Renovação de casa Se precisarmos dividir 497 por 4, então, ao dividir, veremos que 497 não é divisível por 4, ou seja, o restante da divisão permanece. Nesses casos diz-se que está concluído divisão com resto
, e a solução é escrita da seguinte forma:
497: 4 = 124 (1 restante). Os componentes da divisão no lado esquerdo da igualdade são chamados da mesma forma que na divisão sem resto: 497 -, 4 - dividendo divisor . O resultado da divisão quando dividido com resto é chamado privado incompleto . No nosso caso, este é o número 124. E finalmente, o último componente, que não está na divisão ordinária, é restante . Nos casos em que não há resto, diz-se que um número está dividido por outro sem deixar vestígios ou inteiramente
. Acredita-se que com tal divisão o resto seja zero. No nosso caso, o resto é 1.
O resto é sempre menor que o divisor.
A divisão pode ser verificada por multiplicação. Se, por exemplo, houver uma igualdade 64: 32 = 2, então a verificação pode ser feita assim: 64 = 32 * 2.
Muitas vezes, nos casos em que a divisão com resto é realizada, é conveniente usar a igualdade
uma = b * n + r,
onde a é o dividendo, b é o divisor, n é o quociente incompleto, r é o resto.
O quociente dos números naturais pode ser escrito como uma fração.
O numerador de uma fração é o dividendo e o denominador é o divisor. Como o numerador de uma fração é o dividendo e o denominador é o divisor, acredito que a linha de uma fração significa a ação da divisão
. Às vezes é conveniente escrever a divisão como uma fração sem usar o sinal “:”.
O quociente da divisão dos números naturais m e n pode ser escrito como uma fração \(\frac(m)(n) \), onde o numerador m é o dividendo e o denominador n é o divisor:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Para obter a fração \(\frac(m)(n)\), você precisa dividir a unidade em n partes iguais (ações) e pegar m dessas partes.
Para obter a fração \(\frac(m)(n)\), você precisa dividir o número m pelo número n.
Para encontrar uma parte de um todo, é necessário dividir o número correspondente ao todo pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador da fração que expressa essa parte.
Para encontrar um inteiro a partir de sua parte, é necessário dividir o número correspondente a esta parte pelo numerador e multiplicar o resultado pelo denominador da fração que expressa esta parte.
Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número (exceto zero), o valor da fração não mudará:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Se o numerador e o denominador de uma fração forem divididos pelo mesmo número (exceto zero), o valor da fração não mudará:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Esta propriedade é chamada propriedade principal de uma fração.
As duas últimas transformações são chamadas reduzindo uma fração.
Se as frações precisam ser representadas como frações com o mesmo denominador, então esta ação é chamada trazendo frações para um denominador comum.
Frações próprias e impróprias. Números mistos
Você já sabe que uma fração pode ser obtida dividindo um todo em partes iguais e tomando várias dessas partes. Por exemplo, a fração \(\frac(3)(4)\) significa três quartos de um. Em muitos problemas do parágrafo anterior frações comuns usado para denotar uma parte de um todo. Senso comum sugere que a parte deve ser sempre menor que o todo, mas e quanto às frações como, por exemplo, \(\frac(5)(5)\) ou \(\frac(8)(5)\)? É claro que isso não faz mais parte da unidade. Provavelmente é por isso que as frações cujo numerador é maior ou igual ao denominador são chamadas frações impróprias. As frações restantes, ou seja, frações cujo numerador é menor que o denominador, são chamadas frações corretas.
Como você sabe, qualquer fração comum, tanto própria quanto imprópria, pode ser pensada como o resultado da divisão do numerador pelo denominador. Portanto, em matemática, diferentemente da linguagem comum, o termo “fração imprópria” não significa que fizemos algo errado, mas apenas que o numerador desta fração é maior ou igual ao denominador.
Se um número consiste em uma parte inteira e uma fração, então frações são chamadas de mistas.
