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Convertendo Expressões. Teoria detalhada (2019)

Convertendo Expressões

Muitas vezes ouvimos esta frase desagradável: “simplifique a expressão”. Normalmente vemos algum tipo de monstro como este:

“É muito mais simples”, dizemos, mas essa resposta geralmente não funciona.

Agora vou te ensinar a não ter medo de tais tarefas. Além disso, no final da lição, você mesmo simplificará este exemplo para (apenas!) um número comum (sim, para o inferno com essas letras).

Mas antes de começar esta lição, você precisa ser capaz de lidar com frações e fatorar polinômios. Portanto, primeiro, se você ainda não fez isso, certifique-se de dominar os tópicos “” e “”.

Você leu? Se sim, então agora você está pronto.

Operações básicas de simplificação

Agora vejamos as técnicas básicas usadas para simplificar expressões.

O mais simples é

1. Trazendo semelhantes

O que são semelhantes? Você fez isso na 7ª série, quando letras em vez de números apareceram pela primeira vez na matemática. Semelhantes são os termos (monômios) com a mesma parte da letra. Por exemplo, na soma, termos semelhantes são e.

Você se lembra?

Trazer semelhantes significa adicionar vários termos semelhantes entre si e obter um termo.

Como podemos juntar as letras? - você pergunta.

Isso é muito fácil de entender se você imaginar que as letras são algum tipo de objeto. Por exemplo, uma carta é uma cadeira. Então a que é igual a expressão? Duas cadeiras mais três cadeiras, quantas serão? Isso mesmo, cadeiras: .

Agora tente esta expressão: .

Para evitar confusão, deixe letras diferentes representarem objetos diferentes. Por exemplo, - é (como sempre) uma cadeira e - é uma mesa. Então:

cadeiras mesas mesas de cadeiras cadeiras cadeiras mesas

Os números pelos quais as letras em tais termos são multiplicadas são chamados coeficientes. Por exemplo, num monômio o coeficiente é igual. E nisso é igual.

Então, a regra para trazer similares é:

Exemplos:

Dê outros semelhantes:

Respostas:

2. (e semelhantes, pois, portanto, esses termos possuem a mesma parte alfabética).

2. Fatoração

Esta é geralmente a parte mais importante na simplificação de expressões. Depois de fornecer outras semelhantes, na maioria das vezes a expressão resultante precisa ser fatorada, ou seja, apresentada como um produto. Isto é especialmente importante em frações: para poder reduzir uma fração, o numerador e o denominador devem ser representados como um produto.

Você abordou detalhadamente os métodos de fatoração de expressões no tópico “”, então aqui você só precisa lembrar o que aprendeu. Para fazer isso, decida alguns exemplos(precisa ser fatorado):

Soluções:

3. Reduzindo uma fração.

Bem, o que poderia ser mais agradável do que riscar parte do numerador e denominador e jogá-los fora da sua vida?

Essa é a beleza do downsizing.

É simples:

Se o numerador e o denominador contiverem os mesmos fatores, eles podem ser reduzidos, ou seja, retirados da fração.

Esta regra segue da propriedade básica de uma fração:

Ou seja, a essência da operação de redução é que Dividimos o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número (ou pela mesma expressão).

Para reduzir uma fração você precisa:

1) numerador e denominador fatorar

2) se o numerador e o denominador contiverem fatores comuns, eles podem ser riscados.

O princípio, eu acho, é claro?

Gostaria de chamar sua atenção para uma coisa erro típico ao contratar. Embora este tópico seja simples, muitas pessoas fazem tudo errado, sem entender que reduzir- isso significa dividir numerador e denominador são o mesmo número.

Sem abreviaturas se o numerador ou denominador for uma soma.

Por exemplo: precisamos simplificar.

Alguns fazem isso: o que é absolutamente errado.

Outro exemplo: reduzir.

Os “mais inteligentes” farão isso: .

Diga-me o que há de errado aqui? Parece: - este é um multiplicador, o que significa que pode ser reduzido.

Mas não: - este é um fator de apenas um termo no numerador, mas o próprio numerador como um todo não é fatorado.

Aqui está outro exemplo: .

Esta expressão é fatorada, o que significa que você pode reduzi-la, ou seja, dividir o numerador e o denominador por e depois por:

Você pode dividi-lo imediatamente em:

Para evitar tais erros, lembre-se maneira fácil como determinar se uma expressão é fatorada:

A última operação aritmética executada ao calcular o valor de uma expressão é a operação “mestre”. Ou seja, se substituirmos alguns (quaisquer) números em vez de letras e tentarmos calcular o valor da expressão, então se a última ação for a multiplicação, então teremos um produto (a expressão é fatorada). Se a última ação for adição ou subtração, isso significa que a expressão não é fatorada (e portanto não pode ser reduzida).

