Fórmulas de graduação utilizado no processo de redução e simplificação expressões complexas, na resolução de equações e desigualdades.
Número cé n-ésima potência de um número um Quando:
Operações com graus.
1. Multiplicando potências de c a mesma base seus indicadores somam:
sou·a n = a m + n .
2. Ao dividir graus com a mesma base, seus expoentes são subtraídos:
3. Potência do produto de 2 ou mais fatores é igual ao produto das potências desses fatores:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. O grau de uma fração é igual à razão entre os graus do dividendo e do divisor:
(a/b) n = a n /b n .
5. Elevando uma potência a uma potência, os expoentes são multiplicados:
(um m) n = um m n .
Cada fórmula acima é verdadeira nas direções da esquerda para a direita e vice-versa.
Por exemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operações com raízes.
1. A raiz do produto de vários fatores é igual ao produto das raízes destes fatores:
2. A raiz de uma proporção é igual à proporção entre o dividendo e o divisor das raízes:
3. Ao elevar uma raiz a uma potência, basta elevar o número radical a esta potência:
4. Se você aumentar o grau da raiz em n uma vez e ao mesmo tempo construir em n a potência é um número radical, então o valor da raiz não mudará:
5. Se você reduzir o grau de raiz em n extrair a raiz ao mesmo tempo n-ésima potência de um número radical, então o valor da raiz não mudará:
Um grau com um expoente negativo. A potência de um certo número com um expoente não positivo (inteiro) é definida como um dividido pela potência do mesmo número com um expoente igual a valor absoluto indicador não positivo:
Fórmula sou:um n =um m - n pode ser usado não apenas para eu> n, mas também com eu< n.
Por exemplo. um4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Para fórmula sou:um n =um m - n tornou-se justo quando m=n, é necessária a presença de grau zero.
Um diploma com índice zero. A potência de qualquer número diferente de zero com expoente zero é igual a um.
Por exemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grau com expoente fracionário. Para aumentar um número real UM até o grau m/n, você precisa extrair a raiz n o grau de eu-ésima potência deste número UM.
A calculadora ajuda você a elevar rapidamente um número a uma potência online. A base do grau pode ser qualquer número (inteiros e reais). O expoente também pode ser um número inteiro ou real, e também pode ser positivo ou negativo. Lembre-se de que, para números negativos, elevar a uma potência não inteira é indefinido e, portanto, a calculadora reportará um erro se você tentar fazê-lo.
Calculadora de graus
Elevar ao poder
Exponenciações: 20880
O que é uma potência natural de um número?
O número p é chamado de enésima potência de um número se p for igual ao número a multiplicado por ele mesmo n vezes: p = a n = a·...·a
n - chamado expoente, e o número a é base de graduação.
Como elevar um número a uma potência natural?
Para entender como construir números diferentes aos poderes naturais, considere alguns exemplos:
Exemplo 1. Eleve o número três à quarta potência. Ou seja, é necessário calcular 3 4
Solução: como mencionado acima, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Responder: 3 4 = 81 .
Exemplo 2. Eleve o número cinco à quinta potência. Ou seja, é necessário calcular 5 5
Solução: da mesma forma, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Responder: 5 5 = 3125 .
Assim, para elevar um número a uma potência natural, basta multiplicá-lo por ele mesmo n vezes.
O que é uma potência negativa de um número?
A potência negativa -n de a é dividida por a elevado à potência de n: a -n = .Neste caso, uma potência negativa existe apenas para números diferentes de zero, caso contrário ocorreria a divisão por zero.
Como elevar um número a uma potência inteira negativa?
Para elevar um número diferente de zero a uma potência negativa, você precisa calcular o valor desse número à mesma potência positiva e dividir um pelo resultado.
Exemplo 1. Eleve o número dois à quarta potência negativa. Ou seja, você precisa calcular 2 -4
Solução: como afirmado acima, 2 -4 = = = 0,0625.Responder: 2 -4 = 0.0625 .
Elevar a uma potência negativa é um dos elementos básicos da matemática, frequentemente encontrado na resolução de problemas algébricos. Abaixo estão instruções detalhadas.
Como elevar a uma potência negativa - teoria
Quando elevamos um número a uma potência ordinária, multiplicamos o seu valor várias vezes. Por exemplo, 3 3 = 3×3×3 = 27. Com uma fração negativa, o oposto é verdadeiro. A forma geral da fórmula será próxima visualização: uma -n = 1/uma n . Assim, para elevar um número a uma potência negativa, você precisa dividir um pelo número fornecido, mas a uma potência positiva.
