Muitas pessoas pensam que as desigualdades exponenciais são algo complexo e incompreensível. E que aprender a resolvê-los é quase uma grande arte, que só os Escolhidos conseguem compreender...
Bobagem completa! As desigualdades exponenciais são fáceis. E eles são sempre resolvidos de forma simples. Bem, quase sempre :)
Hoje veremos esse tópico por dentro e por fora. Esta lição será muito útil para aqueles que estão apenas começando a entender esta seção da matemática escolar. Vamos começar com tarefas simples e passaremos para questões mais complexas. Não haverá nenhum trabalho árduo hoje, mas o que você está prestes a ler será suficiente para resolver a maioria das desigualdades em todos os tipos de testes e testes. trabalho independente. E neste seu exame também.
Como sempre, vamos começar com uma definição. Uma desigualdade exponencial é qualquer desigualdade que contenha uma função exponencial. Em outras palavras, sempre pode ser reduzido a uma desigualdade da forma
\[((a)^(x)) \gt b\]
Onde o papel de $b$ pode ser um número comum, ou talvez algo mais difícil. Exemplos? Sim, por favor:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quádruplo ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\fim(alinhar)\]
Acho que o significado é claro: existe uma função exponencial $((a)^(x))$, ela é comparada com algo e então solicitada a encontrar $x$. Em casos particularmente clínicos, em vez da variável $x$, podem colocar alguma função $f\left(x \right)$ e com isso complicar um pouco a desigualdade :).
É claro que, em alguns casos, a desigualdade pode parecer mais grave. Aqui, por exemplo:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Ou mesmo isto:
Em geral, a complexidade de tais desigualdades pode ser muito diferente, mas no final elas ainda se reduzem à simples construção $((a)^(x)) \gt b$. E de alguma forma descobriremos tal construção (especialmente em casos clínicos, quando nada vem à mente, os logaritmos nos ajudarão). Portanto, agora vamos te ensinar como resolver construções tão simples.
Resolvendo desigualdades exponenciais simples
Vamos considerar algo muito simples. Por exemplo, isto:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Obviamente, o número à direita pode ser reescrito como uma potência de dois: $4=((2)^(2))$. Assim, a desigualdade original pode ser reescrita de uma forma muito conveniente:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
E agora minhas mãos estão ansiosas para “riscar” os dois nas bases das potências para obter a resposta $x \gt 2$. Mas antes de riscar qualquer coisa, vamos lembrar as potências de dois:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Como você pode ver, quanto maior o número no expoente, maior será o número de saída. “Obrigado, capitão!” - exclamará um dos alunos. É diferente? Infelizmente, isso acontece. Por exemplo:
\[((\esquerda(\frac(1)(2) \direita))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\esquerda(\frac(1)(2) \ direita))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\esquerda(\frac(1)(2) \direita))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Tudo é lógico aqui também: o que mais grau, mais vezes o número 0,5 é multiplicado por si mesmo (ou seja, dividido ao meio). Assim, a sequência de números resultante é decrescente, e a diferença entre a primeira e a segunda sequência está apenas na base:
- Se a base de grau $a \gt 1$, então à medida que o expoente $n$ aumenta, o número $((a)^(n))$ também aumentará;
- E vice-versa, se $0 \lt a \lt 1$, então à medida que o expoente $n$ aumenta, o número $((a)^(n))$ diminuirá.
Resumindo esses fatos, obtemos a afirmação mais importante na qual toda a decisão se baseia desigualdades exponenciais:
Se $a \gt 1$, então a desigualdade $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $x \gt n$. Se $0 \lt a \lt 1$, então a desigualdade $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $x \lt n$.
Em outras palavras, se a base for maior que um, você pode simplesmente removê-la - o sinal de desigualdade não mudará. E se a base for menor que um, então também pode ser removida, mas ao mesmo tempo terá que alterar o sinal de desigualdade.
Observe que não consideramos as opções $a=1$ e $a\le 0$. Porque nestes casos surge a incerteza. Digamos como resolver uma desigualdade da forma $((1)^(x)) \gt 3$? Um elevado a qualquer potência dará novamente um - nunca obteremos três ou mais. Aqueles. não há soluções.
Com motivos negativos tudo fica ainda mais interessante. Por exemplo, considere esta desigualdade:
\[((\esquerda(-2 \direita))^(x)) \gt 4\]
À primeira vista, tudo é simples:
Certo? Mas não! Basta substituir alguns números pares e ímpares em vez de $x$ para ter certeza de que a solução está incorreta. Dê uma olhada:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Como você pode ver, os sinais se alternam. Mas também existem poderes fracionários e outras bobagens. Como, por exemplo, você ordenaria o cálculo de $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (menos dois elevado a sete)? Sem chance!
Portanto, para definição, assumimos que em todas as desigualdades exponenciais (e equações, aliás, também) $1\ne a \gt 0$. E então tudo se resolve de forma muito simples:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fim(alinhar) \direita.\]
Em geral, lembre-se mais uma vez da regra principal: se a base de uma equação exponencial for maior que um, você pode simplesmente removê-la; e se a base for menor que um, também pode ser removida, mas o sinal da desigualdade mudará.
Exemplos de soluções
Então, vejamos algumas desigualdades exponenciais simples:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fim(alinhar)\]
A tarefa principal em todos os casos é a mesma: reduzir as desigualdades à forma mais simples $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. É exatamente isso que faremos agora com cada desigualdade e, ao mesmo tempo, repetiremos as propriedades dos graus e das funções exponenciais. Então, vamos lá!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
O que você pode fazer aqui? Pois bem, à esquerda já temos uma expressão indicativa - nada precisa ser alterado. Mas à direita há algum tipo de porcaria: uma fração e até uma raiz no denominador!
