Como resolver uma equação incompleta. Métodos para resolver equações quadráticas

Espero que depois de estudar este artigo você aprenda como encontrar as raízes de uma equação quadrática completa.

Usando o discriminante, apenas equações quadráticas completas são resolvidas para resolver equações incompletas; equações quadráticas use outros métodos que você encontrará no artigo "Resolvendo equações quadráticas incompletas".

Quais equações quadráticas são chamadas de completas? Esse equações da forma machado 2 + b x + c = 0, onde os coeficientes a, b e c não são iguais a zero. Então, para resolver uma equação quadrática completa, precisamos calcular o discriminante D.

D = b 2 – 4ac.

Dependendo do valor do discriminante, anotaremos a resposta.

Se o discriminante for um número negativo (D< 0),то корней нет.

Se o discriminante for zero, então x = (-b)/2a. Quando o discriminante é um número positivo (D > 0),

então x 1 = (-b - √D)/2a, e x 2 = (-b + √D)/2a.

Por exemplo. Resolva a equação x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Resposta: 2.

Resolva a Equação 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Resposta: sem raízes.

Resolva a Equação 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Resposta: – 3,5; 1.

Então vamos imaginar a solução de equações quadráticas completas usando o diagrama da Figura 1.

Usando essas fórmulas você pode resolver qualquer equação quadrática completa. Você só precisa ter cuidado para a equação foi escrita como um polinômio da forma padrão

UM x 2 + bx + c, caso contrário, você pode cometer um erro. Por exemplo, ao escrever a equação x + 3 + 2x 2 = 0, você pode decidir erroneamente que

a = 1, b = 3 e c = 2. Então

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 e então a equação tem duas raízes. E isso não é verdade. (Veja a solução para o exemplo 2 acima).

Portanto, se a equação não for escrita como um polinômio da forma padrão, primeiro a equação quadrática completa deve ser escrita como um polinômio da forma padrão (o monômio com o maior expoente deve vir primeiro, ou seja UM x 2 , então com menos – bx e então um membro gratuito Com.

Ao resolver a equação quadrática reduzida e uma equação quadrática com coeficiente par no segundo termo, outras fórmulas podem ser usadas. Vamos nos familiarizar com essas fórmulas. Se em uma equação quadrática completa o segundo termo tiver um coeficiente par (b = 2k), então você pode resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 2.

Uma equação quadrática completa é chamada reduzida se o coeficiente em x 2 é igual a um e a equação assume a forma x 2 + px + q = 0. Tal equação pode ser dada para solução ou pode ser obtida dividindo todos os coeficientes da equação pelo coeficiente UM, parado em x 2 .

A Figura 3 mostra um diagrama para resolver o quadrado reduzido
equações. Vejamos um exemplo de aplicação das fórmulas discutidas neste artigo.

Exemplo. Resolva a equação

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Vamos resolver esta equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3

Você pode notar que o coeficiente de x nesta equação é um número par, ou seja, b = 6 ou b = 2k, de onde k = 3. Então vamos tentar resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da figura D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3. Observando que todos os coeficientes desta equação quadrática são divisíveis por 3 e realizando a divisão, obtemos a equação quadrática reduzida x 2 + 2x – 2 = 0 Resolva esta equação usando as fórmulas para a equação quadrática reduzida
equações figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Resposta: –1 – √3; –1 + √3.

Como vemos, ao resolver esta equação por várias fórmulas recebemos a mesma resposta. Portanto, tendo dominado completamente as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1, você sempre será capaz de resolver qualquer equação quadrática completa.

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Apenas. Segundo fórmulas e regras claras e simples. Na primeira fase

necessário dada equação levar a visualização padrão, ou seja para o formulário:

Se a equação já foi fornecida neste formulário, você não precisa fazer a primeira etapa. O mais importante é fazer certo

determinar todos os coeficientes; UM, b E c.

Fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática.

A expressão sob o sinal de raiz é chamada discriminante . Como você pode ver, para encontrar X, nós

nós usamos apenas a, b e c. Aqueles. coeficientes de equação quadrática. Basta inserir com cuidado

valores a, b e c Calculamos nesta fórmula. Nós substituímos por deles sinais!

Por exemplo, na equação:

UM =1; b = 3; c = -4.

Substituímos os valores e escrevemos:

O exemplo está quase resolvido:

Esta é a resposta.

Os erros mais comuns são confusão com valores de sinais um, b E Com. Ou melhor, com substituição

valores negativos na fórmula de cálculo das raízes. Uma gravação detalhada da fórmula vem em socorro aqui

com números específicos. Se você tiver problemas com cálculos, faça!