Como elevar a uma potência negativa - exemplos de números comuns
Tendo em mente a regra acima, vamos resolver alguns exemplos.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Resposta: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Resposta -4 -2 = 1/16.
Mas por que as respostas no primeiro e no segundo exemplos são iguais? O fato é que quando um número negativo é elevado a uma potência par (2, 4, 6, etc.), o sinal torna-se positivo. Se o grau fosse par, o menos permaneceria:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Como elevar a uma potência negativa - números de 0 a 1
Lembre-se de que quando um número entre 0 e 1 é elevado a uma potência positiva, o valor diminui à medida que a potência aumenta. Então, por exemplo, 0,5 2 = 0,25. 0,25
Exemplo 3: Calcule 0,5 -2
Solução: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Resposta: 0,5 -2 = 4
Análise (sequência de ações):
- Converta a fração decimal 0,5 na fração fracionária 1/2. É mais fácil assim.
Eleve 1/2 a uma potência negativa. 1/(2) -2 . Divida 1 por 1/(2) 2, obtemos 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Exemplo 4: Calcule 0,5 -3
Solução: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Exemplo 5: Calcule -0,5 -3
Solução: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Resposta: -0,5 -3 = -8
Com base nos 4º e 5º exemplos, podemos tirar várias conclusões:
- Para um número positivo no intervalo de 0 a 1 (exemplo 4), elevado a uma potência negativa, não importa se a potência é par ou ímpar, o valor da expressão será positivo. Ao mesmo tempo, do que mais grau, maior será o valor.
- Para um número negativo no intervalo de 0 a 1 (exemplo 5), elevado a uma potência negativa, não importa se a potência é par ou ímpar, o valor da expressão será negativo. Neste caso, quanto maior o grau, menor o valor.
Como elevar a uma potência negativa - uma potência na forma de um número fracionário
Expressões deste tipo têm a seguinte forma: a -m/n, onde a é um número regular, m é o numerador do grau, n é o denominador do grau.
Vejamos um exemplo:
Calcular: 8 -1/3
Solução (sequência de ações):
- Vamos lembrar a regra para elevar um número a uma potência negativa. Obtemos: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Observe que o denominador tem o número 8 em uma potência fracionária. A forma geral de cálculo de uma potência fracionária é a seguinte: a m/n = n √8 m.
- Assim, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Obtemos a raiz cúbica de oito, que é igual a 2. A partir daqui, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Resposta: 8 -1/3 = 2
Da escola, todos conhecemos a regra da exponenciação: qualquer número com expoente N é igual ao resultado da multiplicação desse número por ele mesmo N número de vezes. Em outras palavras, 7 elevado a 3 é 7 multiplicado por ele mesmo três vezes, ou seja, 343. Outra regra é que elevar qualquer quantidade à potência de 0 dá um, e aumentar uma quantidade negativa é o resultado do aumento normal para a potência se for par e o mesmo resultado com um sinal de menos se for ímpar.
As regras também dão a resposta sobre como elevar um número a uma potência negativa. Para fazer isso você precisa construir da maneira habitual o valor necessário por módulo do indicador e depois divida a unidade pelo resultado.
A partir destas regras fica claro que a execução de tarefas reais que envolvem grandes quantidades exigirá a presença de meios técnicos. Manualmente, você pode multiplicar por si mesmo um intervalo máximo de números de vinte a trinta e, a seguir, não mais do que três ou quatro vezes. Isso sem falar na divisão de um pelo resultado. Portanto, para quem não tem uma calculadora especial de engenharia em mãos, mostraremos como elevar um número a uma potência negativa no Excel.
Resolvendo problemas no Excel
Para resolver problemas que envolvem exponenciação, o Excel permite usar uma de duas opções.
A primeira é o uso de uma fórmula com um sinal padrão de “tampa”. Insira os seguintes dados nas células da planilha:
Da mesma forma, você pode elevar o valor desejado a qualquer potência - negativo, fracionário. Vamos fazê-lo próximos passos e responda à questão de como elevar um número a uma potência negativa. Exemplo:
Você pode corrigir =B2^-C2 diretamente na fórmula.