Por exemplo:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 é a parte inteira e \(\frac(2)(3) \) é a parte fracionária.
Se o numerador da fração \(\frac(a)(b)\) for divisível por número natural n, então para dividir esta fração por n, você precisa dividir seu numerador por este número:
\(\grande \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Se o numerador da fração \(\frac(a)(b) \) não for divisível por um número natural n, então para dividir esta fração por n, você precisa multiplicar seu denominador por este número:
\(\grande \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Observe que a segunda regra também é verdadeira quando o numerador é divisível por n. Portanto, podemos utilizá-lo quando for difícil determinar à primeira vista se o numerador de uma fração é divisível por n ou não.
Ações com frações. Adicionando frações.
Você pode realizar operações aritméticas com números fracionários, assim como acontece com números naturais. Vejamos primeiro como adicionar frações. É fácil adicionar frações com denominadores semelhantes. Vamos encontrar, por exemplo, a soma de \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3)(7)\). É fácil entender que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador igual.
Usando letras, a regra para somar frações com denominadores semelhantes pode ser escrita da seguinte forma:
\(\grande \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Se você precisar adicionar frações com denominadores diferentes, então eles devem primeiro ser levados a um denominador comum. Por exemplo:
\(\grande \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Para frações, assim como para números naturais, são válidas as propriedades comutativas e associativas de adição.
Adicionando frações mistas
Notações como \(2\frac(2)(3)\) são chamadas frações mistas. Neste caso, o número 2 é chamado parte inteira fração mista, e o número \(\frac(2)(3)\) é seu parte fracionária. A entrada \(2\frac(2)(3)\) é lida da seguinte forma: “dois e dois terços”.
Ao dividir o número 8 pelo número 3, você pode obter duas respostas: \(\frac(8)(3)\) e \(2\frac(2)(3)\). Eles expressam o mesmo número fracionário, ou seja, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Assim, a fração imprópria \(\frac(8)(3)\) é representada como uma fração mista \(2\frac(2)(3)\). Nesses casos dizem que a partir de uma fração imprópria destacou toda a parte.
Subtraindo frações (números fracionários)
A subtração de números fracionários, como os números naturais, é determinada com base na ação de adição: subtrair outro de um número significa encontrar um número que, quando adicionado ao segundo, dá o primeiro. Por exemplo:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) já que \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
A regra para subtrair frações com denominadores semelhantes é semelhante à regra para adicionar tais frações:
Para encontrar a diferença entre frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador da segunda do numerador da primeira fração e deixar o denominador igual.
Usando letras, esta regra é escrita assim:
\(\grande \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Multiplicando frações
Para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores e escrever o primeiro produto como numerador e o segundo como denominador.
Usando letras, a regra para multiplicar frações pode ser escrita da seguinte forma:
\(\grande \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Usando a regra formulada, você pode multiplicar uma fração por um número natural, por uma fração mista, e também multiplicar frações mistas. Para fazer isso, você precisa escrever um número natural como uma fração com denominador 1 e uma fração mista como uma fração imprópria.
O resultado da multiplicação deve ser simplificado (se possível) reduzindo a fração e isolando toda a parte da fração imprópria.
Para as frações, assim como para os números naturais, são válidas as propriedades comutativas e combinativas da multiplicação, bem como a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Divisão de frações
Vamos pegar a fração \(\frac(2)(3)\) e “invertê-la”, trocando o numerador e o denominador. Obtemos a fração \(\frac(3)(2)\). Essa fração é chamada reverter frações \(\frac(2)(3)\).
Se agora “invertermos” a fração \(\frac(3)(2)\), obteremos a fração original \(\frac(2)(3)\). Portanto, frações como \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) são chamadas mutuamente inverso.
Por exemplo, as frações \(\frac(6)(5) \) e \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) e \(\frac (18) )(7)\).