Suponha que precisemos resolver o seguinte exemplo:

Aqui um = -6; b = -5; c = -1

Descrevemos tudo detalhadamente, com cuidado, sem perder nada com todos os sinais e colchetes:

As equações quadráticas geralmente parecem um pouco diferentes. Por exemplo, assim:

Agora observe as técnicas práticas que reduzem drasticamente o número de erros.

Primeira consulta. Não seja preguiçoso antes resolvendo uma equação quadrática traga-o para o formato padrão.

O que isto significa?

Digamos que depois de todas as transformações você obtenha a seguinte equação:

Não se apresse em escrever a fórmula raiz! É quase certo que você confundirá as probabilidades a, b e c.

Construa o exemplo corretamente. Primeiro, X ao quadrado, depois sem quadrado e depois o termo livre. Assim:

Livre-se do menos. Como? Precisamos multiplicar a equação inteira por -1. Nós obtemos:

Mas agora você pode escrever com segurança a fórmula das raízes, calcular o discriminante e terminar de resolver o exemplo.

Decida por si mesmo. Agora você deve ter raízes 2 e -1.

Recepção em segundo lugar. Verifique as raízes! Por Teorema de Vieta.

Para resolver as equações quadráticas fornecidas, ou seja, se o coeficiente

x 2 +bx+c=0,

Entãox 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Para uma equação quadrática completa em que a≠1:

x2 +bx+c=0,

divida toda a equação por UM:

→ →

Onde x 1 E x 2 - raízes da equação.

Terceira recepção. Se a sua equação tiver coeficientes fracionários, livre-se das frações! Multiplicar

equação com denominador comum.

Conclusão. Conselhos práticos:

1. Antes de resolver, trazemos a equação quadrática para a forma padrão e construímos Certo.

2. Se houver um coeficiente negativo na frente de X ao quadrado, eliminamos-o multiplicando tudo

equações por -1.

3. Se os coeficientes forem fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação pelo correspondente

fator.

4. Se x ao quadrado for puro, seu coeficiente é igual a um, a solução pode ser facilmente verificada por

Descrição bibliográfica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Métodos para resolver equações quadráticas // Jovem cientista. 2016. Nº 6.1. P. 17-20..02.2019).



Nosso projeto é sobre maneiras de resolver equações quadráticas. Objetivo do projeto: aprender a resolver equações quadráticas de formas não incluídas no currículo escolar. Tarefa: encontrar tudo maneiras possíveis resolvendo equações quadráticas e aprendendo como usá-las você mesmo e apresentando esses métodos aos seus colegas.

O que são “equações quadráticas”?

Equação quadrática- equação da forma machado2 + bx + c = 0, Onde um, b, c- alguns números ( uma ≠ 0), x- desconhecido.

Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação quadrática.

• a é chamado de primeiro coeficiente;
• b é chamado de segundo coeficiente;
• c - membro gratuito.

Quem foi o primeiro a “inventar” equações quadráticas?

Algumas técnicas algébricas para resolver equações lineares e quadráticas eram conhecidas há 4.000 anos na Antiga Babilônia. A descoberta de antigas tabuletas de argila da Babilônia, datadas de algum lugar entre 1.800 e 1.600 aC, fornece a evidência mais antiga do estudo de equações quadráticas. As mesmas tabuinhas contêm métodos para resolver certos tipos de equações quadráticas.

A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau, já na antiguidade, foi causada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas dos terrenos e terraplenagem de natureza militar, bem como com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática.

A regra para resolver estas equações, estabelecida nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a esta regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora apresentam apenas problemas com soluções apresentadas na forma de receitas, sem nenhuma indicação de como foram encontrados. Apesar de alto nível desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito número negativo E métodos gerais resolvendo equações quadráticas.

Matemáticos babilônios por volta do século 4 aC. usou o método do complemento quadrado para resolver equações com raízes positivas. Por volta de 300 a.C. Euclides apresentou um método de solução geométrica mais geral. O primeiro matemático que encontrou soluções para equações com raízes negativas na forma fórmula algébrica, era um cientista indiano Brahmagupta(Índia, século VII d.C.).

Brahmagupta estabeleceu uma regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica:

ax2 + bx = c, a>0

Os coeficientes nesta equação também podem ser negativos. O governo de Brahmagupta é essencialmente o mesmo que o nosso.

As competições públicas para resolver problemas difíceis eram comuns na Índia. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol ofusca as estrelas com seu brilho, um homem instruído ofuscará sua glória em assembléias públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos”. Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.

Em um tratado algébrico Al-Khwarizmié dada uma classificação de equações lineares e quadráticas. O autor conta 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:

1) “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax2 = bx.

2) “Quadrados são iguais a números”, ou seja, ax2 = c.

3) “As raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 = c.

4) “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax2 + c = bx.

5) “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 + bx = c.

6) “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c == ax2.