Porém, vamos lembrar as regras para trabalhar com frações e potências:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fim(alinhar)\]
O que isso significa? Primeiro, podemos facilmente eliminar a fração transformando-a numa potência com um expoente negativo. E em segundo lugar, como o denominador tem uma raiz, seria bom transformá-lo em uma potência - desta vez com um expoente fracionário.
Vamos aplicar essas ações sequencialmente ao lado direito da desigualdade e ver o que acontece:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((((2)^(\frac( 1)(3))) \direita))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \esquerda(-1 \direita)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Não se esqueça que ao elevar um grau a uma potência, os expoentes desses graus se somam. E em geral, ao trabalhar com equações e desigualdades exponenciais, é absolutamente necessário conhecer pelo menos as regras mais simples para trabalhar com potências:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\esquerda(((a)^(x)) \direita))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fim(alinhar)\]
Na verdade, acabamos de aplicar a última regra. Portanto, nossa desigualdade original será reescrita da seguinte forma:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Agora nos livramos dos dois na base. Como 2 > 1, o sinal de desigualdade permanecerá o mesmo:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Essa é a solução! A principal dificuldade não está na função exponencial, mas na transformação competente da expressão original: é preciso trazê-la com cuidado e rapidez à sua forma mais simples.
Considere a segunda desigualdade:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Sim, sim. Eles estão esperando por nós aqui decimais. Como já disse muitas vezes, em qualquer expressão com potências você deve se livrar dos decimais - esta é muitas vezes a única maneira de ver uma solução rápida e simples. Aqui vamos nos livrar de:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\esquerda(\frac(1)(10) \direita))^(2)). \\\fim(alinhar)\]
Aqui novamente temos a desigualdade mais simples, e mesmo com base 1/10, ou seja, menos de um. Pois bem, retiramos as bases, mudando simultaneamente o sinal de “menos” para “mais”, e obtemos:
\[\begin(alinhar) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fim(alinhar)\]
Recebemos a resposta final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Observe: a resposta é precisamente um conjunto e em nenhum caso uma construção da forma $x \lt -1$. Porque formalmente, tal construção não é um conjunto, mas uma desigualdade em relação à variável $x$. Sim, é muito simples, mas não é a resposta!
Nota importante. Esta desigualdade poderia ser resolvida de outra forma - reduzindo ambos os lados a uma potência com base maior que um. Dê uma olhada:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cponto 2))\]
Após tal transformação, obteremos novamente uma desigualdade exponencial, mas com base 10 > 1. Isso significa que podemos simplesmente riscar os dez - o sinal da desigualdade não mudará. Nós obtemos:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fim(alinhar)\]
Como você pode ver, a resposta foi exatamente a mesma. Ao mesmo tempo, evitamos a necessidade de mudar a placa e geralmente lembrar de todas as regras :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
No entanto, não deixe isso assustar você. Não importa o que esteja nos indicadores, a tecnologia para resolver a desigualdade permanece a mesma. Portanto, observemos primeiro que 16 = 2 4. Vamos reescrever a desigualdade original levando em consideração este fato:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Viva! Obtivemos a desigualdade quadrática usual! O sinal não mudou em lugar nenhum, pois a base é dois - um número maior que um.
Zeros de uma função na reta numérica
Organizamos os sinais da função $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - obviamente, seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, então haverá “vantagens ”Nas laterais. Estamos interessados na região onde a função é menor que zero, ou seja, $x\in \left(2;5 \right)$ é a resposta para o problema original.
Finalmente, considere outra desigualdade:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Novamente vemos uma função exponencial com uma fração decimal na base. Vamos converter esta fração em uma fração comum:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\esquerda(((5)^(-1)) \direita))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
Neste caso, utilizámos a observação dada anteriormente - reduzimos a base ao número 5 > 1 para simplificar a nossa solução adicional. Vamos fazer o mesmo com o lado direito:
\[\frac(1)(25)=((\esquerda(\frac(1)(5) \direita))^(2))=((\esquerda(((5)^(-1)) \ direita))^(2))=((5)^(-1\cponto 2))=((5)^(-2))\]
Vamos reescrever a desigualdade original levando em consideração ambas as transformações:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \direita)))\ge ((5)^(-2))\]
As bases de ambos os lados são iguais e excedem um. Não há outros termos à direita e à esquerda, então simplesmente “riscamos” os cincos e obtemos uma expressão muito simples:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
É aqui que você precisa ter mais cuidado. Muitos estudantes gostam de simplesmente extrair raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade e escreva algo como $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Em nenhum caso você deve fazer isso, pois a raiz de um quadrado exato é módulo e em nenhum caso a variável original:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\esquerda| x\direita|\]
Porém, trabalhar com módulos não é a experiência mais agradável, não é mesmo? Então não vamos trabalhar. Em vez disso, simplesmente movemos todos os termos para a esquerda e resolvemos a inequação usual usando o método do intervalo:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\fim(alinhar)$
Marcamos novamente os pontos obtidos na reta numérica e observamos os sinais:
Atenção: os pontos estão sombreados Como estávamos resolvendo uma desigualdade não estrita, todos os pontos do gráfico estão sombreados. Portanto, a resposta será: $x\in \left[ -1;1 \right]$ não é um intervalo, mas sim um segmento.
Em geral, gostaria de observar que não há nada de complicado nas desigualdades exponenciais. O significado de todas as transformações que realizamos hoje se resume a um algoritmo simples:
- Encontre a base à qual reduziremos todos os graus;
- Execute cuidadosamente as transformações para obter uma desigualdade da forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Claro, em vez das variáveis $x$ e $n$ pode haver muito mais funções complexas, mas o significado não mudará;
- Risque as bases dos graus. Neste caso, o sinal de desigualdade pode mudar se a base $a \lt 1$.
