Como você sabe, ao multiplicar expressões por potências, seus expoentes sempre somam (a b *a c = a b+c). Esta lei matemática foi derivada por Arquimedes e, mais tarde, no século VIII, o matemático Virasen criou uma tabela de expoentes inteiros. Foram eles que serviram para a descoberta dos logaritmos. Exemplos de uso desta função podem ser encontrados em quase todos os lugares onde você precisa simplificar multiplicações complicadas por meio de simples adição. Se você gastar 10 minutos lendo este artigo, explicaremos o que são logaritmos e como trabalhar com eles. Em linguagem simples e acessível.
Definição em matemática
Um logaritmo é uma expressão da seguinte forma: log a b=c, ou seja, o logaritmo de qualquer número não negativo (ou seja, qualquer positivo) “b” elevado à sua base “a” é considerado a potência “c ” para o qual é necessário elevar a base “a” para finalmente obter o valor “b”. Vamos analisar o logaritmo usando exemplos, digamos que exista uma expressão log 2 8. Como encontrar a resposta? É muito simples, você precisa encontrar uma potência tal que de 2 até a potência necessária você obtenha 8. Depois de fazer alguns cálculos de cabeça, obtemos o número 3! E isso é verdade, porque 2 elevado a 3 dá a resposta como 8.
Tipos de logaritmos
Para muitos alunos e estudantes, este tema parece complicado e incompreensível, mas na verdade os logaritmos não são tão assustadores, o principal é compreender o seu significado geral e lembrar as suas propriedades e algumas regras. Existem três tipos separados de expressões logarítmicas:
- Logaritmo natural Em a, onde a base é o número de Euler (e = 2,7).
- Decimal a, onde a base é 10.
- Logaritmo de qualquer número b na base a>1.
Cada um deles é resolvido de forma padrão, incluindo simplificação, redução e posterior redução a um único logaritmo usando teoremas logarítmicos. Para obter os valores corretos dos logaritmos, deve-se lembrar suas propriedades e a sequência de ações ao resolvê-los.
Regras e algumas restrições
Na matemática, existem diversas regras-restrições que são aceitas como um axioma, ou seja, não são passíveis de discussão e são verdadeiras. Por exemplo, é impossível dividir números por zero e também é impossível extrair a raiz par de números negativos. Os logaritmos também têm suas próprias regras, seguindo as quais você pode aprender facilmente a trabalhar mesmo com expressões logarítmicas longas e amplas:
- A base “a” deve ser sempre maior que zero, e não igual a 1, caso contrário a expressão perderá o sentido, pois “1” e “0” em qualquer grau são sempre iguais aos seus valores;
- se a > 0, então a b >0, verifica-se que “c” também deve ser maior que zero.
Como resolver logaritmos?
Por exemplo, a tarefa é encontrar a resposta para a equação 10 x = 100. Isso é muito fácil, você precisa escolher uma potência elevando o número dez ao qual obtemos 100. Isso, claro, é 10 2 = 100.
Agora vamos representar esta expressão na forma logarítmica. Obtemos log 10 100 = 2. Ao resolver logaritmos, todas as ações praticamente convergem para encontrar a potência à qual é necessário inserir a base do logaritmo para obter um determinado número.
Para determinar com precisão o valor de um grau desconhecido, você precisa aprender a trabalhar com uma tabela de graus. Parece assim:
Como você pode ver, alguns expoentes podem ser adivinhados intuitivamente se você tiver uma mente técnica e conhecimento da tabuada. Porém, para valores maiores você precisará de uma mesa de potência. Pode ser usado até mesmo por aqueles que não sabem nada sobre tópicos matemáticos complexos. A coluna da esquerda contém números (base a), a linha superior de números é o valor da potência c à qual o número a é elevado. Na interseção, as células contêm os valores numéricos que são a resposta (a c =b). Vamos pegar, por exemplo, a primeira célula com o número 10 e elevá-la ao quadrado, obtemos o valor 100, que é indicado na intersecção de nossas duas células. Tudo é tão simples e fácil que até o mais verdadeiro humanista entenderá!
