Como resolver logaritmos com bases iguais. Logaritmos: exemplos e soluções

O que é um logaritmo?

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O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas questões confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Principalmente equações com logaritmos.

Isto não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredite em mim? Multar. Agora, em apenas 10 a 20 minutos você:

1. Você vai entender o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver uma aula inteira equações exponenciais. Mesmo que você não tenha ouvido nada sobre eles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisará conhecer a tabuada e como elevar um número a uma potência...

Sinto que você tem dúvidas... Pois bem, marque a hora! Vamos!

Primeiro, resolva esta equação mentalmente:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Os logaritmos, como qualquer número, podem ser adicionados, subtraídos e transformados de todas as maneiras. Mas como os logaritmos não são exatamente números comuns, existem regras aqui, que são chamadas propriedades principais.

Definitivamente, você precisa conhecer essas regras - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, são poucos - você pode aprender tudo em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com as mesmas bases: log um x e registrar um sim. Então eles podem ser adicionados e subtraídos e:

1. registro um x+ registro um sim= registro um (x · sim);
2. registro um x− registro um sim= registro um (x : sim).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é igual ao logaritmo do quociente. Observe: ponto chave Aqui - motivos idênticos. Se os motivos forem diferentes, estas regras não funcionam!

Essas fórmulas ajudarão você a calcular expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são contadas (ver lição “O que é um logaritmo”). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Log 6 4 + log 6 9.

Como os logaritmos têm as mesmas bases, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente as bases são iguais, então temos:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos “ruins”, que não são calculados separadamente. Mas após as transformações, são obtidos números completamente normais. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, expressões semelhantes a testes são oferecidas com toda a seriedade (às vezes praticamente sem alterações) no Exame de Estado Unificado.

Extraindo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se a base ou argumento de um logaritmo for uma potência? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil perceber que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar disso de qualquer maneira - em alguns casos, isso reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: um > 0, um ≠ 1, x> 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não só da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, Você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isto é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento usando a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

[Legenda da foto]

Observe que o denominador contém um logaritmo, cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nós temos:

[Legenda da foto]

Acho que o último exemplo requer alguns esclarecimentos. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento trabalhamos apenas com o denominador. Apresentamos a base e o argumento do logaritmo ali na forma de potências e retiramos os expoentes - obtivemos uma fração de “três andares”.

Agora vamos dar uma olhada na fração principal. O numerador e o denominador contêm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, e foi isso que foi feito. O resultado foi a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se os motivos forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas para a transição para uma nova base vêm em socorro. Vamos formulá-los na forma de um teorema:

Deixe o log do logaritmo ser dado um x. Então para qualquer número c tal que c> 0 e c≠ 1, a igualdade é verdadeira:

[Legenda da foto]

Em particular, se colocarmos c = x, obtemos:

[Legenda da foto]

Da segunda fórmula segue-se que a base e o argumento do logaritmo podem ser trocados, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo aparece no denominador.

Estas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas. É possível avaliar o quão convenientes eles são apenas na resolução de equações e desigualdades logarítmicas.

No entanto, existem problemas que não podem ser resolvidos, exceto com a mudança para uma nova fundação. Vejamos alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos contêm potências exatas. Vamos retirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Agora vamos “inverter” o segundo logaritmo:

[Legenda da foto]

Como o produto não muda quando os fatores são reorganizados, multiplicamos calmamente quatro por dois e depois tratamos dos logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar isso e nos livrar dos indicadores:

[Legenda da foto]

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal passando para uma nova base:

[Legenda da foto]

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes no processo de solução é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Neste caso, as seguintes fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se um indicador do grau que está no argumento. Número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas um valor logarítmico.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É assim que se chama: básico identidade logarítmica.

Na verdade, o que acontecerá se o número b eleve a tal potência que o número b a esta potência dá o número um? Isso mesmo: você recebe esse mesmo número um. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas ficam presas nele.

Tal como as fórmulas para passar para uma nova base, a identidade logarítmica básica é por vezes a única solução possível.

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

[Legenda da foto]

Observe que log 25 64 = log 5 8 - simplesmente tirou o quadrado da base e argumento do logaritmo. Levando em consideração as regras de multiplicação de potências com a mesma base, obtemos:

[Legenda da foto]

Se alguém não sabe, esta foi uma verdadeira tarefa do Exame Estadual Unificado :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Concluindo, darei duas identidades que dificilmente podem ser chamadas de propriedades - antes, são consequências da definição do logaritmo. Eles aparecem constantemente em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos “avançados”.

