GIA. Função quadrática

Anteriormente estudamos outras funções, por exemplo lineares, vamos relembrar sua forma padrão:

daí a óbvia diferença fundamental - em função linear X está no primeiro grau, e na nova função que estamos começando a estudar, X está elevado à segunda potência.

Lembre-se de que o gráfico de uma função linear é uma linha reta e o gráfico de uma função, como veremos, é uma curva chamada parábola.

Vamos começar descobrindo de onde veio a fórmula. A explicação é esta: se nos for dado um quadrado com lado UM, então podemos calcular sua área assim:

Se alterarmos o comprimento do lado de um quadrado, sua área também mudará.

Então, esta é uma das razões pelas quais a função é estudada

Lembre-se que a variável X- esta é uma variável independente, ou argumento em uma interpretação física, pode ser, por exemplo, o tempo; A distância é, pelo contrário, uma variável dependente que depende do tempo; A variável ou função dependente é uma variável no.

Esta é a lei da correspondência, segundo a qual cada valor X um único valor é atribuído no.

Qualquer lei de correspondência deve satisfazer o requisito de unicidade do argumento à função. Numa interpretação física, isso parece bastante claro com base no exemplo da dependência da distância em relação ao tempo: em cada momento estamos a uma certa distância do ponto de partida, e é impossível estar ao mesmo tempo no tempo t. ambos a 10 e 20 quilômetros do início da viagem.

Ao mesmo tempo, cada valor de função pode ser alcançado com vários valores de argumento.

Então, precisamos construir um gráfico da função, para isso precisamos fazer uma tabela. Em seguida, estude a função e suas propriedades usando o gráfico. Mas antes mesmo de construir um gráfico baseado no tipo de função, podemos dizer algo sobre suas propriedades: é óbvio que no não pode assumir valores negativos, pois

Então, vamos fazer uma tabela:

Arroz. 1

No gráfico é fácil observar as seguintes propriedades:

Eixo no- este é o eixo de simetria do gráfico;

O vértice da parábola é o ponto (0; 0);

Vemos que a função só aceita valores não negativos;

No intervalo onde a função diminui e no intervalo onde a função aumenta;

A função adquire seu menor valor no vértice, ;

Não existe valor máximo de uma função;

Exemplo 1

Doença:

Solução:

Desde X pelas mudanças nas condições em um intervalo específico, podemos dizer sobre a função que ela aumenta e muda no intervalo . A função tem um valor mínimo e um valor máximo neste intervalo

Arroz. 2. Gráfico da função y = x 2 , x ∈

Exemplo 2

Doença: Encontre o maior e o menor valor de uma função:

Solução:

X muda ao longo do intervalo, o que significa no diminui no intervalo while e aumenta no intervalo while .

Então, os limites da mudança X, e os limites da mudança no, e, portanto, em um determinado intervalo há um valor mínimo da função e um valor máximo

Arroz. 3. Gráfico da função y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Vamos ilustrar o fato de que o mesmo valor de função pode ser alcançado com vários valores de argumentos.

Como mostra a prática, problemas nas propriedades e gráficos de uma função quadrática causam sérias dificuldades. Isso é bastante estranho, porque eles estudam a função quadrática no 8º ano, e depois ao longo do primeiro trimestre do 9º ano “atormentam” as propriedades da parábola e constroem seus gráficos para diversos parâmetros.

Isso se deve ao fato de que, ao obrigar os alunos a construir parábolas, eles praticamente não dedicam tempo à “leitura” dos gráficos, ou seja, não praticam a compreensão das informações recebidas da figura. Aparentemente, presume-se que, depois de construir cerca de uma dúzia de gráficos, um aluno inteligente descobrirá e formulará a relação entre os coeficientes na fórmula e aparência gráficos. Na prática isso não funciona. Para tal generalização, é necessária uma experiência séria em minipesquisas matemáticas, que a maioria dos alunos do nono ano, é claro, não possui. Enquanto isso, a Inspetoria do Estado se propõe a determinar os sinais dos coeficientes por meio do cronograma.

Não exigiremos o impossível dos alunos e simplesmente ofereceremos um dos algoritmos para resolver tais problemas.

Então, uma função da forma y = machado 2 + bx + c chamado quadrático, seu gráfico é uma parábola. Como o nome sugere, o termo principal é machado 2. Aquilo é UM não deve ser igual a zero, os coeficientes restantes ( b E Com) pode ser igual a zero.

Vamos ver como os sinais de seus coeficientes afetam a aparência de uma parábola.

