoje, a saber, a regra para converter distância em velocidade e aceleração. Portanto, se o problema nos descreve diretamente uma lei que indica diretamente a distância de um ponto material a um ponto de referência, então através desta fórmula podemos encontrar qualquer velocidade instantânea (esta é apenas uma derivada). E mais, também podemos encontrar a aceleração. A aceleração, por sua vez, é igual à derivada da velocidade, ou seja, segunda derivada da distância. Esses problemas são bastante raros, por isso não os analisamos hoje. Mas se você vir a palavra “aceleração” na condição, não se deixe assustar, apenas encontre outra derivada.
Espero que esta lição ajude você a se preparar para o Exame Estadual Unificado em matemática.
Considere o gráfico de alguma função y = f(x).
Marquemos nele um certo ponto A com coordenadas (x, f(x)) e não muito longe dele um ponto B com coordenadas (x+h, f(x+h). Vamos traçar uma linha reta (AB) através desses pontos. 
. A diferença f(x+h)-f(x) é igual à distância BL, e a distância AL é igual a h. A razão BL/AL é a tangente ε do ângulo - o ângulo de inclinação da reta (AB). Agora vamos imaginar que o valor de h é muito, muito pequeno. Então a reta (AB) quase coincidirá com a tangente no ponto x ao gráfico da função y = f(x).
Então, vamos dar algumas definições.
A derivada da função y = f(x) no ponto x é chamada de limite da razão como h tende a zero. Eles escrevem: 
O significado geométrico da derivada é a tangente do ângulo de inclinação da tangente.
A derivada também tem um significado físico. No ensino fundamental, a velocidade era definida como a distância dividida pelo tempo. Porém, na vida real, a velocidade de, por exemplo, um carro não é constante durante toda a viagem. Seja o caminho alguma função do tempo - S(t). Fixemos o momento do tempo t. Em um curto período de tempo de t a t+h, o carro percorrerá o caminho S(t+h)-S(t). Durante um curto período de tempo, a velocidade não mudará muito e, portanto, você pode usar a definição de velocidade conhecida por escola primária 
. E como h tende a zero, esta será a derivada.
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