Exemplos:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
Como resolver equações exponenciais
Ao resolver qualquer equação exponencial, nos esforçamos para trazê-la para a forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), e então fazemos a transição para a igualdade de expoentes, ou seja:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
Por exemplo:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Importante! Da mesma lógica, decorrem dois requisitos para tal transição:
- número em esquerda e direita devem ser iguais;
- os graus à esquerda e à direita devem ser “puros”, ou seja, não deve haver multiplicação, divisão, etc.
Por exemplo:
Para reduzir a equação à forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) e são usados.
Exemplo
. Resolva a equação exponencial \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solução:
\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Sabemos que \(27 = 3^3\). Levando isso em consideração, transformamos a equação. |
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\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Pela propriedade da raiz \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obtemos que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). A seguir, usando a propriedade de grau \((a^b)^c=a^(bc)\), obtemos \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3\cdot\frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\). |
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\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Também sabemos que \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplicando isso ao lado esquerdo, obtemos: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\). |
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\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Agora lembre-se disso: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Esta fórmula também pode ser usada em verso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Então \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\). |
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\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\) |
Aplicando a propriedade \((a^b)^c=a^(bc)\) ao lado direito, obtemos: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\). |
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\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\) |
E agora nossas bases são iguais e não há coeficientes interferentes, etc. Assim podemos fazer a transição. |
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Exemplo
. Resolva a equação exponencial \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Responder : \(-1; 1\). A questão permanece: como entender quando usar qual método? Isso vem com a experiência. Até você conseguir, use-o recomendação geral para resolver problemas complexos - “se você não sabe o que fazer, faça o que puder”. Ou seja, procure como você pode transformar a equação em princípio e tente fazer isso - e se acontecer? O principal é fazer apenas transformações baseadas em matemática. Equações exponenciais sem soluçõesVejamos mais duas situações que muitas vezes confundem os alunos: Vamos tentar resolver pela força bruta. Se x for um número positivo, então à medida que x cresce, toda a potência \(2^x\) só aumentará: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Também por. Os X negativos permanecem. Lembrando a propriedade \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificamos: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) Apesar de o número diminuir a cada passo, ele nunca chegará a zero. Portanto, o grau negativo não nos salvou. Chegamos a uma conclusão lógica: Um número positivo em qualquer grau permanecerá um número positivo.Assim, ambas as equações acima não têm soluções. Equações exponenciais com bases diferentesNa prática, às vezes encontramos equações exponenciais com por diferentes razões, não redutíveis entre si e ao mesmo tempo com os mesmos expoentes. Eles se parecem com isto: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), onde \(a\) e \(b\) são números positivos. Por exemplo: \(7^(x)=11^(x)\) Essas equações podem ser facilmente resolvidas dividindo-se por qualquer um dos lados da equação (geralmente dividido pelo lado direito, ou seja, por \(b^(f(x))\). Você pode dividir desta forma porque um número positivo é positivo para qualquer potência (ou seja, não dividimos por zero). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemplo
. Resolva a equação exponencial \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Responder : \(-7\). Às vezes, a “mesmice” dos expoentes não é óbvia, mas o uso hábil das propriedades dos expoentes resolve esse problema. Exemplo
. Resolva a equação exponencial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Responder : \(2\). |
Este é o nome das equações da forma em que a incógnita está tanto no expoente quanto na base da potência.
Você pode especificar um algoritmo completamente claro para resolver uma equação da forma. Para fazer isso, você precisa prestar atenção ao fato de que quando Oh) diferente de zero, um e menos um, a igualdade de graus com as mesmas bases (seja positiva ou negativa) só é possível se os expoentes forem iguais. Ou seja, todas as raízes da equação serão as raízes da equação. f(x) = g(x) A afirmação inversa não é verdadeira, quando Oh)< 0 e valores fracionários f(x) E g(x) expressões Oh) f(x) E
Oh) g(x) perder o significado. Ou seja, ao passar de para f(x) = g(x)(para e raízes estranhas podem aparecer, que precisam ser excluídas comparando-se com a equação original. E casos uma = 0, uma = 1, uma = -1 precisam ser considerados separadamente.