A dependência mais simples para o coeficiente UM. A maioria dos alunos responde com segurança: “se UM> 0, então os ramos da parábola são direcionados para cima, e se UM < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой UM > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Nesse caso UM = 0,5

E agora para UM < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Nesse caso UM = - 0,5

Impacto do coeficiente Com Também é muito fácil de seguir. Imaginemos que queremos encontrar o valor de uma função num ponto X= 0. Substitua zero na fórmula:

sim = um 0 2 + b 0 + c = c. Acontece que y = c. Aquilo é Comé a ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo y. Normalmente, esse ponto é fácil de encontrar no gráfico. E determine se está acima de zero ou abaixo. Aquilo é Com> 0 ou Com < 0.

Com > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Com < 0

y = x 2 + 4x - 3

Assim, se Com= 0, então a parábola passará necessariamente pela origem:

y = x 2 + 4x

Mais difícil com o parâmetro b. O ponto em que o encontraremos depende não apenas de b mas também de UM. Este é o topo da parábola. Sua abscissa (coordenada do eixo X) é encontrado pela fórmula x em = - b/(2a). Por isso, b = - 2ax em. Ou seja, procedemos da seguinte forma: encontramos o vértice da parábola no gráfico, determinamos o sinal de sua abcissa, ou seja, olhamos para a direita de zero ( x em> 0) ou para a esquerda ( x em < 0) она лежит.

No entanto, isso não é tudo. Também precisamos prestar atenção ao sinal do coeficiente UM. Ou seja, observe para onde estão direcionados os ramos da parábola. E só depois disso, de acordo com a fórmula b = - 2ax em determinar o sinal b.

Vejamos um exemplo:

Os ramos estão direcionados para cima, o que significa UM> 0, a parábola intercepta o eixo no abaixo de zero, ou seja Com < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x em> 0. Então b = - 2ax em = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: UM > 0, b < 0, Com < 0.

Anteriormente estudamos outras funções, por exemplo lineares, vamos relembrar sua forma padrão:

daí a óbvia diferença fundamental - na função linear X está no primeiro grau, e na nova função que estamos começando a estudar, X está elevado à segunda potência.

Lembre-se de que o gráfico de uma função linear é uma linha reta e o gráfico de uma função, como veremos, é uma curva chamada parábola.

Vamos começar descobrindo de onde veio a fórmula. A explicação é esta: se nos for dado um quadrado com lado UM, então podemos calcular sua área assim:

Se alterarmos o comprimento do lado de um quadrado, sua área também mudará.

Então, esta é uma das razões pelas quais a função é estudada

Lembre-se que a variável X- esta é uma variável independente, ou argumento em uma interpretação física, pode ser, por exemplo, o tempo; A distância é, pelo contrário, uma variável dependente que depende do tempo; A variável ou função dependente é uma variável no.

Esta é a lei da correspondência, segundo a qual cada valor X um único valor é atribuído no.

Qualquer lei de correspondência deve satisfazer o requisito de unicidade do argumento à função. Numa interpretação física, isso parece bastante claro com base no exemplo da dependência da distância em relação ao tempo: em cada momento estamos a uma certa distância do ponto de partida, e é impossível estar ao mesmo tempo no tempo t. ambos a 10 e 20 quilômetros do início da viagem.

Ao mesmo tempo, cada valor de função pode ser alcançado com vários valores de argumento.

Então, precisamos construir um gráfico da função, para isso precisamos fazer uma tabela. Em seguida, estude a função e suas propriedades usando o gráfico. Mas antes mesmo de construir um gráfico baseado no tipo de função, podemos dizer algo sobre suas propriedades: é óbvio que no não pode assumir valores negativos, pois

Então, vamos fazer uma tabela:

Arroz. 1

No gráfico é fácil observar as seguintes propriedades:

Eixo no- este é o eixo de simetria do gráfico;

O vértice da parábola é o ponto (0; 0);

Vemos que a função só aceita valores não negativos;

No intervalo onde a função diminui e no intervalo onde a função aumenta;

A função adquire seu menor valor no vértice, ;

Não existe valor máximo de uma função;

Exemplo 1

Doença:

Solução:

Desde X pelas mudanças nas condições em um intervalo específico, podemos dizer sobre a função que ela aumenta e muda no intervalo . A função tem um valor mínimo e um valor máximo neste intervalo

Arroz. 2. Gráfico da função y = x 2 , x ∈

Exemplo 2

Doença: Encontre o maior e o menor valor de uma função:

Solução:

X muda ao longo do intervalo, o que significa no diminui no intervalo while e aumenta no intervalo while .

Então, os limites da mudança X, e os limites da mudança no, e, portanto, em um determinado intervalo há um valor mínimo da função e um valor máximo

Arroz. 3. Gráfico da função y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Vamos ilustrar o fato de que o mesmo valor de função pode ser alcançado com vários valores de argumentos.

A função y=x^2 é chamada de função quadrática. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Visão geral A parábola é mostrada na figura abaixo.