Equações e desigualdades
Acontece que sob certas condições o expoente é o logaritmo. Portanto, quaisquer expressões numéricas matemáticas podem ser escritas como uma igualdade logarítmica. Por exemplo, 3 4 =81 pode ser escrito como o logaritmo de base 3 de 81 igual a quatro (log 3 81 = 4). Para poderes negativos as regras são as mesmas: 2 -5 = 1/32 escrevemos como um logaritmo, obtemos log 2 (1/32) = -5. Uma das seções mais fascinantes da matemática é o tópico dos “logaritmos”. Veremos exemplos e soluções de equações a seguir, imediatamente após estudar suas propriedades. Agora vamos ver como são as desigualdades e como distingui-las das equações.
Dada uma expressão da seguinte forma: log 2 (x-1) > 3 - é desigualdade logarítmica, já que o valor desconhecido "x" está sob o sinal do logaritmo. E também na expressão duas quantidades são comparadas: o logaritmo do número desejado na base dois é maior que o número três.
A diferença mais importante entre equações logarítmicas e desigualdades é que equações com logaritmos (por exemplo, o logaritmo 2 x = √9) implicam um ou mais valores numéricos específicos na resposta, enquanto ao resolver uma desigualdade, tanto a faixa de aceitável os valores e os pontos são determinados quebrando esta função. Como consequência, a resposta não é um simples conjunto de números individuais, como na resposta a uma equação, mas uma série contínua ou conjunto de números.
Teoremas básicos sobre logaritmos
Ao resolver problemas primitivos de encontrar os valores do logaritmo, suas propriedades podem não ser conhecidas. Porém, quando se trata de equações ou desigualdades logarítmicas, antes de tudo, é necessário compreender claramente e aplicar na prática todas as propriedades básicas dos logaritmos. Veremos exemplos de equações mais tarde. Vejamos primeiro cada propriedade com mais detalhes.
- A identidade principal fica assim: a logaB =B. Aplica-se apenas quando a é maior que 0, diferente de um, e B é maior que zero.
- O logaritmo do produto pode ser representado na seguinte fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Neste caso, a condição obrigatória é: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Você pode fornecer uma prova para esta fórmula logarítmica, com exemplos e solução. Seja log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, então a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriedades de graus ), e então por definição: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que é o que precisava ser provado.
- O logaritmo do quociente é assim: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- O teorema na forma de uma fórmula assume próxima visualização: log a q b n = n/q log a b.
Esta fórmula é chamada de “propriedade do grau do logaritmo”. Assemelha-se às propriedades dos graus comuns, e não é surpreendente, porque toda a matemática é baseada em postulados naturais. Vejamos a prova.
Seja log a b = t, resulta a t =b. Se elevarmos ambas as partes à potência m: a tn = b n ;
mas como a tn = (a q) nt/q = b n, portanto log a q b n = (n*t)/t, então log a q b n = n/q log a b. O teorema foi provado.
Exemplos de problemas e desigualdades
Os tipos mais comuns de problemas sobre logaritmos são exemplos de equações e desigualdades. Eles são encontrados em quase todos os livros de problemas e também são parte obrigatória dos exames de matemática. Para admissão na universidade ou aprovação exames de admissão em matemática você precisa saber como resolver esses problemas corretamente.
Infelizmente, não existe um plano ou esquema único para resolver e determinar o valor desconhecido do logaritmo, mas certas regras podem ser aplicadas a cada desigualdade matemática ou equação logarítmica. Em primeiro lugar, você deve descobrir se a expressão pode ser simplificada ou levar a aparência geral. Simplifique os longos expressões logarítmicas possível se você usar suas propriedades corretamente. Vamos conhecê-los rapidamente.
Ao resolver equações logarítmicas, devemos determinar que tipo de logaritmo temos: uma expressão de exemplo pode conter um logaritmo natural ou decimal.
Aqui estão os exemplos ln100, ln1026. A solução deles se resume ao fato de que eles precisam determinar a potência à qual a base 10 será igual a 100 e 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturais, você precisa aplicar identidades logarítmicas ou suas propriedades. Vejamos exemplos de resolução de problemas logarítmicos de vários tipos.
Como usar fórmulas de logaritmo: com exemplos e soluções
Então, vejamos exemplos de uso dos teoremas básicos sobre logaritmos.
- A propriedade do logaritmo de um produto pode ser utilizada em tarefas onde é necessário expandir ótimo valor números b em fatores mais simples. Por exemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A resposta é 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como você pode ver, usando a quarta propriedade da potência do logaritmo, conseguimos resolver uma expressão aparentemente complexa e insolúvel. Você só precisa fatorar a base e depois retirar os valores do expoente do sinal do logaritmo.