Então, para solução completa equações consideramos os casos:
uma(x) = O f(x) E g(x) serão números positivos, então esta é a solução. Caso contrário, não
uma(x) = 1. As raízes desta equação também são as raízes da equação original.
uma(x) = -1. Se, para um valor de x que satisfaça esta equação, f(x) E g(x) são números inteiros da mesma paridade (ambos pares ou ímpares), então esta é a solução. Caso contrário, não
Quando e resolvemos a equação f(x)= g(x) e substituindo os resultados obtidos na equação original cortamos as raízes estranhas.
Exemplos de resolução de equações de potência exponencial.
Exemplo nº 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. porque 3 > 0 e 3 2 > 0, então x 1 = 3 é a solução.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Ambos os indicadores são pares. Esta solução é x 3 = 1.
4)x - 3? 0 e x? ± 1. x = x 2, x = 0 ou x = 1. Para x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - esta solução está correta: x 4 = 0. Para x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - esta solução está correta x 5 = 1.
Resposta: 0, 1, 2, 3, 4.
Exemplo nº 2.
Por definição de aritmética raiz quadrada: x - 1 ? 0,x? 1.
1) x - 1 = 0 ou x = 1, = 0, 0 0 não é uma solução.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 não cabe em ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - não há raízes.
Universidade Estadual de Belgorod
DEPARTAMENTO álgebra, teoria dos números e geometria
Tópico: Equações de potência exponencial e desigualdades.
Tese aluno da Faculdade de Física e Matemática
Supervisor Científico:
______________________________
Revisor: _______________________________
________________________
Belgorod. 2006
Introdução | 3 | ||
Assunto EU. | Análise da literatura sobre o tema da pesquisa. | ||
Assunto II. | Funções e suas propriedades utilizadas na resolução de equações e inequações exponenciais. | ||
I.1. | Função de potência e suas propriedades. | ||
I.2. | Função exponencial e suas propriedades. | ||
Assunto III. | Resolução de equações de potência exponencial, algoritmo e exemplos. | ||
Assunto 4. | Resolução de desigualdades exponenciais, plano de solução e exemplos. | ||
Assunto V. | Experiência na condução de aulas com escolares sobre o tema: “Resolução de equações e inequações exponenciais”. | ||
V. 1. | Material educativo. | ||
V. 2. | Problemas para solução independente. | ||
Conclusão. | Conclusões e sugestões. | ||
Lista de literatura usada. | |||
Aplicativos |
Introdução.
“...a alegria de ver e compreender...”
A. Einstein.
Neste trabalho, tentei transmitir a minha experiência como professor de matemática, para transmitir, pelo menos até certo ponto, a minha atitude em relação ao seu ensino - um empreendimento humano em que a ciência matemática, a pedagogia, a didática, a psicologia e até a filosofia estão surpreendentemente interligadas.
Tive a oportunidade de trabalhar com crianças e graduados, com crianças nos postes desenvolvimento intelectual: aqueles que estavam registrados em um psiquiatra e que realmente se interessavam por matemática
Tive a oportunidade de resolver muitos problemas metodológicos. Vou tentar falar sobre aqueles que consegui resolver. Mas ainda mais falharam, e mesmo naquelas que parecem ter sido resolvidas, surgem novas questões.
Mas ainda mais importantes do que a experiência em si são as reflexões e dúvidas do professor: por que é exatamente assim, esta experiência?
E o verão agora é diferente e o desenvolvimento da educação tornou-se mais interessante. “Sob os Júpiteres” hoje não é uma busca por um sistema mítico ideal de ensino de “todos e tudo”, mas a própria criança. Mas então – necessariamente – o professor.
No curso escolar de álgebra e análise iniciada, do 10º ao 11º ano, com passando no Exame Estadual Unificado por curso ensino médio e nos vestibulares há equações e desigualdades contendo uma incógnita na base e expoentes - são equações e desigualdades exponenciais.