Usando letras, as frações recíprocas podem ser escritas da seguinte forma: \(\frac(a)(b) \) e \(\frac(b)(a) \)
É claro que o produto das frações recíprocas é igual a 1. Por exemplo: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Usando frações recíprocas, você pode reduzir a divisão de frações à multiplicação.
A regra para dividir uma fração por uma fração é:
Para dividir uma fração por outra, você precisa multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.
Usando letras, a regra para divisão de frações pode ser escrita da seguinte forma:
\(\grande \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Se o dividendo ou divisor for um número natural ou uma fração mista, para usar a regra de divisão de frações, ele deve primeiro ser representado como uma fração imprópria.
A redução de frações é necessária para reduzir a fração a uma forma mais simples, por exemplo, na resposta obtida na resolução de uma expressão.
Redução de frações, definição e fórmula.
O que é redução de frações? O que significa reduzir uma fração?
Definição:
Reduzindo Frações- esta é a divisão do numerador e denominador de uma fração pelo mesmo número positivo diferente de zero e um. Como resultado da redução, obtém-se uma fração com numerador e denominador menores, igual à fração anterior segundo.
Fórmula para reduzir frações propriedades básicas dos números racionais.
\(\frac(p \vezes n)(q \vezes n)=\frac(p)(q)\)
Vejamos um exemplo:
Reduza a fração \(\frac(9)(15)\)
Solução:
Podemos fatorar uma fração em fatores primos e cancelar fatores comuns.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \vezes 3)(5 \vezes 3)=\frac(3)(5) \vezes \cor(vermelho) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \vezes 1=\frac(3)(5)\)
Resposta: após a redução obtivemos a fração \(\frac(3)(5)\). De acordo com a propriedade básica dos números racionais, as frações originais e resultantes são iguais.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Como reduzir frações? Reduzindo uma fração à sua forma irredutível.
Para obter uma fração irredutível como resultado, precisamos encontrar o máximo divisor comum (GCD) para o numerador e denominador da fração.
Existem várias maneiras de encontrar o MDC. No exemplo usaremos a decomposição de números em fatores primos;
Obtenha a fração irredutível \(\frac(48)(136)\).
Solução:
Vamos encontrar o GCD(48, 136). Vamos escrever os números 48 e 136 em fatores primos.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
MDC(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \vezes 17)=\frac(\cor(vermelho) (6) \vezes 2 \vezes 3)(\cor(vermelho) (6) \vezes 17)=\frac(2 \vezes 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
A regra para reduzir uma fração a uma forma irredutível.
- Precisamos encontrar o máximo divisor comum para o numerador e o denominador.
- Você precisa dividir o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum para obter uma fração irredutível.
Exemplo:
Reduza a fração \(\frac(152)(168)\).
Solução:
Vamos encontrar o GCD(152, 168). Vamos escrever os números 152 e 168 em fatores primos.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
MDC(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\cor(vermelho) (6) \vezes 19)(\cor(vermelho) (6) \vezes 21)=\frac(19)(21)\)
Resposta: \(\frac(19)(21)\) é uma fração irredutível.
Reduzindo frações impróprias.
Como reduzir uma fração imprópria?
As regras para redução de frações são as mesmas para frações próprias e impróprias.
Vejamos um exemplo:
Reduza a fração imprópria \(\frac(44)(32)\).
Solução:
Vamos escrever o numerador e o denominador em fatores simples. E então reduziremos os fatores comuns.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \vezes 2 \vezes 2)=\frac(11)(8)\)
Reduzindo frações mistas.
As frações mistas seguem as mesmas regras das frações ordinárias. A única diferença é que podemos não toque na parte inteira, mas reduza a parte fracionária ou Converta uma fração mista em uma fração imprópria, reduza-a e converta-a novamente em uma fração própria.
Vejamos um exemplo:
Cancele a fração mista \(2\frac(30)(45)\).