Para consolidar, resolva alguns você mesmo exemplos:

Respostas:

1. Espero que você não tenha corrido imediatamente para cortar e? Ainda não foi suficiente “reduzir” unidades como esta:

O primeiro passo deve ser a fatoração:

4. Adição e subtração de frações. Reduzindo frações a um denominador comum.

Adicionar e subtrair frações ordinárias é uma operação familiar: procuramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e adicionamos/subtraímos os numeradores. Vamos lembrar:

Respostas:

1. Os denominadores e são relativamente primos, ou seja, não possuem fatores comuns. Portanto, o MMC desses números é igual ao seu produto. Este será o denominador comum:

2. Aqui o denominador comum é:

3. Primeira coisa aqui frações mistas nós os transformamos em incorretos e depois seguimos o padrão usual:

É uma questão completamente diferente se as frações contiverem letras, por exemplo:

Vamos começar com algo simples:

a) Os denominadores não contêm letras

Tudo aqui é igual ao normal frações numéricas: encontre o denominador comum, multiplique cada fração pelo fator que falta e adicione/subtraia os numeradores:

Agora, no numerador, você pode fornecer outros semelhantes, se houver, e fatorá-los:

Experimente você mesmo:

b) Os denominadores contêm letras

Vamos lembrar o princípio de encontrar um denominador comum sem letras:

· em primeiro lugar, determinamos os factores comuns;

· então escrevemos todos os fatores comuns, um de cada vez;

· e multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.

Para determinar os fatores comuns dos denominadores, primeiro os fatoramos em fatores primos:

Vamos enfatizar os fatores comuns:

Agora vamos escrever os fatores comuns, um de cada vez, e adicionar a eles todos os fatores não comuns (não sublinhados):

Este é o denominador comum.

Voltemos às cartas. Os denominadores são dados exatamente da mesma maneira:

· fatorar os denominadores;

· determinar fatores comuns (idênticos);

· escreva todos os fatores comuns uma vez;

· multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.

Então, em ordem:

1) fatorar os denominadores:

2) determinar fatores comuns (idênticos):

3) escreva todos os fatores comuns uma vez e multiplique-os por todos os outros fatores (não sublinhados):

Portanto, há um denominador comum aqui. A primeira fração deve ser multiplicada por, a segunda por:

A propósito, há um truque:

Por exemplo: .

Vemos os mesmos fatores nos denominadores, só que todos com indicadores diferentes. O denominador comum será:

até certo ponto

até certo ponto

até certo ponto

até certo ponto.

Vamos complicar a tarefa:

Como fazer com que as frações tenham o mesmo denominador?

Vamos lembrar a propriedade básica de uma fração:

Em nenhum lugar diz que o mesmo número pode ser subtraído (ou adicionado) do numerador e denominador de uma fração. Porque não é verdade!

Veja você mesmo: pegue qualquer fração, por exemplo, e adicione algum número ao numerador e ao denominador, por exemplo, . O que você aprendeu?

Então, outra regra inabalável:

Quando você reduz frações para denominador comum, use apenas a operação de multiplicação!

Mas pelo que você precisa multiplicar para obter?

Então multiplique por. E multiplique por:

Chamaremos expressões que não podem ser fatoradas de “fatores elementares”. Por exemplo, este é um fator elementar. - Mesmo. Mas não: pode ser fatorado.

E a expressão? É elementar?

Não, porque pode ser fatorado:

(você já leu sobre fatoração no tópico “”).

Portanto, os fatores elementares nos quais você decompõe uma expressão com letras são análogos aos fatores simples nos quais você decompõe os números. E vamos lidar com eles da mesma maneira.

Vemos que ambos os denominadores têm um multiplicador. Irá para o denominador comum até o grau (lembra por quê?).

O fator é elementar e não possuem fator comum, o que significa que a primeira fração terá simplesmente que ser multiplicada por ele:

Outro exemplo:

Solução:

Antes de multiplicar esses denominadores em pânico, você precisa pensar em como fatorá-los? Ambos representam:

Ótimo! Então:

Outro exemplo:

Solução:

Como sempre, vamos fatorar os denominadores. No primeiro denominador simplesmente o colocamos fora dos colchetes; no segundo - a diferença de quadrados:

Parece que não existem fatores comuns. Mas se você olhar de perto, eles são parecidos... E é verdade:

Então vamos escrever:

Ou seja, ficou assim: dentro do colchete trocamos os termos, e ao mesmo tempo o sinal antes da fração mudou para o oposto. Tome nota, você terá que fazer isso com frequência.

