Como somar frações comuns com denominadores diferentes. Calculadora online. Calculando expressões com frações numéricas.

Ações Diversas Com frações você pode fazer coisas como somar frações. A adição de frações pode ser dividida em vários tipos. Cada tipo de adição de frações possui suas próprias regras e algoritmo de ações. Vejamos cada tipo de adição em detalhes.

Adicionando frações com denominadores semelhantes.

Vejamos um exemplo de como adicionar frações com denominador comum.

Os turistas fizeram uma caminhada do ponto A ao ponto E. No primeiro dia caminharam do ponto A ao B ou \(\frac(1)(5)\) de todo o caminho. No segundo dia eles caminharam do ponto B ao D ou \(\frac(2)(5)\) o caminho inteiro. Qual a distância percorrida desde o início da viagem até o ponto D?

Para encontrar a distância do ponto A ao ponto D, você precisa adicionar as frações \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Adicionar frações com denominadores semelhantes significa que você precisa adicionar os numeradores dessas frações, mas o denominador permanecerá o mesmo.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

Na forma literal, a soma das frações com os mesmos denominadores ficará assim:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Resposta: os turistas caminharam \(\frac(3)(5)\) todo o caminho.

Adicionando frações com denominadores diferentes.

Vejamos um exemplo:

Você precisa adicionar duas frações \(\frac(3)(4)\) e \(\frac(2)(7)\).

Para adicionar frações com denominadores diferentes preciso encontrar primeiro e, em seguida, use a regra para adicionar frações com denominadores semelhantes.

Para os denominadores 4 e 7, o denominador comum será o número 28. A primeira fração \(\frac(3)(4)\) deve ser multiplicada por 7. A segunda fração \(\frac(2)(7)\ ) deve ser multiplicado por 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ vezes \cor(vermelho) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Na forma literal, obtemos a seguinte fórmula:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Adicionando números mistos ou frações mistas.

A adição ocorre de acordo com a lei da adição.

Para frações mistas, somamos as partes inteiras com as partes inteiras e as partes fracionárias com as frações.

Se as partes fracionárias dos números mistos tiverem os mesmos denominadores, somamos os numeradores, mas o denominador permanece o mesmo.

Vamos adicionar os números mistos \(3\frac(6)(11)\) e \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\cor(vermelho) (3) + \cor(azul) (\frac(6)(11))) + ( \color(vermelho) (1) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = (\color(vermelho) (3) + \color(vermelho) (1)) + (\color( azul) (\frac(6)(11)) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = \color(vermelho)(4) + (\color(azul) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(vermelho)(4) + \color(azul) (\frac(9)(11)) = \color(vermelho)(4) \color(azul) (\frac (9)(11))\)

Se as partes fracionárias dos números mistos tiverem denominadores diferentes, encontramos o denominador comum.

Vamos realizar a adição de números mistos \(7\frac(1)(8)\) e \(2\frac(1)(6)\).

O denominador é diferente, então precisamos encontrar o denominador comum, é igual a 24. Multiplique a primeira fração \(7\frac(1)(8)\) por um fator adicional de 3, e a segunda fração \( 2\frac(1)(6)\) por 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\vezes \cor(vermelho) (4))(6\vezes \cor(vermelho) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Perguntas relacionadas:
Como adicionar frações?
Resposta: primeiro você precisa decidir que tipo de expressão é: as frações têm os mesmos denominadores, denominadores diferentes ou frações mistas. Dependendo do tipo de expressão, procedemos ao algoritmo de solução.

Como resolver frações com denominadores diferentes?
Resposta: você precisa encontrar o denominador comum e depois seguir a regra de somar frações com os mesmos denominadores.

Como resolver frações mistas?
Resposta: adicionamos partes inteiras com inteiros e partes fracionárias com frações.