Solução:
Vamos resolver isso de duas maneiras:
Primeira maneira:
Vamos escrever a parte fracionária em fatores simples, mas não tocaremos na parte inteira.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Segunda maneira:
Vamos primeiro convertê-lo em uma fração imprópria e depois escrevê-lo em fatores primos e reduzi-lo. Vamos converter a fração imprópria resultante em uma fração própria.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Perguntas relacionadas:
Você pode reduzir frações ao adicionar ou subtrair?
Resposta: não, você deve primeiro somar ou subtrair frações de acordo com as regras, e só depois reduzi-las. Vejamos um exemplo:
Avalie a expressão \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Solução:
Muitas vezes cometem o erro de reduzir os mesmos números no numerador e no denominador, no nosso caso o número 20, mas não podem ser reduzidos até que você tenha concluído a adição e a subtração.
\(\frac(50+\cor(vermelho) (20)-10)(\cor(vermelho) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \vezes 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Por quais números você pode reduzir uma fração?
Resposta: Você pode reduzir uma fração pelo máximo divisor comum ou pelo divisor comum do numerador e denominador. Por exemplo, a fração \(\frac(100)(150)\).
Vamos escrever os números 100 e 150 em fatores primos.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
O máximo divisor comum será o número GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \vezes 50)(3 \vezes 50)=\frac(2)(3)\)
Obtivemos a fração irredutível \(\frac(2)(3)\).
Mas nem sempre é necessário dividir por mdc; nem sempre é necessária uma fração irredutível; Por exemplo, os números 100 e 150 têm um divisor comum de 2. Vamos reduzir a fração \(\frac(100)(150)\) por 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \vezes 50)(2 \vezes 75)=\frac(50)(75)\)
Obtivemos a fração redutível \(\frac(50)(75)\).
Quais frações podem ser reduzidas?
Resposta: Você pode reduzir frações nas quais o numerador e o denominador têm um divisor comum. Por exemplo, a fração \(\frac(4)(8)\). Os números 4 e 8 têm um número pelo qual ambos são divisíveis - o número 2. Portanto, tal fração pode ser reduzida pelo número 2.
Exemplo:
Compare as duas frações \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(8)(12)\).
Essas duas frações são iguais. Vamos dar uma olhada mais de perto na fração \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \vezes 4)(3 \vezes 4)=\frac(2)(3) \vezes \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \vezes 1=\frac(2)(3)\)
A partir daqui obtemos, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Duas frações são iguais se e somente se uma delas for obtida reduzindo a outra fração pelo fator comum do numerador e do denominador.
Exemplo:
Se possível, reduza as seguintes frações: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Solução:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \vezes 3 \vezes 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fração irredutível
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ vezes 5)=\frac(2)(5)\)
Divisão e o numerador e denominador da fração em seus divisor comum, diferente de um, é chamado reduzindo uma fração.
Para reduzir uma fração comum, é necessário dividir seu numerador e denominador pelo mesmo número natural.
Este número é o máximo divisor comum do numerador e denominador da fração dada.
O seguinte é possível formulários de registro de decisão Exemplos de redução de frações comuns.
O aluno tem o direito de escolher qualquer forma de gravação.
Exemplos. Simplifique frações.
Reduza a fração por 3 (divida o numerador por 3;
divida o denominador por 3).
Reduza a fração em 7.
Realizamos as ações indicadas no numerador e denominador da fração.
A fração resultante é reduzida em 5.
Vamos reduzir essa fração 4)
sobre 5·7³- o máximo divisor comum (MDC) do numerador e do denominador, que consiste nos fatores comuns do numerador e do denominador, elevados à potência do menor expoente.
Vamos fatorar o numerador e o denominador desta fração em fatores primos.
Nós obtemos: 756=2²·3³·7 E 1176=2³·3·7².
Determine o MDC (máximo divisor comum) do numerador e denominador da fração 5) .
Este é o produto de fatores comuns tomados com os expoentes mais baixos.
mdc(756, 1176)= 2²·3·7.
Dividimos o numerador e o denominador desta fração pelo seu mdc, ou seja, por 2²·3·7 obtemos uma fração irredutível 9/14
.