Para Al-Khwarizmi, que evitou o uso de números negativos, os termos de cada uma dessas equações são adendos e não subtraíveis. Neste caso, equações que não possuem soluções positivas obviamente não são levadas em consideração. O autor expõe métodos para resolver essas equações utilizando as técnicas de al-jabr e al-mukabal. A decisão dele, é claro, não coincide completamente com a nossa. Sem falar que é puramente retórico, deve-se notar, por exemplo, que ao resolver uma equação quadrática incompleta do primeiro tipo, Al-Khorezmi, como todos os matemáticos até o século XVII, não leva em consideração a solução zero, provavelmente porque na prática específica isso não importa nas tarefas. Ao resolver equações quadráticas completas, Al-Khwarizmi estabelece as regras de solução usando exemplos numéricos específicos e, em seguida, suas provas geométricas.

As formas para resolver equações quadráticas seguindo o modelo de Al-Khwarizmi na Europa foram estabelecidas pela primeira vez no “Livro do Ábaco”, escrito em 1202. Matemático italiano Leonardo Fibonacci. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos.

Este livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas deste livro foram usados ​​em quase todos os livros europeus dos séculos XIV-XVII. Regra geral a solução de equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2 + bх = с para todas as combinações possíveis de sinais e coeficientes b, c foi formulada na Europa em 1544. Sr. Stiefel.

Derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática em visão geral O Viet tem isso, mas o Viet reconheceu apenas raízes positivas. Matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli entre os primeiros do século XVI. Além das positivas, também são levadas em consideração as raízes negativas. Somente no século XVII. graças aos esforços Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assume uma forma moderna.

Vejamos várias maneiras de resolver equações quadráticas.

Métodos padrão para resolver equações quadráticas do currículo escolar:

1. Fatorando o lado esquerdo da equação.
2. Método para selecionar um quadrado completo.
3. Resolvendo equações quadráticas usando a fórmula.
4. Solução gráfica equação quadrática.
5. Resolvendo equações usando o teorema de Vieta.

Detenhamo-nos mais detalhadamente na resolução de equações quadráticas reduzidas e não reduzidas usando o teorema de Vieta.

Lembre-se que para resolver as equações quadráticas acima, basta encontrar dois números cujo produto seja igual ao termo livre e cuja soma seja igual ao segundo coeficiente com sinal oposto.

Exemplo.x 2 -5x+6=0

Você precisa encontrar números cujo produto seja 6 e cuja soma seja 5. Esses números serão 3 e 2.

Resposta: x 1 =2,x 2 =3.

Mas você pode usar este método para equações com o primeiro coeficiente diferente de um.

Exemplo.3x 2 +2x-5=0

Pegue o primeiro coeficiente e multiplique-o pelo termo livre: x 2 +2x-15=0

As raízes desta equação serão números cujo produto é igual a -15 e cuja soma é igual a -2. Esses números são 5 e 3. Para encontrar as raízes da equação original, divida as raízes resultantes pelo primeiro coeficiente.

Resposta: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Resolver equações pelo método "throw".

Considere a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, onde a≠0.

Multiplicando ambos os lados por a, obtemos a equação a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Seja ax = y, de onde x = y/a; então chegamos à equação y 2 + by + ac = 0, equivalente à dada. Encontramos as suas raízes para 1 e 2 utilizando o teorema de Vieta.

Finalmente obtemos x 1 = y 1 /a e x 2 = y 2 /a.

Com este método, o coeficiente a é multiplicado pelo termo livre, como se fosse “jogado” nele, por isso é chamado de método “lançamento”. Este método é usado quando você pode encontrar facilmente as raízes da equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Exemplo.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Vamos “jogar” o coeficiente 2 para o termo livre e fazer uma substituição e obter a equação y 2 - 11y + 30 = 0.

De acordo com o teorema inverso de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5;

Resposta: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática.

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Se a+ b + c = 0 (ou seja, a soma dos coeficientes da equação é zero), então x 1 = 1.

2. Se a - b + c = 0, ou b = a + c, então x 1 = - 1.

Exemplo.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Como a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), então x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Resposta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplo.132x 2 + 247x + 115 = 0

Porque a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), então x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Resposta: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Existem outras propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática. mas seu uso é mais complexo.

8. Resolver equações quadráticas utilizando um nomograma.

Figura 1. Nomograma

É antigo e atualmente maneira esquecida soluções para equações quadráticas, colocadas na pág. 83 da coleção: Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.

Tabela XXII. Nomograma para resolver a equação z 2 + pz + q = 0. Este nomograma permite, sem resolver uma equação quadrática, determinar as raízes da equação a partir de seus coeficientes.