Exemplo #1:
A soma de dois pode resultar em uma fração adequada? Fração imprópria? Dê exemplos.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

A fração \(\frac(5)(7)\) é uma fração própria, é o resultado da soma de duas frações próprias \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \vezes 9 + 8 \vezes 5)(5 \vezes 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

A fração \(\frac(58)(45)\) é uma fração imprópria, é o resultado da soma das frações próprias \(\frac(2)(5)\) e \(\frac(8) (9)\).

Resposta: A resposta para ambas as perguntas é sim.

Exemplo #2:
Adicione as frações: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Exemplo #3:
Escreva fração mista como uma soma número natural e fração própria: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Exemplo #4:
Calcule a soma: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)\)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\vezes 3)(5\vezes 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Tarefa nº 1:
No almoço comemos \(\frac(8)(11)\) do bolo, e à noite no jantar comemos \(\frac(3)(11)\). Você acha que o bolo foi comido completamente ou não?

Solução:
O denominador da fração é 11, indica em quantas partes o bolo foi dividido. No almoço comemos 8 pedaços de bolo de 11. No jantar comemos 3 pedaços de bolo de 11. Vamos somar 8 + 3 = 11, comemos pedaços de bolo de 11, ou seja, o bolo inteiro.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Resposta: o bolo inteiro foi comido.

Encontre o numerador e o denominador. Uma fração inclui dois números: o número localizado acima da linha é chamado de numerador, e o número localizado abaixo da linha é chamado de denominador. O denominador denota o número total de partes em que um todo é dividido, e o numerador é o número dessas partes consideradas.

• Por exemplo, na fração ½ o numerador é 1 e o denominador é 2.

Determine o denominador. Se duas ou mais frações possuem um denominador comum, tais frações possuem o mesmo número abaixo da linha, ou seja, neste caso, um determinado todo é dividido no mesmo número de partes. Somar frações com denominador comum é muito simples, pois o denominador da fração total será igual ao das frações que estão sendo somadas. Por exemplo:

• As frações 3/5 e 2/5 têm um denominador comum de 5.
• As frações 3/8, 5/8, 17/8 têm um denominador comum de 8.

Determine os numeradores. Para somar frações com denominador comum, some seus numeradores e escreva o resultado acima do denominador das frações que estão sendo somadas.

• As frações 3/5 e 2/5 têm numeradores 3 e 2.
• As frações 3/8, 5/8, 17/8 têm numeradores 3, 5, 17.

Some os numeradores. No problema 3/5 + 2/5, some os numeradores 3 + 2 = 5. No problema 3/8 + 5/8 + 17/8, some os numeradores 3 + 5 + 17 = 25.

Escreva a fração total. Lembre-se que ao somar frações com denominador comum, ele permanece inalterado - apenas os numeradores são somados.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Converta a fração, se necessário.Às vezes, uma fração pode ser escrita como um número inteiro em vez de uma fração ou decimal. Por exemplo, a fração 5/5 pode ser facilmente convertida em 1, pois qualquer fração cujo numerador seja igual ao seu denominador é 1. Imagine uma torta cortada em três partes. Se você comer as três partes, terá comido a (uma) torta inteira.

• Qualquer fração pode ser convertida em decimal; Para fazer isso, divida o numerador pelo denominador. Por exemplo, a fração 5/8 pode ser escrita da seguinte forma: 5 ÷ 8 = 0,625.

Se possível, simplifique a fração. Uma fração simplificada é uma fração cujo numerador e denominador não possuem fatores comuns.

• Por exemplo, considere a fração 3/6. Aqui tanto o numerador quanto o denominador possuem um divisor comum igual a 3, ou seja, o numerador e o denominador são completamente divisíveis por 3. Portanto, a fração 3/6 pode ser escrita da seguinte forma: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .

Se necessário, converta uma fração imprópria em uma fração mista (número misto). Uma fração imprópria tem um numerador maior que seu denominador, por exemplo, 25/8 (uma fração própria tem um numerador menos que o denominador). Uma fração imprópria pode ser convertida em uma fração mista, que consiste em uma parte inteira (ou seja, um número inteiro) e uma parte fracionária (ou seja, uma fração própria). Para converter uma fração imprópria, como 25/8, em um número misto, siga estas etapas:

• Divida o numerador de uma fração imprópria pelo seu denominador; anote o quociente incompleto (resposta completa). No nosso exemplo: 25 ÷ 8 = 3 mais algum resto. Neste caso, a resposta inteira é a parte inteira do número misto.
• Encontre o restante. No nosso exemplo: 8 x 3 = 24; subtraia o resultado resultante do numerador original: 25 - 24 = 1, ou seja, o resto é 1. Neste caso, o resto é o numerador da parte fracionária do número misto.
• Escreva uma fração mista. O denominador não muda (ou seja, é igual ao denominador da fração imprópria), então 25/8 = 3 1/8.

O numerador e o que é dividido por é o denominador.

Para escrever uma fração, primeiro escreva o numerador, depois desenhe uma linha horizontal abaixo do número e escreva o denominador abaixo da linha. A linha horizontal que separa o numerador e o denominador é chamada de linha fracionária. Às vezes é descrito como um "/" ou "∕" oblíquo. Neste caso, o numerador é escrito à esquerda da linha e o denominador à direita. Assim, por exemplo, a fração “dois terços” será escrita como 2/3. Para maior clareza, o numerador geralmente é escrito no topo da linha e o denominador na parte inferior, ou seja, em vez de 2/3 você pode encontrar: ⅔.

Para calcular o produto de frações, primeiro multiplique o numerador de um frações para o numerador é diferente. Escreva o resultado no numerador do novo frações. Depois disso, multiplique os denominadores. Insira o valor total no novo frações. Por exemplo, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir uma fração por outra, primeiro multiplique o numerador da primeira pelo denominador da segunda. Faça o mesmo com a segunda fração (divisor). Ou, antes de realizar todas as ações, primeiro “inverta” o divisor, se for mais conveniente para você: o denominador deve aparecer no lugar do numerador. Em seguida, multiplique o denominador do dividendo pelo novo denominador do divisor e multiplique os numeradores. Por exemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1? 5 = 5; 3? 1 = 3).

Fontes:

• Problemas básicos de frações

Os números fracionários podem ser expressos em em diferentes formas valor exato da quantidade. Você pode fazer com frações as mesmas operações matemáticas que faz com números inteiros: subtração, adição, multiplicação e divisão. Para aprender a decidir frações, devemos lembrar algumas de suas características. Eles dependem do tipo frações, a presença de uma parte inteira, um denominador comum. Algumas operações aritméticas exigem que a parte fracionária do resultado seja reduzida após a execução.

Você vai precisar

• - calculadora

Instruções

Observe atentamente os números. Se entre as frações existem decimais e irregulares, às vezes é mais conveniente realizar primeiro as operações com decimais e depois convertê-las para a forma irregular. Você pode traduzir frações nesta forma inicialmente, escrevendo o valor após a vírgula no numerador e colocando 10 no denominador. Se necessário, reduza a fração dividindo os números acima e abaixo por um divisor. As frações nas quais uma parte inteira é isolada devem ser convertidas para a forma errada multiplicando-a pelo denominador e adicionando o numerador ao resultado. Este valor se tornará o novo numerador frações. Para selecionar uma parte inteira de uma inicialmente incorreta frações, você precisa dividir o numerador pelo denominador. Escreva o resultado completo de frações. E o restante da divisão se tornará o novo numerador, denominador frações isso não muda. Para frações com parte inteira, é possível realizar ações separadamente, primeiro para o inteiro e depois para as partes fracionárias. Por exemplo, a soma de 1 2/3 e 2 ¾ pode ser calculada:
- Convertendo frações para a forma errada:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Soma de partes inteiras e fracionárias de termos separadamente:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Reescreva-os usando o separador “:” e continue com a divisão normal.

Para obter o resultado final, reduza a fração resultante dividindo o numerador e o denominador por um número inteiro, o maior possível neste caso. Neste caso, deve haver números inteiros acima e abaixo da linha.