Na verdade, este é um algoritmo universal para resolver todas essas desigualdades. E tudo o mais que eles vão te contar sobre esse assunto são apenas técnicas e truques específicos que vão simplificar e acelerar a transformação. Falaremos sobre uma dessas técnicas agora :)
Método de racionalização
Vamos considerar outro conjunto de desigualdades:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\esquerda(\frac(1)(9) \direita))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Então, o que há de tão especial neles? Eles são leves. Embora, pare! O número π é elevado a alguma potência? Que bobagem?
Como elevar o número $2\sqrt(3)-3$ a uma potência? Ou $3-2\sqrt(2)$? Os escritores problemáticos obviamente beberam muito Hawthorn antes de se sentarem para trabalhar :).
Na verdade, não há nada de assustador nessas tarefas. Deixe-me lembrá-lo: uma função exponencial é uma expressão da forma $((a)^(x))$, onde a base $a$ é qualquer número positivo, exceto um. O número π é positivo – já sabemos disso. Os números $2\sqrt(3)-3$ e $3-2\sqrt(2)$ também são positivos - isso é fácil de ver se você os comparar com zero.
Acontece que todas essas desigualdades “assustadoras” não são resolvidas de forma diferente das simples discutidas acima? E eles são resolvidos da mesma maneira? Sim, isso está absolutamente certo. No entanto, usando o exemplo deles, gostaria de considerar uma técnica que economiza muito tempo em trabalhos independentes e exames. Falaremos sobre o método de racionalização. Então, atenção:
Qualquer desigualdade exponencial da forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ certo) \gt 0 $.
Esse é todo o método :) Você achou que haveria algum tipo de outro jogo? Nada disso! Mas este simples fato, escrito literalmente em uma linha, simplificará muito o nosso trabalho. Dê uma olhada:
\[\begin(matriz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Portanto não existem mais funções exponenciais! E você não precisa lembrar se o sinal muda ou não. Mas surge novo problema: o que fazer com a porra do multiplicador \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Não sabemos qual é o valor exato do número π. No entanto, o capitão parece sugerir o óbvio:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Em geral, o valor exato de π não nos preocupa realmente - é importante apenas entendermos que em qualquer caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. esta é uma constante positiva e podemos dividir ambos os lados da desigualdade por ela:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como vocês podem ver, em determinado momento tivemos que dividir por menos um - e o sinal da desigualdade mudou. No final, expandi o trinômio quadrático usando o teorema de Vieta - é óbvio que as raízes são iguais a $((x)_(1))=5$ e $((x)_(2))=-1$ . Então tudo está decidido método clássico intervalos:
Resolvendo a desigualdade usando o método do intervalo Todos os pontos são removidos porque a desigualdade original é estrita. Estamos interessados na região com valores negativos, então a resposta é $x\in \left(-1;5 \right)$. Essa é a solução. :)
Vamos para a próxima tarefa:
\[((\esquerda(2\sqrt(3)-3 \direita))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Tudo aqui geralmente é simples, pois há uma unidade à direita. E lembramos que um é qualquer número elevado a zero. Mesmo que esse número seja expressão irracional, ficando na base à esquerda:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \direita))^(0)); \\ & ((\esquerda(2\sqrt(3)-3 \direita))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\esquerda(2\sqrt(3)-3 \direita))^(0)); \\\fim(alinhar)\]
Bem, vamos racionalizar:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Resta apenas descobrir os sinais. O fator $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ não contém a variável $x$ - é apenas uma constante e precisamos descobrir seu sinal. Para fazer isso, observe o seguinte:
\[\begin(matriz) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \direita)=0 \\\fim(matriz)\]
Acontece que o segundo fator não é apenas uma constante, mas uma constante negativa! E ao dividir por ele, o sinal da desigualdade original muda para o oposto:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Agora tudo se torna completamente óbvio. As raízes do trinômio quadrado à direita são: $((x)_(1))=0$ e $((x)_(2))=2$. Nós os marcamos na reta numérica e observamos os sinais da função $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
O caso quando estamos interessados em intervalos laterais Estamos interessados nos intervalos marcados com um sinal de mais. Resta anotar a resposta:
Vamos passar para o próximo exemplo:
\[((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\esquerda(\frac(1)(9) \ direita))^(16-x))\]
Bem, tudo é completamente óbvio aqui: as bases contêm potências do mesmo número. Portanto, escreverei tudo resumidamente:
\[\begin(matriz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\esquerda(((3)^(-1)) \direita))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\esquerda(((3)^(-2)) \direita))^(16-x)) \\\end(matriz)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ esquerda(16-x \direita))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como você pode ver, durante o processo de transformação tivemos que multiplicar por número negativo, então o sinal da desigualdade mudou. No final, apliquei novamente o teorema de Vieta para fatorar o trinômio quadrático. Como resultado, a resposta será a seguinte: $x\in \left(-8;4 \right)$ - qualquer um pode verificar isso desenhando uma reta numérica, marcando os pontos e contando os sinais. Enquanto isso, passaremos para a última desigualdade do nosso “conjunto”:
\[((\esquerda(3-2\sqrt(2) \direita))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Como você pode ver, na base há novamente um número irracional e à direita há novamente uma unidade. Portanto, reescrevemos nossa desigualdade exponencial da seguinte forma:
\[((\esquerda(3-2\sqrt(2) \direita))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\esquerda(3-2\sqrt(2) \ direita))^(0))\]
Aplicamos racionalização:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
No entanto, é bastante óbvio que $1-\sqrt(2) \lt 0$, já que $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Portanto, o segundo fator é novamente uma constante negativa, na qual ambos os lados da desigualdade podem ser divididos:
\[\begin(matriz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fim(matriz)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Mude para outra base
Um problema separado ao resolver desigualdades exponenciais é a busca pela base “correta”. Infelizmente, nem sempre é óbvio à primeira vista numa tarefa o que tomar como base e o que fazer de acordo com o grau desta base.