A escala curvilínea do nomograma é construída de acordo com as fórmulas (Fig. 1):

Acreditar OS = p, ED = q, OE = a(tudo em cm), da Fig. 1 semelhanças de triângulos SAN E CDF obtemos a proporção

que, após substituições e simplificações, produz a equação z 2 + pz + q = 0, e a carta z significa a marca de qualquer ponto em uma escala curva.

Arroz. 2 Resolvendo equações quadráticas usando um nomograma

Exemplos.

1) Para a equação z 2 - 9z + 8 = 0 o nomograma fornece as raízes z 1 = 8,0 e z 2 = 1,0

Resposta:8,0; 1,0.

2) Usando um nomograma, resolvemos a equação

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divida os coeficientes desta equação por 2, obtemos a equação z 2 - 4,5z + 1 = 0.

O nomograma fornece raízes z 1 = 4 e z 2 = 0,5.

Resposta: 4; 0,5.

9. Método geométrico de resolução de equações quadráticas.

Exemplo.X 2 + 10x = 39.

No original, este problema é formulado da seguinte forma: “O quadrado e as dez raízes são iguais a 39”.

Considere um quadrado de lado x, são construídos retângulos em seus lados de forma que o outro lado de cada um deles seja 2,5, portanto a área de cada um é 2,5x. A figura resultante é então completada em um novo quadrado ABCD, adicionando quatro quadrados nos cantos. quadrado igual, o lado de cada um deles é 2,5 e a área é 6,25

Arroz. 3 Método gráfico para resolver a equação x 2 + 10x = 39

A área S do quadrado ABCD pode ser representada como a soma das áreas de: o quadrado original x 2, quatro retângulos (4∙2,5x = 10x) e quatro quadrados adicionais (6,25∙4 = 25), ou seja, S = x 2 + 10x = 25. Substituindo x 2 + 10x pelo número 39, obtemos que S = 39 + 25 = 64, o que significa que o lado do quadrado é ABCD, ou seja, segmento AB = 8. Para o lado requerido x do quadrado original, obtemos

10. Resolução de equações utilizando o teorema de Bezout.

Teorema de Bezout. O restante da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x - α é igual a P(α) (ou seja, o valor de P(x) em x = α).

Se o número α for a raiz do polinômio P(x), então este polinômio é divisível por x -α sem resto.

Exemplo.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Divida P(x) por (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ou x-3=0, x=3; Resposta: x1 =2, x2 =3.

Conclusão: A capacidade de resolver equações quadráticas de forma rápida e racional é simplesmente necessária para resolver mais equações complexas, Por exemplo, equações racionais fracionárias, equações de graus superiores, equações biquadráticas e no ensino médio trigonométricas, exponenciais e equações logarítmicas. Tendo estudado todos os métodos encontrados para resolução de equações quadráticas, podemos aconselhar nossos colegas, além dos métodos padrão, a resolver pelo método de transferência (6) e resolver equações usando a propriedade dos coeficientes (7), pois são mais acessíveis para entender.

Literatura:

1. Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.
2. Álgebra 8ª série: livro didático para a 8ª série. educação geral instituições Makarychev Yu., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. SA Telyakovsky 15ª ed., revisado. - M.: Educação, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História da matemática na escola. Manual para professores. /Ed. V. N. Mais jovem. - M.: Educação, 1964.

EM sociedade moderna a capacidade de realizar operações com equações contendo uma variável quadrada pode ser útil em muitas áreas de atividade e é amplamente utilizada na prática em desenvolvimentos científicos e técnicos. Evidência disso pode ser encontrada no projeto de projetos marítimos e barcos fluviais, aviões e mísseis. Usando tais cálculos, as trajetórias de movimento dos mais corpos diferentes, incluindo objetos espaciais. Exemplos com solução de equações quadráticas são utilizados não apenas nas previsões econômicas, no projeto e construção de edifícios, mas também nas circunstâncias mais comuns do dia a dia. Podem ser necessários em caminhadas, em eventos esportivos, em lojas na hora de fazer compras e em outras situações muito comuns.

Vamos dividir a expressão em seus fatores componentes

O grau de uma equação é determinado pelo valor máximo do grau da variável que a expressão contém. Se for igual a 2, essa equação é chamada quadrática.

Se falamos na linguagem das fórmulas, então as expressões indicadas, não importa sua aparência, sempre podem ser trazidas para a forma quando o lado esquerdo da expressão consiste em três termos. Entre eles: ax 2 (ou seja, uma variável ao quadrado com seu coeficiente), bx (uma incógnita sem quadrado com seu coeficiente) e c (um componente livre, ou seja, um número ordinário). Tudo isso no lado direito é igual a 0. No caso em que tal polinômio carece de um de seus termos constituintes, com exceção do machado 2, é chamado de equação quadrática incompleta. Exemplos com a solução de tais problemas, cujos valores das variáveis ​​​​são fáceis de encontrar, devem ser considerados primeiro.