Agora vamos trazer isso para um denominador comum:

Entendi? Vamos verificar agora.

Tarefas para solução independente:

Respostas:

Aqui precisamos lembrar mais uma coisa - a diferença entre os cubos:

Observe que o denominador da segunda fração não contém a fórmula “quadrado da soma”! O quadrado da soma ficaria assim: .

A é o chamado quadrado incompleto da soma: o segundo termo nele é o produto do primeiro e do último, e não seu produto duplo. O quadrado parcial da soma é um dos fatores na expansão da diferença de cubos:

O que fazer se já houver três frações?

Sim, a mesma coisa! Em primeiro lugar, vamos ter certeza de que quantidade máxima os fatores nos denominadores eram os mesmos:

Observação: se você alterar os sinais dentro de um colchete, o sinal na frente da fração muda para o oposto. Quando mudamos os sinais do segundo colchete, o sinal na frente da fração muda novamente para o oposto. Como resultado, (o sinal antes da fração) não mudou.

Escrevemos todo o primeiro denominador no denominador comum e depois adicionamos a ele todos os fatores que ainda não foram escritos, do segundo e depois do terceiro (e assim por diante, se houver mais frações). Ou seja, acontece assim:

Hmm... Está claro o que fazer com frações. Mas e os dois?

É simples: você sabe somar frações, certo? Então, precisamos fazer com que dois se tornem uma fração! Lembremos: uma fração é uma operação de divisão (o numerador é dividido pelo denominador, caso você tenha esquecido). E não há nada mais fácil do que dividir um número por. Neste caso, o número em si não mudará, mas se transformará em uma fração:

Exatamente o que você precisa!

5. Multiplicação e divisão de frações.

Bem, a parte mais difícil já passou. E temos pela frente o mais simples, mas ao mesmo tempo o mais importante:

Procedimento

Qual é o procedimento para calcular uma expressão numérica? Lembre-se calculando o significado desta expressão:

Você contou?

Deveria funcionar.

Então, deixe-me lembrá-lo.

O primeiro passo é calcular o grau.

A segunda é multiplicação e divisão. Se houver várias multiplicações e divisões ao mesmo tempo, elas poderão ser feitas em qualquer ordem.

E por fim, realizamos adição e subtração. Novamente, em qualquer ordem.

Mas: a expressão entre colchetes é avaliada fora de hora!

Se vários colchetes forem multiplicados ou divididos entre si, primeiro calculamos a expressão em cada um dos colchetes e depois os multiplicamos ou dividimos.

E se houver mais colchetes dentro dos colchetes? Bem, vamos pensar: alguma expressão está escrita entre colchetes. Ao calcular uma expressão, o que você deve fazer primeiro? Isso mesmo, calcule os colchetes. Bem, nós descobrimos: primeiro calculamos os colchetes internos, depois todo o resto.

Então, o procedimento para a expressão acima é o seguinte (a ação atual está destacada em vermelho, ou seja, a ação que estou realizando neste momento):

Ok, é tudo simples.

Mas isto não é o mesmo que uma expressão com letras?

Não, é a mesma coisa! Só que em vez de operações aritméticas, é necessário fazer operações algébricas, ou seja, as ações descritas na seção anterior: trazendo semelhante, adicionando frações, reduzindo frações e assim por diante. A única diferença será a ação de fatorar polinômios (geralmente usamos isso quando trabalhamos com frações). Na maioria das vezes, para fatorar, você precisa usar I ou simplesmente colocar o fator comum entre colchetes.

Normalmente nosso objetivo é representar a expressão como um produto ou quociente.

Por exemplo:

Vamos simplificar a expressão.

1) Primeiro, simplificamos a expressão entre colchetes. Aí temos uma diferença de frações, e nosso objetivo é apresentá-la como produto ou quociente. Então, trazemos as frações para um denominador comum e adicionamos:

É impossível simplificar ainda mais esta expressão; todos os fatores aqui são elementares (você ainda se lembra do que isso significa?).

2) Obtemos:

Multiplicando frações: o que poderia ser mais simples.

3) Agora você pode encurtar:

Bem, isso é tudo. Nada complicado, certo?

Outro exemplo:

Simplifique a expressão.

Primeiro tente resolver sozinho e só depois veja a solução.