Tarefas do Exame Estadual Unificado
Logaritmos são frequentemente encontrados em vestibulares, especialmente muitos problemas logarítmicos no Exame Estadual Unificado (exame estadual para todos os graduados). Normalmente, essas tarefas estão presentes não apenas na parte A (a parte de teste mais fácil do exame), mas também na parte C (as tarefas mais complexas e volumosas). O exame exige conhecimento preciso e perfeito do tema “Logaritmos naturais”.
Exemplos e soluções para problemas são retirados de documentos oficiais Opções do Exame Estadual Unificado. Vamos ver como essas tarefas são resolvidas.
Dado log 2 (2x-1) = 4. Solução:
vamos reescrever a expressão, simplificando-a um pouco log 2 (2x-1) = 2 2, pela definição do logaritmo obtemos que 2x-1 = 2 4, portanto 2x = 17; x = 8,5.
- É melhor reduzir todos os logaritmos à mesma base para que a solução não seja complicada e confusa.
- Todas as expressões sob o sinal do logaritmo são indicadas como positivas, portanto, quando o expoente de uma expressão que está sob o sinal do logaritmo e como sua base é retirado como multiplicador, a expressão restante sob o logaritmo deve ser positiva.
O logaritmo de um número positivo b na base a (a> 0, a não é igual a 1) é um número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Observe que o logaritmo de um número não positivo é indefinido. Além disso, a base do logaritmo deve ser um número positivo que não seja igual a 1. Por exemplo, se elevarmos -2 ao quadrado, obteremos o número 4, mas isso não significa que o logaritmo de base -2 de 4 seja igual para 2.
Identidade logarítmica básica
um log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)É importante que o âmbito de definição dos lados direito e esquerdo desta fórmula seja diferente. O lado esquerdo é definido apenas para b>0, a>0 e a ≠ 1. O lado direito é definido para qualquer b e não depende de a. Assim, a aplicação da “identidade” logarítmica básica na resolução de equações e desigualdades pode levar a uma mudança no DO.
Duas consequências óbvias da definição de logaritmo
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Na verdade, ao elevar o número a à primeira potência, obtemos o mesmo número, e ao elevá-lo à potência zero, obtemos um.
Logaritmo do produto e logaritmo do quociente
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Gostaria de alertar os alunos contra o uso impensado dessas fórmulas ao resolver equações logarítmicas e desigualdades. Ao usá-los “da esquerda para a direita”, o ODZ se estreita, e ao passar da soma ou diferença dos logaritmos para o logaritmo do produto ou quociente, o ODZ se expande.
Na verdade, a expressão log a (f (x) g (x)) é definida em dois casos: quando ambas as funções são estritamente positivas ou quando f (x) e g (x) são ambos menores que zero.
Transformando esta expressão na soma log a f (x) + log a g (x), somos obrigados a nos limitar apenas ao caso em que f(x)>0 e g(x)>0. Há um estreitamento da faixa de valores aceitáveis, o que é categoricamente inaceitável, pois pode levar à perda de soluções. Um problema semelhante existe para a fórmula (6).
O grau pode ser retirado do sinal do logaritmo
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)E mais uma vez gostaria de apelar à precisão. Considere o seguinte exemplo:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
O lado esquerdo da igualdade é obviamente definido para todos os valores de f(x), exceto zero. O lado direito é apenas para f(x)>0! Ao retirar o grau do logaritmo, estreitamos novamente a ODZ. O procedimento inverso leva a uma expansão da faixa de valores aceitáveis. Todas estas observações aplicam-se não apenas à potência 2, mas também a qualquer potência par.
Fórmula para mudar para uma nova fundação
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Aquele raro caso em que o ODZ não muda durante a transformação. Se você escolheu a base c com sabedoria (positiva e diferente de 1), a fórmula para mudar para uma nova base é completamente segura.
Se escolhermos o número b como a nova base c, obteremos um importante caso especial fórmulas (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Alguns exemplos simples com logaritmos
Exemplo 1. Calcule: log2 + log50.
Solução. log2 + log50 = log100 = 2. Utilizamos a fórmula da soma dos logaritmos (5) e a definição do logaritmo decimal.
Exemplo 2. Calcule: lg125/lg5.
Solução. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos a fórmula para passar para uma nova base (8).
