C 24 definição de equação quadrática. Equações quadráticas

Descrição bibliográfica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Métodos de solução equações quadráticas// Jovem cientista. 2016. Nº 6.1. P. 17-20..02.2019).



Nosso projeto é sobre maneiras de resolver equações quadráticas. Objetivo do projeto: aprender a resolver equações quadráticas de formas não incluídas no currículo escolar. Tarefa: encontrar tudo maneiras possíveis resolvendo equações quadráticas e aprendendo como usá-las você mesmo e apresentando esses métodos aos seus colegas.

O que são “equações quadráticas”?

Equação quadrática- equação da forma machado2 + bx + c = 0, Onde um, b, c- alguns números ( uma ≠ 0), x- desconhecido.

Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação quadrática.

• a é chamado de primeiro coeficiente;
• b é chamado de segundo coeficiente;
• c - membro gratuito.

Quem foi o primeiro a “inventar” equações quadráticas?

Algumas técnicas algébricas para resolver equações lineares e quadráticas eram conhecidas há 4.000 anos na Antiga Babilônia. A descoberta de antigas tabuletas de argila da Babilônia, datadas de algum lugar entre 1.800 e 1.600 aC, fornece a evidência mais antiga do estudo de equações quadráticas. As mesmas tabuinhas contêm métodos para resolver certos tipos de equações quadráticas.

A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau, já na antiguidade, foi causada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas dos terrenos e terraplenagem de natureza militar, bem como com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática.

A regra para resolver estas equações, estabelecida nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a esta regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora apresentam apenas problemas com soluções apresentadas na forma de receitas, sem nenhuma indicação de como foram encontrados. Apesar de alto nível desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito de número negativo e métodos gerais resolvendo equações quadráticas.

Matemáticos babilônios por volta do século 4 aC. usou o método do complemento quadrado para resolver equações com raízes positivas. Por volta de 300 a.C. Euclides apresentou um método de solução geométrica mais geral. O primeiro matemático que encontrou soluções para equações com raízes negativas na forma fórmula algébrica, era um cientista indiano Brahmagupta(Índia, século VII d.C.).

Brahmagupta delineado regra geral soluções de equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica:

ax2 + bx = c, a>0

Os coeficientes nesta equação também podem ser negativos. O governo de Brahmagupta é essencialmente o mesmo que o nosso.

As competições públicas para resolver problemas difíceis eram comuns na Índia. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol ofusca as estrelas com seu brilho, um homem instruído ofuscará sua glória em assembléias públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos”. Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.

Em um tratado algébrico Al-Khwarizmié dada uma classificação de equações lineares e quadráticas. O autor conta 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:

1) “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax2 = bx.

2) “Quadrados são iguais a números”, ou seja, ax2 = c.

3) “As raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 = c.

4) “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax2 + c = bx.

5) “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 + bx = c.

6) “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c == ax2.

Para Al-Khwarizmi, que evitou o uso de números negativos, os termos de cada uma dessas equações são adendos e não subtraíveis. Neste caso, equações que não possuem soluções positivas obviamente não são levadas em consideração. O autor expõe métodos para resolver essas equações utilizando as técnicas de al-jabr e al-mukabal. A decisão dele, é claro, não coincide completamente com a nossa. Sem falar que é puramente retórico, deve-se notar, por exemplo, que ao resolver uma equação quadrática incompleta do primeiro tipo, Al-Khorezmi, como todos os matemáticos até o século XVII, não leva em consideração a solução zero, provavelmente porque na prática específica isso não importa nas tarefas. Ao resolver equações quadráticas completas, Al-Khwarizmi estabelece as regras para resolvê-las usando exemplos numéricos específicos e, em seguida, suas provas geométricas.

As formas para resolver equações quadráticas seguindo o modelo de Al-Khwarizmi na Europa foram estabelecidas pela primeira vez no “Livro do Ábaco”, escrito em 1202. Matemático italiano Leonardo Fibonacci. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos.

Este livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas deste livro foram usados ​​em quase todos os livros europeus dos séculos XIV-XVII. A regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2 + bх = с para todas as combinações possíveis de sinais e coeficientes b, c foi formulada na Europa em 1544. Sr. Stiefel.

Derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática em visão geral O Viet tem isso, mas o Viet reconheceu apenas raízes positivas. Matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli entre os primeiros do século XVI. Além das positivas, também são levadas em consideração as raízes negativas. Somente no século XVII. graças aos esforços Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assume uma forma moderna.

Vejamos várias maneiras de resolver equações quadráticas.

Métodos padrão para resolver equações quadráticas do currículo escolar:

1. Fatorando o lado esquerdo da equação.
2. Método para selecionar um quadrado completo.
3. Resolvendo equações quadráticas usando a fórmula.
4. Solução gráfica de uma equação quadrática.
5. Resolvendo equações usando o teorema de Vieta.

Detenhamo-nos mais detalhadamente na solução de equações quadráticas reduzidas e não reduzidas usando o teorema de Vieta.

Lembre-se que para resolver as equações quadráticas acima, basta encontrar dois números cujo produto seja igual ao termo livre e cuja soma seja igual ao segundo coeficiente com sinal oposto.

Exemplo.x 2 -5x+6=0

Você precisa encontrar números cujo produto seja 6 e cuja soma seja 5. Esses números serão 3 e 2.

Resposta: x 1 =2,x 2 =3.

Mas você também pode usar este método para equações com o primeiro coeficiente diferente de um.

Exemplo.3x 2 +2x-5=0

Pegue o primeiro coeficiente e multiplique-o pelo termo livre: x 2 +2x-15=0

As raízes desta equação serão números cujo produto é igual a -15 e cuja soma é igual a -2. Esses números são 5 e 3. Para encontrar as raízes da equação original, divida as raízes resultantes pelo primeiro coeficiente.

Resposta: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Resolver equações pelo método "throw".

Considere a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, onde a≠0.

Multiplicando ambos os lados por a, obtemos a equação a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Seja ax = y, de onde x = y/a; então chegamos à equação y 2 + by + ac = 0, equivalente à dada. Encontramos as suas raízes para 1 e 2 utilizando o teorema de Vieta.

Finalmente obtemos x 1 = y 1 /a e x 2 = y 2 /a.

Com este método, o coeficiente a é multiplicado pelo termo livre, como se fosse “jogado” nele, por isso é chamado de método “lançamento”. Este método é usado quando você pode encontrar facilmente as raízes da equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Exemplo.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Vamos “jogar” o coeficiente 2 para o termo livre e fazer uma substituição e obter a equação y 2 - 11y + 30 = 0.

De acordo com o teorema inverso de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5;

Resposta: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática.

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Se a+ b + c = 0 (ou seja, a soma dos coeficientes da equação é zero), então x 1 = 1.

2. Se a - b + c = 0, ou b = a + c, então x 1 = - 1.

Exemplo.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Como a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), então x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Resposta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplo.132x 2 + 247x + 115 = 0

Porque a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), então x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Resposta: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Existem outras propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática. mas seu uso é mais complexo.

8. Resolver equações quadráticas utilizando um nomograma.

Figura 1. Nomograma

É antigo e atualmente maneira esquecida soluções para equações quadráticas, colocadas na pág. 83 da coleção: Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.

Tabela XXII. Nomograma para resolver a equação z 2 + pz + q = 0. Este nomograma permite, sem resolver uma equação quadrática, determinar as raízes da equação a partir de seus coeficientes.

