Logaritmo para qualquer base. Identidade logarítmica básica

propriedades principais.

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

motivos idênticos

Log6 4 + log6 9.

Agora vamos complicar um pouco a tarefa.

Exemplos de resolução de logaritmos

E se a base ou argumento de um logaritmo for uma potência? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É claro que todas essas regras fazem sentido se a ODZ do logaritmo for observada: a > 0, a ≠ 1, x >

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Transição para uma nova fundação

Deixe ser dado log de logaritmo machado. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Veja também:

Propriedades básicas do logaritmo

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O expoente é 2,718281828…. Para lembrar o expoente, você pode estudar a regra: o expoente é igual a 2,7 e duas vezes o ano de nascimento de Leo Nikolaevich Tolstoy.

Propriedades básicas de logaritmos

Conhecendo esta regra, você saberá o valor exato do expoente e a data de nascimento de Leão Tolstói.

Exemplos para logaritmos

Expressões logarítmicas

Exemplo 1.
UM). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando as propriedades 3.5 calculamos

4. Onde .

Exemplo 2. Encontre x se

Exemplo 3. Seja dado o valor dos logaritmos

Calcule log(x) se

Propriedades básicas de logaritmos

Os logaritmos, como qualquer número, podem ser adicionados, subtraídos e transformados de todas as maneiras. Mas como os logaritmos não são exatamente números comuns, existem regras aqui, que são chamadas propriedades principais.

Definitivamente, você precisa conhecer essas regras - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, são poucos - você pode aprender tudo em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com as mesmas bases: logax e logay. Então eles podem ser adicionados e subtraídos e:

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é igual ao logaritmo do quociente. Observe: ponto chave Aqui - motivos idênticos. Se os motivos forem diferentes, estas regras não funcionam!

Essas fórmulas ajudarão você a calcular expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são contadas (veja a lição “O que é um logaritmo”). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Como os logaritmos têm as mesmas bases, usamos a fórmula da soma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log2 48 − log2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log3 135 − log3 5.

Novamente as bases são iguais, então temos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos “ruins”, que não são calculados separadamente. Mas após as transformações, são obtidos números completamente normais. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, expressões semelhantes a testes são oferecidas com toda a seriedade (às vezes praticamente sem alterações) no Exame de Estado Unificado.

Extraindo o expoente do logaritmo

É fácil perceber que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar disso de qualquer maneira - em alguns casos, isso reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o ODZ do logaritmo for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não só da esquerda para a direita, mas também vice-versa , ou seja Você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isto é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log7 496.

Vamos nos livrar do grau no argumento usando a primeira fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que o denominador contém um logaritmo, cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 24; 49 = 72. Temos:

Acho que o último exemplo requer alguns esclarecimentos. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento trabalhamos apenas com o denominador.

Fórmulas de logaritmo. Soluções de exemplos de logaritmos.

Apresentamos a base e o argumento do logaritmo ali na forma de potências e retiramos os expoentes - obtivemos uma fração de “três andares”.

Agora vamos dar uma olhada na fração principal. O numerador e o denominador contêm o mesmo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, e foi isso que foi feito. O resultado foi a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se os motivos forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas para a transição para uma nova base vêm em socorro. Vamos formulá-los na forma de um teorema:

Seja dado o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se definirmos c = x, obteremos:

Da segunda fórmula segue-se que a base e o argumento do logaritmo podem ser trocados, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo aparece no denominador.

Estas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas. É possível avaliar o quão convenientes eles são apenas na resolução de equações e desigualdades logarítmicas.

No entanto, existem problemas que não podem ser resolvidos, exceto com a mudança para uma nova fundação. Vejamos alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log5 16 log2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos contêm potências exatas. Vamos retirar os indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Agora vamos “inverter” o segundo logaritmo:

Como o produto não muda quando os fatores são reorganizados, multiplicamos calmamente quatro por dois e depois tratamos dos logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar isso e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal passando para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes no processo de solução é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Neste caso, as seguintes fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas um valor logarítmico.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É assim que se chama: .

Na verdade, o que acontece se o número b for elevado a tal potência que o número b elevado a esta potência dê o número a? Isso mesmo: o resultado é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas ficam presas nele.

Tal como as fórmulas para passar para uma nova base, a identidade logarítmica básica é por vezes a única solução possível.