Se a expressão parecer ter dois termos no lado direito, mais precisamente ax 2 e bx, a maneira mais fácil de encontrar x é colocar a variável fora dos colchetes. Agora nossa equação ficará assim: x(ax+b). A seguir, torna-se óbvio que ou x=0, ou o problema se resume a encontrar uma variável a partir da seguinte expressão: ax+b=0. Isso é ditado por uma das propriedades da multiplicação. A regra afirma que o produto de dois fatores resulta em 0 somente se um deles for zero.

Exemplo

x=0 ou 8x - 3 = 0

Como resultado, obtemos duas raízes da equação: 0 e 0,375.

Equações desse tipo podem descrever o movimento de corpos sob a influência da gravidade, que começaram a se mover a partir de um determinado ponto tomado como origem das coordenadas. Aqui a notação matemática assume a seguinte forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Substituindo os valores necessários, igualando o lado direito a 0 e encontrando possíveis incógnitas, você pode descobrir o tempo que passa desde o momento em que o corpo sobe até o momento em que cai, entre muitas outras quantidades. Mas falaremos sobre isso mais tarde.

Fatorando uma Expressão

A regra descrita acima permite resolver estes problemas em casos mais complexos. Vejamos exemplos de resolução de equações quadráticas desse tipo.

X 2 - 33x + 200 = 0

Esse trinômio quadrático está completo. Primeiro, vamos transformar a expressão e fatorá-la. Existem dois deles: (x-8) e (x-25) = 0. Como resultado, temos duas raízes 8 e 25.

Exemplos de resolução de equações quadráticas no 9º ano permitem que este método encontre uma variável em expressões não apenas de segunda, mas até de terceira e quarta ordens.

Por exemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ao fatorar o lado direito em fatores com uma variável, existem três deles, ou seja, (x+1), (x-3) e (x+ 3).

Como resultado, torna-se óbvio que esta equação tem três raízes: -3; -1; 3.

Raiz quadrada

Outro caso de equação de segunda ordem incompleta é uma expressão representada na linguagem das letras de tal forma que o lado direito é construído a partir dos componentes ax 2 e c. Aqui, para obter o valor da variável, o termo livre é transferido para o lado direito e, em seguida, é extraído de ambos os lados da igualdade raiz quadrada. Deve-se notar que neste caso geralmente existem duas raízes da equação. As únicas exceções podem ser igualdades que não contêm nenhum termo com, onde a variável é igual a zero, bem como variantes de expressões quando o lado direito é negativo. Neste último caso, não há solução alguma, pois as ações acima não podem ser realizadas com raízes. Exemplos de soluções para equações quadráticas deste tipo devem ser considerados.

Neste caso, as raízes da equação serão os números -4 e 4.

Cálculo da área do terreno

A necessidade desse tipo de cálculo surgiu na antiguidade, pois o desenvolvimento da matemática naqueles tempos distantes foi em grande parte determinado pela necessidade de determinar com a maior precisão as áreas e perímetros dos terrenos.

Deveríamos também considerar exemplos de resolução de equações quadráticas baseadas em problemas deste tipo.

Então, digamos que haja um terreno retangular cujo comprimento seja 16 metros maior que a largura. Você deve saber o comprimento, largura e perímetro do local se souber que sua área é de 612 m 2.

Para começar, vamos primeiro criar a equação necessária. Denotemos por x a largura da área, então seu comprimento será (x+16). Do que foi escrito segue-se que a área é determinada pela expressão x(x+16), que, de acordo com as condições do nosso problema, é 612. Isso significa que x(x+16) = 612.

Resolver equações quadráticas completas, e esta expressão é exatamente isso, não pode ser feita da mesma forma. Por que? Embora o lado esquerdo ainda contenha dois fatores, seu produto não é igual a 0, portanto, métodos diferentes são usados ​​aqui.

Discriminante

Primeiramente vamos fazer as transformações necessárias, depois aparência desta expressão ficará assim: x 2 + 16x - 612 = 0. Isso significa que recebemos uma expressão em um formato correspondente ao padrão especificado anteriormente, onde a=1, b=16, c=-612.

Este poderia ser um exemplo de resolução de equações quadráticas usando um discriminante. Aqui cálculos necessários são produzidos de acordo com o esquema: D = b 2 - 4ac. Esta grandeza auxiliar não só permite encontrar as grandezas necessárias em uma equação de segunda ordem, mas também determina a grandeza opções possíveis. Se D>0, existem dois deles; para D=0 existe uma raiz. No caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre raízes e sua fórmula

No nosso caso, o discriminante é igual a: 256 - 4(-612) = 2704. Isto sugere que o nosso problema tem uma resposta. Se você conhece k, a solução das equações quadráticas deve continuar usando a fórmula abaixo. Ele permite calcular as raízes.