A escala curvilínea do nomograma é construída de acordo com as fórmulas (Fig. 1):

Acreditar OS = p, ED = q, OE = a(tudo em cm), da Fig. 1 semelhanças de triângulos SAN E CDF obtemos a proporção

que, após substituições e simplificações, produz a equação z 2 + pz + q = 0, e a carta z significa a marca de qualquer ponto em uma escala curva.

Arroz. 2 Resolvendo equações quadráticas usando um nomograma

Exemplos.

1) Para a equação z 2 - 9z + 8 = 0 o nomograma fornece as raízes z 1 = 8,0 e z 2 = 1,0

Resposta:8,0; 1,0.

2) Usando um nomograma, resolvemos a equação

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divida os coeficientes desta equação por 2, obtemos a equação z 2 - 4,5z + 1 = 0.

O nomograma fornece raízes z 1 = 4 e z 2 = 0,5.

Resposta: 4; 0,5.

9. Método geométrico de resolução de equações quadráticas.

Exemplo.X 2 + 10x = 39.

No original, este problema é formulado da seguinte forma: “O quadrado e as dez raízes são iguais a 39”.

Considere um quadrado de lado x, retângulos são construídos em seus lados de forma que o outro lado de cada um deles seja 2,5, portanto a área de cada um é 2,5x. A figura resultante é então completada em um novo quadrado ABCD, adicionando quatro quadrados nos cantos. quadrado igual, o lado de cada um deles é 2,5 e a área é 6,25

Arroz. 3 Método gráfico para resolver a equação x 2 + 10x = 39

A área S do quadrado ABCD pode ser representada como a soma das áreas de: o quadrado original x 2, quatro retângulos (4∙2,5x = 10x) e quatro quadrados adicionais (6,25∙4 = 25), ou seja, S = x 2 + 10x = 25. Substituindo x 2 + 10x pelo número 39, obtemos que S = 39+ 25 = 64, o que significa que o lado do quadrado é ABCD, ou seja, segmento AB = 8. Para o lado requerido x do quadrado original, obtemos

10. Resolução de equações utilizando o teorema de Bezout.

Teorema de Bezout. O restante da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x - α é igual a P(α) (ou seja, o valor de P(x) em x = α).

Se o número α for a raiz do polinômio P(x), então este polinômio é divisível por x -α sem resto.

Exemplo.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Divida P(x) por (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ou x-3=0, x=3; Resposta: x1 =2,x2 =3.

Conclusão: A capacidade de resolver equações quadráticas de forma rápida e racional é simplesmente necessária para resolver mais equações complexas, Por exemplo, equações racionais fracionárias, equações de graus superiores, equações biquadráticas e no ensino médio trigonométricas, exponenciais e equações logarítmicas. Tendo estudado todos os métodos encontrados para resolução de equações quadráticas, podemos aconselhar nossos colegas, além dos métodos padrão, a resolver pelo método de transferência (6) e resolver equações usando a propriedade dos coeficientes (7), pois são mais acessíveis para entender.

Literatura:

1. Bradis V. M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.
2. Álgebra 8ª série: livro didático para a 8ª série. educação geral instituições Makarychev Yu., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. SA Telyakovsky 15ª ed., revisado. - M.: Educação, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História da matemática na escola. Manual para professores. /Ed. V. N. Mais jovem. - M.: Educação, 1964.

EM sociedade moderna a capacidade de realizar operações com equações contendo uma variável ao quadrado pode ser útil em muitas áreas de atividade e é amplamente utilizada na prática em desenvolvimentos científicos e técnicos. Prova disso pode ser encontrada no projeto de projetos marítimos e barcos fluviais, aviões e mísseis. Usando tais cálculos, as trajetórias de movimento dos mais corpos diferentes, incluindo objetos espaciais. Exemplos com solução de equações quadráticas são utilizados não apenas nas previsões econômicas, no projeto e construção de edifícios, mas também nas circunstâncias mais comuns do dia a dia. Podem ser necessários em caminhadas, em eventos esportivos, em lojas na hora de fazer compras e em outras situações muito comuns.

Vamos dividir a expressão em seus fatores componentes

O grau de uma equação é determinado pelo valor máximo do grau da variável que a expressão contém. Se for igual a 2, essa equação é chamada quadrática.

Se falamos na linguagem das fórmulas, então as expressões indicadas, não importa sua aparência, sempre podem ser trazidas para a forma quando o lado esquerdo da expressão consiste em três termos. Entre eles: ax 2 (ou seja, uma variável ao quadrado com seu coeficiente), bx (uma incógnita sem quadrado com seu coeficiente) e c (um componente livre, ou seja, um número ordinário). Tudo isso no lado direito é igual a 0. No caso em que tal polinômio carece de um de seus termos constituintes, com exceção do machado 2, é chamado de equação quadrática incompleta. Exemplos com a solução de tais problemas, cujos valores das variáveis ​​​​são fáceis de encontrar, devem ser considerados primeiro.

Se a expressão parecer ter dois termos no lado direito, mais precisamente ax 2 e bx, a maneira mais fácil de encontrar x é colocar a variável fora dos colchetes. Agora nossa equação ficará assim: x(ax+b). A seguir, torna-se óbvio que ou x=0, ou o problema se resume a encontrar uma variável a partir da seguinte expressão: ax+b=0. Isso é ditado por uma das propriedades da multiplicação. A regra afirma que o produto de dois fatores resulta em 0 somente se um deles for zero.

Exemplo

x=0 ou 8x - 3 = 0

Como resultado, obtemos duas raízes da equação: 0 e 0,375.

Equações desse tipo podem descrever o movimento de corpos sob a influência da gravidade, que começaram a se mover a partir de um determinado ponto tomado como origem das coordenadas. Aqui a notação matemática assume a seguinte forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Substituindo os valores necessários, igualando o lado direito a 0 e encontrando possíveis incógnitas, você pode descobrir o tempo que passa desde o momento em que o corpo sobe até o momento em que cai, entre muitas outras quantidades. Mas falaremos sobre isso mais tarde.

Fatorando uma Expressão

A regra descrita acima permite resolver estes problemas em casos mais complexos. Vejamos exemplos de resolução de equações quadráticas desse tipo.

X 2 - 33x + 200 = 0

Esse trinômio quadrático está completo. Primeiro, vamos transformar a expressão e fatorá-la. Existem dois deles: (x-8) e (x-25) = 0. Como resultado, temos duas raízes 8 e 25.

Exemplos de resolução de equações quadráticas no 9º ano permitem que este método encontre uma variável em expressões não apenas de segunda, mas até de terceira e quarta ordens.

Por exemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ao fatorar o lado direito em fatores com uma variável, existem três deles, ou seja, (x+1), (x-3) e (x+ 3).

Como resultado, torna-se óbvio que esta equação tem três raízes: -3; -1; 3.

Raiz quadrada

Outro caso de equação de segunda ordem incompleta é uma expressão representada na linguagem das letras de tal forma que o lado direito é construído a partir dos componentes ax 2 e c. Aqui, para obter o valor da variável, o termo livre é transferido para o lado direito, e em seguida a raiz quadrada é extraída de ambos os lados da igualdade. Deve-se notar que neste caso geralmente existem duas raízes da equação. As únicas exceções podem ser igualdades que não contenham nenhum termo com, onde a variável é igual a zero, bem como variantes de expressões quando o lado direito for negativo. Neste último caso, não há solução alguma, pois as ações acima não podem ser realizadas com raízes. Exemplos de soluções para equações quadráticas deste tipo devem ser considerados.

Neste caso, as raízes da equação serão os números -4 e 4.