Em primeiro lugar, vamos determinar a ordem das ações. Primeiro, vamos adicionar as frações entre parênteses, para que em vez de duas frações obtenhamos uma. Então faremos divisão de frações. Bem, vamos somar o resultado com a última fração. Vou numerar as etapas esquematicamente:

Agora vou mostrar o processo, tingindo a ação atual de vermelho:

Por fim, darei duas dicas úteis:

1. Se houver semelhantes, devem ser trazidos imediatamente. Sempre que surgirem problemas semelhantes em nosso país, é aconselhável trazê-los à tona imediatamente.

2. O mesmo se aplica à redução de frações: assim que surgir a oportunidade de redução, deve ser aproveitada. A exceção fica para frações que você soma ou subtrai: se elas agora tiverem os mesmos denominadores, a redução deverá ser deixada para depois.

Aqui estão algumas tarefas para você resolver sozinho:

E o que foi prometido logo no início:

Soluções (breves):

Se você lidou com pelo menos os três primeiros exemplos, então dominou o tópico.

Agora vamos aprender!

CONVERSÃO DE EXPRESSÕES. RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS

Operações básicas de simplificação:

• Trazendo semelhante: para adicionar (reduzir) termos semelhantes, você precisa somar seus coeficientes e atribuir a parte da letra.
• Fatoração: colocar o fator comum fora dos colchetes, aplicá-lo, etc.
• Reduzindo uma fração: O numerador e o denominador de uma fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, o que não altera o valor da fração.
  1) numerador e denominador fatorar
  2) se o numerador e o denominador tiverem fatores comuns, podem ser riscados.

  IMPORTANTE: apenas os multiplicadores podem ser reduzidos!

• Adição e subtração de frações:
  ;
• Multiplicando e dividindo frações:
  ;

Via de regra, as crianças começam a estudar álgebra no ensino fundamental. Depois de dominar os princípios básicos de trabalho com números, eles resolvem exemplos com uma ou mais variáveis ​​desconhecidas. Encontrar o significado de uma expressão como essa pode ser bastante difícil, mas se você simplificar usando conhecimentos do ensino fundamental, tudo funcionará de forma rápida e fácil.

Qual é o significado de uma expressão

Uma expressão numérica é chamada notação algébrica, consistindo em números, colchetes e sinais, se fizer sentido.

Em outras palavras, se for possível encontrar o significado de uma expressão, então a entrada não é desprovida de significado e vice-versa.

Exemplos das seguintes entradas são construções numéricas válidas:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Um único número também representará uma expressão numérica, como o número 18 do exemplo acima.
Exemplos de construções numéricas incorretas que não fazem sentido:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Exemplos numéricos incorretos são apenas um monte de símbolos matemáticos e não têm significado.

Como encontrar o valor de uma expressão

Como tais exemplos contêm sinais aritméticos, podemos concluir que permitem cálculos aritméticos. Para calcular os sinais ou, em outras palavras, encontrar o significado de uma expressão, é necessário realizar as manipulações aritméticas adequadas.

Como exemplo, considere a seguinte construção: (120-30)/3=30. O número 30 será o valor da expressão numérica (120-30)/3.

Instruções:

Conceito de igualdade numérica

Uma igualdade numérica é uma situação em que duas partes de um exemplo são separadas pelo sinal “=”. Ou seja, uma parte é completamente igual (idêntica) à outra, mesmo que seja apresentada na forma de outras combinações de símbolos e números.
Por exemplo, qualquer construção como 2+2=4 pode ser chamada de igualdade numérica, pois mesmo que as partes sejam trocadas, o significado não mudará: 4=2+2. O mesmo vale para mais estruturas complexas, incluindo parênteses, divisão, multiplicação, operações com frações e assim por diante.

Como encontrar o valor de uma expressão corretamente

Para encontrar corretamente o valor de uma expressão, é necessário realizar cálculos de acordo com uma determinada ordem de ações. Esta ordem é ensinada nas aulas de matemática e, posteriormente, nas aulas de álgebra em escola primária. Também é conhecido como etapas aritméticas.

Etapas aritméticas:

1. A primeira etapa é a adição e subtração de números.
2. A segunda etapa é onde a divisão e a multiplicação são realizadas.
3. Terceiro estágio - os números são elevados ao quadrado ou ao cubo.

Observando as seguintes regras, você sempre pode determinar corretamente o significado de uma expressão:

1. Execute ações a partir da terceira etapa, terminando na primeira, se não houver parênteses no exemplo. Ou seja, primeiro quadrado ou cubo, depois divida ou multiplique, e só então some e subtraia.
2. Nas construções com parênteses, execute primeiro as ações entre parênteses e depois siga a ordem descrita acima. Se houver vários colchetes, use também o procedimento do primeiro parágrafo.
3. Nos exemplos na forma de fração, descubra primeiro o resultado no numerador, depois no denominador e depois divida o primeiro pelo segundo.