1. registro um um= 1 é uma unidade logarítmica. Lembre-se de uma vez por todas: logaritmo para qualquer base um desta mesma base é igual a um.
2. registro um 1 = 0 é zero logarítmico. Base um pode ser qualquer coisa, mas se o argumento contiver um, o logaritmo será igual a zero! Porque um 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

1. Verifique se existem números negativos ou um sob o sinal do logaritmo. Este método aplicável a expressões da forma log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). No entanto, não é adequado para alguns casos especiais:

   • O logaritmo de um número negativo é indefinido em qualquer base (por exemplo, log ⁡ (− 3) (\ displaystyle \ log (-3)) ou log 4 ⁡ (− 5) (\ displaystyle \ log _ (4) (-5))). Neste caso escreva “sem solução”.
   • O logaritmo de zero para qualquer base também é indefinido. Se você for pego ln ⁡ (0) (\estilo de exibição \ln(0)), escreva "sem solução".
   • Logaritmo de um para qualquer base ( log ⁡ (1) (\ displaystyle \ log (1))) é sempre zero, porque x 0 = 1 (\estilo de exibição x^(0)=1) para todos os valores x. Escreva 1 em vez deste logaritmo e não use o método abaixo.
   • Se os logaritmos tiverem razões diferentes, Por exemplo l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), e não são reduzidos a números inteiros, o valor da expressão não pode ser encontrado manualmente.

2. Converta a expressão em um logaritmo. Se a expressão não se aplicar aos casos especiais acima, pode ser expressa como um único logaritmo. Use a seguinte fórmula para isso: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Exemplo 1: Considere a expressão log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Primeiro, vamos representar a expressão como um único logaritmo usando a fórmula acima: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Esta fórmula para “substituir a base” de um logaritmo é derivada das propriedades básicas dos logaritmos.

3. Se possível, avalie o valor da expressão manualmente. Para encontrar registrar uma ⁡ (x) (\ displaystyle \ log _ (a) (x)), imagine a expressão " um? = x (\estilo de exibição a^(?)=x)", ou seja, faça a seguinte pergunta: "A que poder você deve elevar um obter x?. Responder a esta pergunta pode exigir uma calculadora, mas se você tiver sorte, poderá encontrá-la manualmente.

   • Exemplo 1 (continuação): Reescreva como 2? = 16 (\estilo de exibição 2^(?)=16). Você precisa descobrir qual número deve substituir o sinal "?". Isso pode ser feito por tentativa e erro:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\estilo de exibição 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\estilo de exibição 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\estilo de exibição 2^(4)=8*2=16)
     Então, o número que procuramos é 4: log 2 ⁡ (16) (\ displaystyle \ log _ (2) (16)) = 4 .

4. Deixe sua resposta na forma logarítmica se não conseguir simplificá-la. Muitos logaritmos são muito difíceis de calcular manualmente. Nesse caso, para obter uma resposta precisa, você precisará de uma calculadora. Porém, se você estiver resolvendo um problema em sala de aula, o professor provavelmente ficará satisfeito com a resposta na forma logarítmica. O método discutido abaixo é usado para resolver um exemplo mais complexo:

   • exemplo 2: o que é igual log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Vamos converter esta expressão em um logaritmo: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Observe que a base 3 comum a ambos os logaritmos desaparece; isso é verdade por qualquer motivo.
   • Vamos reescrever a expressão na forma 7? = 58 (\estilo de exibição 7^(?)=58) e vamos tentar encontrar o valor?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\estilo de exibição 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\estilo de exibição 7^(3)=49*7=343)
     Como 58 está entre esses dois números, não é expresso como um número inteiro.
   • Deixamos a resposta na forma logarítmica: log 7 ⁡ (58) (\ displaystyle \ log _ (7) (58)).

O foco deste artigo é logaritmo. Aqui daremos uma definição de logaritmo, mostraremos a notação aceita, daremos exemplos de logaritmos e falaremos sobre logaritmos naturais e decimais. Depois disso, consideraremos a identidade logarítmica básica.

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Definição de logaritmo

O conceito de logaritmo surge ao resolver um problema em em certo sentido inverso, quando você precisa encontrar o expoente usando um valor de expoente conhecido e uma base conhecida.

Mas chega de prefácios, é hora de responder à pergunta “o que é um logaritmo”? Vamos dar a definição correspondente.

Definição.

Logaritmo de b para basear a, onde a>0, a≠1 e b>0 é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter b como resultado.