Cálculo da área do terreno

A necessidade desse tipo de cálculo surgiu na antiguidade, pois o desenvolvimento da matemática naqueles tempos distantes foi em grande parte determinado pela necessidade de determinar com a maior precisão as áreas e perímetros dos terrenos.

Deveríamos também considerar exemplos de resolução de equações quadráticas baseadas em problemas deste tipo.

Então, digamos que haja um terreno retangular cujo comprimento seja 16 metros maior que a largura. Você deve saber o comprimento, largura e perímetro do local se souber que sua área é de 612 m 2.

Para começar, vamos primeiro criar a equação necessária. Denotemos por x a largura da área, então seu comprimento será (x+16). Do que foi escrito segue-se que a área é determinada pela expressão x(x+16), que, de acordo com as condições do nosso problema, é 612. Isso significa que x(x+16) = 612.

Resolver equações quadráticas completas, e esta expressão é exatamente isso, não pode ser feita da mesma forma. Por que? Embora o lado esquerdo ainda contenha dois fatores, seu produto não é igual a 0, portanto, métodos diferentes são usados ​​aqui.

Discriminante

Primeiramente vamos fazer as transformações necessárias, depois aparência desta expressão ficará assim: x 2 + 16x - 612 = 0. Isso significa que recebemos uma expressão em um formato correspondente ao padrão especificado anteriormente, onde a=1, b=16, c=-612.

Este poderia ser um exemplo de resolução de equações quadráticas usando um discriminante. Aqui cálculos necessários são produzidos de acordo com o esquema: D = b 2 - 4ac. Esta grandeza auxiliar não só permite encontrar as grandezas necessárias em uma equação de segunda ordem, mas também determina a grandeza opções possíveis. Se D>0, existem dois deles; para D=0 existe uma raiz. No caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre raízes e sua fórmula

No nosso caso, o discriminante é igual a: 256 - 4(-612) = 2704. Isto sugere que o nosso problema tem uma resposta. Se você conhece k, a solução das equações quadráticas deve continuar usando a fórmula abaixo. Ele permite calcular as raízes.

Isso significa que no caso apresentado: x 1 =18, x 2 =-34. A segunda opção neste dilema não pode ser uma solução, pois as dimensões do terreno não podem ser medidas em quantidades negativas, o que significa que x (ou seja, a largura do terreno) é 18 m. +16=34, e o perímetro 2(34+ 18)=104(m2).

Exemplos e tarefas

Continuamos nosso estudo de equações quadráticas. Exemplos e soluções detalhadas de vários deles serão fornecidos a seguir.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Vamos mover tudo para o lado esquerdo da igualdade, fazer uma transformação, ou seja, vamos pegar o tipo de equação que costuma ser chamada de padrão, e igualá-la a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Somando outros semelhantes, determinamos o discriminante: D = 49 - 48 = 1. Isso significa que nossa equação terá duas raízes. Vamos calculá-los de acordo com a fórmula acima, o que significa que o primeiro deles será igual a 4/3 e o segundo a 1.

2) Agora vamos resolver mistérios de um tipo diferente.

Vamos descobrir se existe alguma raiz aqui x 2 - 4x + 5 = 1? Para obter uma resposta abrangente, vamos reduzir o polinômio à forma usual correspondente e calcular o discriminante. No exemplo acima, não é necessário resolver a equação quadrática, porque esta não é de forma alguma a essência do problema. Neste caso, D = 16 - 20 = -4, o que significa que realmente não existem raízes.

Teorema de Vieta

É conveniente resolver equações quadráticas usando as fórmulas acima e o discriminante, quando a raiz quadrada é extraída do valor deste último. Mas isso nem sempre acontece. Porém, existem muitas maneiras de obter os valores das variáveis ​​​​neste caso. Exemplo: resolução de equações quadráticas utilizando o teorema de Vieta. Ela leva o nome de quem viveu no século 16 na França e fez uma carreira brilhante graças ao seu talento matemático e conexões na corte. Seu retrato pode ser visto no artigo.

O padrão que o famoso francês notou foi o seguinte. Ele provou que as raízes da equação somam numericamente -p=b/a, e seu produto corresponde a q=c/a.

Agora vamos examinar tarefas específicas.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, vamos transformar a expressão:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vamos usar o teorema de Vieta, isso nos dará o seguinte: a soma das raízes é -7 e seu produto é -18. A partir daqui, obtemos que as raízes da equação são os números -9 e 2. Após a verificação, teremos certeza de que os valores dessas variáveis ​​​​realmente se enquadram na expressão.

Gráfico e equação de parábola

Os conceitos de função quadrática e equações quadráticas estão intimamente relacionados. Exemplos disso já foram dados anteriormente. Agora vamos examinar alguns enigmas matemáticos com um pouco mais de detalhes. Qualquer equação do tipo descrito pode ser representada visualmente. Tal relação, desenhada como um gráfico, é chamada de parábola. Seus vários tipos são apresentados na figura abaixo.

Qualquer parábola possui um vértice, ou seja, um ponto de onde emergem seus ramos. Se a>0, eles vão até o infinito, e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

As representações visuais de funções ajudam a resolver quaisquer equações, inclusive quadráticas. Este método é denominado gráfico. E o valor da variável x é a coordenada abcissa nos pontos onde a linha do gráfico cruza com 0x. As coordenadas do vértice podem ser encontradas usando a fórmula dada x 0 = -b/2a. E substituindo o valor resultante na equação original da função, você pode descobrir y 0, ou seja, a segunda coordenada do vértice da parábola, que pertence ao eixo das ordenadas.

A intersecção dos ramos de uma parábola com o eixo das abcissas

Existem muitos exemplos de resolução de equações quadráticas, mas também existem padrões gerais. Vamos dar uma olhada neles. É claro que a intersecção do gráfico com o eixo 0x para a>0 só é possível se 0 assumir valores negativos. E por um<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Caso contrário D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir do gráfico da parábola você também pode determinar as raízes. O oposto também é verdadeiro. Ou seja, se não for fácil obter uma representação visual de uma função quadrática, você pode igualar o lado direito da expressão a 0 e resolver a equação resultante. E conhecendo os pontos de intersecção com o eixo 0x, fica mais fácil construir um gráfico.

Da história

Usando equações contendo uma variável quadrada, antigamente não apenas faziam cálculos matemáticos como determinavam as áreas das figuras geométricas. Os antigos precisavam de tais cálculos para grandes descobertas nos campos da física e da astronomia, bem como para fazer previsões astrológicas.

Como sugerem os cientistas modernos, os habitantes da Babilônia foram um dos primeiros a resolver equações quadráticas. Isso aconteceu quatro séculos antes da nossa era. É claro que seus cálculos eram radicalmente diferentes daqueles atualmente aceitos e revelaram-se muito mais primitivos. Por exemplo, os matemáticos mesopotâmicos não tinham ideia da existência de números negativos. Eles também não estavam familiarizados com outras sutilezas que qualquer aluno moderno conhece.

Talvez ainda antes dos cientistas da Babilônia, o sábio da Índia Baudhayama começou a resolver equações quadráticas. Isso aconteceu cerca de oito séculos antes da era de Cristo. É verdade que as equações de segunda ordem, os métodos de resolução que ele forneceu, eram os mais simples. Além dele, os matemáticos chineses também se interessavam por questões semelhantes antigamente. Na Europa, as equações quadráticas começaram a ser resolvidas apenas no início do século XIII, mas posteriormente foram utilizadas em seus trabalhos por grandes cientistas como Newton, Descartes e muitos outros.

Continuando com o tópico “Resolvendo Equações”, o material deste artigo apresentará equações quadráticas.