Tabela de fórmulas relacionadas a logaritmos
| um log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Esta poderia ser, por exemplo, uma calculadora do conjunto básico de programas sistema operacional Windows. O link para iniciá-lo está oculto no menu principal do SO - abra-o clicando no botão “Iniciar”, depois abra a seção “Programas”, vá para a subseção “Padrão” e depois para “Utilitários” seção e, por fim, clique no item “Calculadora” " Em vez de usar o mouse e navegar pelos menus, você pode usar o teclado e a caixa de diálogo de inicialização do programa - pressione a combinação de teclas WIN + R, digite calc (este é o nome do arquivo executável da calculadora) e pressione Enter.
Mude a interface da calculadora para o modo avançado, que permite fazer... Por padrão ele abre na visualização “normal”, mas você precisa de “engenharia” ou “ ” (dependendo da versão do sistema operacional que você está usando). Expanda a seção “Visualizar” no menu e selecione a linha apropriada.
Insira o argumento cujo valor natural você deseja avaliar. Isso pode ser feito a partir do teclado ou clicando nos botões correspondentes na interface da calculadora na tela.
Clique no botão ln - o programa calculará o logaritmo na base e e mostrará o resultado.
Use uma das calculadoras como alternativa para calcular o valor do logaritmo natural. Por exemplo, aquele localizado em http://calc.org.ua. Sua interface é extremamente simples - existe um único campo de entrada onde você precisa digitar o valor do número cujo logaritmo você precisa calcular. Entre os botões, encontre e clique naquele que diz ln. O script desta calculadora não requer o envio de dados ao servidor e uma resposta, portanto você receberá o resultado do cálculo quase que instantaneamente. A única característica que deve ser levada em consideração é que o separador entre as partes fracionária e inteira do número inserido deve ser um ponto, e não .
O termo " logaritmo" vem de duas palavras gregas, uma que significa "número" e a outra que significa "proporção". Denota a operação matemática de cálculo de uma quantidade variável (expoente) à qual um valor constante (base) deve ser elevado para obter o número indicado sob o sinal logaritmo UM. Se a base for igual a uma constante matemática chamada número "e", então logaritmo chamado de “natural”.
Você vai precisar
- Acesso à Internet, Microsoft Office Excel ou calculadora.
Instruções
Use as muitas calculadoras disponíveis na Internet - esta talvez seja uma maneira fácil de calcular a natural. Você não precisa procurar o serviço adequado, pois muitos motores de busca e eles próprios possuem calculadoras integradas que são bastante adequadas para trabalhar com logaritmo amigo. Por exemplo, vá para a página principal do maior mecanismo de busca online - Google. Nenhum botão é necessário aqui para inserir valores ou selecionar funções; basta inserir a ação matemática desejada no campo de entrada da consulta. Digamos, para calcular logaritmo e o número 457 na base “e”, digite ln 457 - isso será suficiente para que o Google exiba com precisão de oito casas decimais (6,12468339) mesmo sem pressionar o botão para enviar uma solicitação ao servidor.
Use a função integrada apropriada se precisar calcular o valor de um valor natural logaritmo e ocorre ao trabalhar com dados no popular editor de planilhas Microsoft Office Excel. Esta função é chamada aqui usando a notação comum logaritmo e em maiúsculas - LN. Selecione a célula na qual o resultado do cálculo deve ser exibido e insira um sinal de igual - é assim que neste editor de planilhas os registros devem começar nas células contidas na subseção “Padrão” da seção “Todos os Programas” do menu principal. Mude a calculadora para um modo mais funcional pressionando Alt + 2. Em seguida, insira o valor, natural logaritmo que deseja calcular e clique na interface do programa no botão indicado pelos símbolos ln. O aplicativo realizará o cálculo e exibirá o resultado.
Vídeo sobre o tema
muitas vezes pega um número e = 2,718281828 . Logaritmos baseados nesta base são chamados natural. Ao realizar cálculos com logaritmos naturais, é comum operar com o sinal eun, não registro; enquanto o número 2,718281828 , definindo a base, não são indicados.
Em outras palavras, a formulação ficará assim: logaritmo natural números X- este é um expoente ao qual um número deve ser elevado e obter x.
Então, Em(7.389...)= 2, já que e 2 =7,389... . Logaritmo natural do próprio número e= 1 porque e 1 =e, e o logaritmo natural da unidade é zero, uma vez que e 0 = 1.
O próprio número e define o limite de uma sequência limitada monotônica
calcula-se que e = 2,7182818284... .