A segunda opção é usar a função “Grau” pronta, que aceita dois argumentos obrigatórios - um número e um expoente. Para começar a utilizá-lo, basta colocar o sinal de igual (=) em qualquer célula livre, indicando o início da fórmula, e digitar as palavras acima. Resta selecionar duas células que participarão da operação (ou especificar números específicos manualmente) e pressionar a tecla Enter. Vejamos alguns exemplos simples.
Fórmula | Resultado |
||||
GRAU(B2;C2) | |||||
GRAU(B3;C3) |
|
Como você pode ver, não há nada complicado em como elevar um número a uma potência negativa e a uma potência regular usando o Excel. Afinal, para resolver esse problema, você pode usar tanto o conhecido símbolo da “tampa” quanto a função integrada do programa, que é fácil de lembrar. Esta é uma vantagem definitiva!
Vamos passar para mais exemplos complexos. Vamos lembrar a regra sobre como elevar um número a uma potência fracionária negativa e veremos que esse problema é facilmente resolvido no Excel.
Indicadores fracionários
Resumindo, o algoritmo para calcular um número com expoente fracionário é o seguinte.
- Converta uma fração em uma fração própria ou imprópria.
- Eleve nosso número ao numerador da fração convertida resultante.
- A partir do número obtido no parágrafo anterior, calcule a raiz, com a condição de que o expoente da raiz seja o denominador da fração obtida na primeira etapa.
Concorde que mesmo operando com números pequenos e frações adequadas, esses cálculos podem levar muito tempo. É bom que o processador de planilhas do Excel não se importe com qual número é elevado a que potência. Tente resolver o seguinte exemplo em uma planilha do Excel:
Usando as regras acima, você pode verificar e ter certeza de que o cálculo foi feito corretamente.
Ao final do nosso artigo apresentaremos em forma de tabela com fórmulas e resultados vários exemplos de como elevar um número a uma potência negativa, bem como vários exemplos de operação com números fracionários e potências.
Tabela de exemplo
Confira os exemplos a seguir em sua planilha do Excel. Para que tudo funcione corretamente, é necessário utilizar uma referência mista na hora de copiar a fórmula. Fixe o número da coluna que contém o número que está sendo aumentado e o número da linha que contém o indicador. Sua fórmula deve ser semelhante a esta: “=$B4^C$3.”
Número/Grau | |||||
Observe que números positivos (mesmo não inteiros) podem ser calculados sem problemas para qualquer expoente. Não há problemas em elevar qualquer número a inteiros. Mas elevar um número negativo a uma potência fracionária acabará sendo um erro para você, pois é impossível seguir a regra indicada no início do nosso artigo sobre a elevação de números negativos, pois a paridade é uma característica exclusivamente de um número INTEIRO.
Um número elevado a uma potência Eles ligam para um número que é multiplicado várias vezes por ele mesmo.
Potência de um número com valor negativo (um) pode ser determinado de maneira semelhante a como a potência do mesmo número com um expoente positivo é determinada (um) . No entanto, também requer definição adicional. A fórmula é definida como:
um = (1/um)
As propriedades das potências negativas dos números são semelhantes às potências com expoente positivo. Equação apresentada um m/um n= um homem pode ser justo como
« Em nenhum lugar, como na matemática, a clareza e a precisão da conclusão permitem que uma pessoa se esquive de uma resposta falando em torno da questão.».
A.D. Alexandrov
no n mais eu , e com eu mais n . Vejamos um exemplo: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Primeiro você precisa determinar o número que atua como definição do grau. b=uma(-n) . Neste exemplo -n é um expoente b - o valor numérico desejado, um - a base do grau na forma de um valor numérico natural. Em seguida, determine o módulo, ou seja, o valor absoluto de um número negativo, que atua como expoente. Calcule o grau de um determinado número em relação a um número absoluto como indicador. O valor do grau é encontrado dividindo um pelo número resultante.
Arroz. 1
Considere a potência de um número com um expoente fracionário negativo. Vamos imaginar que o número a é qualquer número positivo, números n E eu - números naturais. De acordo com a definição um , que é elevado à potência - é igual a um dividido pelo mesmo número com uma potência positiva (Figura 1). Quando a potência de um número é uma fração, nesses casos apenas números com expoentes positivos são usados.
Vale a pena lembrar que zero nunca pode ser um expoente de um número (a regra da divisão por zero).