Encontrar o significado de uma expressão não será difícil se você adquirir conhecimentos básicos de cursos elementares de álgebra e matemática. Guiado pelas informações descritas acima, você poderá solucionar qualquer problema, mesmo de maior complexidade.

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Este artigo discute como encontrar os valores de expressões matemáticas. Vamos começar com os mais simples expressões numéricas e além disso consideraremos os casos à medida que sua complexidade aumenta. Ao final apresentamos uma expressão contendo símbolos de letras, colchetes, raízes, símbolos matemáticos especiais, potências, funções, etc. De acordo com a tradição, forneceremos toda a teoria com exemplos abundantes e detalhados.

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Como encontrar o valor de uma expressão numérica?

As expressões numéricas, entre outras coisas, ajudam a descrever a condição de um problema em linguagem matemática. Em geral, as expressões matemáticas podem ser muito simples, consistindo de um par de números e símbolos aritméticos, ou muito complexas, contendo funções, potências, raízes, parênteses, etc. Como parte de uma tarefa, muitas vezes é necessário encontrar o significado de uma expressão específica. Como fazer isso será discutido abaixo.

Os casos mais simples

São casos em que a expressão contém apenas números e operações aritméticas. Para encontrar com sucesso os valores de tais expressões, você precisará de conhecimento da ordem de execução de operações aritméticas sem parênteses, bem como da capacidade de realizar operações com vários números.

Se a expressão contiver apenas números e sinais aritméticos " + " , " · " , " - " , " ÷ " , então as ações serão realizadas da esquerda para a direita na seguinte ordem: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Vamos dar exemplos.

Exemplo 1: O valor de uma expressão numérica

Deixe você precisar encontrar os valores da expressão 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Vamos fazer a multiplicação e a divisão primeiro. Nós obtemos:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Agora fazemos a subtração e obtemos o resultado final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplo 2: O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Primeiro realizamos conversão, divisão e multiplicação de frações:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Agora vamos fazer algumas adições e subtrações. Vamos agrupar as frações e trazê-las para um denominador comum:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

O valor necessário foi encontrado.

Expressões com parênteses

Se uma expressão contiver parênteses, eles definirão a ordem das operações nessa expressão. As ações entre colchetes são executadas primeiro e depois todas as outras. Vamos mostrar isso com um exemplo.

Exemplo 3: O valor de uma expressão numérica

Vamos encontrar o valor da expressão 0,5 · (0,76 - 0,06).

A expressão contém parênteses, portanto realizamos primeiro a operação de subtração entre parênteses e só depois a multiplicação.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

O significado das expressões que contêm parênteses entre parênteses é encontrado de acordo com o mesmo princípio.

Exemplo 4: O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular o valor 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Realizaremos ações começando pelos colchetes mais internos, passando para os mais externos.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Ao encontrar o significado das expressões entre colchetes, o principal é seguir a sequência de ações.

Expressões com raízes

Expressões matemáticas cujos valores precisamos encontrar podem conter sinais de raiz. Além disso, a própria expressão pode estar sob o sinal da raiz. O que fazer neste caso? Primeiro você precisa encontrar o valor da expressão na raiz e, em seguida, extrair a raiz do número obtido como resultado. Se possível, é melhor eliminar as raízes das expressões numéricas, substituindo-as por valores numéricos.

Exemplo 5: O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular o valor da expressão com raízes - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Primeiro, calculamos as expressões radicais.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Agora você pode calcular o valor de toda a expressão.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Freqüentemente, encontrar o significado de uma expressão com raízes requer primeiro a transformação da expressão original. Vamos explicar isso com mais um exemplo.

Exemplo 6: O valor de uma expressão numérica

Quanto é 3 + 1 3 - 1 - 1

Como você pode ver, não temos como substituir a raiz por um valor exato, o que complica o processo de contagem. Porém, neste caso, você pode aplicar a fórmula de multiplicação abreviada.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Por isso:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expressões com poderes

Se uma expressão contém potências, seus valores devem ser calculados antes de prosseguir com todas as outras ações. Acontece que o próprio expoente ou a base do grau são expressões. Neste caso, calcula-se primeiro o valor dessas expressões e depois o valor do grau.