Muitas vezes, para fixar um número na memória, os dígitos do número desejado são associados a alguma data pendente. Velocidade de memorização dos primeiros nove dígitos de um número e após a vírgula aumentará se você notar que 1828 é o ano de nascimento de Leão Tolstói!
Hoje existem tabelas bastante completas de logaritmos naturais.
Gráfico de logaritmo natural(funções você =Em x) é uma consequência do gráfico exponencial como uma imagem espelhada da linha reta y = x e tem o formato:
O logaritmo natural pode ser encontrado para cada número real positivo um como a área sob a curva sim = 1/x de 1 para um.
O caráter elementar desta formulação, que é consistente com muitas outras fórmulas nas quais o logaritmo natural está envolvido, foi o motivo da formação do nome “natural”.
Se você analisar logaritmo natural, como uma função real de uma variável real, então ela atua função inversa a uma função exponencial, que se reduz às identidades:
eln(uma) =uma (uma>0)
ln(e a) =uma
Por analogia com todos os logaritmos, o logaritmo natural converte a multiplicação em adição, a divisão em subtração:
Em(xy) = Em(x) + Em(sim)
Em(x/y)= lnx - lny
O logaritmo pode ser encontrado para toda base positiva que não seja igual a um, não apenas para e, mas os logaritmos para outras bases diferem do logaritmo natural apenas por um fator constante e geralmente são definidos em termos do logaritmo natural.
Tendo analisado gráfico de logaritmo natural, descobrimos que existe para valores positivos da variável x. Aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.
No x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito ( -∞ ).No x → +∞ o limite do logaritmo natural é mais infinito ( + ∞ ). Em geral x O logaritmo aumenta lentamente. Qualquer função de energia xá com um expoente positivo um aumenta mais rápido que o logaritmo. O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não possui extremos.
Uso logaritmos naturais muito racional ao passar matemática superior. Assim, usar o logaritmo é conveniente para encontrar a resposta para equações nas quais as incógnitas aparecem como expoentes. O uso de logaritmos naturais nos cálculos permite simplificar bastante grande número fórmulas matemáticas. Logaritmos na base e estão presentes na resolução de um número significativo de problemas físicos e são naturalmente incluídos na descrição matemática de processos químicos, biológicos e outros individuais. Assim, os logaritmos são usados para calcular a constante de decaimento para uma meia-vida conhecida, ou para calcular o tempo de decaimento na resolução de problemas de radioatividade. Eles desempenham um papel de liderança em muitas áreas da matemática e ciências práticas, são utilizados no campo das finanças para resolver grande número tarefas, incluindo o cálculo de juros compostos.
Nada mal, certo? Enquanto os matemáticos procuram palavras para lhe dar uma definição longa e confusa, vamos dar uma olhada nesta definição simples e clara.
O número e significa crescimento
O número e significa crescimento contínuo. Como vimos no exemplo anterior, e x permite-nos vincular juros e tempo: 3 anos a 100% de crescimento é o mesmo que 1 ano a 300%, assumindo “juros compostos”.
Você pode substituir qualquer porcentagem e valores de tempo (50% por 4 anos), mas é melhor definir a porcentagem como 100% por conveniência (resulta 100% por 2 anos). Ao passar para 100%, podemos focar apenas no componente de tempo:
e x = e por cento * tempo = e 1,0 * tempo = e tempo
Obviamente e x significa:
- quanto minha contribuição crescerá após x unidades de tempo (assumindo 100% de crescimento contínuo).
- por exemplo, após 3 intervalos de tempo receberei e 3 = 20,08 vezes mais “coisas”.
e x é um fator de escala que mostra até que nível cresceremos em x período de tempo.
Logaritmo natural significa tempo
O logaritmo natural é o inverso de e, um termo sofisticado para oposto. Falando em peculiaridades; em latim é chamado logarithmus naturali, daí a abreviatura ln.
E o que significa esta inversão ou oposto?
- e x nos permite substituir o tempo e obter crescimento.
- ln(x) nos permite pegar o crescimento ou a receita e descobrir o tempo necessário para gerá-lo.
Por exemplo:
- e 3 é igual a 20,08. Após três períodos de tempo, teremos 20,08 vezes mais do que começamos.
- ln(20/08) seria aproximadamente 3. Se você estiver interessado em um crescimento de 20,08 vezes, precisará de 3 períodos de tempo (novamente, assumindo 100% de crescimento contínuo).