Ou era possível escrever a decomposição do numerador e do denominador como um produto de fatores primos, sem usar o conceito de potência, e depois reduzir a fração riscando os mesmos fatores no numerador e no denominador. Quando não houver mais fatores idênticos, multiplicamos os fatores restantes separadamente no numerador e separadamente no denominador e escrevemos a fração resultante 9/14 .
E finalmente foi possível reduzir esta fração 5) gradualmente, aplicando sinais de divisão de números ao numerador e ao denominador da fração. Raciocinamos assim: números 756 E 1176 terminam em um número par, o que significa que ambos são divisíveis por 2 . Reduzimos a fração em 2 . O numerador e o denominador da nova fração são números 378 E 588 também dividido em 2 . Reduzimos a fração em 2 . Notamos que o número 294 - mesmo, e 189 é ímpar e a redução por 2 não é mais possível. Vamos verificar a divisibilidade dos números 189 E 294 sobre 3 .
(1+8+9)=18 é divisível por 3 e (2+9+4)=15 é divisível por 3, daí os próprios números 189 E 294 são divididos em 3 . Reduzimos a fração em 3 . Próximo, 63 é divisível por 3 e 98 - Não. Vejamos outros fatores primos. Ambos os números são divisíveis por 7 . Reduzimos a fração em 7 e obtemos a fração irredutível 9/14 .
As crianças na escola aprendem as regras de redução de frações na 6ª série. Neste artigo, primeiro diremos o que significa esta ação e, em seguida, explicaremos como converter uma fração redutível em uma fração irredutível. O próximo ponto serão as regras para redução de frações, e a seguir passaremos gradativamente aos exemplos.
O que significa “reduzir uma fração”?
Portanto, todos sabemos que as frações ordinárias são divididas em dois grupos: redutíveis e irredutíveis. Já pelos nomes dá para entender que os que são contratíveis são contraídos, e os que são irredutíveis não são contraídos.
- Reduzir uma fração significa dividir seu denominador e numerador por seu divisor positivo (diferente de um). O resultado, claro, é uma nova fração com denominador e numerador menores. A fração resultante será igual à fração original.
É importante notar que em livros de matemática com a tarefa “reduzir uma fração”, isso significa que é necessário reduzir a fração original a esta forma irredutível. Se conversarmos em palavras simples, então dividir o denominador e o numerador pelo seu máximo divisor comum é uma redução.
Como reduzir uma fração. Regras para redução de frações (nota 6)
Portanto, existem apenas duas regras aqui.
- A primeira regra para reduzir frações é primeiro encontrar o máximo divisor comum do denominador e do numerador da sua fração.
- A segunda regra: divida o denominador e o numerador pelo máximo divisor comum, obtendo no final uma fração irredutível.
Como reduzir uma fração imprópria?
As regras para redução de frações são idênticas às regras para redução de frações impróprias.
Para reduzir uma fração imprópria, primeiro você precisa fatorar o denominador e o numerador em fatores primos e só então reduzir os fatores comuns.
Reduzindo frações mistas
As regras para redução de frações também se aplicam à redução de frações mistas. Há apenas uma pequena diferença: não podemos tocar na parte inteira, mas reduzir a fração ou converter a fração mista em uma fração imprópria, depois reduzi-la e convertê-la novamente em uma fração própria.
Existem duas maneiras de reduzir frações mistas.
Primeiro: escreva a parte fracionária em fatores primos e depois deixe a parte inteira como está.
A segunda maneira: primeiro converta-a em uma fração imprópria, escreva-a em fatores comuns e depois reduza a fração. Converta a fração imprópria já obtida em uma fração própria.
Exemplos podem ser vistos na foto acima.
Esperamos realmente ter ajudado você e seus filhos. Afinal, muitas vezes eles ficam desatentos nas aulas, por isso têm que estudar mais intensamente em casa, sozinhos.