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que log25 64 = log5 8 - simplesmente tirou o quadrado da base e do argumento do logaritmo. Considerando as regras de multiplicação de potências com a mesma base, obtemos:

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Concluindo, darei duas identidades que dificilmente podem ser chamadas de propriedades - antes, são consequências da definição do logaritmo. Eles aparecem constantemente em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos “avançados”.

logaa = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo de qualquer base a dessa base é igual a um.
loga 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento contiver um, o logaritmo será igual a zero! Porque a0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

Veja também:

O logaritmo de b na base a denota a expressão. Calcular o logaritmo significa encontrar uma potência x () na qual a igualdade é satisfeita

Propriedades básicas do logaritmo

É necessário conhecer as propriedades acima, pois quase todos os problemas e exemplos relacionados aos logaritmos são resolvidos com base nelas. O resto das propriedades exóticas podem ser derivadas através de manipulações matemáticas com estas fórmulas

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Ao calcular a fórmula para a soma e diferença dos logaritmos (3.4), você se depara com bastante frequência. Os demais são um tanto complexos, mas em diversas tarefas são indispensáveis para simplificar expressões complexas e calcular seus valores.

Casos comuns de logaritmos

Alguns dos logaritmos comuns são aqueles em que a base é igual a dez, exponencial ou dois.
O logaritmo na base dez é geralmente chamado de logaritmo decimal e é simplesmente denotado por lg(x).

Fica claro na gravação que o básico não está escrito na gravação. Por exemplo

Um logaritmo natural é um logaritmo cuja base é um expoente (denotado por ln(x)).

O expoente é 2,718281828…. Para lembrar o expoente, você pode estudar a regra: o expoente é igual a 2,7 e duas vezes o ano de nascimento de Leo Nikolaevich Tolstoy. Conhecendo esta regra, você saberá o valor exato do expoente e a data de nascimento de Leão Tolstói.

E outro logaritmo importante para a base dois é denotado por

A derivada do logaritmo de uma função é igual a um dividido pela variável

O logaritmo integral ou antiderivado é determinado pela relação

O material fornecido é suficiente para você resolver uma ampla classe de problemas relacionados a logaritmos e logaritmos. Para ajudá-lo a entender o material, darei apenas alguns exemplos comuns do currículo escolar e das universidades.

Exemplos para logaritmos

Expressões logarítmicas

Exemplo 1.
UM). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando as propriedades 3.5 calculamos

2.
Pela propriedade da diferença de logaritmos temos

3.
Usando as propriedades 3.5 encontramos

4. Onde .

Na aparência expressão complexa usando uma série de regras é simplificado para formar

Encontrando valores de logaritmo

Exemplo 2. Encontre x se

Solução. Para cálculo, aplicamos ao último termo 5 e 13 propriedades

Nós registramos e lamentamos

Como as bases são iguais, igualamos as expressões

Logaritmos. Nível de entrada.

Deixe o valor dos logaritmos ser dado

Calcule log(x) se

Solução: vamos pegar um logaritmo da variável para escrever o logaritmo através da soma de seus termos

Este é apenas o começo de nosso conhecimento dos logaritmos e suas propriedades. Pratique cálculos, enriqueça suas habilidades práticas - em breve você precisará do conhecimento adquirido para resolver equações logarítmicas. Tendo estudado os métodos básicos para resolver tais equações, expandiremos seu conhecimento para outro tópico igualmente importante - desigualdades logarítmicas...

Propriedades básicas de logaritmos

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com as mesmas bases: logax e logay. Então eles podem ser adicionados e subtraídos e:

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é igual ao logaritmo do quociente. Atenção: o ponto chave aqui é motivos idênticos. Se os motivos forem diferentes, estas regras não funcionam!

Estas fórmulas irão ajudá-lo a calcular uma expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (veja a lição “O que é um logaritmo”). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log6 4 + log6 9.

Como os logaritmos têm as mesmas bases, usamos a fórmula da soma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log2 48 − log2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log3 135 − log3 5.

Novamente as bases são iguais, então temos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Extraindo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se a base ou argumento de um logaritmo for uma potência? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil perceber que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar disso de qualquer maneira - em alguns casos, isso reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Como resolver logaritmos

Isto é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log7 496.