Exemplo 7: O valor de uma expressão numérica

Vamos encontrar o valor da expressão 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Vamos começar a calcular em ordem.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Resta realizar a operação de adição e descobrir o significado da expressão:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Muitas vezes também é aconselhável simplificar uma expressão usando as propriedades de um grau.

Exemplo 8: O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular o valor da seguinte expressão: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Os expoentes são novamente tais que seus valores numéricos exatos não podem ser obtidos. Vamos simplificar a expressão original para encontrar seu valor.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expressões com frações

Se uma expressão contém frações, ao calcular tal expressão, todas as frações nela contidas devem ser representadas na forma frações ordinárias e calcule seus valores.

Se o numerador e o denominador de uma fração contiverem expressões, então os valores dessas expressões serão calculados primeiro e o valor final da própria fração será anotado. As operações aritméticas são realizadas na ordem padrão. Vejamos a solução de exemplo.

Exemplo 9: O valor de uma expressão numérica

Vamos encontrar o valor da expressão que contém frações: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Como você pode ver, existem três frações na expressão original. Vamos primeiro calcular seus valores.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Vamos reescrever nossa expressão e calcular seu valor:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Muitas vezes, ao encontrar o significado das expressões, é conveniente reduzir as frações. Existe regra tácita: antes de encontrar o seu valor, o melhor é simplificar ao máximo qualquer expressão, reduzindo todos os cálculos aos casos mais simples.

Exemplo 10: O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular a expressão 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Não podemos extrair completamente a raiz de cinco, mas podemos simplificar a expressão original através de transformações.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

A expressão original assume a forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Vamos calcular o valor desta expressão:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expressões com logaritmos

Quando logaritmos estão presentes em uma expressão, seu valor é calculado desde o início, se possível. Por exemplo, na expressão log 2 4 + 2 · 4, você pode anotar imediatamente o valor desse logaritmo em vez de log 2 4 e, em seguida, executar todas as ações. Obtemos: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Expressões numéricas também podem ser encontradas sob o próprio sinal do logaritmo e em sua base. Nesse caso, a primeira coisa a fazer é descobrir seus significados. Tomemos a expressão log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Nós temos:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Se for impossível calcular o valor exato do logaritmo, simplificar a expressão ajuda a encontrar o seu valor.

Exemplo 11: O valor de uma expressão numérica

Vamos encontrar o valor da expressão log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Pela propriedade dos logaritmos:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Usando novamente as propriedades dos logaritmos, para a última fração da expressão obtemos:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Agora você pode calcular o valor da expressão original.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expressões com funções trigonométricas

Acontece que a expressão contém as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como suas funções inversas. O valor é calculado antes de todas as outras operações aritméticas serem executadas. Caso contrário, a expressão é simplificada.

Exemplo 12: O valor de uma expressão numérica

Encontre o valor da expressão: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Primeiro, calculamos os valores das funções trigonométricas incluídas na expressão.

pecado - 5 π 2 = - 1

Substituímos os valores na expressão e calculamos seu valor:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

O valor da expressão foi encontrado.

Muitas vezes, para encontrar o significado de uma expressão com funções trigonométricas, ele deve primeiro ser convertido. Vamos explicar com um exemplo.

Exemplo 13: O valor de uma expressão numérica

Precisamos encontrar o valor da expressão cos 2 π 8 - sen 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sen 5 π 36 sen π 9 - 1.

Para conversão usaremos fórmulas trigonométricas cosseno do ângulo duplo e cosseno da soma.

cos 2 π 8 - sen 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sen 5 π 36 sen π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Caso geral de uma expressão numérica

Em geral, uma expressão trigonométrica pode conter todos os elementos descritos acima: colchetes, potências, raízes, logaritmos, funções. Vamos formular regra geral encontrar o significado de tais expressões.

Como encontrar o valor de uma expressão

1. Raízes, potências, logaritmos, etc. são substituídos por seus valores.
2. As ações entre parênteses são executadas.
3. As ações restantes são executadas da esquerda para a direita. Primeiro - multiplicação e divisão, depois - adição e subtração.

Vejamos um exemplo.

Exemplo 14: O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular o valor da expressão - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

A expressão é bastante complexa e complicada. Não foi por acaso que escolhemos tal exemplo, tendo tentado enquadrar nele todos os casos acima descritos. Como encontrar o significado de tal expressão?

Sabe-se que ao calcular o valor de uma forma fracionária complexa, os valores do numerador e do denominador da fração são primeiro encontrados separadamente, respectivamente. Vamos transformar e simplificar sequencialmente esta expressão.