Vejamos tudo em detalhes: a essência e a notação de uma equação quadrática, definimos os termos que a acompanham, analisamos o esquema de resolução de equações incompletas e completas, familiarizamo-nos com a fórmula das raízes e do discriminante, estabelecemos conexões entre as raízes e os coeficientes, e claro daremos uma solução visual para exemplos práticos.

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Equação quadrática, seus tipos

Definição 1

Equação quadráticaé uma equação escrita como a x 2 + b x + c = 0, Onde x– variável, a, b e c– alguns números, enquanto um não é zero.

Freqüentemente, as equações quadráticas também são chamadas de equações de segundo grau, pois em essência uma equação quadrática é uma equação algébrica de segundo grau.

Vamos dar um exemplo para ilustrar a definição dada: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Estas são equações quadráticas.

Definição 2

Números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, enquanto o coeficiente umé chamado de primeiro, ou sênior, ou coeficiente em x 2, b - o segundo coeficiente, ou coeficiente em x, Um c chamado de membro gratuito.

Por exemplo, na equação quadrática 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 o coeficiente principal é 6, o segundo coeficiente é − 2 , e o termo livre é igual a − 11 . Prestemos atenção ao fato de que quando os coeficientes b e/ou c são negativos, então uma forma abreviada do formulário é usada 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, não 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Esclareçamos também este aspecto: se os coeficientes um e/ou b igual 1 ou − 1 , então não podem participar explicitamente na escrita da equação quadrática, o que se explica pelas peculiaridades de escrever os coeficientes numéricos indicados. Por exemplo, na equação quadrática y 2 - y + 7 = 0 o coeficiente principal é 1 e o segundo coeficiente é − 1 .

Equações quadráticas reduzidas e não reduzidas

Com base no valor do primeiro coeficiente, as equações quadráticas são divididas em reduzidas e não reduzidas.

Definição 3

Equação quadrática reduzidaé uma equação quadrática onde o coeficiente principal é 1. Para outros valores do coeficiente líder, a equação quadrática não é reduzida.

Vamos dar exemplos: equações quadráticas x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 são reduzidas, em cada uma das quais o coeficiente líder é 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- equação quadrática não reduzida, onde o primeiro coeficiente é diferente de 1 .

Qualquer equação quadrática não reduzida pode ser convertida em uma equação reduzida dividindo ambos os lados pelo primeiro coeficiente (transformação equivalente). A equação transformada terá as mesmas raízes da equação não reduzida fornecida ou também não terá nenhuma raiz.

A consideração de um exemplo específico nos permitirá demonstrar claramente a transição de uma equação quadrática não reduzida para uma reduzida.

Exemplo 1

Dada a equação 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . É necessário converter a equação original para a forma reduzida.

Solução

De acordo com o esquema acima, dividimos ambos os lados da equação original pelo coeficiente líder 6. Então obtemos: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, e isso é o mesmo que: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 e mais: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Daqui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Assim, obtém-se uma equação equivalente à dada.

Responder: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equações quadráticas completas e incompletas

Vamos nos voltar para a definição de uma equação quadrática. Nele especificamos que uma ≠ 0. Uma condição semelhante é necessária para a equação a x 2 + b x + c = 0 era precisamente quadrado, pois em uma = 0 essencialmente se transforma em uma equação linear b x + c = 0.

No caso em que os coeficientes b E c são iguais a zero (o que é possível, tanto individualmente quanto em conjunto), a equação quadrática é chamada de incompleta.

Definição 4

Equação quadrática incompleta- tal equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, onde pelo menos um dos coeficientes b E c(ou ambos) é zero.

Equação quadrática completa– uma equação quadrática em que todos os coeficientes numéricos não são iguais a zero.

Vamos discutir por que os tipos de equações quadráticas recebem exatamente esses nomes.

Quando b = 0, a equação quadrática assume a forma uma x 2 + 0 x + c = 0, que é o mesmo que uma x 2 + c = 0. No c = 0 equação quadrática escrita como a x 2 + b x + 0 = 0, que é equivalente a x 2 + b x = 0. No b = 0 E c = 0 a equação assumirá a forma uma x 2 = 0. As equações que obtivemos diferem da equação quadrática completa porque seus lados esquerdos não contêm um termo com a variável x, nem um termo livre, ou ambos. Na verdade, esse fato deu o nome a esse tipo de equação – incompleta.

Por exemplo, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 são equações quadráticas completas; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – equações quadráticas incompletas.

Resolvendo equações quadráticas incompletas

A definição dada acima permite distinguir os seguintes tipos de equações quadráticas incompletas:

• uma x 2 = 0, esta equação corresponde aos coeficientes b = 0 e c = 0;
• a · x 2 + c = 0 em b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 em c = 0.

Consideremos sequencialmente a solução de cada tipo de equação quadrática incompleta.

Solução da equação a x 2 =0

Como mencionado acima, esta equação corresponde aos coeficientes b E c, igual a zero. Equação uma x 2 = 0 pode ser convertido em uma equação equivalente x 2 = 0, que obtemos dividindo ambos os lados da equação original pelo número um, diferente de zero. O fato óbvio é que a raiz da equação x 2 = 0 isso é zero porque 0 2 = 0 . Esta equação não tem outras raízes, o que pode ser explicado pelas propriedades do grau: para qualquer número p, não é igual a zero, a desigualdade é verdadeira p 2 > 0, do qual se segue que quando p ≠ 0 igualdade p 2 = 0 nunca será alcançado.

Definição 5

Assim, para a equação quadrática incompleta a x 2 = 0 existe uma única raiz x = 0.

Exemplo 2

Por exemplo, vamos resolver uma equação quadrática incompleta − 3 x 2 = 0. É equivalente à equação x 2 = 0, sua única raiz é x = 0, então a equação original tem uma única raiz - zero.

Resumidamente, a solução é escrita da seguinte forma:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Resolvendo a equação a x 2 + c = 0

O próximo da fila é a solução de equações quadráticas incompletas, onde b = 0, c ≠ 0, ou seja, equações da forma uma x 2 + c = 0. Vamos transformar esta equação movendo um termo de um lado da equação para o outro, mudando o sinal para o oposto e dividindo ambos os lados da equação por um número que não seja igual a zero:

• transferir c para o lado direito, o que dá a equação uma x 2 = - c;
• divida ambos os lados da equação por um, terminamos com x = - c a .

Nossas transformações são equivalentes, respectivamente, a equação resultante também é equivalente à original, e este fato permite tirar conclusões sobre as raízes da equação. Pelo que são os valores um E c o valor da expressão - c a depende: pode ter um sinal de menos (por exemplo, se uma = 1 E c = 2, então - c a = - 2 1 = - 2) ou um sinal de mais (por exemplo, se uma = - 2 E c = 6, então - c a = - 6 - 2 = 3); não é zero porque c ≠ 0. Detenhamo-nos mais detalhadamente nas situações em que - c a< 0 и - c a > 0 .

No caso quando - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p a igualdade p 2 = - c a não pode ser verdadeira.

Tudo é diferente quando - c a > 0: lembre-se da raiz quadrada, e ficará óbvio que a raiz da equação x 2 = - c a será o número - c a, pois - c a 2 = - c a. Não é difícil entender que o número - - c a também é a raiz da equação x 2 = - c a: na verdade, - - c a 2 = - c a.

A equação não terá outras raízes. Podemos demonstrar isso usando o método da contradição. Para começar, vamos definir as notações para as raízes encontradas acima como x 1 E −x1. Suponhamos que a equação x 2 = - c a também tenha uma raiz x 2, que é diferente das raízes x 1 E −x1. Sabemos que substituindo na equação x suas raízes, transformamos a equação em uma igualdade numérica justa.