Vamos nos livrar do grau no argumento usando a primeira fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que o denominador contém um logaritmo, cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 24; 49 = 72. Temos:

Acho que o último exemplo requer alguns esclarecimentos. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento trabalhamos apenas com o denominador. Apresentamos a base e o argumento do logaritmo ali na forma de potências e retiramos os expoentes - obtivemos uma fração de “três andares”.

Transição para uma nova fundação

As fórmulas para a transição para uma nova base vêm em socorro. Vamos formulá-los na forma de um teorema:

Seja dado o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se definirmos c = x, obteremos:

Da segunda fórmula segue-se que a base e o argumento do logaritmo podem ser trocados, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo aparece no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar o quão convenientes eles são apenas na resolução de equações e desigualdades logarítmicas.

No entanto, existem problemas que não podem ser resolvidos, exceto com a mudança para uma nova fundação. Vejamos alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log5 16 log2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos contêm potências exatas. Vamos retirar os indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Agora vamos “inverter” o segundo logaritmo:

Como o produto não muda quando os fatores são reorganizados, multiplicamos calmamente quatro por dois e depois tratamos dos logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar isso e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal passando para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes no processo de solução é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Neste caso, as seguintes fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas um valor logarítmico.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É assim que se chama: .

Tal como as fórmulas para passar para uma nova base, a identidade logarítmica básica é por vezes a única solução possível.

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que log25 64 = log5 8 - simplesmente tirou o quadrado da base e do argumento do logaritmo. Levando em consideração as regras de multiplicação de potências com a mesma base, obtemos:

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

logaa = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo de qualquer base a dessa base é igual a um.
loga 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento contiver um, o logaritmo será igual a zero! Porque a0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

Logaritmo de um número N baseado em UM chamado expoente X , para o qual você precisa construir UM para obter o número N

Desde que
,
,

Da definição de logaritmo segue que
, ou seja
- esta igualdade é a identidade logarítmica básica.

Logaritmos na base 10 são chamados de logaritmos decimais. Em vez de
escrever
.

Logaritmos na base e são chamados naturais e são designados
.

Propriedades básicas dos logaritmos.

O logaritmo de um é igual a zero para qualquer base.

O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

3) O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos

Fator
chamado de módulo de transição dos logaritmos para a base um para logaritmos na base b .

Usando as propriedades 2 a 5, muitas vezes é possível reduzir o logaritmo de uma expressão complexa ao resultado de operações aritméticas simples sobre logaritmos.

Por exemplo,

Tais transformações de um logaritmo são chamadas logaritmos. As transformações inversas aos logaritmos são chamadas de potenciação.

Capítulo 2. Elementos de matemática superior.

1. Limites

Limite da função
é um número finito A se, como xx 0 para cada predeterminado
, existe um tal número
que assim que
, Que
.

Uma função que tem um limite difere dela por uma quantidade infinitesimal:
, onde- b.m.v., ou seja,
.

Exemplo. Considere a função
.

Ao se esforçar
, função sim tende a zero:

1.1. Teoremas básicos sobre limites.

Limite valor constante igual a este valor constante

O limite da soma (diferença) de um número finito de funções é igual à soma (diferença) dos limites dessas funções.

O limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções.

O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções se o limite do denominador não for zero.

Limites Maravilhosos

,
, Onde

1.2. Exemplos de cálculo de limite

No entanto, nem todos os limites são calculados tão facilmente. Mais frequentemente, calcular o limite se resume a revelar uma incerteza do tipo: ou .

2. Derivada de uma função

Vamos ter uma função
, contínuo no segmento
.

Argumento teve algum aumento
. Então a função receberá um incremento
.

Valor do argumento corresponde ao valor da função
.

Valor do argumento
corresponde ao valor da função.

Por isso, .

Vamos encontrar o limite desta razão em
. Se este limite existir, então ele é chamado de derivada da função dada.

Definição 3 Derivada de uma determinada função
por argumento é chamado de limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento do argumento, quando o incremento do argumento tende arbitrariamente a zero.

Derivada de uma função
pode ser designado da seguinte forma:

; ; ; .

Definição 4A operação para encontrar a derivada de uma função é chamada diferenciação.

2.1. Significado mecânico de derivada.

Consideremos o movimento retilíneo de algum corpo rígido ou ponto material.

Deixe em algum momento ponto móvel
estava à distância da posição inicial
.