Mas não se preocupe: não existe magia ou tecnologia “secreta” aqui. Em matemática, qualquer habilidade que não possa ser algoritmizada pode ser facilmente desenvolvida através da prática. Mas para isso você terá que resolver problemas níveis diferentes complexidade. Por exemplo, assim:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fim(alinhar)\]
Difícil? Apavorante? É mais fácil do que bater numa galinha no asfalto! Vamos tentar. Primeira desigualdade:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Bem, acho que tudo está claro aqui:
Reescrevemos a desigualdade original, reduzindo tudo à base dois:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \direita)\cdot \esquerda(2-1 \direita) \lt 0\]
Sim, sim, você ouviu certo: acabei de aplicar o método de racionalização descrito acima. Agora precisamos trabalhar com cuidado: temos uma desigualdade racional-fracionária (esta é aquela que tem uma variável no denominador), então antes de igualarmos algo a zero, precisamos trazer tudo para denominador comum e livre-se do fator constante.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Agora usamos o método de intervalo padrão. Zeros do numerador: $x=\pm 4$. O denominador vai para zero somente quando $x=0$. Existem três pontos no total que precisam ser marcados na reta numérica (todos os pontos estão marcados porque o sinal de desigualdade é estrito). Nós obtemos:
Mais caso difícil: três raízes Como você pode imaginar, o sombreado marca os intervalos em que a expressão à esquerda assume valores negativos. Portanto, a resposta final incluirá dois intervalos ao mesmo tempo:
As extremidades dos intervalos não são incluídas na resposta porque a desigualdade original era estrita. Nenhuma verificação adicional desta resposta é necessária. A este respeito, as desigualdades exponenciais são muito mais simples que as logarítmicas: sem ODZ, sem restrições, etc.
Vamos para a próxima tarefa:
\[((\esquerda(\frac(1)(3) \direita))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Também não há problemas aqui, pois já sabemos que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, então toda a desigualdade pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\esquerda(-2 \direita) \direita. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Atenção: na terceira linha decidi não perder tempo com ninharias e imediatamente dividir tudo por (−2). Minul foi para a primeira chave (agora há vantagens em todos os lugares) e dois foram reduzidos com um fator constante. Isso é exatamente o que você deve fazer ao preparar cálculos reais para trabalhos independentes e de teste - você não precisa descrever cada ação e transformação.
A seguir, o método familiar de intervalos entra em ação. Zeros no numerador: mas não há nenhum. Porque o discriminante será negativo. Por sua vez, o denominador é zerado somente quando $x=0$ - assim como da última vez. Bem, é claro que à direita de $x=0$ a fração assumirá valores positivos, e à esquerda - negativos. Como estamos interessados em valores negativos, a resposta final é: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\esquerda(0,16 \direita))^(1+2x))\cdot ((\esquerda(6,25 \direita))^(x))\ge 1\]
O que você deve fazer com frações decimais em desigualdades exponenciais? Isso mesmo: livre-se deles, convertendo-os em comuns. Aqui vamos traduzir:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\ esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\direita))^(x)). \\\fim(alinhar)\]
Então, o que obtivemos nos fundamentos das funções exponenciais? E temos dois números mutuamente inversos:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ direita))^(x))=((\esquerda(((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(-1)) \direita))^(x))=((\ esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(-x))\]
Assim, a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(1+2x+\esquerda(-x \direita)))\ge ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(0)); \\ & ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(x+1))\ge ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(0) ). \\\fim(alinhar)\]
Claro que, ao multiplicar potências com a mesma base, os seus expoentes somam-se, que foi o que aconteceu na segunda linha. Além disso, representamos a unidade da direita, também como potência na base 4/25. Resta apenas racionalizar:
\[((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(x+1))\ge ((\esquerda(\frac(4)(25) \direita))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Observe que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ou seja, o segundo fator é uma constante negativa e, ao dividir por ele, o sinal de desigualdade mudará:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Finalmente, a última desigualdade do “conjunto” atual:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Em princípio, a ideia da solução aqui também é clara: todas as funções exponenciais incluídas na desigualdade devem ser reduzidas à base “3”. Mas para isso você terá que mexer um pouco nas raízes e nos poderes:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fim(alinhar)\]
Tendo em conta estes factos, a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\direita))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fim(alinhar)\]
Preste atenção nas 2ª e 3ª linhas dos cálculos: antes de fazer qualquer coisa com a inequação, certifique-se de trazê-la para a forma que falamos desde o início da lição: $((a)^(x)) \ ((a)^(n))$. Contanto que você tenha alguns fatores canhotos, constantes adicionais, etc. à esquerda ou à direita, nenhuma racionalização ou “riscagem” de motivos pode ser realizada! Inúmeras tarefas foram concluídas incorretamente devido à falta de compreensão desse simples fato. Eu mesmo observo constantemente esse problema com meus alunos quando estamos apenas começando a analisar desigualdades exponenciais e logarítmicas.
Mas voltemos à nossa tarefa. Vamos tentar dispensar a racionalização desta vez. Lembremos: a base do grau é maior que um, então os triplos podem simplesmente ser riscados - o sinal de desigualdade não mudará. Nós obtemos:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\fim(alinhar)\]
É isso. Resposta final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Isolando uma expressão estável e substituindo uma variável
Concluindo, proponho resolver mais quatro desigualdades exponenciais, que já são bastante difíceis para alunos despreparados. Para lidar com eles, você precisa se lembrar das regras para trabalhar com diplomas. Em particular, colocando os fatores comuns fora dos colchetes.