Isso significa que no caso apresentado: x 1 =18, x 2 =-34. A segunda opção neste dilema não pode ser uma solução, pois as dimensões do terreno não podem ser medidas em quantidades negativas, o que significa que x (ou seja, a largura do terreno) é 18 m. +16=34, e o perímetro 2(34+ 18)=104(m2).

Exemplos e tarefas

Continuamos nosso estudo de equações quadráticas. Exemplos e soluções detalhadas de vários deles serão fornecidos a seguir.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Vamos mover tudo para o lado esquerdo da igualdade, fazer uma transformação, ou seja, vamos pegar o tipo de equação que costuma ser chamada de padrão, e igualá-la a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Somando outros semelhantes, determinamos o discriminante: D = 49 - 48 = 1. Isso significa que nossa equação terá duas raízes. Vamos calculá-los de acordo com a fórmula acima, o que significa que o primeiro deles será igual a 4/3 e o segundo a 1.

2) Agora vamos resolver mistérios de um tipo diferente.

Vamos descobrir se existe alguma raiz aqui x 2 - 4x + 5 = 1? Para obter uma resposta abrangente, vamos reduzir o polinômio à forma usual correspondente e calcular o discriminante. No exemplo acima, não é necessário resolver a equação quadrática, porque esta não é de forma alguma a essência do problema. Neste caso, D = 16 - 20 = -4, o que significa que realmente não existem raízes.

Teorema de Vieta

É conveniente resolver equações quadráticas usando as fórmulas acima e o discriminante, quando a raiz quadrada é extraída do valor deste último. Mas isso nem sempre acontece. Porém, existem muitas maneiras de obter os valores das variáveis ​​​​neste caso. Exemplo: resolução de equações quadráticas utilizando o teorema de Vieta. Ela recebeu o nome de alguém que viveu na França do século 16 e fez uma carreira brilhante graças ao seu talento matemático e conexões na corte. Seu retrato pode ser visto no artigo.

O padrão que o famoso francês notou foi o seguinte. Ele provou que as raízes da equação somam numericamente -p=b/a, e seu produto corresponde a q=c/a.

Agora vamos examinar tarefas específicas.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, vamos transformar a expressão:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vamos usar o teorema de Vieta, isso nos dará o seguinte: a soma das raízes é -7 e seu produto é -18. A partir daqui, obtemos que as raízes da equação são os números -9 e 2. Após a verificação, teremos certeza de que os valores dessas variáveis ​​​​realmente se enquadram na expressão.

Gráfico e equação de parábola

Os conceitos de função quadrática e equações quadráticas estão intimamente relacionados. Exemplos disso já foram dados anteriormente. Agora vamos examinar alguns enigmas matemáticos com um pouco mais de detalhes. Qualquer equação do tipo descrito pode ser representada visualmente. Tal relação, desenhada como um gráfico, é chamada de parábola. Seus vários tipos são apresentados na figura abaixo.

Qualquer parábola possui um vértice, ou seja, um ponto de onde emergem seus ramos. Se a>0, eles vão até o infinito, e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

As representações visuais de funções ajudam a resolver quaisquer equações, inclusive quadráticas. Este método é denominado gráfico. E o valor da variável x é a coordenada abcissa nos pontos onde a linha do gráfico cruza com 0x. As coordenadas do vértice podem ser encontradas usando a fórmula dada x 0 = -b/2a. E substituindo o valor resultante na equação original da função, você pode descobrir y 0, ou seja, a segunda coordenada do vértice da parábola, que pertence ao eixo das ordenadas.

A intersecção dos ramos de uma parábola com o eixo das abcissas

Existem muitos exemplos de resolução de equações quadráticas, mas também existem padrões gerais. Vamos dar uma olhada neles. É claro que a intersecção do gráfico com o eixo 0x para a>0 só é possível se 0 assumir valores negativos. E por um<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Caso contrário D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir do gráfico da parábola você também pode determinar as raízes. O oposto também é verdadeiro. Isto é, se você obtiver uma imagem visual função quadrática Não é fácil, você pode igualar o lado direito da expressão a 0 e resolver a equação resultante. E conhecendo os pontos de intersecção com o eixo 0x, fica mais fácil construir um gráfico.

Da história

Usando equações contendo uma variável quadrada, antigamente não apenas faziam cálculos matemáticos como determinavam as áreas das figuras geométricas. Os antigos precisavam de tais cálculos para grandes descobertas nos campos da física e da astronomia, bem como para fazer previsões astrológicas.