Depois de algum período de tempo
ela se moveu uma distância
. Atitude =- velocidade média ponto material
. Vamos encontrar o limite desta relação, levando em conta que
.

Conseqüentemente, determinar a velocidade instantânea de movimento de um ponto material se reduz a encontrar a derivada do caminho em relação ao tempo.

2.2. Valor geométrico da derivada

Vamos ter uma função definida graficamente
.

Arroz. 1. Significado geométrico da derivada

Se
, então aponte
, se moverá ao longo da curva, aproximando-se do ponto
.

Por isso
, ou seja o valor da derivada para um determinado valor do argumento numericamente igual à tangente do ângulo formado pela tangente em um determinado ponto com a direção positiva do eixo
.

2.3. Tabela de fórmulas básicas de diferenciação.

Função de energia

Função exponencial

Função logarítmica

Função trigonométrica

Reverter função trigonométrica

2.4. Regras de diferenciação.

Derivada de

Derivada da soma (diferença) de funções

Derivada do produto de duas funções

Derivada do quociente de duas funções

2.5. Derivada de uma função complexa.

Deixe a função ser dada
tal que possa ser representado na forma

E
, onde a variável é um argumento intermediário, então

A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada da função dada em relação ao argumento intermediário e a derivada do argumento intermediário em relação a x.

Exemplo 1.

Exemplo 2.

3. Função diferencial.

Que haja
, diferenciável em um determinado intervalo
e deixe no esta função tem uma derivada

então podemos escrever

(1),

Onde - uma quantidade infinitesimal,

desde quando

Multiplicando todos os termos de igualdade (1) por
nós temos:

Onde
- b.m.v. ordem superior.

Magnitude
chamado de diferencial da função
e é designado

3.1. Valor geométrico do diferencial.

Deixe a função ser dada
.

Figura 2. Significado geométrico de diferencial.

Obviamente, o diferencial da função
é igual ao incremento da ordenada da tangente em um determinado ponto.

3.2. Derivadas e diferenciais de diversas ordens.

Se houver
, Então
é chamada de primeira derivada.

A derivada da primeira derivada é chamada de derivada de segunda ordem e é escrita
.

Derivada da enésima ordem da função
é chamada de derivada de ordem (n-1) e é escrita:

O diferencial do diferencial de uma função é chamado de segundo diferencial ou diferencial de segunda ordem.

.

.

3.3 Resolução de problemas biológicos por diferenciação.

Tarefa 1. Estudos têm demonstrado que o crescimento de uma colônia de microrganismos obedece à lei
, Onde N – número de microrganismos (em milhares), t – tempo (dias).

b) A população da colônia aumentará ou diminuirá durante este período?

Responder. O tamanho da colônia aumentará.

Tarefa 2. A água do lago é testada periodicamente para monitorar o conteúdo de bactérias patogênicas. Através t dias após o teste, a concentração de bactérias é determinada pela proporção

Quando o lago terá concentração mínima de bactérias e será possível nadar nele?

Solução: Uma função atinge máximo ou mínimo quando sua derivada é zero.

Vamos determinar o máximo ou mínimo em 6 dias. Para fazer isso, vamos calcular a segunda derivada.

Resposta: Após 6 dias haverá uma concentração mínima de bactérias.

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas questões confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Principalmente equações com logaritmos.

Isto não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredite em mim? Multar. Agora, em apenas 10 a 20 minutos você:

1. Você vai entender o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver uma aula inteira equações exponenciais. Mesmo que você não tenha ouvido nada sobre eles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisará conhecer a tabuada e como elevar um número a uma potência...

Sinto que você tem dúvidas... Pois bem, marque a hora! Vamos!

Primeiro, resolva esta equação mentalmente:

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Instruções

Escreva a expressão logarítmica dada. Se a expressão usar o logaritmo de 10, então sua notação será abreviada e terá a seguinte aparência: lg b é o logaritmo decimal. Se o logaritmo tiver o número e como base, escreva a expressão: ln b – logaritmo natural. Entende-se que o resultado de qualquer é a potência à qual o número base deve ser elevado para obter o número b.