Nesta fase, notamos que a palavra falada “logaritmo” deve imediatamente levantar duas questões de acompanhamento: “que número” e “com que base”. Em outras palavras, simplesmente não existe logaritmo, mas apenas o logaritmo de um número com alguma base.

Vamos entrar imediatamente notação logarítmica: o logaritmo de um número b na base a é geralmente denotado como log a b. O logaritmo de um número b na base e e o logaritmo na base 10 têm suas próprias designações especiais lnb e logb, respectivamente, ou seja, eles escrevem não log e b, mas lnb, e não log 10 b, mas lgb.

Agora podemos dar: .
E os registros não faz sentido, pois no primeiro deles sob o sinal do logaritmo há número negativo, no segundo há um número negativo na base, e no terceiro há um número negativo sob o sinal do logaritmo e uma unidade na base.

Agora vamos falar sobre regras para leitura de logaritmos. A notação log a b é lida como "o logaritmo de b na base a". Por exemplo, log 2 3 é o logaritmo de três na base 2 e é o logaritmo de dois vírgula dois terços na base 2 raiz quadrada de cinco. O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural, e a notação lnb diz "logaritmo natural de b". Por exemplo, ln7 é o logaritmo natural de sete e vamos lê-lo como o logaritmo natural de pi. O logaritmo de base 10 também tem um nome especial - logaritmo decimal, e lgb é lido como "logaritmo decimal de b". Por exemplo, lg1 é o logaritmo decimal de um e lg2,75 é o logaritmo decimal de dois vírgula sete cinco centésimos.

Vale a pena nos determos separadamente nas condições a>0, a≠1 e b>0, sob as quais é dada a definição do logaritmo. Deixe-nos explicar de onde vêm essas restrições. Uma igualdade na forma chamada , que segue diretamente da definição de logaritmo dada acima, nos ajudará a fazer isso.

Vamos começar com a≠1. Como um elevado a qualquer potência é igual a um, a igualdade só pode ser verdadeira quando b=1, mas log 1 1 pode ser qualquer número real. Para evitar esta ambigüidade, a≠1 é assumido.

Justifiquemos a conveniência da condição a>0. Com a=0, pela definição de logaritmo, teríamos uma igualdade que só é possível com b=0. Mas então log 0 0 pode ser qualquer número real diferente de zero, já que zero elevado a qualquer potência diferente de zero é zero. A condição a≠0 permite-nos evitar esta ambiguidade. E quando um<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Finalmente, a condição b>0 decorre da desigualdade a>0, uma vez que , e o valor de uma potência com base positiva a é sempre positivo.

Para concluir este ponto, digamos que a definição declarada do logaritmo permite indicar imediatamente o valor do logaritmo quando o número sob o sinal do logaritmo é uma certa potência da base. Na verdade, a definição de logaritmo permite-nos afirmar que se b=a p, então o logaritmo do número b na base a é igual a p. Ou seja, o log de igualdade a a p =p é verdadeiro. Por exemplo, sabemos que 2 3 =8, então log 2 8=3. Falaremos mais sobre isso no artigo.

Vamos começar com propriedades do logaritmo de um. Sua formulação é a seguinte: o logaritmo da unidade é igual a zero, ou seja, registrar um 1=0 para qualquer a>0, a≠1. A prova não é difícil: como a 0 =1 para qualquer a que satisfaça as condições acima a>0 e a≠1, então o log de igualdade a 1=0 a ser provado segue imediatamente da definição do logaritmo.

Vamos dar exemplos de aplicação da propriedade considerada: log 3 1=0, log1=0 e .

Vamos passar para para a seguinte propriedade: o logaritmo de um número igual à base é igual a um, aquilo é, registrar uma a = 1 para a>0, a≠1. Na verdade, como a 1 =a para qualquer a, então por definição log de logaritmo uma a=1 .

Exemplos de uso desta propriedade de logaritmos são as igualdades log 5 5=1, log 5,6 5,6 e lne=1.

Por exemplo, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 e .

Logaritmo do produto de dois números positivos x e y são iguais ao produto dos logaritmos desses números: log a (x y) = log a x + log a y, uma>0 , uma≠1 . Vamos provar a propriedade do logaritmo de um produto. Devido às propriedades do grau a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, e como pela identidade logarítmica principal um log a x =x e um log a y =y, então um log a x ·a log a y =x·y. Assim, um log a x+log a y =x·y, do qual, pela definição de logaritmo, segue a igualdade que está sendo provada.