Observe

Não faça aritmética com frações cujos denominadores sejam diferentes. Escolha um número tal que ao multiplicar o numerador e o denominador de cada fração por ele, o resultado seja que os denominadores de ambas as frações sejam iguais.

Conselhos úteis

Ao escrever números fracionários, o dividendo é escrito acima da linha. Essa quantidade é designada como numerador da fração. O divisor, ou denominador, da fração é escrito abaixo da linha. Por exemplo, um quilo e meio de arroz como fração será escrito da seguinte forma: 1 ½ kg de arroz. Se o denominador de uma fração for 10, a fração é chamada de decimal. Neste caso, o numerador (dividendo) é escrito à direita da parte inteira, separado por vírgula: 1,5 kg de arroz. Para facilitar o cálculo, essa fração sempre pode ser escrita na forma errada: 1 2/10 kg de batatas. Para simplificar, você pode reduzir os valores do numerador e do denominador dividindo-os por um número inteiro. Neste exemplo, você pode dividir por 2. O resultado será 1 1/5 kg de batatas. Certifique-se de que os números com os quais você fará a aritmética sejam apresentados da mesma forma.

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Como adicionar decimais

É mais conveniente adicionar frações decimais em uma coluna. Para realizar a adição decimais, você deve seguir uma regra simples:

• O lugar deve estar embaixo do lugar, a vírgula embaixo da vírgula.

Como você pode ver no exemplo, as unidades inteiras estão localizadas uma abaixo da outra, os dígitos dos décimos e centésimos estão localizados um abaixo do outro. Agora somamos os números, ignorando a vírgula. O que fazer com a vírgula? A vírgula é movida para o local onde estava na categoria inteira.

Adicionando frações com denominadores iguais

Para realizar a adição com denominador comum, é necessário manter o denominador inalterado, encontrar a soma dos numeradores e obter uma fração que será a soma total.

Adicionando frações com denominadores diferentes usando o método múltiplo comum

A primeira coisa que você precisa prestar atenção são os denominadores. Os denominadores são diferentes, quer um seja divisível pelo outro, quer sejam números primos. Primeiro você precisa trazê-lo para um denominador comum. Existem várias maneiras de fazer isso:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, para resolver este exemplo precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MCM) que será divisível por 2 denominadores. Para denotar o menor múltiplo de aeb – LCM (a;b). Neste exemplo MMC (3;4)=12. Verificamos: 12:3=4; 12:4=3.
• Multiplicamos os fatores e somamos os números resultantes, obtemos 13/12 - uma fração imprópria.

• Para converter uma fração imprópria em uma fração própria, divida o numerador pelo denominador, obtemos o inteiro 1, o resto 1 é o numerador e 12 é o denominador.

Adicionando frações usando o método de multiplicação cruzada

Para somar frações com denominadores diferentes, existe outro método que utiliza a fórmula “cruzar a cruzar”. Esta é uma forma garantida de equalizar os denominadores; para isso, é necessário multiplicar os numeradores pelo denominador de uma fração e vice-versa. Se você está apenas ligado estágio inicial estudando frações, então este método é a maneira mais simples e precisa de obter o resultado correto ao somar frações com denominadores diferentes.

As frações são números comuns e também podem ser adicionadas e subtraídas. Mas porque têm um denominador, exigem regras mais complexas do que para números inteiros.

Consideremos o caso mais simples, quando existem duas frações com os mesmos denominadores. Então:

Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado.

Para subtrair frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador da segunda do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado novamente.

Dentro de cada expressão, os denominadores das frações são iguais. Pela definição de adição e subtração de frações, obtemos:

Como você pode ver, não é nada complicado: basta somar ou subtrair os numeradores e pronto.

Mas mesmo em tal ações simples as pessoas conseguem cometer erros. O que muitas vezes se esquece é que o denominador não muda. Por exemplo, ao adicioná-los, eles também começam a somar, e isso é fundamentalmente errado.

Livrar-se de mau hábito Adicionar os denominadores é bastante simples. Tente a mesma coisa ao subtrair. Como resultado, o denominador será zero e a fração (de repente!) perderá o significado.