Ao encontrar a soma de duas funções, basta diferenciá-las uma por uma e somar os resultados: (u+v)" = u"+v";

Ao encontrar a derivada do produto de duas funções, é necessário multiplicar a derivada da primeira função pela segunda e somar a derivada da segunda função multiplicada pela primeira função: (u*v)" = u"*v +v"*você;

Para encontrar a derivada do quociente de duas funções, é necessário subtrair do produto da derivada do dividendo multiplicado pela função divisora o produto da derivada do divisor multiplicado pela função do dividendo, e dividir tudo isso pela função divisora ao quadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se dado função complexa, então é necessário multiplicar a derivada da função interna e a derivada da externa. Seja y=u(v(x)), então y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando os resultados obtidos acima, você pode diferenciar quase qualquer função. Então vejamos alguns exemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Existem também problemas envolvendo o cálculo da derivada em um ponto. Deixe a função y=e^(x^2+6x+5) ser dada, você precisa encontrar o valor da função no ponto x=1.
1) Encontre a derivada da função: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcule o valor da função em determinado ponto y"(1)=8*e^0=8

Vídeo sobre o tema

Conselhos úteis

Aprenda a tabela de derivadas elementares. Isso economizará significativamente tempo.

Fontes:

derivada de uma constante

Então, qual é a diferença entre equação racional do racional? Se a variável desconhecida estiver sob o sinal raiz quadrada, então a equação é considerada irracional.

Instruções

O principal método para resolver tais equações é o método de construção de ambos os lados equações em um quadrado. No entanto. isso é natural, a primeira coisa que você precisa fazer é se livrar da placa. Este método não é tecnicamente difícil, mas às vezes pode causar problemas. Por exemplo, a equação é v(2x-5)=v(4x-7). Ao elevar ambos os lados ao quadrado você obtém 2x-5=4x-7. Resolver tal equação não é difícil; x=1. Mas o número 1 não será dado equações. Por que? Substitua um na equação em vez do valor de x E os lados direito e esquerdo conterão expressões que não fazem sentido. Este valor não é válido para uma raiz quadrada. Portanto, 1 é uma raiz estranha e, portanto, esta equação não tem raízes.

Portanto, uma equação irracional é resolvida usando o método da quadratura de ambos os lados. E resolvida a equação, é necessário cortar raízes estranhas. Para fazer isso, substitua as raízes encontradas na equação original.

Considere outro.
2х+vх-3=0
Claro, esta equação pode ser resolvida usando a mesma equação da anterior. Mover compostos equações, que não possuem raiz quadrada, para o lado direito e depois usar o método de quadratura. resolva a equação racional resultante e as raízes. Mas também outro, mais elegante. Insira uma nova variável; vх=y. Conseqüentemente, você receberá uma equação da forma 2y2+y-3=0. Ou seja, o habitual equação quadrática. Encontre suas raízes; y1=1 e y2=-3/2. A seguir, resolva dois equações vх=1; vх=-3/2. A segunda equação não tem raízes; da primeira descobrimos que x=1. Não se esqueça de verificar as raízes.

Resolver identidades é bastante simples. Para isso, é necessário realizar transformações idênticas até que o objetivo traçado seja alcançado. Assim, com a ajuda de operações aritméticas simples, o problema será resolvido.

Você vai precisar

- papel;
- caneta.

Instruções

A mais simples dessas transformações são multiplicações algébricas abreviadas (como o quadrado da soma (diferença), diferença de quadrados, soma (diferença), cubo da soma (diferença)). Além disso, existem muitos e fórmulas trigonométricas, que são essencialmente as mesmas identidades.

Na verdade, o quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado o primeiro mais o dobro do produto do primeiro pelo segundo e mais o quadrado do segundo, ou seja (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Simplifique ambos

Princípios gerais da solução

Repita o livro sobre análise matemática ou matemática superior, que é uma integral definida. Como se sabe, a solução de uma integral definida é uma função cuja derivada dará um integrando. Esta função é chamada de antiderivada. Com base neste princípio, as integrais principais são construídas.
Determine pelo tipo de integrando qual das integrais da tabela é adequada neste caso. Nem sempre é possível determinar isso imediatamente. Freqüentemente, a forma tabular só se torna perceptível após várias transformações para simplificar o integrando.

Método de Substituição de Variável

Se o integrando for uma função trigonométrica cujo argumento é um polinômio, tente usar o método de mudança de variáveis. Para fazer isso, substitua o polinômio no argumento do integrando por alguma nova variável. Com base na relação entre as variáveis novas e antigas, determine os novos limites de integração. Ao diferenciar esta expressão, encontre o novo diferencial em. Então você vai conseguir novo visual da integral anterior, próxima ou mesmo correspondente a qualquer integral tabular.