Função quadrática

Fig 1. Vista geral da parábola

Como pode ser visto no gráfico, é simétrico em relação ao eixo Oy. O eixo Oy é chamado de eixo de simetria da parábola. Isso significa que se você desenhar uma linha reta no gráfico paralela ao eixo do Boi acima deste eixo. Então cruzará a parábola em dois pontos. A distância desses pontos ao eixo Oy será a mesma.

O eixo de simetria divide o gráfico de uma parábola em duas partes. Essas partes são chamadas de ramos da parábola. E o ponto de uma parábola que está no eixo de simetria é chamado de vértice da parábola. Ou seja, o eixo de simetria passa pelo vértice da parábola. As coordenadas deste ponto são (0;0).

Propriedades básicas de uma função quadrática

1. Em x =0, y=0 e y>0 em x0

2. A função quadrática atinge seu valor mínimo em seu vértice. Ymin em x=0; Deve-se notar também que a função não possui valor máximo.

3. A função diminui no intervalo (-∞;0] e aumenta no intervalo - com esses valores de x, movendo-se ao longo da parábola da esquerda para a direita, “descemos a colina” (ver Fig. 55) . A função y = x 2 aumenta no raio ;
b) no segmento [- 3, - 1,5];
c) no segmento [- 3, 2].

Solução,

a) Vamos construir uma parábola y = x 2 e selecionar aquela parte dela que corresponde aos valores da variável x do segmento (Fig. 56). Para a parte selecionada do gráfico encontramos o nome. = 1 (em x = 1), y máx. = 9 (em x = 3).

b) Vamos construir uma parábola y = x 2 e selecionar aquela parte dela que corresponde aos valores da variável x do segmento [-3, -1,5] (Fig. 57). Para a parte selecionada do gráfico, encontramos o nome y. = 2,25 (em x = - 1,5), y máx. = 9 (em x = - 3).

c) Vamos construir uma parábola y = x 2 e selecionar aquela parte dela que corresponde aos valores da variável x do segmento [-3, 2] (Fig. 58). Para a parte selecionada do gráfico, encontramos y max = 0 (em x = 0), y max. = 9 (em x = - 3).

Conselho. Para evitar traçar a função y - x 2 ponto por ponto a cada vez, recorte um modelo de parábola em papel grosso. Com sua ajuda você desenhará uma parábola muito rapidamente.

Comentário. Ao convidar você a preparar um modelo de parábola, parece que estamos equalizando os direitos da função y = x 2 e função linear y = kx + m. Afinal, o gráfico de uma função linear é uma linha reta e, para representar uma linha reta, é usada uma régua comum - este é o modelo para o gráfico da função y = kx + m. Então vamos ter um modelo para o gráfico da função y = x 2.

Exemplo 2. Encontre os pontos de intersecção da parábola y = x 2 e da linha reta y - x + 2.

Solução. Vamos construir em um sistema de coordenadas a parábola y = x 2 e a linha reta y = x + 2 (Fig. 59). Eles se cruzam nos pontos A e B, e pelo desenho não é difícil encontrar as coordenadas desses pontos A e B: para o ponto A temos: x = - 1, y = 1, e para o ponto B temos: x - 2, y = 4.

Resposta: a parábola y = x 2 e a reta y = x + 2 se cruzam em dois pontos: A (-1; 1) e B (2; 4).

Nota importante. Até agora, fomos bastante ousados ​​em tirar conclusões a partir do desenho. No entanto, os matemáticos não confiam muito nos desenhos. Tendo descoberto na Figura 59 dois pontos de intersecção de uma parábola e uma linha reta e tendo determinado as coordenadas desses pontos usando o desenho, o matemático geralmente verifica por si mesmo: se o ponto (-1; 1) realmente está em ambas as linhas retas e a parábola; o ponto (2; 4) realmente pertence a uma linha reta e a uma parábola?

Para fazer isso, você precisa substituir as coordenadas dos pontos A e B na equação da reta e na equação da parábola e, a seguir, certificar-se de que em ambos os casos se obtém a igualdade correta. No exemplo 2, em ambos os casos as igualdades serão verdadeiras. Esta verificação é realizada com frequência principalmente quando há dúvidas sobre a precisão do desenho.

Concluindo, notamos uma propriedade interessante da parábola, descoberta e comprovada em conjunto por físicos e matemáticos.

Se considerarmos a parábola y = x 2 como uma tela, como uma superfície reflexiva, e colocarmos uma fonte de luz no ponto, então os raios refletidos na parábola da tela formam um feixe de luz paralelo (Fig. 60) . O ponto é chamado de foco da parábola. Essa ideia é usada em carros: a superfície reflexiva do farol tem formato parabólico e a lâmpada é colocada no ponto focal - então a luz do farol se espalha longe o suficiente.

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