A disseminação de um conceito como número tornou-se manipulações como cálculos de medição, bem como o desenvolvimento da matemática como ciência. A introdução de valores negativos deveu-se ao desenvolvimento da álgebra, que deu soluções gerais problemas aritméticos, independentemente do seu significado específico e dos dados numéricos iniciais. Na Índia, nos séculos 6 a 11, os números negativos eram usados sistematicamente na resolução de problemas e eram interpretados da mesma forma que hoje. Na ciência europeia, os números negativos começaram a ser amplamente utilizados graças a R. Descartes, que deu uma interpretação geométrica dos números negativos como direções dos segmentos. Foi Descartes quem propôs a designação de um número elevado a uma potência a ser exibido como uma fórmula de dois andares um .
Um número elevado a uma potência Eles ligam para um número que é multiplicado várias vezes por ele mesmo.
Potência de um número com valor negativo (um) pode ser determinado de maneira semelhante a como a potência do mesmo número com um expoente positivo é determinada (um) . No entanto, também requer definição adicional. A fórmula é definida como:
um = (1/um)
As propriedades das potências negativas dos números são semelhantes às potências com expoente positivo. Equação apresentada um m/um n= um homem pode ser justo como
« Em nenhum lugar, como na matemática, a clareza e a precisão da conclusão permitem que uma pessoa se esquive de uma resposta falando em torno da questão.».
A.D. Alexandrov
no n mais eu , e com eu mais n . Vejamos um exemplo: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Primeiro você precisa determinar o número que atua como definição do grau. b=uma(-n) . Neste exemplo -n é um expoente b - o valor numérico desejado, um - a base do grau na forma de um valor numérico natural. Em seguida, determine o módulo, ou seja, o valor absoluto de um número negativo, que atua como expoente. Calcule o grau de um determinado número em relação a um número absoluto como indicador. O valor do grau é encontrado dividindo um pelo número resultante.
Arroz. 1
Considere a potência de um número com um expoente fracionário negativo. Vamos imaginar que o número a é qualquer número positivo, números n E eu - números naturais. De acordo com a definição um , que é elevado à potência - é igual a um dividido pelo mesmo número com uma potência positiva (Figura 1). Quando a potência de um número é uma fração, nesses casos apenas números com expoentes positivos são usados.
Vale a pena lembrar que zero nunca pode ser um expoente de um número (a regra da divisão por zero).
A disseminação de um conceito como número tornou-se manipulações como cálculos de medição, bem como o desenvolvimento da matemática como ciência. A introdução dos valores negativos deveu-se ao desenvolvimento da álgebra, que deu soluções gerais aos problemas aritméticos, independentemente do seu significado específico e dos dados numéricos originais. Na Índia, nos séculos 6 a 11, os números negativos eram usados sistematicamente na resolução de problemas e eram interpretados da mesma forma que hoje. Na ciência europeia, os números negativos começaram a ser amplamente utilizados graças a R. Descartes, que deu uma interpretação geométrica dos números negativos como direções dos segmentos. Foi Descartes quem propôs a designação de um número elevado a uma potência a ser exibido como uma fórmula de dois andares um .
Como você sabe, em matemática não existem apenas números positivos, mas também negativos. Se o conhecimento das potências positivas começa com a determinação da área de um quadrado, então com as potências negativas tudo é um pouco mais complicado.
Isso você deve saber:
- Elevar um número a uma potência natural é a multiplicação de um número (no artigo consideraremos os conceitos de número e equivalente de dígito) por si mesmo em uma quantidade tal como o expoente (no futuro usaremos em paralelo e simplesmente a palavra expoente). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. EM visão geral fica assim: m^n = m*m*m*…*m (n vezes).
- Deve-se levar em conta que quando um número negativo é elevado a uma potência natural, ele se tornará positivo se o expoente for par.
- Elevar um número a um expoente 0 dá um, desde que não seja igual a zero. Zero elevado à potência zero é considerado indefinido. 17 ^ 0 = 1.
- Extrair a raiz de uma determinada potência de um número é encontrar um número que, quando elevado ao expoente apropriado, dará o valor desejado. Então, a raiz cúbica de 125 é 5, já que 5^3 = 125.
- Se você quiser elevar um número a uma potência fracionária positiva, precisará elevar o número ao expoente do denominador e extrair dele a raiz do expoente do numerador. 6^5/7 = a sétima raiz do produto 6*6*6*6*6.