Como sugerem os cientistas modernos, os habitantes da Babilônia foram um dos primeiros a resolver equações quadráticas. Isso aconteceu quatro séculos antes da nossa era. É claro que seus cálculos eram radicalmente diferentes daqueles atualmente aceitos e revelaram-se muito mais primitivos. Por exemplo, os matemáticos mesopotâmicos não tinham ideia da existência de números negativos. Eles também não estavam familiarizados com outras sutilezas que qualquer aluno moderno conhece.

Talvez ainda antes dos cientistas da Babilônia, o sábio da Índia Baudhayama começou a resolver equações quadráticas. Isso aconteceu cerca de oito séculos antes da era de Cristo. É verdade que as equações de segunda ordem, os métodos de resolução que ele forneceu, eram os mais simples. Além dele, os matemáticos chineses também se interessavam por questões semelhantes antigamente. Na Europa, as equações quadráticas começaram a ser resolvidas apenas no início do século XIII, mas posteriormente foram utilizadas em seus trabalhos por grandes cientistas como Newton, Descartes e muitos outros.

Equação quadrática – fácil de resolver! *Doravante denominado “KU”. Amigos, parece que não poderia haver nada mais simples em matemática do que resolver tal equação. Mas algo me disse que muitas pessoas têm problemas com ele. Decidi ver quantas impressões sob demanda o Yandex distribui por mês. Aqui está o que aconteceu, veja:

O que isso significa? Isto significa que cerca de 70.000 pessoas por mês procuram esta informação, e isto é verão, e o que vai acontecer durante o ano letivo - haverá o dobro dos pedidos. O que não surpreende, porque essas crianças que se formaram há muito tempo na escola e se preparam para o Exame Estadual Unificado buscam essas informações, e os alunos também se esforçam para refrescar a memória.

Apesar de existirem muitos sites que ensinam como resolver essa equação, resolvi também contribuir e publicar o material. Em primeiro lugar, quero que os visitantes cheguem ao meu site com base nesta solicitação; em segundo lugar, em outros artigos, quando surgir o tema “KU”, fornecerei um link para este artigo; em terceiro lugar, contarei um pouco mais sobre a solução dele do que normalmente é dito em outros sites. Vamos começar! Conteúdo do artigo:

Uma equação quadrática é uma equação da forma:

onde coeficientes a,be c são números arbitrários, com a≠0.

No curso escolar, o material é ministrado da seguinte forma - as equações são divididas em três classes:

1. Eles têm duas raízes.

2. *Tem apenas uma raiz.

3. Eles não têm raízes. É importante notar aqui que eles não têm raízes reais

Como as raízes são calculadas? Apenas!

Calculamos o discriminante. Por baixo desta palavra “terrível” existe uma fórmula muito simples:

As fórmulas raiz são as seguintes:

*Você precisa saber essas fórmulas de cor.

Você pode anotar e resolver imediatamente:

Exemplo:

1. Se D > 0, então a equação tem duas raízes.

2. Se D = 0, então a equação tem uma raiz.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Vejamos a equação:

Nesse sentido, quando o discriminante é igual a zero, o curso escolar diz que se obtém uma raiz, aqui é igual a nove. Está tudo certo, é verdade, mas...

Esta ideia é um tanto incorreta. Na verdade, existem duas raízes. Sim, sim, não se surpreenda, acontece que dois raízes iguais, e para ser matematicamente preciso, a resposta deve conter duas raízes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Mas é assim - uma pequena digressão. Na escola você pode anotar e dizer que existe uma raiz.

Agora o próximo exemplo:

Como sabemos, a raiz de um número negativo não pode ser obtida, portanto não há solução neste caso.

Esse é todo o processo de decisão.

Função quadrática.

Isso mostra a aparência geométrica da solução. É extremamente importante entender isso (futuramente, em um dos artigos analisaremos detalhadamente a solução da desigualdade quadrática).

Esta é uma função do formulário:

onde x e y são variáveis

a, b, c – números dados, com a ≠ 0

O gráfico é uma parábola:

Ou seja, verifica-se que resolvendo uma equação quadrática com “y” igual a zero, encontramos os pontos de intersecção da parábola com o eixo x. Pode haver dois desses pontos (o discriminante é positivo), um (o discriminante é zero) e nenhum (o discriminante é negativo). Detalhes sobre a função quadrática você pode olhar artigo de Inna Feldman.

Vejamos exemplos:

Exemplo 1: Resolver 2x 2 +8 x–192=0

uma=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Resposta: x 1 = 8 x 2 = –12

*Foi possível dividir imediatamente os lados esquerdo e direito da equação por 2, ou seja, simplificá-la. Os cálculos serão mais fáceis.

Exemplo 2: Decidir x 2–22 x+121 = 0

uma=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Descobrimos que x 1 = 11 e x 2 = 11

É permitido escrever x = 11 na resposta.

Resposta: x = 11

Exemplo 3: Decidir x 2 –8x+72 = 0

uma=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

O discriminante é negativo, não há solução em números reais.