Para x 1 E −x1 escrevemos: x 1 2 = - c a , e para x 2- x 2 2 = - c uma . Com base nas propriedades das igualdades numéricas, subtraímos um termo de igualdade correto por termo de outro, o que nos dará: x 1 2 − x 2 2 = 0. Usamos as propriedades das operações com números para reescrever a última igualdade como (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Sabe-se que o produto de dois números é zero se e somente se pelo menos um dos números for zero. Do exposto segue-se que x 1 - x 2 = 0 e/ou x 1 + x 2 = 0, que é o mesmo x 2 = x 1 e/ou x 2 = − x 1. Surgiu uma contradição óbvia, porque a princípio foi acordado que a raiz da equação x 2 diferente de x 1 E −x1. Portanto, provamos que a equação não tem raízes além de x = - c a e x = - - c a.

Vamos resumir todos os argumentos acima.

Definição 6

Equação quadrática incompleta uma x 2 + c = 0é equivalente à equação x 2 = - c a, que:

• não terá raízes em - c a< 0 ;
• terá duas raízes x = - c a e x = - - c a para - c a > 0.

Vamos dar exemplos de resolução de equações uma x 2 + c = 0.

Exemplo 3

Dada uma equação quadrática 9 x 2 + 7 = 0.É necessário encontrar uma solução.

Solução

Vamos mover o termo livre para o lado direito da equação, então a equação terá a forma 9x2 = −7.
Vamos dividir ambos os lados da equação resultante por 9 , chegamos a x 2 = - 7 9 . No lado direito vemos um número com sinal de menos, que significa: y dada equação sem raízes. Então a equação quadrática incompleta original 9 x 2 + 7 = 0 não terá raízes.

Responder: equação 9 x 2 + 7 = 0 não tem raízes.

Exemplo 4

A equação precisa ser resolvida − x 2 + 36 = 0.

Solução

Vamos mover 36 para o lado direito: − x 2 = − 36.
Vamos dividir ambas as partes por − 1 , obtemos x2 = 36. No lado direito há um número positivo, do qual podemos concluir que x = 36 ou x = - 36 .
Vamos extrair a raiz e anotar o resultado final: equação quadrática incompleta − x 2 + 36 = 0 tem duas raízes x=6 ou x = - 6.

Responder: x=6 ou x = - 6.

Solução da equação a x 2 +b x=0

Vamos analisar o terceiro tipo de equações quadráticas incompletas, quando c = 0. Para encontrar uma solução para uma equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0, usaremos o método de fatoração. Vamos fatorar o polinômio que está no lado esquerdo da equação, tirando o fator comum dos colchetes x. Esta etapa permitirá transformar a equação quadrática incompleta original em seu equivalente x (a x + b) = 0. E esta equação, por sua vez, é equivalente a um conjunto de equações x = 0 E a x + b = 0. Equação a x + b = 0 linear e sua raiz: x = − b uma.

Definição 7

Assim, a equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0 terá duas raízes x = 0 E x = − b uma.

Vamos reforçar o material com um exemplo.

Exemplo 5

É necessário encontrar uma solução para a equação 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solução

Nós vamos tirar isso x fora dos colchetes obtemos a equação x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Esta equação é equivalente às equações x = 0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0. Agora você deve resolver a equação linear resultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Escreva resumidamente a solução da equação da seguinte forma:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Responder: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminante, fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Para encontrar soluções para equações quadráticas, existe uma fórmula raiz:

Definição 8

x = - b ± D 2 · a, onde D = b 2 − 4 a c– o chamado discriminante de uma equação quadrática.

Escrever x = - b ± D 2 · a significa essencialmente que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Seria útil compreender como esta fórmula foi derivada e como aplicá-la.

Derivação da fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Vamos nos deparar com a tarefa de resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0. Vamos realizar uma série de transformações equivalentes:

• divida ambos os lados da equação por um número um, diferente de zero, obtemos a seguinte equação quadrática: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Vamos selecionar o quadrado completo no lado esquerdo da equação resultante:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
  Depois disso, a equação terá a forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Agora é possível transferir os dois últimos termos para o lado direito, mudando o sinal para o oposto, após o que obtemos: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Por fim, transformamos a expressão escrita no lado direito da última igualdade:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Assim, chegamos à equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente à equação original a x 2 + b x + c = 0.

Examinamos a solução de tais equações nos parágrafos anteriores (resolvendo equações quadráticas incompletas). A experiência já adquirida permite tirar uma conclusão sobre as raízes da equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• com b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• quando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 a equação é x + b 2 · a 2 = 0, então x + b 2 · a = 0.

A partir daqui a única raiz x = - b 2 · a é óbvia;

• para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, o seguinte será verdadeiro: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , que é o mesmo que x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ou seja a equação tem duas raízes.

É possível concluir que a presença ou ausência de raízes da equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (e portanto da equação original) depende do sinal da expressão b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 escrito no lado direito. E o sinal desta expressão é dado pelo sinal do numerador, (denominador 4 a 2 será sempre positivo), ou seja, o sinal da expressão b 2 − 4 uma c. Esta expressão b 2 − 4 uma cé dado o nome - o discriminante da equação quadrática e a letra D é definida como sua designação. Aqui você pode escrever a essência do discriminante - com base em seu valor e sinal, eles podem concluir se a equação quadrática terá raízes reais e, em caso afirmativo, qual é o número de raízes - uma ou duas.

Voltemos à equação x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Vamos reescrevê-lo usando notação discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Vamos formular nossas conclusões novamente:

Definição 9

• no D< 0 a equação não tem raízes reais;
• no D=0 a equação tem uma única raiz x = - b 2 · a ;
• no D > 0 a equação tem duas raízes: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Com base nas propriedades dos radicais, essas raízes podem ser escritas na forma: x = - b 2 · a + D 2 · a ou - b 2 · a - D 2 · a. E, quando expandimos os módulos e reduzimos as frações para denominador comum, obtemos: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Assim, o resultado do nosso raciocínio foi a derivação da fórmula para as raízes de uma equação quadrática:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calculado pela fórmula D = b 2 − 4 a c.

Estas fórmulas permitem determinar ambas as raízes reais quando o discriminante é maior que zero. Quando o discriminante é zero, a aplicação de ambas as fórmulas dará a mesma raiz que a única solução para a equação quadrática. No caso em que o discriminante é negativo, se tentarmos utilizar a fórmula da raiz quadrática, nos depararemos com a necessidade de extrair a raiz quadrada de um número negativo, o que nos levará além números reais. Com um discriminante negativo, a equação quadrática não terá raízes reais, mas é possível um par de raízes conjugadas complexas, determinadas pelas mesmas fórmulas de raiz que obtivemos.

Algoritmo para resolver equações quadráticas usando fórmulas de raiz

É possível resolver uma equação quadrática usando imediatamente a fórmula da raiz, mas isso geralmente é feito quando é necessário encontrar raízes complexas.

Na maioria dos casos, geralmente significa procurar não raízes complexas, mas raízes reais de uma equação quadrática. Então é ideal, antes de usar as fórmulas para as raízes de uma equação quadrática, primeiro determinar o discriminante e certificar-se de que não é negativo (caso contrário, concluiremos que a equação não tem raízes reais) e depois proceder ao cálculo do valor das raízes.

O raciocínio acima permite formular um algoritmo para resolução de uma equação quadrática.