Vamos mostrar exemplos de uso da propriedade do logaritmo de um produto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

A propriedade do logaritmo de um produto pode ser generalizada para o produto de um número finito n de números positivos x 1 , x 2 , …, x n como log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Esta igualdade pode ser provada sem problemas.

Por exemplo, o logaritmo natural de um produto pode ser substituído pela soma de três logaritmos naturais números 4, e, e.

Logaritmo do quociente de dois números positivos xey é igual à diferença entre os logaritmos desses números. A propriedade do logaritmo de um quociente corresponde a uma fórmula da forma , onde a>0, a≠1, x e y são alguns números positivos. A validade desta fórmula é comprovada assim como a fórmula do logaritmo de um produto: desde , então por definição de um logaritmo.

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade do logaritmo: .

Vamos passar para propriedade do logaritmo da potência. O logaritmo de um grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo do módulo da base deste grau. Vamos escrever esta propriedade do logaritmo de uma potência como uma fórmula: log a b p =p·log a |b|, onde a>0, a≠1, b e p são números tais que o grau b p faz sentido e b p >0.

Primeiro provamos esta propriedade para b positivo. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então b p =(a log a b) p , e a expressão resultante, devido à propriedade de potência, é igual a a p·log a b . Chegamos então à igualdade b p =a p·log a b, da qual, pela definição de logaritmo, concluímos que log a b p =p·log a b.

Resta provar esta propriedade para b negativo. Aqui notamos que a expressão log a b p para b negativo só faz sentido para expoentes pares p (já que o valor do grau b p deve ser maior que zero, caso contrário o logaritmo não fará sentido), e neste caso b p =|b| pág. Então bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de onde log a b p =p·log a |b| .

Por exemplo, e ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Segue da propriedade anterior propriedade do logaritmo da raiz: o logaritmo da enésima raiz é igual ao produto da fração 1/n pelo logaritmo da expressão radical, ou seja, , onde a>0, a≠1, n – número natural, maior que um, b>0.

A prova é baseada na igualdade (ver), que é válida para qualquer b positivo, e na propriedade do logaritmo da potência: .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade: .

Agora vamos provar fórmula para mudar para uma nova base logarítmica tipo . Para isso, basta provar a validade do log de igualdade c b=log a b·log c a. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então log c b=log c a log a b . Resta usar a propriedade do logaritmo do grau: log c a log a b =log a b log c a. Isto prova a igualdade log c b=log a b·log c a, o que significa que a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo também foi provada.

Vamos mostrar alguns exemplos de uso desta propriedade dos logaritmos: e .

A fórmula para passar para uma nova base permite que você passe a trabalhar com logaritmos que possuem uma base “conveniente”. Por exemplo, pode ser usado para ir para logaritmos naturais ou decimais para que você possa calcular o valor de um logaritmo a partir de uma tabela de logaritmos. A fórmula de passagem para uma nova base de logaritmo também permite, em alguns casos, encontrar o valor de um determinado logaritmo quando são conhecidos os valores de alguns logaritmos com outras bases.

Frequentemente usado caso especial fórmulas para transição para uma nova base do logaritmo com c=b da forma . Isso mostra que log a b e log b a – . Por exemplo, .

A fórmula também é frequentemente usada , o que é conveniente para encontrar valores logarítmicos. Para confirmar nossas palavras, mostraremos como ele pode ser usado para calcular o valor de um logaritmo da forma . Nós temos . Para provar a fórmula basta usar a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo a: .

Resta provar as propriedades de comparação de logaritmos.

Vamos provar que para quaisquer números positivos b 1 e b 2, b 1 log a b 2 , e para a>1 – a desigualdade log a b 1

Finalmente, resta provar a última das propriedades listadas dos logaritmos. Limitemo-nos à prova da sua primeira parte, ou seja, provaremos que se a 1 >1, a 2 >1 e a 1 1 é verdadeiro log a 1 b>log a 2 b . As demais afirmações desta propriedade dos logaritmos são provadas de acordo com um princípio semelhante.

Vamos usar o método oposto. Suponha que para a 1 >1, a 2 >1 e a 1 1 é verdadeiro log a 1 b≤log a 2 b . Com base nas propriedades dos logaritmos, essas desigualdades podem ser reescritas como E respectivamente, e deles segue que log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Então, de acordo com as propriedades das potências com as mesmas bases, as igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2 devem ser válidas, ou seja, a 1 ≥a 2 . Então chegamos a uma contradição com a condição a 1

Referências.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros. Álgebra e os primórdios da análise: Livro didático para 10ª a 11ª séries de instituições de ensino geral.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa em escolas técnicas).