Resposta: nenhuma solução

O discriminante é negativo. Existe uma solução!

Aqui falaremos sobre como resolver a equação no caso em que um discriminante negativo for obtido. Você sabe alguma coisa sobre números complexos? Não entrarei em detalhes aqui sobre por que e onde eles surgiram e qual é o seu papel e necessidade específicos na matemática; este é um tópico para um grande artigo separado.

O conceito de número complexo.

Um pouco de teoria.

Um número complexo z é um número da forma

z = a + bi

onde a e b estão números reais, i é a chamada unidade imaginária.

a+bi – este é um NÚMERO ÚNICO, não uma adição.

A unidade imaginária é igual à raiz de menos um:

Agora considere a equação:

Obtemos duas raízes conjugadas.

Equação quadrática incompleta.

Vamos considerar casos especiais, é quando o coeficiente “b” ou “c” é igual a zero (ou ambos são iguais a zero). Eles podem ser resolvidos facilmente sem quaisquer discriminantes.

Caso 1. Coeficiente b = 0.

A equação se torna:

Vamos transformar:

Exemplo:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Caso 2. Coeficiente c = 0.

A equação se torna:

Vamos transformar e fatorar:

*O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Exemplo:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Caso 3. Coeficientes b = 0 e c = 0.

Aqui está claro que a solução da equação será sempre x = 0.

Propriedades úteis e padrões de coeficientes.

Existem propriedades que permitem resolver equações com coeficientes grandes.

UMx 2 + bx+ c=0 igualdade vale

um + b+ c = 0, Que

- se para os coeficientes da equação UMx 2 + bx+ c=0 igualdade vale

um+ c =b, Que

Essas propriedades ajudam a resolver um certo tipo de equação.

Exemplo 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

A soma das probabilidades é 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, o que significa

Exemplo 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

A igualdade vale um+ c =b, Significa

Regularidades dos coeficientes.

1. Se na equação ax 2 + bx + c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 +1), e o coeficiente “c” for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplo. Considere a equação 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Se na equação ax 2 – bx + c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 +1), e o coeficiente “c” for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplo. Considere a equação 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Se na Eq. machado 2 + bx – c = 0 coeficiente “b” é igual a (a 2 – 1) e coeficiente “c” é numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/uma.

Exemplo. Considere a equação 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Se na equação ax 2 – bx – c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 – 1), e o coeficiente c for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplo. Considere a equação 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema de Vieta.

O teorema de Vieta leva o nome do famoso matemático francês François Vieta. Usando o teorema de Vieta, podemos expressar a soma e o produto das raízes de um KU arbitrário em termos de seus coeficientes.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

No total, o número 14 dá apenas 5 e 9. Estas são as raízes. Com uma certa habilidade, usando o teorema apresentado, você pode resolver muitas equações quadráticas oralmente de uma só vez.

Teorema de Vieta, além disso. conveniente porque depois de resolver a equação quadrática da maneira habitual(através do discriminante) as raízes resultantes podem ser verificadas. Recomendo fazer isso sempre.

MÉTODO DE TRANSPORTE

Com esse método, o coeficiente “a” é multiplicado pelo termo livre, como se fosse “jogado” nele, por isso é chamado método de "transferência". Este método é usado quando você pode encontrar facilmente as raízes da equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Se UM± b+c≠ 0, então é utilizada a técnica de transferência, por exemplo:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Usando o teorema de Vieta na equação (2), é fácil determinar que x 1 = 10 x 2 = 1

As raízes resultantes da equação devem ser divididas por 2 (já que as duas foram “jogadas” de x 2), obtemos

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Qual é a justificativa? Veja o que está acontecendo.

Os discriminantes das equações (1) e (2) são iguais:

Se você olhar as raízes das equações, obterá apenas denominadores diferentes, e o resultado depende precisamente do coeficiente de x 2:

O segundo (modificado) tem raízes 2 vezes maiores.

Portanto, dividimos o resultado por 2.

*Se rolarmos novamente os três, dividiremos o resultado por 3, etc.

Resposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Quadrado ur-ie e Exame de Estado Unificado.

Vou falar brevemente sobre sua importância - VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE DECIDIR rapidamente e sem pensar, você precisa saber de cor as fórmulas das raízes e dos discriminantes. Muitos dos problemas incluídos nas tarefas do Exame de Estado Unificado resumem-se à resolução de uma equação quadrática (incluindo as geométricas).

Algo digno de nota!

1. A forma de escrever uma equação pode ser “implícita”. Por exemplo, a seguinte entrada é possível:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Você precisa trazê-lo para um formulário padrão (para não se confundir na hora de resolver).

2. Lembre-se que x é uma quantidade desconhecida e pode ser denotada por qualquer outra letra - t, q, p, h e outras.