Este artigo continua o tema da transformação frações algébricas: considere uma ação como a redução de frações algébricas. Vamos definir o próprio termo, formular uma regra de redução e analisar exemplos práticos.
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O significado de reduzir uma fração algébrica
Nos materiais sobre frações comuns, analisamos sua redução. Definimos a redução de uma fração como a divisão de seu numerador e denominador por um fator comum.
Reduzir uma fração algébrica é uma operação semelhante.
Definição 1
Reduzindo uma fração algébricaé a divisão de seu numerador e denominador por um fator comum. Neste caso, ao contrário da redução de uma fração ordinária (o denominador comum só pode ser um número), o fator comum do numerador e do denominador de uma fração algébrica pode ser um polinômio, em particular um monômio ou um número.
Por exemplo, a fração algébrica 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 pode ser reduzida pelo número 3, resultando em: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Podemos reduzir a mesma fração pela variável x, e isso nos dará a expressão 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Também é possível reduzir uma determinada fração por um monômio 3x ou qualquer um dos polinômios x + 2y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ou 3 x 2 + 6 x y.
O objetivo final de reduzir uma fração algébrica é uma fração maior que tipo simples, V. melhor cenário– fração irredutível.
Todas as frações algébricas estão sujeitas a redução?
Novamente, a partir de materiais sobre frações ordinárias, sabemos que existem frações redutíveis e irredutíveis. Frações irredutíveis são frações que não possuem fatores comuns de numerador e denominador diferentes de 1.
O mesmo acontece com as frações algébricas: elas podem ter fatores comuns no numerador e no denominador, ou não. A presença de fatores comuns permite simplificar a fração original por meio de redução. Quando não existem fatores comuns, é impossível otimizar uma determinada fração utilizando o método de redução.
Em casos gerais, dado o tipo de fração, é bastante difícil compreender se esta pode ser reduzida. É claro que, em alguns casos, a presença de um fator comum entre o numerador e o denominador é óbvia. Por exemplo, na fração algébrica 3 x 2 3 y fica claro que o fator comum é o número 3.
Na fração - x · y 5 · x · y · z 3 também entendemos imediatamente que ela pode ser reduzida por x, ou y, ou x · y. E, no entanto, há muito mais frequentemente exemplos de frações algébricas, quando o fator comum do numerador e do denominador não é tão fácil de ver e, mais frequentemente, está simplesmente ausente.
Por exemplo, podemos reduzir a fração x 3 - 1 x 2 - 1 por x - 1, enquanto o fator comum especificado não está presente na entrada. Mas a fração x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 não pode ser reduzida, pois o numerador e o denominador não têm um fator comum.
Assim, a questão de determinar a redutibilidade de uma fração algébrica não é tão simples, e muitas vezes é mais fácil trabalhar com uma fração de uma determinada forma do que tentar descobrir se ela é redutível. Neste caso, ocorrem tais transformações que em casos particulares permitem determinar o fator comum do numerador e do denominador ou tirar uma conclusão sobre a irredutibilidade de uma fração. Examinaremos essa questão em detalhes no próximo parágrafo do artigo.
Regra para redução de frações algébricas
Regra para redução de frações algébricas consiste em duas ações sequenciais:
- encontrar fatores comuns do numerador e denominador;
- caso sejam encontrados, a ação de redução da fração é realizada diretamente.
O método mais conveniente para encontrar denominadores comuns é fatorar os polinômios presentes no numerador e no denominador de uma determinada fração algébrica. Isso permite que você veja imediatamente a presença ou ausência de fatores comuns.
A própria ação de reduzir uma fração algébrica é baseada na propriedade principal de uma fração algébrica, expressa pela igualdade indefinida, onde a, b, c são alguns polinômios, e b e c são diferentes de zero. O primeiro passo é reduzir a fração à forma a · c b · c, na qual notamos imediatamente o fator comum c. O segundo passo é realizar uma redução, ou seja, transição para uma fração da forma a b .