Mas o mais importante é aprender a entender o que exatamente pode ser retirado dos colchetes. Tal expressão é chamada de estável - pode ser denotada por uma nova variável e, assim, eliminar a função exponencial. Então, vamos dar uma olhada nas tarefas:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\esquerda(0,5 \direita))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Vamos começar desde a primeira linha. Vamos escrever esta desigualdade separadamente:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Observe que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, então o lado direito lado pode ser reescrito:
Observe que não há outras funções exponenciais exceto $((5)^(x+1))$ na desigualdade. E em geral, a variável $x$ não aparece em nenhum outro lugar, então vamos introduzir uma nova variável: $((5)^(x+1))=t$. Obtemos a seguinte construção:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\fim(alinhar)\]
Voltamos à variável original ($t=((5)^(x+1))$), e ao mesmo tempo lembramos que 1=5 0 . Nós temos:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fim(alinhar)\]
Essa é a solução! Resposta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Vamos passar para a segunda desigualdade:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Tudo é igual aqui. Observe que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Então o lado esquerdo pode ser reescrito:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \certo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fim(alinhar)\]
É assim que você precisa traçar uma solução para testes reais e trabalho independente.
Bem, vamos tentar algo mais complicado. Por exemplo, aqui está a desigualdade:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Qual é o problema aqui? Em primeiro lugar, as bases das funções exponenciais à esquerda são diferentes: 5 e 25. Porém, 25 = 5 2, então o primeiro termo pode ser transformado:
\[\begin(alinhar) & ((25)^(x+1,5))=((\esquerda(((5)^(2)) \direita))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Como você pode ver, primeiro trouxemos tudo para mesma base, e então percebi que o primeiro termo pode ser facilmente reduzido ao segundo - basta expandir o expoente. Agora você pode introduzir com segurança uma nova variável: $((5)^(2x+2))=t$, e toda a desigualdade será reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\fim(alinhar)\]
E novamente, sem dificuldades! Resposta final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Vamos passar para a desigualdade final na lição de hoje:
\[((\esquerda(0,5 \direita))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
A primeira coisa que você deve prestar atenção é, claro, a fração decimal na base da primeira potência. É preciso se livrar dele e ao mesmo tempo trazer todas as funções exponenciais para a mesma base - o número “2”:
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))= ((\esquerda(((2)^(-1)) \direita))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\esquerda(((2)^(4)) \direita))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Ótimo, demos o primeiro passo: tudo levou à mesma base. Agora você precisa selecionar uma expressão estável. Observe que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Se introduzirmos uma nova variável $((2)^(4x+6))=t$, então a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\fim(alinhar)\]
Naturalmente, pode surgir a questão: como descobrimos que 256 = 2 8? Infelizmente, aqui você só precisa conhecer as potências de dois (e ao mesmo tempo as potências de três e cinco). Bem, ou divida 256 por 2 (você pode dividir, já que 256 é um número par) até obtermos o resultado. Será algo assim:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
O mesmo acontece com três (os números 9, 27, 81 e 243 são seus graus) e com sete (os números 49 e 343 também seriam bons de lembrar). Bom, o cinco também tem graus “lindos” que você precisa conhecer:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fim(alinhar)\]
Claro que, se desejar, todos esses números podem ser restaurados em sua mente simplesmente multiplicando-os sucessivamente uns pelos outros. Porém, quando você tem que resolver várias desigualdades exponenciais, e cada uma delas é mais difícil que a anterior, a última coisa que você quer pensar são nas potências de alguns números. E neste sentido, estes problemas são mais complexos do que as desigualdades “clássicas” que são resolvidas pelo método intervalar.
Nesta lição veremos várias desigualdades exponenciais e aprenderemos como resolvê-las, com base na técnica para resolver as desigualdades exponenciais mais simples
1. Definição e propriedades de uma função exponencial
Vamos relembrar a definição e as propriedades básicas da função exponencial. A solução de todas as equações e desigualdades exponenciais é baseada nessas propriedades.
Função exponencialé uma função da forma, onde a base é o grau e aqui x é a variável independente, argumento; y é a variável dependente, função.
Arroz. 1. Gráfico da função exponencial
O gráfico mostra expoentes crescentes e decrescentes, ilustrando a função exponencial com base maior que um e menor que um, mas maior que zero, respectivamente.
Ambas as curvas passam pelo ponto (0;1)
Propriedades da Função Exponencial:
Escopo: ;
Faixa de valores: ;
A função é monotônica, aumenta com, diminui com.
Uma função monotônica recebe cada um de seus valores com um único valor de argumento.
Quando , quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função aumenta de zero inclusive para mais infinito, ou seja, para determinados valores do argumento temos uma função monotonicamente crescente (). Pelo contrário, quando o argumento aumenta de menos para mais infinito, a função diminui de infinito para zero inclusive, ou seja, para determinados valores do argumento temos uma função monotonicamente decrescente ().
2. As desigualdades exponenciais mais simples, método de solução, exemplo
Com base no exposto, apresentamos um método para resolver desigualdades exponenciais simples:
Metodologia para resolver desigualdades:
Equalize as bases dos graus;
Compare os indicadores mantendo ou alterando o sinal de desigualdade para o oposto.
A solução para desigualdades exponenciais complexas geralmente consiste em reduzi-las às desigualdades exponenciais mais simples.
A base do grau é maior que um, o que significa que o sinal de desigualdade é preservado:
Vamos transformar o lado direito de acordo com as propriedades do grau:
A base do grau é menor que um, o sinal de desigualdade deve ser invertido:
Para resolver a desigualdade quadrática, resolvemos a equação quadrática correspondente:
Usando o teorema de Vieta encontramos as raízes:
Os ramos da parábola são direcionados para cima.