Em primeiro lugar, vamos calcular o valor da expressão radical 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Para fazer isso, você precisa encontrar o valor do seno e a expressão que é o argumento da função trigonométrica.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Agora você pode descobrir o valor do seno:

sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sen π 6 + 2 π = sen π 6 = 1 2.

Calculamos o valor da expressão radical:

2 sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sen π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Com o denominador da fração tudo fica mais simples:

Agora podemos escrever o valor de toda a fração:

2 · sen π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Levando isso em consideração, escrevemos a expressão inteira:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Resultado final:

2 · sen π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Neste caso, conseguimos calcular os valores exatos de raízes, logaritmos, senos, etc. Se isso não for possível, você pode tentar se livrar deles por meio de transformações matemáticas.

Calculando valores de expressão usando métodos racionais

Os valores numéricos devem ser calculados de forma consistente e precisa. Este processo pode ser simplificado e acelerado usando várias propriedades ações com números. Por exemplo, sabe-se que um produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Levando em consideração esta propriedade, podemos dizer imediatamente que a expressão 2 386 + 5 + 589 4 1 - sen 3 π 4 0 é igual a zero. Ao mesmo tempo, não é necessário realizar as ações na ordem descrita no artigo acima.

Também é conveniente usar a propriedade de subtrair números iguais. Sem realizar nenhuma ação, você pode ordenar que o valor da expressão 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 também seja zero.

Outra técnica para agilizar o processo é o uso de transformações de identidade, como agrupar termos e fatores e colocar o fator comum fora dos colchetes. Uma abordagem racional para calcular expressões com frações é reduzir as mesmas expressões no numerador e no denominador.

Por exemplo, pegue a expressão 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Sem realizar as operações entre parênteses, mas reduzindo a fração, podemos dizer que o valor da expressão é 1 3 .

Encontrando os valores de expressões com variáveis

Significado expressão literal e expressões com variáveis ​​​​são encontradas para valores específicos de letras e variáveis.

Encontrando os valores de expressões com variáveis

Para encontrar o valor de uma expressão literal e de uma expressão com variáveis, você precisa substituir os valores fornecidos de letras e variáveis ​​​​na expressão original e, em seguida, calcular o valor da expressão numérica resultante.

Exemplo 15: Valor de uma Expressão com Variáveis

Calcule o valor da expressão 0, 5 x - y dado x = 2, 4 e y = 5.

Substituímos os valores das variáveis ​​na expressão e calculamos:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Às vezes você pode transformar uma expressão de forma que obtenha seu valor independentemente dos valores das letras e variáveis ​​​​incluídas nela. Para fazer isso, você precisa se livrar das letras e variáveis ​​​​da expressão, se possível, usando transformações idênticas, propriedades de operações aritméticas e todos os outros métodos possíveis.

Por exemplo, a expressão x + 3 - x obviamente tem o valor 3, e para calcular esse valor não é necessário saber o valor da variável x. O valor desta expressão é igual a três para todos os valores da variável x em sua faixa de valores permitidos.

Outro exemplo. O valor da expressão x x é igual a um para todos os x positivos.

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Uma entrada que consiste em números, sinais e parênteses e também tem significado, chamada de expressão numérica.

Por exemplo, as seguintes entradas:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

serão expressões numéricas. Deve ser entendido que um número também será uma expressão numérica. No nosso exemplo, este é o número 13.

E, por exemplo, as seguintes entradas

• 100 - *9,
• /32)343

não serão expressões numéricas, uma vez que não têm sentido e são simplesmente um conjunto de números e sinais.

Valor da expressão numérica

Como os sinais nas expressões numéricas incluem sinais de operações aritméticas, podemos calcular o valor de uma expressão numérica. Para fazer isso, você deve seguir estas etapas.

Por exemplo,

(100-32)/17 = 4, ou seja, para a expressão (100-32)/17, o valor desta expressão numérica será o número 4.

2*4+7=15, o número 15 será o valor da expressão numérica 2*4+7.

Muitas vezes, por uma questão de brevidade, as entradas não escrevem o valor completo de uma expressão numérica, mas simplesmente escrevem “o valor da expressão”, omitindo a palavra “numérico”.

Igualdade numérica

Se duas expressões numéricas forem escritas usando um sinal de igual, então essas expressões formam uma igualdade numérica. Por exemplo, a expressão 2*4+7=15 é uma igualdade numérica.

Conforme observado acima, as expressões numéricas podem usar parênteses. Como você já sabe, os parênteses afetam a ordem das ações.

Em geral, todas as ações são divididas em várias etapas.

• Ações da primeira etapa: adição e subtração.
• Operações de segunda etapa: multiplicação e divisão.
• As ações do terceiro estágio são elevar ao quadrado e ao cubo.