Exemplos típicos
Apesar de alguma obviedade, vamos esclarecer caso especial quando o numerador e o denominador de uma fração algébrica são iguais. Frações semelhantes são identicamente iguais a 1 para toda a ODZ das variáveis desta fração:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Visto que as frações ordinárias são um caso especial de frações algébricas, lembremos como elas são reduzidas. Os números naturais escritos no numerador e no denominador são decompostos em fatores primos e, em seguida, os fatores comuns são cancelados (se houver).
Por exemplo, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
O produto de fatores idênticos simples pode ser escrito como potências e, no processo de redução de uma fração, usar a propriedade de divisão de potências com pelos mesmos motivos. Então a solução acima seria:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(numerador e denominador dividido por um fator comum 2 2 3). Ou para maior clareza, com base nas propriedades de multiplicação e divisão, damos à solução a seguinte forma:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Por analogia, é realizada a redução das frações algébricas, em que o numerador e o denominador possuem monômios com coeficientes inteiros.
Exemplo 1
A fração algébrica é dada - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Precisa ser reduzido.
Solução
É possível escrever o numerador e o denominador de uma determinada fração como produto de fatores e variáveis simples, e depois realizar a redução:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Contudo, uma forma mais racional seria escrever a solução como uma expressão com potências:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Responder:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Quando o numerador e o denominador de uma fração algébrica contêm coeficientes numéricos fracionários, existem duas maneiras possíveis de ação adicional: dividir esses coeficientes fracionários separadamente ou primeiro livrar-se dos coeficientes fracionários multiplicando o numerador e o denominador por algum número natural. A última transformação é realizada devido à propriedade básica de uma fração algébrica (você pode ler sobre isso no artigo “Reduzindo uma fração algébrica a um novo denominador”).
Exemplo 2
A fração dada é 2 5 x 0, 3 x 3. Precisa ser reduzido.
Solução
É possível reduzir a fração desta forma:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Vamos tentar resolver o problema de forma diferente, primeiro nos livrando dos coeficientes fracionários - multiplique o numerador e o denominador pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores desses coeficientes, ou seja, no LCM (5, 10) = 10. Então obtemos:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Resposta: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Quando reduzimos frações algébricas visão geral, em que os numeradores e denominadores podem ser monômios ou polinômios, pode haver um problema quando o fator comum nem sempre é imediatamente visível. Ou, além disso, simplesmente não existe. Então, para determinar o fator comum ou registrar o fato de sua ausência, são fatorados o numerador e o denominador da fração algébrica.
Exemplo 3
A fração racional 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 é dada. Precisa ser reduzido.
Solução
Vamos fatorar os polinômios no numerador e no denominador. Vamos tirar isso dos colchetes:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vemos que a expressão entre parênteses pode ser convertida usando fórmulas de multiplicação abreviadas:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Vê-se claramente que é possível reduzir uma fração por um fator comum b 2 (a + 7). Vamos fazer uma redução:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Vamos escrever uma solução curta sem explicação como uma cadeia de igualdades:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Responder: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Acontece que os fatores comuns ficam ocultos por coeficientes numéricos. Então, ao reduzir frações, é ideal colocar os fatores numéricos em potências mais altas do numerador e denominador fora dos colchetes.
Exemplo 4
Dada a fração algébrica 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . É necessário reduzi-lo, se possível.
Solução
À primeira vista, o numerador e o denominador não existem denominador comum. No entanto, vamos tentar converter a fração fornecida. Vamos retirar o fator x do numerador:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Agora você pode ver alguma semelhança entre a expressão entre colchetes e a expressão no denominador devido a x 2 y . Vamos retirar os coeficientes numéricos das potências superiores desses polinômios:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 anos 5 x 2 anos - 7 10
Agora que o fator comum fica visível, fazemos a redução:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Responder: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Enfatizemos que a habilidade de reduzir frações racionais depende da habilidade de fatorar polinômios.
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