Assim, temos uma solução para a desigualdade:
É fácil adivinhar que o lado direito pode ser representado como uma potência com expoente zero:
A base do grau é maior que um, o sinal de desigualdade não muda, obtemos:
Recordemos a técnica para resolver tais desigualdades.
Considere a função racional fracionária:
Encontramos o domínio de definição:
Encontrando as raízes da função:
A função tem uma única raiz, 
Selecionamos intervalos de sinal constante e determinamos os sinais da função em cada intervalo:
Arroz. 2. Intervalos de constância de sinal
Assim, recebemos a resposta.
Responder: 
3. Resolvendo desigualdades exponenciais padrão
Consideremos desigualdades com os mesmos indicadores, mas com bases diferentes.
Uma das propriedades da função exponencial é que ela assume valores estritamente positivos para qualquer valor do argumento, o que significa que pode ser dividida em uma função exponencial. Vamos dividir a desigualdade dada pelo seu lado direito:
A base do grau é maior que um, o sinal de desigualdade é preservado.
Vamos ilustrar a solução:
A Figura 6.3 mostra gráficos de funções e . Obviamente, quando o argumento é maior que zero, o gráfico da função é maior, esta função é maior. Quando os valores dos argumentos são negativos, a função desce, fica menor. Quando o argumento é igual, as funções são iguais, o que significa determinado ponto também é uma solução para a desigualdade dada.
Arroz. 3. Ilustração, por exemplo 4
Vamos transformar a desigualdade dada de acordo com as propriedades do grau:
Aqui estão alguns termos semelhantes:
Vamos dividir as duas partes em:
Agora continuamos a resolver de forma semelhante ao exemplo 4, dividindo ambas as partes por:
A base do grau é maior que um, o sinal de desigualdade permanece:
4. Solução gráfica de desigualdades exponenciais
Exemplo 6 – Resolva a inequação graficamente:
Vejamos as funções nos lados esquerdo e direito e construamos um gráfico para cada uma delas.
A função é exponencial e aumenta em todo o seu domínio de definição, ou seja, para todos os valores reais do argumento.
A função é linear e decrescente em todo o seu domínio de definição, ou seja, para todos os valores reais do argumento.
Se essas funções se cruzam, ou seja, o sistema tem uma solução, então tal solução é única e pode ser facilmente adivinhada. Para fazer isso, iteramos sobre inteiros ()
É fácil ver que a raiz deste sistema é:
Assim, os gráficos das funções se cruzam em um ponto com argumento igual a um.
Agora precisamos obter uma resposta. O significado da desigualdade dada é que o expoente deve ser maior ou igual a função linear, isto é, ser superior ou coincidir com ele. A resposta é óbvia: (Figura 6.4)
Arroz. 4. Ilustração, por exemplo 6
Então, procuramos resolver várias desigualdades exponenciais padrão. A seguir, passamos a considerar desigualdades exponenciais mais complexas.
Referências
Mordkovich A. G. Álgebra e os primórdios da análise matemática. - M.: Mnemósine. Muravin G. K., Muravin O. V. Álgebra e os primórdios da análise matemática. - M.: Abetarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. et al. - M.: Iluminismo.
Matemática. médico. Repetição matemática. com. Difusar. kemsu. ru.
Trabalho de casa
1. Álgebra e o início da análise, séries 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. Resolva a desigualdade:
3. Resolva a desigualdade.
É necessário comparar quantidades e quantidades na resolução de problemas práticos desde os tempos antigos. Ao mesmo tempo, surgiram palavras como mais e menos, mais alto e mais baixo, mais leve e mais pesado, mais baixo e mais alto, mais barato e mais caro, etc., denotando os resultados da comparação de quantidades homogêneas.
Os conceitos de mais e menos surgiram em conexão com a contagem de objetos, medição e comparação de quantidades. Por exemplo, os matemáticos da Grécia Antiga sabiam que o lado de qualquer triângulo é menor que a soma dos outros dois lados e que o lado maior de um triângulo fica oposto ao ângulo maior. Arquimedes, ao calcular a circunferência, estabeleceu que o perímetro de qualquer círculo é igual a três vezes o diâmetro com um excesso inferior a um sétimo do diâmetro, mas superior a dez setenta vezes o diâmetro.
Escreva simbolicamente relações entre números e quantidades usando os sinais > e b. Registros em que dois números estão conectados por um dos sinais: > (maior que), Você também encontrou desigualdades numéricas nas séries iniciais. Você sabe que as desigualdades podem ser verdadeiras ou falsas. Por exemplo, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) é uma desigualdade numérica correta, 0,23 > 0,235 é uma desigualdade numérica incorreta.
As desigualdades envolvendo incógnitas podem ser verdadeiras para alguns valores das incógnitas e falsas para outros. Por exemplo, a desigualdade 2x+1>5 é verdadeira para x = 3, mas falsa para x = -3. Para uma desigualdade com uma incógnita, você pode definir a tarefa: resolver a desigualdade. Na prática, os problemas de resolução de desigualdades são colocados e resolvidos com a mesma frequência do que os problemas de resolução de equações. Por exemplo, muitos problemas económicos resumem-se ao estudo e solução de sistemas de desigualdades lineares. Em muitos ramos da matemática, as desigualdades são mais comuns do que as equações.
Algumas desigualdades servem como único meio auxiliar de provar ou refutar a existência de um determinado objeto, por exemplo, a raiz de uma equação.
Desigualdades numéricas
Você pode comparar números inteiros e frações decimais. Você conhece as regras de comparação? frações ordinárias com os mesmos denominadores, mas numeradores diferentes; com os mesmos numeradores, mas denominadores diferentes. Aqui você aprenderá como comparar dois números quaisquer, encontrando o sinal de sua diferença.