Definição 10

Para resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, necessário:

• de acordo com a fórmula D = b 2 − 4 a c encontre o valor discriminante;
• em D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para D = 0, encontre a única raiz da equação usando a fórmula x = - b 2 · a ;
• para D > 0, determine duas raízes reais da equação quadrática usando a fórmula x = - b ± D 2 · a.

Observe que quando o discriminante é zero, você pode usar a fórmula x = - b ± D 2 · a, ela dará o mesmo resultado que a fórmula x = - b 2 · a.

Vejamos exemplos.

Exemplos de resolução de equações quadráticas

Vamos dar soluções de exemplos para diferentes valores do discriminante.

Exemplo 6

Precisamos encontrar as raízes da equação x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solução

Vamos anotar os coeficientes numéricos da equação quadrática: a = 1, b = 2 e c = - 6. Em seguida, procedemos de acordo com o algoritmo, ou seja, Vamos começar a calcular o discriminante, para o qual substituiremos os coeficientes a, b E c na fórmula discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Portanto, obtemos D > 0, o que significa que a equação original terá duas raízes reais.
Para encontrá-los, usamos a fórmula raiz x = - b ± D 2 · a e, substituindo os valores correspondentes, obtemos: x = - 2 ± 28 2 · 1. Vamos simplificar a expressão resultante retirando o fator do sinal da raiz e depois reduzindo a fração:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Responder: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemplo 7

Precisa resolver uma equação quadrática − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solução

Vamos definir o discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Com este valor do discriminante, a equação original terá apenas uma raiz, determinada pela fórmula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Responder: x = 3,5.

Exemplo 8

A equação precisa ser resolvida 5 anos 2 + 6 anos + 2 = 0

Solução

Os coeficientes numéricos desta equação serão: a = 5, b = 6 e c = 2. Usamos estes valores para encontrar o discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . O discriminante calculado é negativo, portanto a equação quadrática original não tem raízes reais.

No caso em que a tarefa é indicar raízes complexas, aplicamos a fórmula da raiz, realizando ações com números complexos:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 eu 10 ou x = - 6 - 2 eu 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ou x = - 3 5 - 1 5 · i.

Responder: não existem raízes reais; as raízes complexas são as seguintes: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

No currículo escolar não existe um requisito padrão para procurar raízes complexas, portanto, se durante a solução o discriminante for determinado como negativo, a resposta é imediatamente escrita de que não existem raízes reais.

Fórmula raiz para coeficientes pares

A fórmula raiz x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permite obter outra fórmula, mais compacta, permitindo encontrar soluções para equações quadráticas com coeficiente par para x ( ou com um coeficiente da forma 2 · n, por exemplo, 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Vamos mostrar como essa fórmula é derivada.

Estaremos diante da tarefa de encontrar uma solução para a equação quadrática a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedemos de acordo com o algoritmo: determinamos o discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) e então usamos a fórmula raiz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Deixe a expressão n 2 − a · c ser denotada como D 1 (às vezes é denotada D "). Então a fórmula para as raízes da equação quadrática em consideração com o segundo coeficiente 2 · n terá a forma:

x = - n ± D 1 a, onde D 1 = n 2 − a · c.

É fácil ver que D = 4 · D 1, ou D 1 = D 4. Em outras palavras, D 1 é um quarto do discriminante. Obviamente, o sinal de D 1 é igual ao sinal de D, o que significa que o sinal de D 1 também pode servir como indicador da presença ou ausência de raízes de uma equação quadrática.

Definição 11

Assim, para encontrar uma solução para uma equação quadrática com segundo coeficiente de 2 n, é necessário:

• encontre D 1 = n 2 − a · c ;
• em D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• quando D 1 = 0, determine a única raiz da equação usando a fórmula x = - n a;
• para D 1 > 0, determine duas raízes reais usando a fórmula x = - n ± D 1 a.

Exemplo 9

É necessário resolver a equação quadrática 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solução

Podemos representar o segundo coeficiente da equação dada como 2 · (− 3) . Em seguida, reescrevemos a equação quadrática dada como 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, onde a = 5, n = − 3 e c = − 32.

Vamos calcular a quarta parte do discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. O valor resultante é positivo, o que significa que a equação possui duas raízes reais. Vamos determiná-los usando a fórmula raiz correspondente:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Seria possível realizar cálculos utilizando a fórmula usual para as raízes de uma equação quadrática, mas neste caso a solução seria mais complicada.

Responder: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplificando a forma de equações quadráticas

Às vezes é possível otimizar a forma da equação original, o que simplificará o processo de cálculo das raízes.

Por exemplo, a equação quadrática 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 é claramente mais conveniente de resolver do que 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mais frequentemente, a simplificação da forma de uma equação quadrática é realizada multiplicando ou dividindo ambos os lados por um certo número. Por exemplo, acima mostramos uma representação simplificada da equação 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtida pela divisão de ambos os lados por 100.

Tal transformação é possível quando os coeficientes da equação quadrática não são números primos. Então geralmente dividimos ambos os lados da equação pelo maior divisor comum valores absolutos seus coeficientes.

Como exemplo, usamos a equação quadrática 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Vamos determinar o GCD dos valores absolutos de seus coeficientes: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vamos dividir ambos os lados da equação quadrática original por 6 e obter a equação quadrática equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ao multiplicar ambos os lados de uma equação quadrática, você geralmente se livra dos coeficientes fracionários. Nesse caso, multiplicam-se pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores de seus coeficientes. Por exemplo, se cada parte da equação quadrática 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 for multiplicada por MMC (6, 3, 1) = 6, então ela será escrita em mais de forma simples x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Finalmente, notamos que quase sempre nos livramos do sinal de menos no primeiro coeficiente de uma equação quadrática alterando os sinais de cada termo da equação, o que é conseguido multiplicando (ou dividindo) ambos os lados por − 1. Por exemplo, da equação quadrática − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, você pode ir para sua versão simplificada 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relação entre raízes e coeficientes

A fórmula das raízes das equações quadráticas, já conhecida por nós, x = - b ± D 2 · a, expressa as raízes da equação através de seus coeficientes numéricos. Com base nesta fórmula, temos a oportunidade de especificar outras dependências entre raízes e coeficientes.

As fórmulas mais famosas e aplicáveis ​​são o teorema de Vieta:

x 1 + x 2 = - b a e x 2 = c a.

Em particular, para esta equação quadrática, a soma das raízes é o segundo coeficiente com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Por exemplo, observando a forma da equação quadrática 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, é possível determinar imediatamente que a soma das suas raízes é 7 3 e o produto das raízes é 22 3.

Você também pode encontrar várias outras conexões entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática. Por exemplo, a soma dos quadrados das raízes de uma equação quadrática pode ser expressa em termos de coeficientes:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Instituição educacional orçamentária municipal, escola secundária nº 11

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História das equações quadráticas

Babilônia

A necessidade de resolver equações não só de primeiro grau, mas também de segundo, na antiguidade era causada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas dos terrenos, com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática. Equações quadráticas poderiam ser resolvidas por volta de 2.000 aC. e. Babilônios. As regras para resolver essas equações estabelecidas nos textos babilônicos são essencialmente as mesmas que as modernas, mas esses textos carecem do conceito de número negativo e de métodos gerais para resolver equações quadráticas.