Regras para calcular valores de expressões numéricas

Ao calcular os valores das expressões numéricas, as seguintes regras devem ser seguidas.

• 1. Caso a expressão não possua colchetes, será necessário realizar ações a partir dos níveis mais altos: terceiro estágio, segundo estágio e primeiro estágio. Se houver várias ações da mesma etapa, elas serão executadas na ordem em que foram escritas, ou seja, da esquerda para a direita.
• 2. Se a expressão contiver parênteses, as ações entre parênteses serão executadas primeiro e só então todas as outras ações serão executadas na ordem usual. Ao realizar ações entre colchetes, se houver várias delas, deve-se usar a ordem descrita no parágrafo 1.
• 3. Se a expressão for uma fração, os valores no numerador e no denominador são calculados primeiro e, em seguida, o numerador é dividido pelo denominador.
• 4. Se a expressão contiver parênteses aninhados, as ações deverão ser executadas a partir dos parênteses internos.

Vocês, como pais, no processo de educação de seu filho, mais de uma vez se depararão com a necessidade de ajuda para resolver problemas de lição de casa de matemática, álgebra e geometria. E uma das habilidades básicas que você precisa aprender é como encontrar o significado de uma expressão. Muitas pessoas estão em um beco sem saída, porque quantos anos se passaram desde que estudamos da 3ª à 5ª série? Muito já foi esquecido e alguns não foram aprendidos. As regras das operações matemáticas são simples e você pode lembrá-las facilmente. Vamos começar com o básico do que é uma expressão matemática.

Definição de Expressão

Uma expressão matemática é um conjunto de números, sinais de ação (=, +, -, *, /), colchetes e variáveis. Resumidamente, esta é uma fórmula cujo valor deverá ser encontrado. Tais fórmulas são encontradas nos cursos de matemática desde a escola, e depois assombram os alunos que optaram por especialidades relacionadas às ciências exatas. As expressões matemáticas são divididas em trigonométricas, algébricas e assim por diante;

1. Faça quaisquer cálculos primeiro em um rascunho e depois reescreva-os em pasta de trabalho. Assim você evitará travessias e sujeiras desnecessárias;
2. Recalcule o número total de operações matemáticas que precisarão ser realizadas na expressão. Observe que, de acordo com as regras, as operações entre parênteses são realizadas primeiro, depois a divisão e a multiplicação e, no final, a subtração e a adição. Recomendamos destacar todas as ações a lápis e colocar números acima das ações na ordem em que foram realizadas. Nesse caso, será mais fácil para você e seu filho navegar;
3. Comece a fazer cálculos seguindo rigorosamente a ordem das ações. Deixe a criança, se o cálculo for simples, tente fazê-lo de cabeça, mas se for difícil, escreva a lápis o número correspondente ao número ordinal da expressão e faça o cálculo em por escrito sob a fórmula;
4. Via de regra, encontrar o valor de uma expressão simples não é difícil se todos os cálculos forem realizados de acordo com as regras e na ordem certa. A maioria das pessoas encontra um problema justamente nesta fase de encontrar o significado de uma expressão, por isso tome cuidado e não cometa erros;
5. Banir a calculadora. As fórmulas matemáticas e os problemas em si podem não ser úteis na vida do seu filho, mas esse não é o propósito de estudar o assunto. O principal é o desenvolvimento do pensamento lógico. Se você usar calculadoras, o significado de tudo se perderá;
6. Sua tarefa como pai não é resolver os problemas do seu filho, mas ajudá-lo nisso, orientá-lo. Deixe que ele faça todos os cálculos sozinho, e você garante que ele não cometa erros, explique por que ele precisa fazer assim e não de outra forma.
7. Uma vez encontrada a resposta para a expressão, escreva-a após o sinal “=”;
8. Abra a última página do seu livro de matemática. Normalmente, há respostas para todos os exercícios do livro. Não custa nada verificar se tudo foi calculado corretamente.

Encontrar o significado de uma expressão é, por um lado, um procedimento simples, o principal é lembrar as regras básicas que aprendemos no curso de matemática escolar; Porém, por outro lado, quando você precisa ajudar seu filho a lidar com fórmulas e resolver problemas, a questão fica mais complicada. Afinal, você agora não é um aluno, mas um professor, e a educação do futuro Einstein está sobre seus ombros.

Esperamos que nosso artigo tenha ajudado você a encontrar a resposta para a questão de como encontrar o significado de uma expressão e que você possa descobrir facilmente qualquer fórmula!