Comparar números é amplamente utilizado na prática. Por exemplo, um economista compara os indicadores planejados com os reais, um médico compara a temperatura de um paciente com a normal, um torneiro compara as dimensões de uma peça usinada com um padrão. Em todos esses casos, alguns números são comparados. Como resultado da comparação de números, surgem desigualdades numéricas.
Definição. Número um mais número b, se diferença a-b positivo. Número um menos número b, se a diferença a-b for negativa.
Se a for maior que b, então escrevem: a > b; se a for menor que b, então eles escrevem: a Assim, a desigualdade a > b significa que a diferença a - b é positiva, ou seja, a - b > 0. Desigualdade a Para quaisquer dois números a e b das três relações seguintes a > b, a = b, a Comparar os números a e b significa descobrir qual dos sinais >, = ou Teorema. Se a > b e b > c, então a > c.
Teorema. Se você adicionar o mesmo número a ambos os lados da desigualdade, o sinal da desigualdade não mudará.
Conseqüência. Qualquer termo pode ser movido de uma parte da desigualdade para outra, alterando o sinal deste termo para o oposto.
Teorema. Se ambos os lados da desigualdade forem multiplicados pelo mesmo número positivo, o sinal da desigualdade não muda. Se ambos os lados da desigualdade forem multiplicados pelo mesmo número negativo, o sinal da desigualdade mudará para o oposto.
Conseqüência. Se ambos os lados da desigualdade forem divididos pelo mesmo número positivo, o sinal da desigualdade não mudará. Se ambos os lados da desigualdade forem divididos pelo mesmo número negativo, o sinal da desigualdade mudará para o oposto.
Você sabe que as igualdades numéricas podem ser adicionadas e multiplicadas termo por termo. A seguir, você aprenderá como realizar ações semelhantes com desigualdades. A capacidade de somar e multiplicar desigualdades termo a termo é frequentemente utilizada na prática. Essas ações ajudam a resolver problemas de avaliação e comparação dos significados das expressões.
Ao resolver vários problemas, muitas vezes é necessário somar ou multiplicar os lados esquerdo e direito das desigualdades termo por termo. Ao mesmo tempo, diz-se por vezes que as desigualdades se somam ou se multiplicam. Por exemplo, se um turista caminhou mais de 20 km no primeiro dia e mais de 25 km no segundo, então podemos dizer que em dois dias caminhou mais de 45 km. Da mesma forma, se o comprimento de um retângulo for menor que 13 cm e a largura for menor que 5 cm, então podemos dizer que a área desse retângulo é menor que 65 cm2.
Ao considerar esses exemplos, foram utilizados os seguintes: teoremas sobre adição e multiplicação de desigualdades:
Teorema. Ao somar desigualdades de mesmo sinal, obtém-se uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b e c > d, então a + c > b + d.
Teorema. Ao multiplicar desigualdades de mesmo sinal, cujos lados esquerdo e direito são positivos, obtém-se uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b, c > d e a, b, c, d são números positivos, então ac > bd.
Desigualdades com sinal > (maior que) e 1/2, 3/4 b, c Junto com os sinais de desigualdades estritas > e Da mesma forma, a desigualdade \(a \geq b \) significa que o número a é maior ou igual a b, ou seja, e não menos b.
As desigualdades que contêm o sinal \(\geq \) ou o sinal \(\leq \) são chamadas de não estritas. Por exemplo, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) não são desigualdades estritas.
Todas as propriedades das desigualdades estritas também são válidas para desigualdades não estritas. Além disso, se para desigualdades estritas os sinais > foram considerados opostos e você sabe que para resolver uma série de problemas aplicados é necessário criar um modelo matemático na forma de uma equação ou de um sistema de equações. A seguir, você aprenderá que os modelos matemáticos para resolver muitos problemas são desigualdades com incógnitas. Será introduzido o conceito de resolução de uma desigualdade e será mostrado como testar se um determinado número é uma solução para uma determinada desigualdade.
Desigualdades da forma
\(ax > b, \quad ax em que a e b recebem números e x é uma incógnita, são chamados desigualdades lineares com um desconhecido.
Definição. A solução para uma desigualdade com uma incógnita é o valor da incógnita no qual esta desigualdade se torna uma verdadeira desigualdade numérica. Resolver uma desigualdade significa encontrar todas as suas soluções ou estabelecer que não há nenhuma.
Você resolveu as equações reduzindo-as às equações mais simples. Da mesma forma, ao resolver desigualdades, tenta-se reduzi-las, por meio de propriedades, à forma de desigualdades simples.
Resolvendo desigualdades de segundo grau com uma variável
Desigualdades da forma
\(ax^2+bx+c >0 \) e \(ax^2+bx+c onde x é uma variável, a, b e c são alguns números e \(a \neq 0 \), chamados desigualdades de segundo grau com uma variável.
Solução para a desigualdade
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c pode ser considerado como encontrar intervalos em que a função \(y= ax^2+bx+c \) assume positivo ou negativo valores Para isso, basta analisar como o gráfico da função \(y= ax^2+bx+c\) está localizado no plano coordenado: para onde estão direcionados os ramos da parábola - para cima ou para baixo, se a parábola intercepta o eixo x e, se isso acontecer, em que pontos.
Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grau com uma variável:
1) encontre o discriminante do trinômio quadrado \(ax^2+bx+c\) e descubra se o trinômio tem raízes;
2) se o trinômio tiver raízes, marque-as no eixo x e através dos pontos marcados desenhe uma parábola esquemática, cujos ramos são direcionados para cima para a > 0 ou para baixo para 0 ou para baixo para 3) encontre intervalos no eixo x para os quais os pontos parábolas estão localizados acima do eixo x (se resolverem a inequação \(ax^2+bx+c >0\)) ou abaixo do eixo x (se resolverem o desigualdade
\(ax^2+bx+c Resolvendo inequações usando o método de intervalo
Considere a função
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
O domínio desta função é o conjunto de todos os números. Os zeros da função são os números -2, 3, 5. Eles dividem o domínio de definição da função nos intervalos \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) e \( (5; +\infty)\)
Vamos descobrir quais são os sinais desta função em cada um dos intervalos indicados.
A expressão (x + 2)(x - 3)(x - 5) é o produto de três fatores. O sinal de cada um desses fatores nos intervalos considerados está indicado na tabela:
Em geral, seja a função dada pela fórmula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
onde x é uma variável e x 1, x 2, ..., x n são números que não são iguais entre si. Os números x 1 , x 2 , ..., x n são os zeros da função. Em cada um dos intervalos em que o domínio de definição é dividido pelos zeros da função, o sinal da função é preservado e, ao passar por zero, seu sinal muda.
Esta propriedade é usada para resolver desigualdades da forma
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) onde x 1, x 2, ..., x n são números diferentes entre si
Método considerado resolver desigualdades é chamado de método de intervalo.
Daremos exemplos de resolução de desigualdades usando o método de intervalo.
Resolva a desigualdade:
\(x(0,5-x)(x+4) Obviamente, os zeros da função f(x) = x(0,5-x)(x+4) são os pontos \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \;x=-4 \)Plotamos os zeros da função no eixo dos números e calculamos o sinal em cada intervalo:
Selecionamos os intervalos em que a função é menor ou igual a zero e anotamos a resposta.
Responder:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Teoria:
Ao resolver desigualdades, use as seguintes regras:
1. Qualquer termo da desigualdade pode ser transferido de uma parte
desigualdade em outra com sinal oposto, mas o sinal da desigualdade não muda.
2. Ambos os lados da desigualdade podem ser multiplicados ou divididos por um
e o mesmo número positivo sem alterar o sinal de desigualdade.
3. Ambos os lados da desigualdade podem ser multiplicados ou divididos por um
e o mesmo número negativo, mudando o sinal de desigualdade para
oposto.
Resolva a desigualdade − 8 x + 11<
−
3
x
−
4
Solução.
1. Vamos mexer o pênis − 3x para o lado esquerdo da desigualdade, e o termo 11
- para o lado direito da desigualdade, mudando os sinais para os opostos − 3x e em 11
.
Então obtemos
− 8x + 3x< − 4 − 11
− 5x< − 15
2. Vamos dividir os dois lados da desigualdade − 5x<
−
15
para um número negativo −
5
, e o sinal de desigualdade <
, mudará para >
, ou seja passamos para uma desigualdade de significado oposto.
Nós obtemos:
− 5x< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3— solução de uma dada desigualdade.
Prestar atenção!
Existem duas opções para escrever uma solução: x > 3 ou como um intervalo numérico.
Vamos marcar o conjunto de soluções para a inequação na reta numérica e escrever a resposta na forma de um intervalo numérico.
x∈ (3 ; + ∞ )
Responder: x > 3 ou x∈ (3 ; + ∞ )
Desigualdades algébricas.
Desigualdades quadráticas. Desigualdades racionais de graus superiores.
Os métodos de resolução de desigualdades dependem principalmente da classe a que pertencem as funções que compõem a desigualdade.
- EU. Desigualdades quadráticas, isto é, desigualdades da forma
machado 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
Para resolver a desigualdade você pode:
- Trinômio quadrado fatorar, ou seja, escrever a desigualdade na forma
uma (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- Trace as raízes do polinômio na reta numérica. Raízes quebram muitos números reais em intervalos, em cada um dos quais há um correspondente função quadrática será de sinal constante.
- Determine o sinal de a (x - x 1) (x - x 2) em cada intervalo e anote a resposta.
Se um trinômio quadrado não tem raízes, então para D<0 и a>0 trinômio quadrado é positivo para qualquer x.
- Resolva a desigualdade. x 2 + x - 6 > 0.
Fatore o trinômio quadrático (x + 3) (x - 2) > 0
Resposta: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
Esta desigualdade é verdadeira para qualquer x, exceto x = 6.
Resposta: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
Aqui D< 0, a = 1 >0. O trinômio quadrado é positivo para todo x.
Resposta: x Î Ø.
Resolva desigualdades:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Resposta:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Resposta:
- 2x² - 12x + 18 > 0. Resposta:
- Para quais valores de a a desigualdade
x² - machado > vale para qualquer x? Responder:
- II. Desigualdades racionais de graus superiores, isto é, desigualdades da forma
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
Deve-se fatorar um polinômio de maior grau, ou seja, a desigualdade deve ser escrita na forma
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
Marque os pontos na reta numérica em que o polinômio desaparece.
Determine os sinais do polinômio em cada intervalo.
1) Resolva a desigualdade x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Então x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
Resposta: (0; 1) (2; 3).
2) Resolva a desigualdade (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
Vamos marcar os pontos no eixo dos números nos quais o polinômio desaparece. Estes são x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.
No ponto x = - ½ não há mudança de sinal porque o binômio (2x + 1) é elevado a uma potência par, ou seja, a expressão (2x + 1) 4 não muda de sinal ao passar pelo ponto x = -½.
Resposta: (-∞; -2) (½; 1).
3) Resolva a desigualdade: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
Esta desigualdade é equivalente ao seguinte conjunto
A solução para (1) é x (-∞; -2) (3; +∞). A solução para (2) é x = 0, x = -2, x = 3. Combinando as soluções obtidas, obtemos x О (-∞; -2] (0) (0) )
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