Eles recebem pouca atenção na escola; praticamente não há trabalhos sobre esse tema nos livros didáticos. Porém, dominar a técnica de resolvê-los, me parece, é muito útil: aumenta a capacidade mental e criatividade estudantes, horizontes completamente novos estão se abrindo diante de nós. Ao resolver problemas, os alunos adquirem primeiras habilidades trabalho de pesquisa, sua cultura matemática é enriquecida e suas habilidades de pensamento lógico se desenvolvem. Os alunos desenvolvem qualidades de personalidade como determinação, estabelecimento de metas e independência, que serão úteis para eles mais tarde na vida. E também há repetição, ampliação e assimilação profunda do material didático.
Comecei a trabalhar neste tópico para minha pesquisa de tese escrevendo meu curso. No decorrer do qual estudei e analisei profundamente a literatura matemática sobre este tópico, identifiquei os mais método adequado resolver equações e inequações exponenciais.
Está no fato de que, além da abordagem geralmente aceita ao resolver equações exponenciais (a base é considerada maior que 0) e ao resolver as mesmas desigualdades (a base é considerada maior que 1 ou maior que 0, mas menor que 1) , também são considerados casos quando as bases são negativas, iguais a 0 e 1.
Uma análise das provas escritas dos alunos mostra que a falta de cobertura da questão do valor negativo do argumento de uma função exponencial nos manuais escolares causa-lhes uma série de dificuldades e conduz a erros. E também têm problemas na fase de sistematização dos resultados obtidos, onde, devido à transição para uma equação - uma consequência ou uma desigualdade - uma consequência, podem surgir raízes estranhas. Para eliminar erros, utilizamos um teste utilizando a equação ou desigualdade original e um algoritmo para resolver equações exponenciais, ou um plano para resolver desigualdades exponenciais.
Para que os alunos sejam aprovados nos exames finais e de ingresso, acredito que seja necessário prestar mais atenção na resolução de equações e inequações exponenciais em sessões de treinamento, ou adicionalmente em disciplinas eletivas e clubes.
Por isso tópico , meu teseé definido da seguinte forma: “Equações e desigualdades de potência exponencial”.
Metas deste trabalho são:
1. Analise a literatura sobre este tema.
2. Dê análise completa resolver equações e inequações exponenciais.
3. Forneça um número suficiente de exemplos de vários tipos sobre este tópico.
4. Verificar nas aulas presenciais, eletivas e de clube como serão percebidos os métodos propostos para resolução de equações e desigualdades exponenciais. Dê recomendações apropriadas para estudar este tópico.
Assunto Nossa pesquisa consiste em desenvolver uma metodologia para resolução de equações e inequações exponenciais.
O objetivo e o tema do estudo exigiam a resolução dos seguintes problemas:
1. Estude a literatura sobre o tema: “Equações e desigualdades de potência exponencial”.
2. Dominar as técnicas de resolução de equações e inequações exponenciais.
3. Selecione o material de treinamento e desenvolva um sistema de exercícios níveis diferentes sobre o tema: “Resolvendo equações e desigualdades exponenciais”.
Durante a pesquisa da tese, foram analisados mais de 20 trabalhos sobre o uso de vários métodos resolver equações e inequações exponenciais. A partir daqui nós chegamos.
Plano de tese:
Introdução.
Capítulo I. Análise da literatura sobre o tema de pesquisa.
Capítulo II. Funções e suas propriedades utilizadas na resolução de equações e inequações exponenciais.
II.1. Função de potência e suas propriedades.
II.2. Função exponencial e suas propriedades.
Capítulo III. Resolução de equações de potência exponencial, algoritmo e exemplos.
Capítulo IV. Resolução de desigualdades exponenciais, plano de solução e exemplos.
Capítulo V. Experiência de ministrar aulas com alunos sobre o tema.
1.Material de treinamento.
2.Tarefas para solução independente.
Conclusão. Conclusões e sugestões.