Grécia Antiga

A resolução de equações quadráticas também foi feita em Grécia Antiga cientistas como Diofanto, Euclides e Heron. Diofanto Diofanto de Alexandria é um antigo matemático grego que provavelmente viveu no século III DC. A principal obra de Diofanto é “Aritmética” em 13 livros. Euclides. Euclides é um matemático grego antigo, autor do primeiro tratado teórico de matemática que chegou até nós, Heron. Heron - matemático e engenheiro grego pela primeira vez na Grécia no século I DC. fornece uma maneira puramente algébrica de resolver uma equação quadrática

Índia

Problemas sobre equações quadráticas já são encontrados no tratado astronômico “Aryabhattiam”, compilado em 499 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhatta. Outro cientista indiano, Brahmagupta (século VII), traçou a regra geral para resolução de equações quadráticas reduzida a uma única forma canônica: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Na equação (1) os coeficientes podem ser negativos. O governo de Brahmagupta é essencialmente o mesmo que o nosso. As competições públicas para resolver problemas difíceis eram comuns na Índia. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol ofusca as estrelas com seu brilho, um homem instruído ofuscará sua glória em assembléias públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos”. Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.

Este é um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII. Bhaskars.

“Um bando de macacos brincalhões

E doze ao longo das vinhas, tendo comido o quanto quisesse, se divertiram

Eles começaram a pular, pendurados

Parte oito deles ao quadrado

Quantos macacos havia?

Eu estava me divertindo na clareira

Me diga, neste pacote?

A solução de Bhaskara indica que o autor sabia que as raízes das equações quadráticas têm dois valores. Bhaskar escreve a equação correspondente ao problema como x2 - 64x = - 768 e, para completar o lado esquerdo desta equação em um quadrado, soma 322 a ambos os lados, obtendo então: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Equações quadráticas na Europa do século XVII

As fórmulas para resolver equações quadráticas nos moldes de Al-Khorezmi na Europa foram estabelecidas pela primeira vez no Livro do Ábaco, escrito em 1202 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta volumosa obra, que reflecte a influência da matemática, tanto dos países do Islão como da Grécia antiga, distingue-se pela sua completude e clareza de apresentação. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos. O seu livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas do Livro do Ábaco foram usados ​​em quase todos os livros europeus dos séculos XVI a XVII. e parcialmente XVIII. A derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática na forma geral está disponível em Vieth, mas Vieth reconheceu apenas raízes positivas. Os matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estiveram entre os primeiros no século XVI. Além das positivas, também são levadas em consideração as raízes negativas. Somente no século XVII. Graças ao trabalho de Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assume uma forma moderna.

Definição de uma equação quadrática

Uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde a, b, c são números, é chamada quadrática.

Coeficientes da equação quadrática

Os números a, b, c são os coeficientes da equação quadrática a é o primeiro coeficiente (antes de x²), a ≠ b é o segundo coeficiente (antes de x c ​​é o termo livre (sem x);

Quais dessas equações não são quadráticas??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipos de equações quadráticas

Nome	Forma geral da equação	Recurso (quais são os coeficientes)	Exemplos de equações
	machado 2 + bx + c = 0	a, b, c - números diferentes de 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Incompleto
			x 2 - 1/5x = 0
Dado	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Reduzida é uma equação quadrática em que o coeficiente líder é igual a um. Tal equação pode ser obtida dividindo a expressão inteira pelo coeficiente líder um:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Uma equação quadrática é chamada completa se todos os seus coeficientes forem diferentes de zero.

Uma equação quadrática é chamada de incompleta quando pelo menos um dos coeficientes, exceto o principal (seja o segundo coeficiente ou o termo livre), é igual a zero.

Métodos para resolver equações quadráticas

Método I Fórmula geral para cálculo de raízes

Para encontrar as raízes de uma equação quadrática machado 2 + b + c = 0 Em geral, você deve usar o algoritmo abaixo:

Calcule o valor do discriminante de uma equação quadrática: esta é a expressão para isso D = b 2 - 4ac

Derivação da fórmula:

Observação:É óbvio que a fórmula para uma raiz de multiplicidade 2 é um caso especial da fórmula geral, obtida substituindo nela a igualdade D=0, e a conclusão sobre a ausência de raízes reais em D0, e (displaystyle (sqrt ( -1))=eu) = eu.

O método apresentado é universal, mas está longe de ser o único. A resolução de uma única equação pode ser abordada de várias maneiras, com preferências geralmente dependendo do solucionador. Além disso, muitas vezes, para esse fim, alguns dos métodos revelam-se muito mais elegantes, simples e menos trabalhosos do que o método padrão.

Método II. Raízes de uma equação quadrática com coeficiente par b Método III. Resolvendo equações quadráticas incompletas

Método IV. Usando proporções parciais de coeficientes

Existem casos especiais de equações quadráticas em que os coeficientes estão relacionados entre si, tornando-os muito mais fáceis de resolver.

Raízes de uma equação quadrática em que a soma do coeficiente principal e do termo livre é igual ao segundo coeficiente

Se em uma equação quadrática machado 2 + bx + c = 0 a soma do primeiro coeficiente e do termo livre é igual ao segundo coeficiente: a+b=c, então suas raízes são -1 e o número oposto à razão entre o termo livre e o coeficiente líder ( -c/a).

Portanto, antes de resolver qualquer equação quadrática, você deve verificar a possibilidade de aplicar este teorema a ela: compare a soma do coeficiente líder e do termo livre com o segundo coeficiente.

Raízes de uma equação quadrática cuja soma de todos os coeficientes é zero

Se em uma equação quadrática a soma de todos os seus coeficientes for zero, então as raízes de tal equação são 1 e a razão entre o termo livre e o coeficiente líder ( c/a).

Portanto, antes de resolver uma equação usando métodos padrão, você deve verificar a aplicabilidade deste teorema a ela: somar todos os coeficientes desta equação e ver se esta soma não é igual a zero.

Método V. Fatorando um trinômio quadrático em fatores lineares

Se o trinômio for da forma (estilo de exibição machado ^ (2) + bx + c (anot = 0)) machado 2 + bx + c(uma ≠ 0) pode de alguma forma ser representado como um produto de fatores lineares (estilo de exibição (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), então podemos encontrar as raízes da equação machado 2 + bx + c = 0- eles serão -m/k e n/l, de fato, afinal (estilo de exibição (kx + m) (lx + n) = 0Longleftrightarrow kx + m = 0cup lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n, e tendo resolvido o indicado equações lineares, obtemos o acima. Observe que o trinômio quadrático nem sempre se decompõe em fatores lineares com coeficientes reais: isso é possível se a equação correspondente tiver raízes reais.

Vamos considerar alguns casos especiais

Usando a fórmula da soma quadrada (diferença)

Se o trinômio quadrático tiver a forma (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , então, aplicando a fórmula acima a ele, podemos fatorá-lo em fatores lineares e , portanto, encontre raízes:

(machado) 2 + 2abx + b 2 = (machado + b) 2

Isolando o quadrado completo da soma (diferença)

A fórmula acima também é usada usando um método chamado “selecionar o quadrado completo da soma (diferença)”. Em relação à equação quadrática acima com a notação introduzida anteriormente, isso significa o seguinte:

Observação: Se você notar, esta fórmula coincide com a proposta na seção “Raízes da equação quadrática reduzida”, que, por sua vez, pode ser obtida a partir da fórmula geral (1) substituindo a igualdade a=1. Este facto não é mera coincidência: utilizando o método descrito, ainda que com algum raciocínio adicional, é possível deduzir fórmula geral, e também provar as propriedades do discriminante.

Método VI. Usando o teorema de Vieta direto e inverso

O teorema direto de Vieta (veja abaixo na seção de mesmo nome) e seu teorema inverso permitem resolver oralmente as equações quadráticas acima, sem recorrer a cálculos bastante complicados usando a fórmula (1).