- Se você precisar aumentar um número para indicador negativo, então você precisa encontrar o inverso do número fornecido. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.
Elevando um módulo numérico zero a um elevado a uma potência negativa
Primeiro devemos lembrar o que é um módulo. Esta é a distância na linha de coordenadas do valor que escolhemos até a origem (zero da linha de coordenadas). Por definição, nunca pode ser negativo.
Valor maior que zero
Quando o valor de um dígito está entre zero e um, um indicador negativo dá um aumento no próprio dígito. Isso acontece porque o denominador diminui, mas permanece positivo.
Vejamos exemplos:
- 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
- 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.
Além disso, quanto maior o módulo do indicador, mais ativamente o número cresce. À medida que o denominador tende para zero, a própria fração tende para mais o infinito.
Valor menor que zero
Agora vamos ver como elevar a uma potência negativa se o número for menor que zero. O princípio é o mesmo da parte anterior, mas aqui o sinal do indicador é importante.
Vejamos os exemplos novamente:
- -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
- -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.
Neste caso, vemos que módulo continua a crescer, mas o sinal depende se o indicador é par ou ímpar.
Deve-se notar que se construirmos uma unidade, ela permanecerá sempre sozinha. Se você precisar aumentar um número menos um, então com um expoente par ele se transformará em um, e com um expoente ímpar permanecerá menos um.
Elevando para uma potência inteira negativa se o módulo for maior que um
Para números cujo módulo é maior que um, tem suas próprias peculiaridades de ações. Em primeiro lugar, é necessário converter a parte inteira da fração no numerador, ou seja, convertê-la em uma fração imprópria. Se tivermos decimal, então ele deve ser convertido para normal. Isso é feito da seguinte maneira:
- 6 inteiros 7/17 = 109/17;
- 2,54 = 254/100.
Agora vamos ver como elevar um número a uma potência negativa nestas condições. Já pelo exposto, podemos adivinhar o que devemos esperar do resultado dos cálculos. Como a fração dupla é invertida durante as simplificações, o módulo da figura diminuirá quanto mais rápido, maior será o módulo do expoente.
Primeiro, vamos considerar a situação em que o número dado na tarefa é positivo.
Em primeiro lugar, fica claro que o resultado final será maior que zero, pois a divisão de dois positivos sempre dá um positivo. Vejamos novamente exemplos de como isso é feito:
- 6 inteiros 1/20 elevado a menos quinta potência = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
- 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.
Como você pode ver, as ações não causam nenhuma dificuldade particular e todas as nossas suposições iniciais revelaram-se verdadeiras.
Agora vamos voltar ao caso de um dígito negativo.
Para começar, podemos assumir que se o indicador for par, o resultado será positivo; se o indicador for ímpar, o resultado será negativo. Todos os nossos cálculos anteriores nesta parte serão considerados válidos agora. Vejamos exemplos novamente:
- -3 inteiro 1/2 elevado a menos sexta potência = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
- -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.
Assim, todo o nosso raciocínio revelou-se correto.
Construção no caso de um expoente fracionário negativo
Aqui você precisa lembrar que tal construção existe extraindo a raiz da potência do denominador de um número para a potência do numerador. Todo o nosso raciocínio anterior permanece verdadeiro desta vez. Vamos explicar nossas ações com um exemplo:
- 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.
Neste caso, é preciso ter em mente que extrair raízes alto nível só é possível em uma forma especialmente selecionada e, muito provavelmente, você não conseguirá se livrar do sinal do radical (raiz quadrada, raiz cúbica, etc.) com cálculos precisos.
No entanto, tendo estudado detalhadamente os capítulos anteriores, não se deve esperar dificuldades nos cálculos escolares.
Deve-se notar que a descrição deste capítulo também inclui construção com um indicador deliberadamente irracional, por exemplo, se o indicador for igual a menos PI. Você precisa agir de acordo com os princípios descritos acima. No entanto, os cálculos nesses casos tornam-se tão complexos que apenas computadores eletrônicos poderosos podem fazê-los.
Conclusão
A ação que estudamos é um dos problemas mais difíceis da matemática(especialmente no caso de significado racional fracionário ou irracional). No entanto, tendo estudado detalhadamente e passo a passo estas instruções, você pode aprender a fazer isso de forma totalmente automática e sem problemas.
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