Lista de literatura usada.
O capítulo I analisa a literatura
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Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas dos poderes e suas propriedades.
Produto de um número um ocorre sobre si mesmo n vezes, podemos escrever esta expressão como a a… a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Equações de potência ou exponenciais– são equações em que as variáveis estão em potências (ou expoentes) e a base é um número.
Exemplos de equações exponenciais:
Neste exemplo, o número 6 é a base, está sempre na parte inferior e a variável; x grau ou indicador.
Vamos dar mais exemplos de equações exponenciais.
2x*5=10
16x - 4x - 6=0
Agora vamos ver como as equações exponenciais são resolvidas?
Vamos pegar uma equação simples:
2 x = 2 3
Este exemplo pode ser resolvido até na sua cabeça. Pode-se ver que x=3. Afinal, para que os lados esquerdo e direito sejam iguais, é preciso colocar o número 3 em vez de x.
Agora vamos ver como formalizar esta decisão:
2 x = 2 3
x = 3
Para resolver tal equação, removemos motivos idênticos(ou seja, dois) e anotou o que sobrou, são graus. Obtivemos a resposta que procurávamos.
Agora vamos resumir nossa decisão.
Algoritmo para resolver a equação exponencial:
1. Precisa verificar idêntico se a equação tem bases à direita e à esquerda. Se os motivos não forem os mesmos, procuramos opções para resolver este exemplo.
2. Depois que as bases se tornarem iguais, igualar graus e resolva a nova equação resultante.
Agora vamos ver alguns exemplos:
Vamos começar com algo simples.
As bases dos lados esquerdo e direito são iguais ao número 2, o que significa que podemos descartar a base e igualar as suas potências.
x+2=4 A equação mais simples é obtida.
x = 4 – 2
x=2
Resposta: x=2
No exemplo a seguir você pode ver que as bases são diferentes: 3 e 9.
3 3x - 9x+8 = 0
Primeiro, mova o nove para o lado direito, obtemos:
Agora você precisa fazer as mesmas bases. Sabemos que 9 = 3 2. Vamos usar a fórmula da potência (an) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Obtemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Agora está claro que nos lados esquerdo e direito as bases são iguais e iguais a três, o que significa que podemos descartá-las e igualar os graus.
3x=2x+16 obtemos a equação mais simples
3x - 2x=16
x=16
Resposta: x=16.
Vejamos o seguinte exemplo:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Em primeiro lugar, olhamos para as bases, bases dois e quatro. E precisamos que eles sejam iguais. Transformamos os quatro usando a fórmula (an) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
E também usamos uma fórmula a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adicione à equação:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Demos um exemplo de pelos mesmos motivos. Mas outros números 10 e 24 nos incomodam. Se você olhar com atenção poderá ver que no lado esquerdo temos 2 2x repetido, aqui está a resposta - podemos colocar 2 2x fora dos colchetes:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Vamos calcular a expressão entre colchetes:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Dividimos a equação inteira por 6:
Vamos imaginar 4=2 2:
2 2x = 2 2 bases são iguais, nós as descartamos e igualamos os graus.
2x = 2 é a equação mais simples. Dividimos por 2 e obtemos
x = 1
Resposta: x = 1.
Vamos resolver a equação:
9 x – 12*3 x +27= 0
Vamos transformar:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obtemos a equação:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Nossas bases são iguais, iguais a três. Neste exemplo, você pode ver que as três primeiras têm grau duas vezes (2x) que a segunda (apenas x). Neste caso você pode resolver método de substituição. Substituímos o número pelo menor grau:
Então 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Substituímos todas as potências x na equação por t:
t2 - 12t+27 = 0
Obtemos uma equação quadrática. Resolvendo através do discriminante, obtemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Voltando à variável x.
Tome t 1:
t 1 = 9 = 3x
Portanto,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo de t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Resposta: x 1 = 2; x 2 = 1.
No site você pode tirar dúvidas de interesse na seção AJUDA A DECIDE, com certeza responderemos.
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