Resolvendo integrais de segundo tipo

Se a integral for uma integral do segundo tipo, uma forma vetorial do integrando, então será necessário usar as regras para a transição dessas integrais para as integrais escalares. Uma dessas regras é a relação Ostrogradsky-Gauss. Esta lei nos permite passar do fluxo do rotor de uma determinada função vetorial para a integral tripla sobre a divergência de um determinado campo vetorial.

Substituição de limites de integração

Após encontrar a antiderivada, é necessário substituir os limites de integração. Primeiro, substitua o valor do limite superior na expressão da antiderivada. Você receberá algum número. A seguir, subtraia do número resultante outro número obtido do limite inferior na antiderivada. Se um dos limites da integração for infinito, então ao substituí-lo em função antiderivadaé preciso ir ao limite e descobrir o que a expressão almeja.
Se a integral for bidimensional ou tridimensional, você terá que representar os limites da integração geometricamente para entender como avaliar a integral. Na verdade, no caso de, digamos, uma integral tridimensional, os limites de integração podem ser planos inteiros que limitam o volume a ser integrado.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com as mesmas bases: log um x e registrar um sim. Então eles podem ser adicionados e subtraídos e:

registro um x+ registro um sim= registro um (x · sim);
registro um x− registro um sim= registro um (x : sim).

Estas fórmulas irão ajudá-lo a calcular uma expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (ver lição “O que é um logaritmo”). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Log 6 4 + log 6 9.

Como os logaritmos têm as mesmas bases, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente as bases são iguais, então temos:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Extraindo o expoente do logaritmo

É fácil perceber que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar disso de qualquer maneira - em alguns casos, isso reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: um > 0, um ≠ 1, x> 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não só da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, Você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isto é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento usando a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o significado da expressão:
[Legenda da foto]

Observe que o denominador contém um logaritmo, cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nós temos:

[Legenda da foto]

Agora vamos dar uma olhada na fração principal. O numerador e o denominador contêm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, e foi isso que foi feito. O resultado foi a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

As fórmulas para a transição para uma nova base vêm em socorro. Vamos formulá-los na forma de um teorema:

Deixe o log do logaritmo ser dado um x. Então para qualquer número c tal que c> 0 e c≠ 1, a igualdade é verdadeira:
[Legenda da foto]
Em particular, se colocarmos c = x, obtemos:
[Legenda da foto]

Da segunda fórmula segue-se que a base e o argumento do logaritmo podem ser trocados, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo aparece no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar o quão convenientes eles são apenas na resolução de equações e desigualdades logarítmicas.

No entanto, existem problemas que não podem ser resolvidos, exceto com a mudança para uma nova fundação. Vejamos alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos contêm potências exatas. Vamos retirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Agora vamos “inverter” o segundo logaritmo:

[Legenda da foto]

Como o produto não muda quando os fatores são reorganizados, multiplicamos calmamente quatro por dois e depois tratamos dos logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar isso e nos livrar dos indicadores:

[Legenda da foto]

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal passando para uma nova base:

[Legenda da foto]

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes no processo de solução é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Neste caso, as seguintes fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se um indicador do grau que está no argumento. Número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas um valor logarítmico.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É assim que se chama: a identidade logarítmica básica.

Na verdade, o que acontecerá se o número b eleve a tal potência que o número b a esta potência dá o número um? Isso mesmo: você recebe esse mesmo número um. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas ficam presas nele.

Tal como as fórmulas para passar para uma nova base, a identidade logarítmica básica é por vezes a única solução possível.

Tarefa. Encontre o significado da expressão:
[Legenda da foto]

Observe que log 25 64 = log 5 8 - simplesmente tirou o quadrado da base e argumento do logaritmo. Levando em consideração as regras de multiplicação de potências com a mesma base, obtemos:

[Legenda da foto]

Se alguém não sabe, esta foi uma verdadeira tarefa do Exame Estadual Unificado :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

registro um um= 1 é uma unidade logarítmica. Lembre-se de uma vez por todas: logaritmo para qualquer base um desta mesma base é igual a um.
registro um 1 = 0 é zero logarítmico. Base um pode ser qualquer coisa, mas se o argumento contiver um, o logaritmo será igual a zero! Porque um 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

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