Ainda está lendo? O logaritmo natural mostra o tempo necessário para atingir o nível desejado.
Esta contagem logarítmica não padrão
Você já examinou logaritmos - eles são criaturas estranhas. Como eles conseguiram transformar a multiplicação em adição? E quanto à divisão em subtração? Vamos ver.
A que ln(1) é igual? Intuitivamente, a questão é: quanto tempo devo esperar para conseguir 1x mais do que tenho?
Zero. Zero. De jeito nenhum. Você já o tem uma vez. Não leva muito tempo para passar do nível 1 ao nível 1.
- ln(1) = 0
Ok, e o valor fracionário? Quanto tempo levará para termos metade da quantidade disponível? Sabemos que com 100% de crescimento contínuo, ln(2) significa o tempo que leva para dobrar. Se nós vamos voltar no tempo(ou seja, esperar um período de tempo negativo), obteremos metade do que temos.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Lógico, certo? Se voltarmos (no tempo) a 0,693 segundos, encontraremos metade do valor disponível. Em geral, você pode virar a fração e obter um valor negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Isso significa que se voltarmos no tempo até 1,09 vezes, encontraremos apenas um terço do número atual.
Ok, e quanto ao logaritmo de um número negativo? Quanto tempo leva para “crescer” uma colônia de bactérias de 1 a -3?
Isso é impossível! Você não pode obter uma contagem negativa de bactérias, pode? Você pode obter um máximo (er...mínimo) de zero, mas não há como obter um número negativo dessas criaturinhas. EM número negativo bactérias simplesmente não faz sentido.
- ln(número negativo) = indefinido
"Indefinido" significa que não há tempo que seria necessário esperar para obter um valor negativo.
A multiplicação logarítmica é simplesmente hilária
Quanto tempo levará para crescer quatro vezes? Claro, você pode simplesmente pegar ln(4). Mas isso é muito simples, iremos por outro caminho.
Você pode pensar no crescimento quádruplo como duplicação (exigindo ln(2) unidades de tempo) e depois duplicando novamente (exigindo outras ln(2) unidades de tempo):
- Hora de crescer 4 vezes = ln(4) = Hora de dobrar e depois dobrar novamente = ln(2) + ln(2)
Interessante. Qualquer taxa de crescimento, digamos 20, pode ser considerada uma duplicação logo após um aumento de 10x. Ou crescimento de 4 vezes e depois de 5 vezes. Ou triplicando e depois aumentando 6.666 vezes. Veja o padrão?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
O logaritmo de A vezes B é log(A) + log(B). Esta relação faz sentido imediatamente quando vista em termos de crescimento.
Se você estiver interessado em um crescimento de 30x, pode esperar ln(30) de uma só vez ou esperar ln(3) para triplicar e depois outro ln(10) para 10x. O resultado final é o mesmo, então é claro que o tempo deve permanecer constante (e permanece).
E quanto à divisão? Especificamente, ln(5/3) significa: quanto tempo levará para crescer 5 vezes e depois obter 1/3 disso?
Ótimo, o crescimento de 5 vezes é ln(5). Um aumento de 1/3 vezes levará -ln(3) unidades de tempo. Então,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Isso significa: deixe crescer 5 vezes e depois “volte no tempo” até o ponto em que resta apenas um terço dessa quantidade, para obter 5/3 de crescimento. Em geral acontece
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Espero que a estranha aritmética dos logaritmos esteja começando a fazer sentido para você: multiplicar taxas de crescimento torna-se adicionar unidades de tempo de crescimento, e dividir torna-se subtrair unidades de tempo. Não há necessidade de memorizar as regras, tente entendê-las.
Usando o logaritmo natural para crescimento arbitrário
Bem, é claro”, você diz, “tudo isso é bom se o crescimento for de 100%, mas e os 5% que eu recebo?”
Sem problemas. O “tempo” que calculamos com ln() é na verdade uma combinação de taxa de juros e tempo, o mesmo X da equação e x. Decidimos apenas definir a porcentagem como 100% para simplificar, mas podemos usar qualquer número.