Portanto, lembre-se de uma vez por todas: ao somar e subtrair, o denominador não muda!

Muitas pessoas também cometem erros ao adicionar várias frações negativas. Há confusão com os sinais: onde colocar o sinal de menos e onde colocar o sinal de mais.

Este problema também é muito fácil de resolver. Basta lembrar que o menos antes do sinal de uma fração sempre pode ser transferido para o numerador - e vice-versa. E claro, não se esqueça de duas regras simples:

1. Mais por menos dá menos;
2. Duas negativas formam uma afirmativa.

Vejamos tudo isso com exemplos específicos:

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

No primeiro caso tudo é simples, mas no segundo vamos adicionar menos aos numeradores das frações:

O que fazer se os denominadores forem diferentes

Você não pode adicionar frações com denominadores diferentes diretamente. Pelo menos, esse método é desconhecido para mim. No entanto, as frações originais sempre podem ser reescritas para que os denominadores fiquem iguais.

Existem muitas maneiras de converter frações. Três deles são discutidos na lição “Reduzindo frações a um denominador comum”, portanto não nos deteremos neles aqui. Vejamos alguns exemplos:

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

No primeiro caso, reduzimos as frações a um denominador comum usando o método “cruzado”. Na segunda procuraremos o NOC. Observe que 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Os últimos fatores nessas expansões são iguais e os primeiros são relativamente primos. Portanto, MMC(6, 9) = 2 3 3 = 18.

O que fazer se uma fração tiver uma parte inteira

Posso agradar você: diferentes denominadores em frações não são o maior mal. Muito mais erros ocorrem quando a parte inteira é destacada nas frações adicionais.

É claro que existem algoritmos próprios de adição e subtração para tais frações, mas eles são bastante complexos e requerem um longo estudo. Melhor uso diagrama simples, abaixo:

1. Converta todas as frações contendo uma parte inteira em impróprias. Obtemos termos normais (mesmo com denominadores diferentes), que são calculados de acordo com as regras discutidas acima;
2. Na verdade, calcule a soma ou diferença das frações resultantes. Como resultado, encontraremos praticamente a resposta;
3. Se isso é tudo o que é necessário no problema, realizamos a transformação inversa, ou seja, Eliminamos uma fração imprópria destacando a parte inteira.

As regras para passar para frações impróprias e destacar a parte inteira são descritas detalhadamente na lição “O que é uma fração numérica”. Se você não se lembra, não se esqueça de repetir. Exemplos:

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Tudo é simples aqui. Os denominadores dentro de cada expressão são iguais, então resta apenas converter todas as frações em impróprias e contar. Nós temos:

Para simplificar os cálculos, pulei algumas etapas óbvias nos últimos exemplos.

Uma pequena nota sobre os dois últimos exemplos, onde as frações com a parte inteira destacada são subtraídas. O menos antes da segunda fração significa que toda a fração é subtraída, e não apenas a sua parte inteira.

Releia esta frase novamente, veja os exemplos - e pense a respeito. É aqui que os iniciantes admitem quantidade enorme erros. Eles adoram apresentar esses problemas nos testes. Você também os encontrará diversas vezes nos testes desta lição, que serão publicados em breve.

Resumo: esquema geral de cálculo

Concluindo, darei um algoritmo geral que o ajudará a encontrar a soma ou diferença de duas ou mais frações:

1. Se uma ou mais frações tiverem parte inteira, converta essas frações em impróprias;
2. Traga todas as frações para um denominador comum da maneira que for conveniente para você (a menos, é claro, que os redatores dos problemas tenham feito isso);
3. Adicione ou subtraia os números resultantes de acordo com as regras de adição e subtração de frações com denominadores semelhantes;
4. Se possível, encurte o resultado. Se a fração estiver incorreta, selecione a parte inteira.

Lembre-se que é melhor destacar toda a parte logo no final da tarefa, imediatamente antes de anotar a resposta.