De acordo com o teorema inverso, todo par de números (número) (estilo de exibição x_(1),x_(2))x 1, x 2, sendo uma solução para o sistema de equações abaixo, são as raízes da equação

No caso geral, isto é, para uma equação quadrática não reduzida ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/uma, x 1 * x 2 = c/uma

Um teorema direto o ajudará a encontrar números que satisfaçam essas equações oralmente. Com sua ajuda, você pode determinar os sinais das raízes sem conhecer as próprias raízes. Para fazer isso, você deve seguir a regra:

1) se o termo livre for negativo, então as raízes têm sinais diferentes, e a maior raiz em valor absoluto tem sinal oposto ao sinal do segundo coeficiente da equação;

2) se o termo livre for positivo, então ambas as raízes têm o mesmo sinal, e este é o sinal oposto ao sinal do segundo coeficiente.

Método VII. Método de transferência

O chamado método de “transferência” permite reduzir a solução de equações não reduzidas e irredutíveis à forma de equações reduzidas com coeficientes inteiros, dividindo-as pelo coeficiente líder para a solução de equações reduzidas com coeficientes inteiros. É o seguinte:

Em seguida, a equação é resolvida oralmente da maneira descrita acima, então eles retornam à variável original e encontram as raízes das equações (estilo de exibição y_(1)=ax_(1)) sim 1 =machado 1 E sim 2 =machado 2 .(estilo de exibição y_(2)=ax_(2))

Significado geométrico

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são as abcissas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas. Se a parábola descrita função quadrática, não cruza com o eixo x, a equação não tem raízes reais. Se uma parábola intercepta o eixo x em um ponto (no vértice da parábola), a equação tem uma raiz real (diz-se também que a equação tem duas raízes coincidentes). Se a parábola intercepta o eixo x em dois pontos, a equação tem duas raízes reais (veja a imagem à direita).

Se coeficiente (estilo de exibição a) um positivo, os ramos da parábola são direcionados para cima e vice-versa. Se o coeficiente (estilo de exibição b) bpositivo (se positivo (estilo de exibição a) um, se negativo, vice-versa), então o vértice da parábola está no semiplano esquerdo e vice-versa.

Aplicação de equações quadráticas na vida

A equação quadrática é amplamente utilizada. É usado em muitos cálculos, estruturas, esportes e também ao nosso redor.

Consideremos e dêmos alguns exemplos de aplicação da equação quadrática.

Esporte. Saltos altos: durante a corrida do saltador, são utilizados cálculos relacionados à parábola para obter o arremesso mais preciso na barra de impulsão e voar alto.

Além disso, cálculos semelhantes são necessários no lançamento. O alcance de vôo de um objeto depende da equação quadrática.

Astronomia. A trajetória dos planetas pode ser encontrada usando uma equação quadrática.

Voo de avião. A decolagem do avião é o principal componente do vôo. Aqui fazemos o cálculo para baixa resistência e aceleração de decolagem.

Equações quadráticas também são usadas em vários disciplinas econômicas, em programas de processamento de áudio, vídeo, gráficos vetoriais e raster.

Conclusão

Como resultado do trabalho realizado, descobriu-se que as equações quadráticas atraíram os cientistas na antiguidade, pois já as haviam encontrado ao resolver alguns problemas e tentavam resolvê-los; Considerando várias maneiras resolvendo equações quadráticas, cheguei à conclusão de que nem todas são simples. Na minha opinião o mais a melhor maneira resolver equações quadráticas é resolver por fórmulas. As fórmulas são fáceis de lembrar, este método é universal. A hipótese de que as equações são amplamente utilizadas na vida e na matemática foi confirmada. Depois de estudar o assunto, aprendi muito fatos interessantes sobre equações quadráticas, seu uso, aplicação, tipos, soluções. E ficarei feliz em continuar estudando-os. Espero que isso me ajude a ir bem nos exames.

Lista de literatura usada

Materiais do site:

Wikipédia

Abra lição.rf

Manual de Matemática Elementar Vygodsky M. Ya.

Mais de uma forma simples. Para fazer isso, coloque z fora dos colchetes. Você obterá: z(àz + b) = 0. Os fatores podem ser escritos: z=0 e az + b = 0, pois ambos podem resultar em zero. Na notação az + b = 0, movemos o segundo para a direita com sinal diferente. A partir daqui obtemos z1 = 0 e z2 = -b/a. Estas são as raízes do original.

Se houver equação incompleta da forma аz² + с = 0, neste caso são encontrados simplesmente movendo o termo livre para o lado direito da equação. Mude também seu sinal. O resultado será az² = -с. Expresse z² = -c/a. Tire a raiz e anote duas soluções - uma raiz quadrada positiva e uma negativa.

Observe

Se houver coeficientes fracionários na equação, multiplique a equação inteira pelo fator apropriado para se livrar das frações.

O conhecimento de como resolver equações quadráticas é necessário tanto para crianças em idade escolar quanto para estudantes; às vezes, isso também pode ajudar um adulto na vida cotidiana; Existem vários métodos de solução específicos.

Resolvendo Equações Quadráticas

Equação quadrática da forma a*x^2+b*x+c=0. O coeficiente x é a variável desejada, a, b, c são coeficientes numéricos. Lembre-se de que o sinal “+” pode mudar para um sinal “-”.

Para resolver esta equação é necessário utilizar o teorema de Vieta ou encontrar o discriminante. O método mais comum é encontrar o discriminante, pois para alguns valores de a, b, c não é possível utilizar o teorema de Vieta.

Para encontrar o discriminante (D), você precisa escrever a fórmula D=b^2 - 4*a*c. O valor D pode ser maior, menor ou igual a zero. Se D for maior ou menor que zero, então haverá duas raízes; se D = 0, então resta apenas uma raiz, mais precisamente, podemos dizer que D neste caso tem duas raízes equivalentes; Substitua os coeficientes conhecidos a, b, c na fórmula e calcule o valor.

Depois de encontrar o discriminante, use as fórmulas para encontrar x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a onde sqrt é uma função que significa extrato raiz quadrada deste número. Depois de calcular essas expressões, você encontrará duas raízes da sua equação, após as quais a equação será considerada resolvida.

Se D for menor que zero, então ainda tem raízes. Esta seção praticamente não é estudada na escola. Estudantes universitários devem estar atentos ao que está surgindo número negativo sob a raiz. Eles se livram disso destacando a parte imaginária, ou seja, -1 na raiz é sempre igual ao elemento imaginário “i”, que é multiplicado pela raiz com o mesmo número positivo. Por exemplo, se D=sqrt(-20), após a transformação obtemos D=sqrt(20)*i. Após esta transformação, a resolução da equação se reduz à mesma descoberta de raízes descrita acima.

O teorema de Vieta consiste em selecionar os valores de x(1) e x(2). Duas equações idênticas são usadas: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. E muito ponto importanteé o sinal antes do coeficiente b, lembre-se que este sinal é oposto ao da equação. À primeira vista parece que calcular x(1) ex(2) é muito simples, mas ao resolver você se deparará com o fato de que terá que selecionar os números.

Elementos de resolução de equações quadráticas

De acordo com as regras da matemática, alguns podem ser fatorados: (a+x(1))*(b-x(2))=0, se você conseguiu transformar esta equação quadrática de forma semelhante usando fórmulas matemáticas, então fique à vontade para anote a resposta. x(1) e x(2) serão iguais aos coeficientes adjacentes entre parênteses, mas com sinal oposto.

Além disso, não se esqueça das equações quadráticas incompletas. Você pode estar faltando alguns termos; nesse caso, todos os seus coeficientes são simplesmente iguais a zero. Se não houver nada na frente de x^2 ou x, então os coeficientes aeb são iguais a 1.