Digamos que queremos alcançar um crescimento de 30x: pegue ln(30) e obtenha 3,4. Isso significa:
- e x = altura
- e 3,4 = 30
Obviamente, esta equação significa que “100% de retorno em 3,4 anos proporciona um crescimento de 30x”. Podemos escrever esta equação da seguinte forma:
- e x = taxa e*tempo
- e 100% * 3,4 anos = 30
Podemos alterar os valores de “aposta” e “tempo”, desde que a aposta*tempo permaneça 3,4. Por exemplo, se estamos interessados num crescimento de 30x, quanto tempo teremos de esperar a uma taxa de juro de 5%?
- ln(30) = 3,4
- taxa * tempo = 3,4
- 0,05 * tempo = 3,4
- tempo = 3,4 / 0,05 = 68 anos
Eu raciocino assim: "ln(30) = 3,4, então com 100% de crescimento serão necessários 3,4 anos. Se eu dobrar a taxa de crescimento, o tempo necessário será reduzido pela metade."
- 100% por 3,4 anos = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% em 1,7 anos = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50% por 6,8 anos = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5% acima de 68 anos = 0,05 * 68 = 3,4.
Ótimo, certo? O logaritmo natural pode ser usado com qualquer taxa de juros e tempo porque seu produto permanece constante. Você pode mover os valores das variáveis quanto quiser.
Exemplo legal: Regra dos setenta e dois
A Regra dos Setenta e Dois é uma técnica matemática que permite estimar quanto tempo levará para o seu dinheiro dobrar. Agora vamos deduzi-lo (sim!), e além disso, tentaremos compreender a sua essência.
Quanto tempo levará para dobrar seu dinheiro com juros de 100% compostos anualmente?
Ops. Usamos o logaritmo natural para o caso de crescimento contínuo, e agora você está falando de capitalização anual? Esta fórmula não se tornaria inadequada para tal caso? Sim, será, mas para taxas de juro reais como 5%, 6% ou mesmo 15%, a diferença entre a capitalização anual e o crescimento contínuo será pequena. Portanto, a estimativa aproximada funciona, aproximadamente, então vamos fingir que temos uma acumulação completamente contínua.
Agora a questão é simples: com que rapidez você pode dobrar com um crescimento de 100%? ln(2) = 0,693. São necessárias 0,693 unidades de tempo (anos no nosso caso) para duplicar o nosso valor com um aumento contínuo de 100%.
Então, e se a taxa de juros não for 100%, mas digamos 5% ou 10%?
Facilmente! Como aposta * tempo = 0,693, duplicaremos o valor:
- taxa * tempo = 0,693
- tempo = 0,693 / aposta
Acontece que se o crescimento for de 10%, serão necessários 0,693 / 0,10 = 6,93 anos para dobrar.
Para simplificar os cálculos, vamos multiplicar ambos os lados por 100, então podemos dizer “10” em vez de “0,10”:
- tempo para dobrar = 69,3/aposta, onde a aposta é expressa em percentagem.
Agora é hora de dobrar a uma taxa de 5%, 69,3/5 = 13,86 anos. No entanto, 69,3 não é o dividendo mais conveniente. Vamos escolher um número próximo, 72, que seja conveniente para dividir por 2, 3, 4, 6, 8 e outros números.
- hora de dobrar = 72/aposta
que é a regra dos setenta e dois. Tudo está coberto.
Se você precisar encontrar o tempo para triplicar, você pode usar ln(3) ~ 109,8 e obter
- tempo para triplicar = 110/aposta
O que é outro regra útil. A "Regra dos 72" se aplica à altura taxas de juros, crescimento populacional, culturas bacterianas e tudo que cresce exponencialmente.
O que vem a seguir?
Esperamos que o logaritmo natural agora faça sentido para você – ele mostra o tempo que leva para qualquer número crescer exponencialmente. Acho que é chamado de natural porque e é uma medida universal de crescimento, então ln pode ser considerado uma forma universal de determinar quanto tempo leva para crescer.
Cada vez que você vir ln(x), lembre-se “do tempo que leva para crescer X vezes”. Num próximo artigo descreverei e e ln em conjunto para que o cheiro fresco da matemática preencha o ar.
Adendo: Logaritmo natural de e
Teste rápido: o que é ln(e)?
- um robô matemático dirá: como eles são definidos como o inverso um do outro, é óbvio que ln(e) = 1.
- pessoa compreensiva: ln(e) é o número de vezes que leva para crescer "e" vezes (cerca de 2,718). No entanto, o próprio número e é uma medida de crescimento por um fator de 1, então ln(e) = 1.
Pense com clareza.
9 de setembro de 2013
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